1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ
2. g(x)= 0.875 x ਅਤੇ j(x)= 1095.6 −2x ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
3. 5.5556
4. ਲਗਭਗ 1.548 ਅਰਬ ਲੋਕ; ਸਾਲ 2031 ਤੱਕ, ਭਾਰਤ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਚੀਨ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 0.001 ਅਰਬ, ਜਾਂ 1 ਮਿਲੀਅਨ ਲੋਕਾਂ ਵੱਧ ਜਾਵੇਗੀ।
5. ( 0,129 ) ਅਤੇ ( 2,236 ); N(t)=129 ( 1.3526 ) t
6. f(x)=2 ( 1.5 ) x
7. f(x)= 2 ( 2 ) x . ਜਵਾਬ ਗੋਲ-ਆਫ ਗਲਤੀ ਕਾਰਨ ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਜਵਾਬ 1.4142 ( 1.4142 ) x ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
8. y≈12⋅ 1.85 x
9. ਲਗਭਗ $3,644,675.88
10. $13,693
11. e −0.5 ≈0.60653
12. $3,659,823.44
13. 3.77E-26 (ਇਹ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 3.77× 10 −26 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਨੰਬਰ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਦੇ ਵੀ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਇਹ ਨੰਬਰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਇੰਨਾ ਨੇੜੇ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ ਵਿਹਾਰਕ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਨੂੰ ਜਵਾਬ ਵਜੋਂ ਸਵੀਕਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।)
14. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 0,∞ ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=0 ਹੈ।
15. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 3,∞ ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=3 ਹੈ।
16. x≈−1.608
17. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 0,∞ ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=0 ਹੈ।
18. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 0,∞ ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=0 ਹੈ।
19. f(x)=− 1 3 e x −2; ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( −∞,−2 ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=−2 ਹੈ।
20. ⓐlog 10 ( 1,000,000 )=6 10 6 =1,000,000 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
21. ⓑlog 5 ( 25 )=2 5 2 =25 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
22. ⓐ 3 2 =9 log 3 (9)=2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
23. ⓑ 5 3 =125 log 5 (125)=3 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
24. ⓒ 2 −1 = 1 2 log 2 ( 1 2 )=−1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
1. ਲਘੂਤਕ 121 ( 11 )= 1 2 (ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ 121 = (121) 1 2 =11)
2. ਲਘੂਤਕ 2 ( 1 32 )=−5
3. ਲਘੂਤਕ(1,000,000)=6
4. ਲਘੂਤਕ( 123 )≈2.0899
5. ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਲਗਭਗ 3.929 ਸੀ।
6. ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਲਘੂਤਕ ਲੈਣਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ।
7. ( 2,∞ )
8. ( 5,∞ )
9. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ।
10. ਡੋਮੇਨ ( −4,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸਮਤੋਟ x=–4 ਹੈ।
11. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ।
12. ਡੋਮੇਨ ( 0,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ।
13. ਡੋਮੇਨ ( 2,∞ ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=2 ਹੈ।
14. ਡੋਮੇਨ ( −∞,0 ) ਹੈ, ਰੇਂਜ ( −∞,∞ ) ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਮਤੋਟ x=0 ਹੈ।
15. x≈3.049
16. x=1
17. f(x)=2ln(x+3)−1
18. ਲਘੂਤਕ b 2+ ਲਘੂਤਕ b 2+ ਲਘੂਤਕ b 2+ ਲਘੂਤਕ b k=3 ਲਘੂਤਕ b 2+ ਲਘੂਤਕ b k
19. ਲਘੂਤਕ 3 ( x+3 )− ਲਘੂਤਕ 3 ( x−1 )− ਲਘੂਤਕ 3 ( x−2 )
20. 2lnx
21. −2ln(x)
22. ਲਘੂਤਕ 3 16
23. 2ਲਘੂਤਕx+3ਲਘੂਤਕy−4ਲਘੂਤਕz
24. 2 3 lnx
1 2 ln( x−1 )+ln( 2x+1 )−ln( x+3 )−ln( x−3 ) 1 2 ln( x−1 )+ln( 2x+1 )−ln( x+3 )−ln( x−3 )
log( 3⋅5 4⋅6 ); log( 3⋅5 4⋅6 ); can also be written log( 5 8 ) log( 5 8 ) by reducing the fraction to lowest terms.
log( 5 ( x−1 ) 3 x ( 7x−1 ) ) log( 5 ( x−1 ) 3 x ( 7x−1 ) )
log x 12 ( x+5 ) 4 ( 2x+3 ) 4 ; log x 12 ( x+5 ) 4 ( 2x+3 ) 4 ; this answer could also be written log ( x 3 ( x+5 ) ( 2x+3 ) ) 4 . log ( x 3 ( x+5 ) ( 2x+3 ) ) 4 .
