1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਜਾਂ ਦਸ਼ਮਲਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਦੁਹਰਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
3. ਇਸ ਨੂੰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
4. ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਮਿਲ ਕੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ। ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ, ਪੂਰਨ, ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਪਰਿਮੇਯ, ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਵਜੋਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
5. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
6. ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਅਧੀਨ ਮੁੱਢਲੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣ, ਸਹਿਚਰ ਗੁਣ, ਵੰਡ ਗੁਣ, ਤਤਸਮ ਗੁਣ, ਅਤੇ ਉਲਟ ਗੁਣ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
7. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯਾਂ ਤੋਂ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ, ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ। ਇਹ ਪਰਿਮੇਯਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 9, ਉਦਾਹਰਨ 10, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
8. ਸੂਤਰ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਹੋਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਂਗ ਸਰਲ ਜਾਂ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 13 ਦੇਖੋ।
9. ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
10. ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
11. ਇੱਕੋ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
12. ਸਿਫਰ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
13. ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਉਲਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
14. ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੀ ਘਾਤ, ਉਸੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
15. ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੀ ਘਾਤ, ਉਸੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
16. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
17. ਵਿਗਿਆਨਿਕ ਸੰਕੇਤਵਾਦ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ 10 ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
18. ਵਿਗਿਆਨਿਕ ਸੰਕੇਤਵਾਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਤ ਵੱਡੀਆਂ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 13 ਦੇਖੋ।
19. ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ 'a' ਦਾ ਮੁੱਖ ਵਰਗਮੂਲ, ਉਹ ਅ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਜਦੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ 'a' ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
20. ਜੇ 'a' ਅਤੇ 'b' ਅ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਹਨ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ 'ab' ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ, 'a' ਅਤੇ 'b' ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
21. ਜੇ 'a' ਅਤੇ 'b' ਅ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਹਨ, ਤਾਂ ਭਾਗਫਲ 'a/b' ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ, 'a' ਅਤੇ 'b' ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
22. ਅਸੀਂ ਕਰਣੀਗਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਕਰਣੀਗਤ ਅਤੇ ਸੂਚਕਾਂਕ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
23. ਸਰਲਤਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਕਰਣੀਗਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਕਰਣੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਹਰ ਵਿੱਚੋਂ ਵਰਗਮੂਲ ਕਰਣੀ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
24. ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ 'a' ਦਾ ਮੁੱਖ n-ਵਾਂ ਮੂਲ, ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ 'a' ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਨੂੰ n-ਵੀਂ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ 'a' ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਮੂਲ ਨੂੰ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਮੂਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਗੁਣ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦ (Polynomial) ਅਜਿਹੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਦ ਇੱਕ ਚੱਲ (variable) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤ (non-negative integer power) ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡਿਗਰੀ (degree) ਚੱਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਹੈ ਜੋ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ (leading term) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲਾ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ (leading coefficient) ਉਸ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ (like terms) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ (distributive property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
FOIL (ਪਹਿਲਾ, ਬਾਹਰੀ, ਅੰਦਰੂਨੀ, ਆਖਰੀ) ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋਪਦੀਆਂ (binomials) ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ (Perfect square trinomials) ਅਤੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ (difference of squares) ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ (special products) ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਕਈ ਚੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਉਹੀ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ, ਜਾਂ GCF, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਕੱਢਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡਨ (factoring) ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ GCF ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਵਾਲੀਆਂ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਤੀਜਾ ਪਦ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਜੋੜ ਦੂਜਾ ਪਦ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ (factoring by grouping) ਨਾਮਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਅਤੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (equations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਘਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ (sum of cubes) ਅਤੇ ਘਣਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ (difference of cubes) ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਅੰਸ਼ਕ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ GCF ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਕੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (Rational expressions) ਨੂੰ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਰੱਦ ਕਰਕੇ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਉਲਟ (reciprocal) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਂਝੇ ਹਰ (common denominator) ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਜਟਿਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (Complex rational expressions) ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਜਾਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।