ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ, ਪੂਰਨ, ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਪਰਿਮੇਯ, ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
ਸੰਚਾਲਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰੋ।
ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ, ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ, ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ, ਇਨਵਰਸ, ਅਤੇ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ।
ਬੀਜਗਣਤੀ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਬੀਜਗਣਤੀ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਹ ਅਕਸਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਣਿਤ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਹੈ। ਜੇ ਇਹ ਸੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਗਣਿਤ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਇੱਕ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹਿੱਸਾ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਪੁਰਾਣੀ ਵਰਤੋਂ 100 ਸਦੀਆਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮੱਧ ਪੂਰਬ ਵਿੱਚ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗਿਣਨ, ਜਾਂ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਲਈ ਹੋਈ ਸੀ। ਕਿਸਾਨ, ਪਸ਼ੂ ਪਾਲਣ ਵਾਲੇ, ਅਤੇ ਵਪਾਰੀ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਮਾਤਰਾ—ਅਨਾਜ ਦਾ ਗੱਠਾ, ਪਸ਼ੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਰ, ਜਾਂ ਕੱਪੜੇ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲੰਬਾਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ—ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਟੋਕਨ, ਪੱਥਰ, ਜਾਂ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਨ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਵਣਜ ਸੰਭਵ ਹੋਇਆ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸੰਚਾਰ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਸਭਿਅਤਾ ਦਾ ਫੈਲਾਅ ਹੋਇਆ।
ਤਿੰਨ ਤੋਂ ਚਾਰ ਹਜ਼ਾਰ ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ, ਮਿਸਰਵਾਸੀਆਂ ਨੇ ਭਿੰਨਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿਪਰੀਤਾਂ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਸੀ।
ਪਰ ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇ ਵਪਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਪਸ਼ੂ ਨਾ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਹੜ੍ਹ ਵਿੱਚ ਅਨਾਜ ਦੀ ਪੂਰੀ ਫਸਲ ਨਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇ? ਕੋਈ ਨਾ ਹੋਣ ਦੀ ਹੋਂਦ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਸ਼ੁਰੂ ਤੋਂ ਹੀ, ਲੋਕ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਇੱਕ "ਆਧਾਰ ਅਵਸਥਾ" ਬਾਰੇ ਸੋਚਦੇ ਸਨ ਅਤੇ ਇਸ ਸਿਫਰ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਸਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ ਪੰਜਵੀਂ ਸਦੀ ਈਸਵੀ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਸੀ ਜਦੋਂ ਸਿਫਰ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਅਤੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ।
ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਨੁਕਸਾਨ ਜਾਂ ਕਰਜ਼ੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਸੀ। ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ, ਸੱਤਵੀਂ ਸਦੀ ਈਸਵੀ ਵਿੱਚ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਵਪਾਰਕ ਕਰਜ਼ਿਆਂ ਦੇ ਹੱਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ। ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਪਰੀਤਾਂ ਨੇ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵੀ ਵਿਸਤਾਰਿਆ।
ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਕਾਰਨ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਹਨਾਂ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਗਣਨਾਵਾਂ, ਅਤੇ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗੀਕਰਨ
ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਗਿਣਨ, ਜਾਂ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ: 1, 2, 3, 4, 5, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ { 1,2,3,... } { 1,2,3,... } ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਅੰਡਰਸਕੋਰ (...) ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ, ਬੇਸ਼ੱਕ, ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਟੀਮ ਦੇ ਮੈਂਬਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਵਿੱਚ ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਝੁੰਡ ਵਿੱਚ ਰੁੱਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਸਿਫਰ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ: { 0,1,2,3,... }. { 0,1,2,3,... }.
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਪਰੀਤਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ: { ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,... }. { ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,... }. ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ ਕਿ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਤਿੰਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੈ: ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ, ਸਿਫਰ, ਅਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ। ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ, ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਹਨ।
ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ { m n |mand nare integers and n≠0 }. { m n |mand nare integers and n≠0 }. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਭਿੰਨਾਂ (ਜਾਂ ਭਾਗਫਲ) ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਹਰ ਕਦੇ ਵੀ 0 ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ, ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ, ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ 1 ਦੇ ਹਰ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਭਿੰਨਾਂ ਹਨ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਜਾਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਜੋਂ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ⓐ ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਦਸ਼ਮਲਵ: 15 8 =1.875, 15 8 =1.875, ਜਾਂ
ⓑ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਦਸ਼ਮਲਵ: 4 11 =0.36363636…=0. 36 ¯ 4 11 =0.36363636…=0. 36 ¯
ਅਸੀਂ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਲਿਖਣ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਬਲਾਕ ਉੱਤੇ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਇੱਕ ਲਾਈਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਦੋ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ⓐ7
ⓑ0
ⓒ–8
ਹੱਲ
ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਅਤੇ 1 ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖ ਕੇ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਲਿਖੋ।
ⓐ 7= 7 1 7= 7 1
ⓑ 0= 0 1 0= 0 1
ⓒ −8=− 8 1 −8=− 8 1
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ⓐ11
ⓑ3
ⓒ–4
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਜਾਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ⓐ − 5 7 − 5 7