The pH increases by about 0.301.
ln8 ln0.5 ln8 ln0.5
ln100 ln5 ≈ 4.6051 1.6094 =2.861 ln100 ln5 ≈ 4.6051 1.6094 =2.861
x=−2 x=−2
x=−1 x=−1
x= 1 2 x= 1 2
The equation has no solution.
x= ln3 ln( 2 3 ) x= ln3 ln( 2 3 )
t=2ln( 11 3 ) t=2ln( 11 3 ) or ln ( 11 3 ) 2 ln ( 11 3 ) 2
t=ln( 1 2 )=− 1 2 ln( 2 ) t=ln( 1 2 )=− 1 2 ln( 2 )
x=ln2 x=ln2
x= e 4 x= e 4
x= e 5 −1 x= e 5 −1
x≈9.97 x≈9.97
x=1 x=1 or x=−1 x=−1
t=703,800,000× ln(0.8) ln(0.5) years ≈226,572,993years. t=703,800,000× ln(0.8) ln(0.5) years ≈226,572,993years.
f(t)=A0e−0.0000000087tf(t)=A0e−0.0000000087t
less than 230 years, 229.3157 to be exact
f(t)= A 0 e ln2 3 t f(t)= A 0 e ln2 3 t
6.026 hours
895 cases on day 15
Exponential. y=2 e 0.5x . y=2 e 0.5x .
y=3 e ( ln0.5 )x y=3 e ( ln0.5 )x
ⓐ The exponential regression model that fits these data is y=522.88585984 ( 1.19645256 ) x . y=522.88585984 ( 1.19645256 ) x .
ⓑ If spending continues at this rate, the graduate’s credit card debt will be $4,499.38 after one year.
ⓐ The logarithmic regression model that fits these data is y=141.91242949+10.45366573ln(x) y=141.91242949+10.45366573ln(x)
ⓑ If sales continue at this rate, about 171,000 games will be sold in the year 2015.
ⓐ The logistic regression model that fits these data is y= 25.65665979 1+6.113686306 e −0.3852149008x . y= 25.65665979 1+6.113686306 e −0.3852149008x .
ⓑ If the population continues to grow at this rate, there will be about 25,634 25,634 seals in 2020.
ⓒ To the nearest whole number, the carrying capacity is 25,657.
6.1 Section Exercises
Linear functions have a constant rate of change. Exponential functions increase based on a percent of the original.
When interest is compounded, the percentage of interest earned to principal ends up being greater than the annual percentage rate for the investment account. Thus, the annual percentage rate does not necessarily correspond to the real interest earned, which is the very definition of nominal.
exponential; the population decreases by a proportional rate. .
not exponential; the charge decreases by a constant amount each visit, so the statement represents a linear function. .
The forest represented by the function B(t)=82 (1.029) t . B(t)=82 (1.029) t .
After t=20 t=20 years, forest A will have 43 43 more trees than forest B.
Answers will vary. Sample response: For a number of years, the population of forest A will increasingly exceed forest B, but because forest B actually grows at a faster rate, the population will eventually become larger than forest A and will remain that way as long as the population growth models hold. Some factors that might influence the long-term validity of the exponential growth model are drought, an epidemic that culls the population, and other environmental and biological factors.
exponential growth; The growth factor, 1.06, 1.06, is greater than 1. 1.
exponential decay; The decay factor, 0.97, 0.97, is between 0 0 and 1. 1.
f(x)=2000 (0.1) x f(x)=2000 (0.1) x
f(x)= ( 1 6 ) − 3 5 ( 1 6 ) x 5 ≈2.93 ( 0.699 ) x f(x)= ( 1 6 ) − 3 5 ( 1 6 ) x 5 ≈2.93 ( 0.699 ) x
Linear
Neither
Linear
$10,250 $10,250
$13,268.58 $13,268.58
P=A(t)⋅ ( 1+ r n ) −nt P=A(t)⋅ ( 1+ r n ) −nt
$4,572.56 $4,572.56
4% 4%
continuous growth; the growth rate is greater than 0. 0.
continuous decay; the growth rate is less than 0. 0.
