ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਆਵਰਤੀ ਫਲਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੁਹਰਾਈ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਜਿਹਾ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ ਕਾਲ (period) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੂਲ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਕਾਲ 2π ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 2π।
sin x ਫਲਨ ਵਿਖਮ (odd) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਸਮਰੂਪ (symmetric) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। cos x ਫਲਨ ਸਮ (even) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫਲਨ (sinusoidal function) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫਲਨ ਦੇ ਆਮ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ, ਕਾਲ P = 2π / |B| ਹੁੰਦਾ ਹੈ। P = 2π / |B|। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫਲਨ ਦੇ ਆਮ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ, |A| ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ (amplitude) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ |A| > 1, ਤਾਂ ਫਲਨ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜੇਕਰ |A| < 1, ਤਾਂ ਫਲਨ ਸੰਕੁਚਿਤ (compressed) ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫਲਨ ਦੇ ਆਮ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ C/B ਦਾ ਮੁੱਲ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ (phase shift) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫਲਨ ਦੇ ਆਮ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ D ਦਾ ਮੁੱਲ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ (midline) ਤੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ (vertical shift) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੂਪਾਂ ਦੇ ਸੁਮੇਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫਲਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਕਾਲ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, ਕਾਲ, ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ (horizontal shift) ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11, ਉਦਾਹਰਨ 12, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 13 ਦੇਖੋ।
ਟੈਨਜੈਂਟ (tangent) ਫਲਨ ਦਾ ਕਾਲ π ਹੁੰਦਾ ਹੈ। π।
f(x) = A tan(Bx-C) + D ਇੱਕ ਟੈਨਜੈਂਟ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ/ਯਾ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ/ਸੰਕੁਚਨ ਅਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 2, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਸੈਕੈਂਟ (secant) ਅਤੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ (cosecant) ਦੋਵੇਂ ਆਵਰਤੀ ਫਲਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਕਾਲ 2π ਹੁੰਦਾ ਹੈ। 2π। f(x) = A sec(Bx-C) + D ਇੱਕ ਸ਼ਿਫਟਿਡ, ਸੰਕੁਚਿਤ, ਅਤੇ/ਯਾ ਖਿੱਚਿਆ ਹੋਇਆ ਸੈਕੈਂਟ ਫਲਨ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
f(x) = A csc(Bx-C) + D ਇੱਕ ਸ਼ਿਫਟਿਡ, ਸੰਕੁਚਿਤ, ਅਤੇ/ਯਾ ਖਿੱਚਿਆ ਹੋਇਆ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫਲਨ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ (cotangent) ਫਲਨ ਦਾ ਕਾਲ π ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 0, ±π, ±2π,... ਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ (vertical asymptotes) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। 0, ±π, ±2π,...
ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਦੀ ਰੇਂਜ (−∞, ∞) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਲਨ ਆਪਣੀ ਰੇਂਜ ਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ± π/2, ± 3π/2,... ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ± π/2, ± 3π/2,...
f(x) = A cot(Bx-C) + D ਇੱਕ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ/ਯਾ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ/ਸੰਕੁਚਨ ਅਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫਲਨਾਂ (trigonometric functions) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਉਲਟਾ ਫਲਨ (inverse function) ਉਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਫਲਨ ਨੂੰ "ਉਲਟਾ" ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਲਟੇ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ (domain) ਅਸਲ ਫਲਨ ਦੀ ਰੇਂਜ (range) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਲਟੇ ਫਲਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਅਸਲ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫਲਨ ਆਪਣੇ ਕੁਦਰਤੀ ਡੋਮੇਨਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ (one-to-one) ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਉਲਟੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣੀ ਫਲਨ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
1. ਕਿਸੇ ਵੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ f(x) ਲਈ, ਜੇਕਰ x = f⁻¹(y), ਤਾਂ f(x) = y। ਪ੍ਰੰਤੂ, f(x) = y ਕੇਵਲ x = f⁻¹(y) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ x, f ਦੇ ਸੀਮਤ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
2. ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣ, ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, π/4 = tan⁻¹(1) ਅਤੇ π/6 = sin⁻¹(1/2)। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
3. ਇੱਕ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ, ਮੂਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਸੀਮਤ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਕੋਣ ਵਾਪਸ ਕਰੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
4. ਉਲਟ ਫਲਨ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਕੋਣ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਣ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
5. ਫਲਨ ਸੰਯੋਜਨ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅੰਦਰਲਾ ਫਲਨ ਇੱਕ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਹੀ ਵਿਅੰਜਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, sin(cos⁻¹(x)) = √(1-x²)। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
6. ਜੇਕਰ ਅੰਦਰਲਾ ਫਲਨ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਵ ਸੰਯੋਜਨ sin⁻¹(cosx) = π/2 - x ਹਨ ਜੇਕਰ 0 ≤ x ≤ π ਅਤੇ cos⁻¹(sinx) = π/2 - x ਜੇਕਰ -π/2 ≤ x ≤ π/2। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
7. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਨਾਲ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
8. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਨਾਲ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਹਾਇਤਾ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।