ⓑ 15 5 15 5
ⓒ 13 25 13 25
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਹਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ⓐ − 5 7 =−0. 714285 ——— , − 5 7 =−0. 714285 ——— , ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਦਸ਼ਮਲਵ
ⓑ 15 5 =3 15 5 =3 (ਜਾਂ 3.0), ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਦਸ਼ਮਲਵ
ⓒ 13 25 =0.52, 13 25 =0.52, ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਦਸ਼ਮਲਵ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ, ਜੋ ਕਿ ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਮਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਜਾਂ ਆਵਰਤੀ ਹੋਣ।
2. ⓐ 68 17 68 17
3. ⓑ 8 13 8 13
4. ⓒ − 17 20 − 17 20
5. ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ
6. ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਕਾਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਸਮੇਂ, ਕਿਸੇ ਨੇ ਇਹ ਖੋਜਿਆ ਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ। ਇੱਕ ਬਿਲਡਰ, ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇਹ ਪਾ ਸਕਦਾ ਸੀ ਕਿ ਇਕਾਈ ਪਾਸਿਆਂ ਵਾਲੇ ਵਰਗ ਦਾ ਵਿਕਰਨ 2 ਜਾਂ 3/2, 3/2 ਨਹੀਂ ਸੀ, ਬਲਕਿ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸੀ। ਜਾਂ ਇੱਕ ਕੱਪੜਾ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇਹ ਵੇਖ ਸਕਦਾ ਸੀ ਕਿ ਕੱਪੜੇ ਦੇ ਗੋਲ ਰੋਲ ਦੀ ਪਰਿਧੀ ਅਤੇ ਵਿਆਸ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ 3 ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਜ਼ਿਆਦਾ ਸੀ, ਪਰ ਫਿਰ ਵੀ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਸੀ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੋ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਇਹ ਕਹਿਣ ਦੇ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 3
8. ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਅਤੇ ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਭੇਦ ਕਰਨਾ
9. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਜਾਂ ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਸਮਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਜਾਂ ਆਵਰਤੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ।
10. ⓐ 25 25
11. ⓑ 33 9 33 9
12. ⓒ 11 11
13. ⓓ 17 34 17 34
14. ⓔ 0.3033033303333… 0.3033033303333…
15. ਹੱਲ
16. ⓐ 25 : 25 : ਇਸਨੂੰ 5 ਵਜੋਂ ਸਰਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। 25 =5। ਇਸ ਲਈ, 25 25 ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਹੈ।
17. ⓑ 33 9 : 33 9 : ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਭਿੰਨ ਹੈ, 33 9 33 9 ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਅੱਗੇ, ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ। 33 9 = 33 11 9 3 = 11 3 =3. 6 ¯ 33 9 = 33 11 9 3 = 11 3 =3. 6 ¯ ਇਸ ਲਈ, 33 9 33 9 ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਵਰਤੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ।
18. ⓒ 11 : 11 11 : 11 ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 11 ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ 11 11 ਨੂੰ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।
19. ⓓ 17 34 : 17 34 : ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਭਿੰਨ ਹੈ, 17 34 17 34 ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਸਰਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ। 17 34 = 17 1 34 2 = 1 2 =0.5 17 34 = 17 1 34 2 = 1 2 =0.5 ਇਸ ਲਈ, 17 34 17 34 ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ।
20. ⓔ 0.3033033303333… 0.3033033303333… ਇੱਕ ਸਮਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਆਵਰਤੀ ਪੈਟਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 3 ਦਾ ਸਮੂਹ ਹਰ ਵਾਰ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਆਵਰਤੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ ਅਤੇ, ਇਸ ਲਈ, ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3
22. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਜਾਂ ਅਤਾਰਕਸ਼ੀਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਸਮਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਜਾਂ ਆਵਰਤੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਹੈ।
23. ⓐ 7 77 7 77
24. ⓑ 81 81
4.27027002700027… 4.27027002700027…
91 13 91 13
39 39
ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਖਿਆ n ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ n ਜਾਂ ਤਾਂ ਪਰਿਮੇਯ (rational) ਹੈ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ (irrational)। ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ। ਪਰਿਮੇਯ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਮਿਲ ਕੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ (integers) ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਰਿਣਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਸਿਫ਼ਰ, ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ। ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਚਿੰਨ੍ਹ (+ ਜਾਂ –) ਅਨੁਸਾਰ ਭਿੰਨਾਂ, ਦਸ਼ਮਲਵਾਂ, ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਿਫ਼ਰ ਨੂੰ ਨਾ ਤਾਂ ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਰਿਣਾਤਮਕ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ (number line) ਉੱਤੇ ਕਲਪਨਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ 0 ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇਕਾਈ ਦੂਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ 0 ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ (ਜਾਂ ਹੋਰ ਮੁੱਢਲੇ ਮੁੱਲ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸਥਿਤੀ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ: ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਸਥਾਨ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ (one-to-one correspondence) ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਦਰਭਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਵਰਗੀਕਰਨ
ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਂ ਤਾਂ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ। ਕੀ ਸੰਖਿਆ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਤ ਹੈ?
− 10 3 − 10 3
5 5
− 289 − 289
−6π −6π
0.615384615384… 0.615384615384…
ਹੱਲ
− 10 3 − 10 3 ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
5 5 ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਇਹ 0 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
− 289 =− 17 2 =−17 − 289 =− 17 2 =−17 ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
−6π −6π ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
0.615384615384… 0.615384615384… ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਦਸ਼ਮਲਵ (repeating decimal) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਪਰਿਮੇਯ ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ। ਇਹ 0 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਜਾਂ ਤਾਂ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ। ਕੀ ਸੰਖਿਆ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਤ ਹੈ?
