ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਦਾ ਉਸਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ, ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਅਤੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦੇ ਹੋਰ ਦੋ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ ਸੰਭਵ ਕੇਸ ਹਨ: ASA, AAS, SSA। ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਬੇਨਤੀ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਢੁਕਵੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਅਸਪਸ਼ਟ ਕੇਸ ਉਦੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਅਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਨਤੀਜੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
SSA ਵਿਵਸਥਾ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਵ ਕੇਸ ਉਭਰਦੇ ਹਨ—ਇੱਕ ਹੱਲ, ਦੋ ਸੰਭਵ ਹੱਲ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਲਈ ਆਮ ਖੇਤਰਫਲ ਫਾਰਮੂਲਾ, ਪਹਿਲਾਂ ਢੁਕਵੀਂ ਉਚਾਈ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਕੇ, ਅਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਢੁਕਵੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਅਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮਾਪਾਂ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਧਾਰਨ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਅਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਦੋ ਕੇਸਾਂ: SAS ਅਤੇ SSS ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਹੈ। ਇੱਕ ਕਾਲਪਨਿਕ ਲੰਬ ਸੁੱਟਣ ਨਾਲ ਅਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਦੋ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਬੰਧਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਮਾਪਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਕਈ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਲਾਗੂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਬਣਾਉਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਤਿੰਨ ਮਾਡਲਾਂ (ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ) ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਹੀਰੋਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਸਿੱਧੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਹੀਰੋਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿੰਨੋਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਗਰਿੱਡ ਨੂੰ ਧਰੁਵ, ਜਾਂ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਨਿਕਲਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਕੇਂਦਰੀ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
(r, θ), θ>0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ θ ਕੋਣ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਧਰੁਵ ਤੋਂ θ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ r ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਵਧਾਓ। ਜੇਕਰ θ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵਧੋ, ਅਤੇ θ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ r ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਵਧਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ r ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ θ ਦੀ ਵਿਰੋਧੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਵਧਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, x=rcosθ ਅਤੇ y=rsinθ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੋਂ ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ: cosθ= x r , sinθ= y r , tanθ= y x , ਅਤੇ r= x 2 + y 2 । ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਉਪਲਬਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਢੁਕਵੇਂ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਕਰਨਾ, ਨਾਲ ਹੀ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਹੇਰਾਫੇਰੀ। ਉਦਾਹਰਨ 6, ਉਦਾਹਰਨ 7, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਢੁਕਵੇਂ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ। ਉਦਾਹਰਨ 9, ਉਦਾਹਰਨ 10, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ θ= π 2 , ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ, ਜਾਂ ਧਰੁਵ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕੀਏ।
ਤਿੰਨ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟ ਹਨ ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕੀ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ ਸਮਰੂਪਤਾ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ θ ਅਤੇ r ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾ ਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ θ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਧਰੁਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ r=0 ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਲੱਭੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਕੁਝ ਸੂਤਰ ਜੋ ਧਰੁਵੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, r=acosθ ਅਤੇ r=asinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a>0, b>0, ਅਤੇ a/b =1। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ 1< a/b <2। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਅੰਦਰੂਨੀ-ਲੂਪ ਲਿਮਾਸਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰ r=a±bcosθ ਅਤੇ r=a±bsinθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a>0, b>0, ਅਤੇ a<b। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਲੈਮਨਿਸਕੇਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰ r² = a²cos2θ ਅਤੇ r² = a²sin2θ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a≠0। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਗੁਲਾਬ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰ r=acosnθ ਅਤੇ r=asinnθ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ a≠0; ਜੇ n ਸਮ ਹੈ, ਤਾਂ 2n ਪੱਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਜੇ n ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ, ਤਾਂ n ਪੱਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਆਰਕੀਮੀਡੀਜ਼ ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਸੂਤਰ r=θ, θ≥0 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
