1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲਾਂ (variables) ਤੋਂ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਵਿਚਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
3. ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਕੋਈ ਵੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ (ordered pair) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
4. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੱਲ ਨਾਲ ਸੁਤੰਤਰ (independent), ਅਨੰਤ ਹੱਲਾਂ ਨਾਲ ਨਿਰਭਰ (dependent), ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਅਸੰਗਤ (inconsistent) ਵਜੋਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
5. ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ (graphing) ਹੈ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਅਕਸ਼ਾਂ (axes) ਦੇ ਸਮੂਹ ਉੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
6. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ (substitution) ਹੈ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
7. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਤੀਜਾ ਤਰੀਕਾ ਜੋੜ (addition) ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸੰਗਤ ਚਲਾਂ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ (opposite coefficients) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
8. ਜਦੋਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਦੀ ਸਹੂਲਤ ਲਈ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ (constant) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5, ਉਦਾਹਰਨ 6, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
9. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਤਰੀਕਾ ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਝੂਠਾ ਕਥਨ (false statement) ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ (parallel lines) ਤੋਂ ਬਣੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀਆਂ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
10. ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
11. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮਾਲੀਆ (revenue), ਲਾਗਤ (cost), ਅਤੇ ਮੁਨਾਫਾ (profit) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
12. ਹੱਲ ਸਮੂਹ (solution set) ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤਿਕੜੀ { ( x,y,z ) } ਹੈ ਜੋ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਤਲਾਂ (planes) ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ (intersection) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
13. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ (series of steps) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕਦਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ, ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸਥਿਰ ਅੰਕ (nonzero constant) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਗੁਣਾਂਕ (nonzero multiple) ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
14. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਕਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
15. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ (inconsistent) ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਖਾਤਮਾ ਕਾਰਜ (elimination operations) ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ (contradiction) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
16. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸਮਾਂਤਰ ਤਲਾਂ, ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਤਲਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੌਰਾਹੇ ਵਾਲੇ ਤਲ, ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਤਲਾਂ ਤੋਂ ਨਤੀਜਾ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਦੂਜੇ ਦੋ ਨਾਲ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ ਪਰ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਨਹੀਂ।
17. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨਿਰਭਰ (dependent) ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੋਣ। ਖਾਤਮਾ ਕਾਰਜ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸਰਬਸੰਮਤੀ (identity) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
18. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਤਲਾਂ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਮਿਲਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਤਲਾਂ, ਜਾਂ ਦੋ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਤਲਾਂ ਤੋਂ ਨਤੀਜਾ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਤੀਜੀ ਨਾਲ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ।
19. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ (parabola) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਵ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: (1) ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਰੇਖਾ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀ; (2) ਇੱਕ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ; ਅਤੇ (3) ਦੋ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
20. ਇੱਕ ਚੱਕਰ (circle) ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਵ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: (1) ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਰੇਖਾ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀ; (2) ਇੱਕ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ; (3) ਦੋ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
21. ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਅਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (nonlinear equations) ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਪੰਜ ਸੰਭਵ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: (1) ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੇ; (2) ਇੱਕ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ; (3) ਦੋ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ; (4) ਤਿੰਨ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਤਿੰਨ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ; (5) ਚਾਰ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਚਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
22. ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ (inequality) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਹੁਤ ਹੱਦ ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ > ਜਾਂ < ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਡੈਸ਼ਡ ਲਾਈਨ (dashed line) ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
23. ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ (equalities) ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੋਵਾਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
24. P( x ) Q( x ) ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ (partial fractions) ਨੂੰ A a 1 x+ b 1 + B a 2 x+ b 2 ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਕੇ ਵਿਘਟਿਤ (decompose) ਕਰੋ। ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਕੇ, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਕੇ, ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਸੰਗਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ, ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ ਨਾਲ ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਗਿਣਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਦੁਹਰਾਈ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ A x + Bx+C ( a x 2 +bx+c ) । A x + Bx+C ( a x 2 +bx+c ) । ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
P( x ) Q( x ) , P( x ) Q( x ) ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ Q( x ) Q( x ) ਕੋਲ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਈ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਦੁਹਰਾਈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ Ax+B ( a x 2 +bx+c ) + A 2 x+ B 2 ( a x 2 +bx+c ) 2 +⋯+ A n x+ B n ( a x 2 +bx+c ) n । Ax+B ( a x 2 +bx+c ) + A 2 x+ B 2 ( a x 2 +bx+c ) 2 +⋯+ A n x+ B n ( a x 2 +bx+c ) n । ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਵਿਵਸਥਾ ਹੈ। ਅੰਕ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ ਕਾਲਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਮਾਪ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ 3×2 3×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਕਾਲਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਮਾਪਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਘਟਾ ਕੇ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਹੋਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਅਕਸਰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ—ਪਹਿਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੂਜੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, A A ਅਤੇ B, B, ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, A A ਦੀ ਕਤਾਰ 1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ B, B ਦੇ ਕਾਲਮ 1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਫਿਰ A A ਦੀ ਕਤਾਰ 1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ B, B ਦੇ ਕਾਲਮ 2 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵਧਿਆ ਹੋਇਆ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਵਧਿਆ ਹੋਇਆ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ, ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ, ਅਤੇ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਕਤਾਰ-ਇਕਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉੱਤੇ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ ਵਧੇ ਹੋਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਕਤਾਰ-ਇਕਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰੋ। ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਿੱਛੇ-ਬਦਲੋ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵਧੇ ਹੋਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਤਤਸਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ AI=IA=A ਦਾ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। AI=IA=A। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਉਲਟਾਉਣਯੋਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ A A −1 = A −1 A=I ਦਾ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। A A −1 = A −1 A=I। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
2×2 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਤਤਸਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਪਛਾਣਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਤਤਸਮ ਨਾਲ ਵਾਧਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤਤਸਮ ਨਾਲ 3×3 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ AX=B, AX=B ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: A −1 AX= A −1 B. A: A −1 AX= A −1 B. ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟਾਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
[ a b c d ] [ a b c d ] ਲਈ ਨਿਰਧਾਰਕ ad−bc ਹੈ। ad−bc। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਹੱਲ ਹਨ x= D x D ,y= D y D । x= D x D ,y= D y D । ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧਾ ਕਰੋ। ਤਿੰਨ ਵਿਕਰਨ ਐਂਟਰੀਆਂ (ਉੱਪਰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਸੱਜੇ) ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਿਕਰਨ ਐਂਟਰੀਆਂ (ਹੇਠਾਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਸੱਜੇ) ਘਟਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਲੋੜੀਂਦੇ ਹੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲੋ: x= D x D ,y= D y D ,z= D z D । x= D x D ,y= D y D ,z= D z D । ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਕੋਈ ਹੱਲ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੀ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਨਿਰਧਾਰਕਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ: ਜੇਕਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉੱਪਰ ਤਿਕੋਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਐਂਟਰੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਕਾਲਮ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਕਾਲਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A −1 A −1 ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A. A ਦੇ ਨਿਰਧਾਰਕ ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਧਾਰਕ ਉਸੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।