73 73
ⓑ −11.411411411… −11.411411411…
੧. ੪੭ ੧੯ ੪੭ ੧੯
1. ⓓ − 5 2 − 5 2
6.210735 6.210735
ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਉਪ-ਸਮੂਹਾਂ ਵਜੋਂ
1. ਕੁਦਰਤੀ ਅੰਕਾਂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦਿਆਂ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਡਾ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਿਸਤਾਰਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤੱਕ ਵੇਖੇ ਗਏ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਉਪ-ਸਮੂਹ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਇਹ ਸਬੰਧ ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਵਜੋਂ ਵੇਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2।
1. ਚਿੱਤਰ 2: ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ N: ਪ੍ਰਾਕਿਰਤਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ W: ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ I: ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ Q: ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ Q´: ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ
ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ
ਕੁਦਰਤੀ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਗਿਣਤੀ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅੰਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ: { 1,2,3,... }. { 1,2,3,... }.
ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, ਸਿਫ਼ਰ ਸਮੇਤ, ਪ੍ਰਾਕਿਰਤਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ: { 0,1,2,3,... }. { 0,1,2,3,... }.
ਸੰਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਨੈਗੇਟਿਵ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ: { ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,... }.
ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਅਜਿਹੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ { m n | m ਅਤੇ n ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਅਤੇ n≠0 } ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਉਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਪਰਿਮੇਯ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਅਨੰਤ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ: { h|h ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ }. { h|h ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ }.
1. ਮਿਸਾਲ 5
ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ ਦਾ ਭੇਦ ਕਰਨਾ
1. ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ (N), ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ (W), ਪੂਰਨ ਅੰਕ (I), ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ (Q), ਅਤੇ/ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ (Q′) ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
ⓐ 36 36
8 3 8 3
੧. ੭੩ ੭੩
1. ⓓ −6 −6
3.2121121112… 3.2121121112…
1. ਨਿਰਣਾ
1. ਕਤਾਰ: ਨ | ਵ | ਇ | ਕ | ਕ′
1. ਕਤਾਰ: 36 ਬਰਾਬਰ 36 ਬਰਾਬਰ | X | X | X | X
1. ਸਤਰ: b. 8 3 =2. 6 ¯ 8 3 =2. 6 ¯ | X
2. ਸਤਰ: c. 73 73 | X
3. ਸਤਰ: d. –6 | X | X
4. ਸਤਰ: e. 3.2121121112... | X
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
6. ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਅੰਕ (N), ਪੂਰਨ ਅੰਕ (W), ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ (I), ਪਰਿਮੇਯ ਅੰਕ (Q), ਅਤੇ/ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਅੰਕ (Q′) ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।
7. ⓐ − 35 7 − 35 7
8. ⓑ 0 0
9. ⓒ 169 169
10. ⓓ 24 24
11. ⓔ 4.763763763… 4.763763763…
12. ਸੰਚਾਲਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰਨਾ
13. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਅੰਕ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ 2 ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 4 2 =4⋅4=16। ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਕ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ a n ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅੰਕ ਜਾਂ ਵੇਰੀਏਬਲ a ਨੂੰ n ਵਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
14. ਇਸ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, a n ਨੂੰ a ਦੀ nਵੀਂ ਸ਼ਕਤੀ, ਜਾਂ a ਨੂੰ n ਵਾਰ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਨੂੰ ਆਧਾਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ n ਨੂੰ ਘਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪਦ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਸੰਚਾਲਕਾਂ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ, + ਜੋੜ, – ਘਟਾਓ, × ਗੁਣਾ, ÷ ਭਾਗ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 24+6⋅ 2 3 − 4 2 ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
15. ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਚਾਲਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮਨਮਾਨੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਅਸੀਂ ਸੰਚਾਲਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਹੈ।
16. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਅੰਕਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਸ਼ਟਕ ( ), ਬਰੈਕਟਾਂ [ ], ਅਤੇ ਕਰਲੀ ਬ੍ਰੇਸਾਂ { } ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਆਉਣ ਵਾਲੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੀਜ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਵੇ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਭਿੰਨ ਬਾਰ, ਰੈਡੀਕਲ, ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਬਾਰਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਕ ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਸਮੂਹਿਕ ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ।
17. ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਜਾਂ ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸੰਬੋਧਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਕਰੋ।
18. ਆਓ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ।
19. ਕੋਈ ਸਮੂਹਿਕ ਪ੍ਰਤੀਕ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਜਾਂ ਰੈਡੀਕਲ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਕ 4 ਨੂੰ 2 ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 4 2 ਨੂੰ 16 ਵਜੋਂ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
20. ਅੱਗੇ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕਰੋ।
21. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਕਰੋ।
22. ਇਸ ਲਈ, 24+6⋅ 2 3 − 4 2 =12।
23. ਕੁਝ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ, ਸੰਚਾਲਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਰਾਹੀਂ ਕਈ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੋਸ਼ਟਕ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਕੋਸ਼ਟਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ ਪਵੇ। ਸੰਚਾਲਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਨਾ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਅਕਤੀ ਇੱਕੋ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕੋ ਨਤੀਜਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੇਗਾ।
24. ਸੰਚਾਲਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ
Operations in mathematical expressions must be evaluated in a systematic order, which can be simplified using the acronym PEMDAS:
P(arentheses)E(xponents)M(ultiplication) and D(ivision)A(ddition) and S(ubtraction)
How To
Given a mathematical expression, simplify it using the order of operations.
Step 1. Simplify any expressions within grouping symbols.
Step 2. Simplify any expressions containing exponents or radicals.
Step 3. Perform any multiplication and division in order, from left to right.
Step 4. Perform any addition and subtraction in order, from left to right.
Example 6
Using the Order of Operations
Use the order of operations to evaluate each of the following expressions.