a+bi ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਕੀਰਨ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਲੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਆਇਤਾਕਾਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਅਸਲ ਧੁਰਾ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕਾਲਪਨਿਕ ਧੁਰਾ ਲੇਬਲ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਉਸਦੇ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ: |z|=√(a²+b²)। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸੂਤਰਾਂ x=rcosθ, y=rsinθ, ਅਤੇ r=√(x²+y²) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, z=r(cosθ+isinθ)। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ, r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਦੋ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੋ ਮਾਡਿਊਲੀ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਵਿਤਰਨ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਧਰੁਵੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਦੋ ਮਾਡਿਊਲੀ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆ zⁿ ਦੀ ਘਾਤ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, r ਨੂੰ n ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਓ, ਅਤੇ θ ਨੂੰ n ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਮੂਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਪਰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਘਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋ ਚਲਾਂ, x ਅਤੇ y, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ, x, y, ਅਤੇ t, ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਅਕਸਰ, ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 2, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਕਈ ਵਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਵੇਲੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨਾ ਸੌਖਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। t ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਕੇ, x ਅਤੇ y ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਤੀਜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
t ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 4, ਉਦਾਹਰਨ 5, ਉਦਾਹਰਨ 6, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਵਕਰ ਲਈ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ ਲਗਭਗ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਵਕਰ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਚੁਣਨ ਦੇ ਅਨੰਤ ਤਰੀਕੇ ਹਨ।
x ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਲੱਭੋ ਤਾਂ ਜੋ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਸਲ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਰਹੇ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਤੀਜਾ ਚੱਲ, ਇੱਕ ਤੀਜਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਜਿਸ 'ਤੇ x ਅਤੇ y ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰਕੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, t, x(t), ਅਤੇ y(t) ਲੇਬਲ ਕੀਤੇ ਤਿੰਨ ਕਾਲਮਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ। t ਲਈ ਵਧਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਚੁਣੋ। x ਅਤੇ y ਲਈ ਆਖਰੀ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਨੂੰ ਪਲੋਟ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
When graphing a parametric curve by plotting points, note the associated t-values and show arrows on the graph indicating the orientation of the curve. See Example 3 and Example 4.
Parametric equations allow the direction or the orientation of the curve to be shown on the graph. Equations that are not functions can be graphed and used in many applications involving motion. See Example 5.
Projectile motion depends on two parametric equations: x=( v 0 cosθ)t x=( v 0 cosθ)t and y=−16 t 2 +( v 0 sinθ)t+h. y=−16 t 2 +( v 0 sinθ)t+h. Initial velocity is symbolized as v 0 .θ v 0 .θ represents the initial angle of the object when thrown, and h h represents the height at which the object is propelled.
The position vector has its initial point at the origin. See Example 1.
If the position vector is the same for two vectors, they are equal. See Example 2.
Vectors are defined by their magnitude and direction. See Example 3.
If two vectors have the same magnitude and direction, they are equal. See Example 4.
Vector addition and subtraction result in a new vector found by adding or subtracting corresponding elements. See Example 5.
Scalar multiplication is multiplying a vector by a constant. Only the magnitude changes; the direction stays the same. See Example 6 and Example 7.
Vectors are comprised of two components: the horizontal component along the positive x-axis, and the vertical component along the positive y-axis. See Example 8.
The unit vector in the same direction of any nonzero vector is found by dividing the vector by its magnitude.
The magnitude of a vector in the rectangular coordinate system is | v |= a 2 + b 2 . | v |= a 2 + b 2 . See Example 9.
In the rectangular coordinate system, unit vectors may be represented in terms of i i and j j where i i represents the horizontal component and j j represents the vertical component. Then, v = ai + bj is a scalar multiple of v v by real numbers aandb. aandb. See Example 10 and Example 11.
Adding and subtracting vectors in terms of i and j consists of adding or subtracting corresponding coefficients of i and corresponding coefficients of j. See Example 12.
A vector v = ai + bj is written in terms of magnitude and direction as v=| v |cosθi+| v |sinθj. v=| v |cosθi+| v |sinθj. See Example 13.
The dot product of two vectors is the product of the i i terms plus the product of the j j terms. See Example 14.
We can use the dot product to find the angle between two vectors. Example 15 and Example 16.
Dot products are useful for many types of physics applications. See Example 17.