ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਮੁੜ-ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਰਬਸਮਤਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਨਾਲ ਇਸ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ ਸਰਬਸਮਤਾ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਸਰਬਸਮਤਾ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਸਰਬਸਮਤਾ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਕਸਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਰਬਸਮਤਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਸਰਬਸਮਤਾ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਅਲਜਬਰਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਅਲਜਬਰਿਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਪਾਠ ਵਿੱਚ ਹਰ ਥਾਂ ਅਲਜਬਰਿਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਗਣਿਤ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਨਿਯਮਾਂ ਦਾ ਗਠਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਤਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ, ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਘਟਾਓ ਦਾ ਸੂਤਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ, ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਤਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਸਾਈਨ, ਪਹਿਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਘਟਾਓ ਦਾ ਸੂਤਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਸਾਈਨ, ਪਹਿਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚੋਂ, ਪਹਿਲੇ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਦਾ ਸੂਤਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ, ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ 1 ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਘਟਾਓ ਦਾ ਸੂਤਰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ, ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ 1 ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ, ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕਈ ਜੋੜਾਂ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਸਹਿ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਪੂਰਕ ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ: ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਜੋੜ ਸੂਤਰਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਰਿਡਕਸ਼ਨ ਸੂਤਰ ਕੈਲਕੂਲਸ ਵਿੱਚ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਦ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਹਾਫ-ਐਂਗਲ ਸੂਤਰ ਸਾਨੂੰ ਅੱਧੇ-ਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਭਾਵੇਂ ਅਸਲ ਕੋਣ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਨਾ। ਉਦਾਹਰਨ 7, ਉਦਾਹਰਨ 8, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੀਆਂ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਅਤੇ ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਜਾਂ ਅੰਤਰਾਂ ਵਜੋਂ ਮੁੜ-ਲਿਖਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 2, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਨਫਲ-ਤੋਂ-ਜੋੜ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਤੋਂ ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ-ਲਿਖਣ ਲਈ ਜੋੜ-ਤੋਂ-ਗੁਣਨਫਲ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
1. ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਅਕਸਰ ਸੌਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
2. ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸੂਤਰਾਂ ਨਾਲ ਜਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਤਸਦੀਕ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਛਾਣ ਦੀ ਤਸਦੀਕ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪਾਸੇ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਮੁੜ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਵਿੱਚ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਨਹੀਂ ਹੋ ਜਾਂਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
3. ਰੇਖੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪੈਟਰਨਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ, ਦੋਘਾਤੀ ਰੂਪ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਜੋ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਨੁਕੂਲ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 2, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
4. ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ (unit circle) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਜਾਂ ਤਸਦੀਕ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4, ਉਦਾਹਰਨ 5, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
5. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
6. ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੋਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ (substitution) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਹੀ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਦੋਘਾਤੀ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ: ਗੁਣਨਖੰਡਨ, ਦੋਘਾਤੀ ਸੂਤਰ, ਆਦਿ। ਉਦਾਹਰਨ 10, ਉਦਾਹਰਨ 11, ਉਦਾਹਰਨ 12, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 13 ਵੇਖੋ।
7. ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਛਾਣਾਂ (identities) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 14, ਉਦਾਹਰਨ 15, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 16 ਵੇਖੋ।
8. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮਲਟੀਪਲ-ਐਂਗਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਥਾਨਾਪੰਨਤਾ (substitution) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸੰਕੁਚਨ (compression) ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਸੰਕੁਚਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਪਵੇਗਾ ਅਤੇ ਇਹ ਤਸਦੀਕ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ (interval) 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲ ਲੱਭ ਲਏ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 17 ਵੇਖੋ।
9. ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 18 ਵੇਖੋ।