ⓐ ( 3⋅2 ) 2 −4( 6+2 ) ( 3⋅2 ) 2 −4( 6+2 )
ⓑ 5 2 −4 7 − 11−2 5 2 −4 7 − 11−2
ⓒ 6−| 5−8 |+3( 4−1 ) 6−| 5−8 |+3( 4−1 )
ⓓ 14−3⋅2 2⋅5− 3 2 14−3⋅2 2⋅5− 3 2
ⓔ 7( 5⋅3 )−2[ ( 6−3 )− 4 2 ]+1 7( 5⋅3 )−2[ ( 6−3 )− 4 2 ]+1
Solution
ⓐ (3⋅2)2−4(6+2) = (6)2−4(8) Simplify parentheses. = 36−4(8) Simplify exponent. = 36−32 Simplify multiplication. = 4 Simplify subtraction. (3⋅2)2−4(6+2) = (6)2−4(8) Simplify parentheses. = 36−4(8) Simplify exponent. = 36−32 Simplify multiplication. = 4 Simplify subtraction.
ⓑ 52-47−11−2 = 52−47−9 Simplify grouping symbols (radical). = 52−47−3 Simplify radical. = 25−47−3 Simplify exponent. = 217−3 Simplify subtraction in numerator. = 3−3 Simplify division. = 0 Simplify subtraction. 52-47−11−2 = 52−47−9 Simplify grouping symbols (radical). = 52−47−3 Simplify radical. = 25−47−3 Simplify exponent. = 217−3 Simplify subtraction in numerator. = 3−3 Simplify division. = 0 Simplify subtraction. Note that in the first step, the radical is treated as a grouping symbol, like parentheses. Also, in the third step, the fraction bar is considered a grouping symbol so the numerator is considered to be grouped.
ⓒ 6−|5−8|+3|4−1| = 6−|−3|+3(3) Simplify inside grouping symbols. = 6-(3)+3(3) Simplify absolute value. = 6-3+9 Simplify multiplication. = 12 Simplify addition. 6−|5−8|+3|4−1| = 6−|−3|+3(3) Simplify inside grouping symbols. = 6-(3)+3(3) Simplify absolute value. = 6-3+9 Simplify multiplication. = 12 Simplify addition.
ⓓ 14−3⋅22⋅5−32 = 14−3⋅22⋅5−9 Simplify exponent. = 14−610−9 Simplify products. = 81 Simplify differences. = 8 Simplify quotient. 14−3⋅22⋅5−32 = 14−3⋅22⋅5−9 Simplify exponent. = 14−610−9 Simplify products. = 81 Simplify differences. = 8 Simplify quotient. In this example, the fraction bar separates the numerator and denominator, which we simplify separately until the last step.
ⓔ 7(5⋅3)−2[ (6−3)−42 ]+1 = 7(15)−2[ (3)− 42 ]+1 Simplify inside parentheses. = 7(15)−2(3−16)+1 Simplify exponent. = 7(15)−2(−13)+1 Subtract. = 105+26+1 Multiply. = 132 Add. 7(5⋅3)−2[ (6−3)−42 ]+1 = 7(15)−2[ (3)− 42 ]+1 Simplify inside parentheses. = 7(15)−2(3−16)+1 Simplify exponent. = 7(15)−2(−13)+1 Subtract. = 105+26+1 Multiply. = 132 Add.
Try It #6
Use the order of operations to evaluate each of the following expressions.
੫੨ − ੪੨ +੭ ( ੫−੪ ) ² ੫² − ੪² +੭ ( ੫−੪ ) ²
੧ + ੭⋅੫ − ੮⋅੪ ੯−੬
|੧.੮−੪.੩| + ੦.੪ ੧੫+੧੦
¹⁄₂ [ ੫⋅੩² − ੭² ] + ¹⁄₃ ⋅ ੯²
[ ( ੩−੮ ) ² −੪ ] − ( ੩−੮ )
ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਧਰਮ
ਕੁਝ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਲਈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਕੰਮਾਂ ਅਸੀਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕੁਝ ਸੰਚਾਲਨਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕੋਈ ਮਾਇਨੇ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ, ਪਰ ਦੂਜੇ ਸੰਚਾਲਨਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਾਇਨੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸੱਜਾ ਜੁੱਤਾ ਪਹਿਲਾਂ ਪਾਈਏ ਜਾਂ ਖੱਬਾ ਜਾਂ ਇਸਦੇ ਉਲਟ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਮਾਇਨੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜੁੱਤੇ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਮੋਜ਼ੇ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸੰਚਾਲਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸੱਚ ਹੈ।
ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣਧਰਮ
ਜੋੜ ਦਾ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣਧਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਬਿਨਾਂ ਜੋੜ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤੇ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਗੁਣਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਗੁਣਧਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਬਿਨਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤੇ।
ਦੁਬਾਰਾ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਨਾ ਤਾਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਭਾਗ ਕ੍ਰਮ-ਬਦਲੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ੧੭−੫ ੧੭−੫ ੫−੧੭ ੫−੧੭ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ੨੦÷੫ ≠ ੫÷੨੦ ੨੦÷੫≠੫÷੨੦।
ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣਧਰਮ
ਗੁਣਨ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣਧਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ। ਅਸੀਂ ਗਣਨਾ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਮੂਹਿਕਰਨ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹਿਲਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਜੋੜ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣਧਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਢੰਗਾਂ ਨਾਲ ਸਮੂਹਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਬਿਨਾਂ ਜੋੜ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤੇ।
ਇਹ ਗੁਣਧਰਮ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਵੇਲੇ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਕੀ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਭਾਗ ਸਹਿਯੋਗੀ ਹਨ? ਇਹਨਾਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਨਾ ਤਾਂ ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਭਾਗ ਸਹਿਯੋਗੀ ਹਨ।
ਵੰਡ ਗੁਣਧਰਮ
ਵੰਡ ਗੁਣਧਰਮ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਦਾ ਜੋੜ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ, ਗੁਣਕ ਦਾ ਜੋੜ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਗੁਣਧਰਮ ਜੋੜ ਅਤੇ ਗੁਣਨ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ (ਅਤੇ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇਕਲੌਤਾ ਗੁਣਧਰਮ ਹੈ)। ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ੪ ਸਮੂਹਿਕਰਨ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ੪ ਨੂੰ ੧੨ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ੪ ਨੂੰ –੭ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਗੁਣ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਸਟੀਕ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੁਣਾ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਵਿਤਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਤਰਿਤ ਗੁਣ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅੰਤਰ 12−( 5+3 ) ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। 12 ਅਤੇ ( 5+3 ) ਦੇ ਦੋ ਪਦਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ( 5+3 ) ਦੁਆਰਾ ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਉਲਟ ਦੇ ਜੋੜ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ( 5+3 ) ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ, −1 ਨੂੰ ਵਿਤਰਿਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਹ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਜੋੜ ਲਈ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਨਤੀਜਾ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਪਦ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਇਸ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਆਖਰੀ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਤਤਸਮ ਗੁਣ
ਜੋੜ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੰਖਿਆ, ਜਿਸਨੂੰ ਜੋੜ ਤਤਸਮ (0) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਜੋੜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਗੁਣਾ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੰਖਿਆ, ਜਿਸਨੂੰ ਗੁਣਾ ਤਤਸਮ (1) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ( −6 )+0=−6 ਅਤੇ 23⋅1=23 ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਗੁਣਾਂ ਲਈ ਕੋਈ ਅਪਵਾਦ ਨਹੀਂ ਹਨ; ਇਹ ਹਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਲਈ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ 0 ਅਤੇ 1 ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਵਿਲੋਮ ਗੁਣ
ਜੋੜ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਹਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੰਖਿਆ, ਜਿਸਨੂੰ ਜੋੜ ਵਿਲੋਮ (ਜਾਂ ਉਲਟ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, (−a) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਜੋੜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋੜ ਤਤਸਮ, 0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ a=−8, ਤਾਂ ਜੋੜ ਵਿਲੋਮ 8 ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ( −8 )+8=0।
ਗੁਣਾ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਗੁਣ 0 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 0 ਦਾ ਉਲਟ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਗੁਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਹਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ, ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੰਖਿਆ, ਜਿਸਨੂੰ ਗੁਣਾ ਵਿਲੋਮ (ਜਾਂ ਉਲਟ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, 1 a ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਾ ਤਤਸਮ, 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ a=− 2 3 , ਤਾਂ ਉਲਟ, 1 a ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ, − 3 2 ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a, b, ਅਤੇ c ਲਈ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਤਹ: ਜੋੜ | ਗੁਣਾ
ਸਤਹ: ਕ੍ਰਮ ਬਦਲਣ ਯੋਗ ਗੁਣ | a+b=b+a | a⋅b=b⋅a
ਸਤਹ: ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ | a+( b+c )=( a+b )+c | a( bc )=( ab )c
ਸਤਹ: ਵਿਤਰਿਤ ਗੁਣ | a⋅( b+c )=a⋅b+a⋅c
ਸਤਹ: ਤਤਸਮ ਗੁਣ | ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਜੋੜ ਤਤਸਮ, 0 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ a+0=a | ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਗੁਣਾ ਤਤਸਮ, 1 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਲਈ a⋅1=a
ਸਤਹ: ਵਿਲੋਮ ਗੁਣ | ਹਰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜ ਵਿਲੋਮ, ਜਾਂ ਉਲਟ, −a ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ a+( −a )=0 | ਹਰ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ a ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਾ ਵਿਲੋਮ, ਜਾਂ ਉਲਟ, 1 a ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ a⋅( 1 a )=1
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
3⋅6+3⋅4 3⋅6+3⋅4
( 5+8 )+( −8 ) ( 5+8 )+( −8 )
6−( 15+9 ) 6−( 15+9 )
4 7 ⋅( 2 3 ⋅ 7 4 ) 4 7 ⋅( 2 3 ⋅ 7 4 )
100⋅[ 0.75+( −2.38 ) ] 100⋅[ 0.75+( −2.38 ) ]
ਹੱਲ
3⋅6+3⋅4 = 3⋅(6+4) ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ। = 3⋅10 ਸਰਲ ਕਰੋ। = 30 ਸਰਲ ਕਰੋ। 3⋅6+3⋅4 = 3⋅(6+4) ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ। = 3⋅10 ਸਰਲ ਕਰੋ। = 30 ਸਰਲ ਕਰੋ।
(5+8)+(−8) = 5+[8+(−8)] ਜੋੜ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ। = 5+0 ਜੋੜ ਦਾ ਉਲਟ ਗੁਣ। = 5 ਜੋੜ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ। (5+8)+(−8) = 5+[8+(−8)] ਜੋੜ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ। = 5+0 ਜੋੜ ਦਾ ਉਲਟ ਗੁਣ। = 5 ਜੋੜ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ।
6−(15+9) = 6+[(−15)+(−9)] ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ। = 6+(−24) ਸਰਲ ਕਰੋ। = −18 ਸਰਲ ਕਰੋ। 6−(15+9) = 6+[(−15)+(−9)] ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ। = 6+(−24) ਸਰਲ ਕਰੋ। = −18 ਸਰਲ ਕਰੋ।
47⋅(23⋅74) = 47⋅(74⋅23) ਗੁਣਾ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਬਦਲਣ ਦਾ ਗੁਣ। = (47⋅74)⋅23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ। = 1⋅23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਉਲਟ ਗੁਣ। = 23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ। 47⋅(23⋅74) = 47⋅(74⋅23) ਗੁਣਾ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਬਦਲਣ ਦਾ ਗੁਣ। = (47⋅74)⋅23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਗੁਣ। = 1⋅23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਉਲਟ ਗੁਣ। = 23 ਗੁਣਾ ਦਾ ਤਤਸਮ ਗੁਣ।
100⋅[0.75+(−2.38)] = 100⋅0.75+100⋅(−2.38) ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ। = 75+(−238) ਸਰਲ ਕਰੋ। = −163 ਸਰਲ ਕਰੋ। 100⋅[0.75+(−2.38)] = 100⋅0.75+100⋅(−2.38) ਵਿਤਰਕ ਗੁਣ। = 75+(−238) ਸਰਲ ਕਰੋ। = −163 ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਗੁਣ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
( − 23 5 )⋅[ 11⋅( − 5 23 ) ] ( − 23 5 )⋅[ 11⋅( − 5 23 ) ]
5⋅( 6.2+0.4 ) 5⋅( 6.2+0.4 )
18−( 7−15 ) 18−( 7−15 )
17 18 +[ 4 9 +( − 17 18 ) ] 17 18 +[ 4 9 +( − 17 18 ) ]
6⋅( −3 )+6⋅3 6⋅( −3 )+6⋅3
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਜਿਹੜੇ ਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇਖੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ x+5, 4 3 π r 3 , x+5, 4 3 π r 3 , ਜਾਂ 2 m 3 n 2 ਵਰਗੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 2 m 3 n 2 । x+5 ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, x+5, 5 ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਬਦਲਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ x ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। (ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦਾ ਨਾਮਕਰਨ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਜਾਂ ਮੂਲ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰੋ।) ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੈ ਜੋ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੀਆਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਘਾਤ ਸੰਕੇਤ ਦੇ ਕੁਝ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕੋ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਲਿਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਵਿਵਹਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਘਾਤ ਸਾਨੂੰ ਅਧਾਰ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਇਹ ਦੱਸਦੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਅਧਾਰ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰਾਂਕ ਜਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੋਣ।
ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ। ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਫਿਰ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਜੇਕਰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
8. ਮਿਸਾਲ 8
2. ਅਲਜਬਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ
3. ਹਰ ਅਲਜਬਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਅਤੇ ਚੱਲ-ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
4. ⓐ x + 5
5. ⓑ 4 3 π r 3
6. ⓒ 2 m 3 n 2
7. ਹੱਲ
8. ਕਤਾਰ: ਸਥਿਰ ਅੰਕ | ਚੱਲ-ਅੰਕ
9. ਕਤਾਰ: ਏ. x + 5 | 5 | x
10. ਕਤਾਰ: ਬੀ. 4 3 π r 3 | 4 3 ,π | r
11. ਕਤਾਰ: ਸੀ. 2 m 3 n 2 | 2 | m,n
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
13. ਹਰ ਅਲਜਬਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਅਤੇ ਚੱਲ-ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
14. ⓐ 2πr( r+h )
15. ⓑ2(L + W)
16. ⓒ 4 y 3 +y
17. ਮਿਸਾਲ 9
18. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
19. x ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ 2x−7 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
20. ⓐ x=0
21. ⓑ x=1
22. ⓒ x= 1 2
23. ⓓ x=−4
24. ਹੱਲ
ⓐ Substitute 0 for x. x. 2x−7 = 2(0)−7 = 0−7 = −7 2x−7 = 2(0)−7 = 0−7 = −7
ⓑSubstitute 1 for x. x. 2x−7 = 2(1)−7 = 2−7 = −5 2x−7 = 2(1)−7 = 2−7 = −5
ⓒ Substitute 1 2 1 2 for x. x. 2x−7 = 2(12)−7 = 1−7 = −6 2x−7 = 2(12)−7 = 1−7 = −6
ⓓSubstitute −4 −4 for x. x. 2x−7 = 2(−4)−7 = −8−7 = −15 2x−7 = 2(−4)−7 = −8−7 = −15
Try It #9
Evaluate the expression 11−3y 11−3y for each value for y.
ⓐ y=2 y=2
ⓑ y=0 y=0
ⓒ y= 2 3 y= 2 3
ⓓ y=−5 y=−5
Example 10
Evaluating Algebraic Expressions
Evaluate each expression for the given values.
ⓐ x+5 x+5 for x=−5 x=−5
ⓑ t 2t−1 t 2t−1 for t=10 t=10
ⓒ 4 3 π r 3 4 3 π r 3 for r=5 r=5
ⓓ a+ab+b a+ab+b for a=11,b=−8 a=11,b=−8
ⓔ 2 m 3 n 2 2 m 3 n 2 for m=2,n=3 m=2,n=3
Solution
ⓐ Substitute −5 −5 for x. x. x+5 = (−5)+5 = 0 x+5 = (−5)+5 = 0
ⓑ Substitute 10 for t. t. t2t−1 = (10)2(10)−1 = 1020−1 = 1019 t2t−1 = (10)2(10)−1 = 1020−1 = 1019
ⓒ Substitute 5 for r. r. 43πr3 = 43π(5)3 = 43π(125) = 5003 π 43πr3 = 43π(5)3 = 43π(125) = 5003 π
ⓓ Substitute 11 for a a and –8 for b. b. a+ab+b = (11)+(11)(−8)+(−8) = 11−88−8 = −85 a+ab+b = (11)+(11)(−8)+(−8) = 11−88−8 = −85
ⓔ Substitute 2 for m m and 3 for n. n. 2m3n2 = 2(2)3(3)2 = 2(8)(9) = 144 = 12 2m3n2 = 2(2)3(3)2 = 2(8)(9) = 144 = 12
Try It #10
Evaluate each expression for the given values.
ⓐ y+3 y−3 y+3 y−3 for y=5 y=5
ⓑ 7−2t 7−2t for t=−2 t=−2
ⓒ 1 3 π r 2 1 3 π r 2 for r=11 r=11
ⓓ ( p 2 q ) 3 ( p 2 q ) 3 for p=−2,q=3 p=−2,q=3
ⓔ 4( m−n )−5( n−m ) 4( m−n )−5( n−m ) for m= 2 3 ,n= 1 3 m= 2 3 ,n= 1 3
Formulas
An equation is a mathematical statement indicating that two expressions are equal. The expressions can be numerical or algebraic. The equation is not inherently true or false, but only a proposition. The values that make the equation true, the solutions, are found using the properties of real numbers and other results. For example, the equation 2x+1=7 2x+1=7 has the solution of 3 because when we substitute 3 for x x in the equation, we obtain the true statement 2( 3 )+1=7. 2( 3 )+1=7.
A formula is an equation expressing a relationship between constant and variable quantities. Very often, the equation is a means of finding the value of one quantity (often a single variable) in terms of another or other quantities. One of the most common examples is the formula for finding the area A A of a circle in terms of the radius r r of the circle: A=π r 2 . A=π r 2 . For any value of r, r, the area A A can be found by evaluating the expression π r 2 . π r 2 .
Example 11
Using a Formula
A right circular cylinder with radius r r and height h h has the surface area S S (in square units) given by the formula S=2πr( r+h ). S=2πr( r+h ). See Figure 3. Find the surface area of a cylinder with radius 6 in. and height 9 in. Leave the answer in terms of π. π.
Figure 3: Right circular cylinder
Solution
Evaluate the expression 2πr( r+h ) 2πr( r+h ) for r=6 r=6 and h=9. h=9.
The surface area is 180π 180π square inches.
Try It #11
A photograph with length L and width W is placed in a mat of width 8 centimeters (cm). The area of the mat (in square centimeters, or cm2) is found to be A=( L+16 )( W+16 )−L⋅W. A=( L+16 )( W+16 )−L⋅W. See Figure 4. Find the area of a mat for a photograph with length 32 cm and width 24 cm.
Simplifying Algebraic Expressions
Sometimes we can simplify an algebraic expression to make it easier to evaluate or to use in some other way. To do so, we use the properties of real numbers. We can use the same properties in formulas because they contain algebraic expressions.
Example 12
Simplifying Algebraic Expressions
Simplify each algebraic expression.
ⓐ 3x−2y+x−3y−7 3x−2y+x−3y−7
ⓑ 2r−5( 3−r )+4 2r−5( 3−r )+4
ⓒ ( 4t− 5 4 s )−( 2 3 t+2s ) ( 4t− 5 4 s )−( 2 3 t+2s )
ⓓ 2mn−5m+3mn+n 2mn−5m+3mn+n
Solution
ⓐ 3x−2y+x−3y−7 = 3x+x−2y−3y−7 Commutative property of addition. = 4x−5y−7 Simplify. 3x−2y+x−3y−7 = 3x+x−2y−3y−7 Commutative property of addition. = 4x−5y−7 Simplify.
ⓑ 2r−5(3−r)+4 = 2r−15+5r+4 Distributive property. = 2r+5r−15+4 Commutative property of addition. = 7r−11 Simplify. 2r−5(3−r)+4 = 2r−15+5r+4 Distributive property. = 2r+5r−15+4 Commutative property of addition. = 7r−11 Simplify.
ⓒ ( 4t− 5 4 s )−( 2 3 t+2s ) = 4t−54s−23t−2s Distributive property. = 4t−23t−54s−2s Commutative property of addition. = 103t− 134s Simplify. ( 4t− 5 4 s )−( 2 3 t+2s ) = 4t−54s−23t−2s Distributive property. = 4t−23t−54s−2s Commutative property of addition. = 103t− 134s Simplify.
ⓓ 2mn−5m+3mn+n = 2mn+3mn−5m+n Commutative property of addition. = 5mn−5m+n Simplify. 2mn−5m+3mn+n = 2mn+3mn−5m+n Commutative property of addition. = 5mn−5m+n Simplify.
Try It #12
Simplify each algebraic expression.
ⓐ 2 3 y−2( 4 3 y+z ) 2 3 y−2( 4 3 y+z )
ⓑ 5 t −2− 3 t +1 5 t −2− 3 t +1
ⓒ 4p( q−1 )+q( 1−p ) 4p( q−1 )+q( 1−p )
ⓓ 9r−( s+2r )+( 6−s ) 9r−( s+2r )+( 6−s )
Example 13
Simplifying a Formula
A rectangle with length L L and width W W has a perimeter P P given by P=L+W+L+W. P=L+W+L+W. Simplify this expression.
Solution
Try It #13
If the amount P P is deposited into an account paying simple interest r r for time t, t, the total value of the deposit A A is given by A=P+Prt. A=P+Prt. Simplify the expression. (This formula will be explored in more detail later in the course.)
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with real numbers.
Simplify an Expression.
Evaluate an Expression 1.
Evaluate an Expression 2.
Verbal
Is 2 2 an example of a rational terminating, rational repeating, or irrational number? Tell why it fits that category.
What is the order of operations? What acronym is used to describe the order of operations, and what does it stand for?
What do the Associative Properties allow us to do when following the order of operations? Explain your answer.
Numeric
For the following exercises, simplify the given expression.
10+2×( 5−3 ) 10+2×( 5−3 )
6÷2−( 81÷ 3 2 ) 6÷2−( 81÷ 3 2 )
18+ ( 6−8 ) 3 18+ ( 6−8 ) 3
−2× [ 16÷ ( 8−4 ) 2 ] 2 −2× [ 16÷ ( 8−4 ) 2 ] 2
4−6+2×7 4−6+2×7
3( 5−8 ) 3( 5−8 )
4+6−10÷2 4+6−10÷2
12÷( 36÷9 )+6 12÷( 36÷9 )+6
( 4+5 ) 2 ÷3 ( 4+5 ) 2 ÷3
3−12×2+19 3−12×2+19
2+8×7÷4 2+8×7÷4
5+( 6+4 )−11 5+( 6+4 )−11
9−18÷ 3 2 9−18÷ 3 2
14×3÷7−6 14×3÷7−6
9−( 3+11 )×2 9−( 3+11 )×2
6+2×2−1 6+2×2−1
64÷( 8+4×2 ) 64÷( 8+4×2 )
9+4( 2 2 ) 9+4( 2 2 )
( 12÷3×3 ) 2 ( 12÷3×3 ) 2
25÷ 5 2 −7 25÷ 5 2 −7
( 15−7 )×( 3−7 ) ( 15−7 )×( 3−7 )
2×4−9( −1 ) 2×4−9( −1 )
4 2 −25× 1 5 4 2 −25× 1 5
12( 3−1 )÷6 12( 3−1 )÷6
Algebraic
For the following exercises, evaluate the expression using the given value of the variable.
8( x+3 )–64 8( x+3 )–64 for x=2x=2
4y+8–2y 4y+8–2y for y=3 y=3
( 11a+3 )−18a+4 ( 11a+3 )−18a+4 for a=–2 a=–2
4z−2z( 1+4 )–36 4z−2z( 1+4 )–36 for z=5 z=5
4y ( 7−2 ) 2 +200 4y ( 7−2 ) 2 +200 for y=–2 y=–2
− ( 2x ) 2 +1+3 − ( 2x ) 2 +1+3 for x=2 x=2
8( 2+4 )−15b+b 8( 2+4 )−15b+b for b=–3 b=–3
2( 11c−4 )–36 2( 11c−4 )–36 for c=0 c=0
4( 3−1 )x–4 4( 3−1 )x–4 for x=10 x=10
1 4 ( 8w− 4 2 ) 1 4 ( 8w− 4 2 ) for w=1 w=1
For the following exercises, simplify the expression.
4x+x( 13−7 ) 4x+x( 13−7 )
2y− ( 4 ) 2 y−11 2y− ( 4 ) 2 y−11
a 2 3 ( 64 )−12a÷6 a 2 3 ( 64 )−12a÷6
8b−4b( 3 )+1 8b−4b( 3 )+1
5l÷3l×( 9−6 ) 5l÷3l×( 9−6 )
7z−3+z× 6 2 7z−3+z× 6 2
4×3+18x÷9−12 4×3+18x÷9−12
9( y+8 )−27 9( y+8 )−27
( 9 6 t−4 )2 ( 9 6 t−4 )2
6+12b−3×6b 6+12b−3×6b
18y−2( 1+7y ) 18y−2( 1+7y )
( 4 9 ) 2 ×27x ( 4 9 ) 2 ×27x
8( 3−m )+1( −8 ) 8( 3−m )+1( −8 )
9x+4x( 2+3 )−4( 2x+3x ) 9x+4x( 2+3 )−4( 2x+3x )
5 2 −4( 3x ) 5 2 −4( 3x )
Real-World Applications
For the following exercises, consider this scenario: Fred earns $40 at the community garden. He spends $10 on a streaming subscription, puts half of what is left in a savings account, and gets another $5 for walking his neighbor’s dog.
Write the expression that represents the number of dollars Fred keeps (and does not put in his savings account). Remember the order of operations.
How much money does Fred keep?
For the following exercises, solve the given problem.
According to the U.S. Mint, the diameter of a quarter is 0.955 inches. The circumference of the quarter would be the diameter multiplied by π. π. Is the circumference of a quarter a whole number, a rational number, or an irrational number?
Jessica and her roommate, Adriana, have decided to share a change jar for joint expenses. Jessica put her loose change in the jar first, and then Adriana put her change in the jar. We know that it does not matter in which order the change was added to the jar. What property of addition describes this fact?
For the following exercises, consider this scenario: There is a mound of g g pounds of gravel in a quarry. Throughout the day, 400 pounds of gravel is added to the mound. Two orders of 600 pounds are sold and the gravel is removed from the mound. At the end of the day, the mound has 1,200 pounds of gravel.
Write the equation that describes the situation.
Solve for g.
For the following exercise, solve the given problem.
Ramon runs the marketing department at their company. Their department gets a budget every year, and every year, they must spend the entire budget without going over. If they spend less than the budget, then the department gets a smaller budget the following year. At the beginning of this year, Ramon got $2.5 million for the annual marketing budget. They must spend the budget such that 2,500,000−x=0. 2,500,000−x=0. What property of addition tells us what the value of x must be?
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to solve for x. Round the answers to the nearest hundredth.
0.5 ( 12.3 ) 2 −48x= 3 5 0.5 ( 12.3 ) 2 −48x= 3 5
( 0.25−0.75 ) 2 x−7.2=9.9 ( 0.25−0.75 ) 2 x−7.2=9.9
Extensions
If a whole number is not a natural number, what must the number be?
Determine whether the statement is true or false: The multiplicative inverse of a rational number is also rational.
Determine whether the statement is true or false: The product of a rational and irrational number is always irrational.
Determine whether the simplified expression is rational or irrational: −18−4( 5 )( −1 ) . −18−4( 5 )( −1 ) .
Determine whether the simplified expression is rational or irrational: −16+4( 5 )+5 . −16+4( 5 )+5 .
The division of two natural numbers will always result in what type of number?
What property of real numbers would simplify the following expression: 4+7(x−1) ? 4+7(x−1) ?