$669.42 $669.42
f(−1)=−4 f(−1)=−4
f(−1)≈−0.2707 f(−1)≈−0.2707
f(3)≈483.8146 f(3)≈483.8146
y=3⋅ 5 x y=3⋅ 5 x
y≈18⋅ 1.025 x y≈18⋅ 1.025 x
y≈0.2⋅ 1.95 x y≈0.2⋅ 1.95 x
APY= A(t)−a a = a ( 1+ r 365 ) 365(1) −a a = a[ ( 1+ r 365 ) 365 −1 ] a = ( 1+ r 365 ) 365 −1; APY= A(t)−a a = a ( 1+ r 365 ) 365(1) −a a = a[ ( 1+ r 365 ) 365 −1 ] a = ( 1+ r 365 ) 365 −1; I(n)= ( 1+ r n ) n −1 I(n)= ( 1+ r n ) n −1
Let f f be the exponential decay function f(x)=a⋅ ( 1 b ) x f(x)=a⋅ ( 1 b ) x such that b>1. b>1. Then for some number n>0, n>0, f(x)=a⋅ ( 1 b ) x =a ( b −1 ) x =a ( ( e n ) −1 ) x =a ( e −n ) x =a ( e ) −nx . f(x)=a⋅ ( 1 b ) x =a ( b −1 ) x =a ( ( e n ) −1 ) x =a ( e −n ) x =a ( e ) −nx .
47,622 47,622 fox
1.39%; 1.39%; $155,368.09 $155,368.09
$35,838.76 $35,838.76
$82,247.78; $82,247.78; $449.75 $449.75
6.2 Section Exercises
An asymptote is a line that the graph of a function approaches, as x x either increases or decreases without bound. The horizontal asymptote of an exponential function tells us the limit of the function’s values as the independent variable gets either extremely large or extremely small.
g(x)=4 ( 3 ) −x ; g(x)=4 ( 3 ) −x ; y-intercept: (0,4); (0,4); Domain: all real numbers; Range: all real numbers greater than 0. 0.
g(x)=− 10 x +7; g(x)=− 10 x +7; y-intercept: ( 0,6 ); ( 0,6 ); Domain: all real numbers; Range: all real numbers less than 7. 7.
g(x)=2 ( 1 4 ) x ; g(x)=2 ( 1 4 ) x ; y-intercept: ( 0,2 ); ( 0,2 ); Domain: all real numbers; Range: all real numbers greater than 0. 0.
y-intercept: (0,−2) (0,−2)
B
A
E
D
C
Horizontal asymptote: h(x)=3; h(x)=3; Domain: all real numbers; Range: all real numbers strictly greater than 3. 3.
As x→∞x→∞ , f( x )→−∞ f( x )→−∞ ; As x→−∞x→−∞ , f( x )→−1 f( x )→−1
As x→∞x→∞ , f( x)→2 f( x)→2 ; As x→−∞x→−∞ , f( x )→∞ f( x )→∞
f( x )= 4 x −3 f( x )= 4 x −3
f(x)= 4 x−5 f(x)= 4 x−5
f( x )= 4 −x f( x )= 4 −x
y=− 2 x +3 y=− 2 x +3
y=−2 ( 3 ) x +7 y=−2 ( 3 ) x +7
g(6)=800+ 1 3 ≈800.3333 g(6)=800+ 1 3 ≈800.3333
h(−7)=−58 h(−7)=−58
x≈−2.953 x≈−2.953
x≈−0.222 x≈−0.222
The graph of G(x)= ( 1 b ) x G(x)= ( 1 b ) x is the refelction about the y-axis of the graph of F(x)= b x ; F(x)= b x ; For any real number b>0 b>0 and function f(x)= b x , f(x)= b x , the graph of ( 1 b ) x ( 1 b ) x is the the reflection about the y-axis, F(−x). F(−x).
The graphs of g(x) g(x) and h(x) h(x) are the same and are a horizontal shift to the right of the graph of f(x); f(x); For any real number n, real number b>0, b>0, and function f(x)= b x , f(x)= b x , the graph of ( 1 b n ) b x ( 1 b n ) b x is the horizontal shift f(x−n). f(x−n).
6.3 Section Exercises
A logarithm is an exponent. Specifically, it is the exponent to which a base b b is raised to produce a given value. In the expressions given, the base b b has the same value. The exponent, y, y, in the expression b y b y can also be written as the logarithm, log b x, log b x, and the value of x x is the result of raising b b to the power of y. y.
ਕਿਉਂਕਿ ਲਘੂਰਕ (logarithm) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਘਾਤ ਅੰਕੀ (exponential) ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨ $b^y = x$ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ $x$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਲਘੂਰਕ (natural logarithm) ਬੇਸ $b$ ਵਾਲੇ ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਲਘੂਰਕ ਦਾ ਬੇਸ ਹਮੇਸ਼ਾ $e$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। $log_e(x)$ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਕ੍ਰਿਤਿਕ ਲਘੂਰਕ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ $ln(x)$ ਹੈ।
$a^c = b$
$x^y = 64$
$15^b = a$
$13^a = 142$
$e^n = w$
$log_c(k) = d$
$log_{19}(y) = x$
$log_n(103) = 4$
$log_y(39/100) = x$
$ln(h) = k$
$x = 2^{-3} = 1/8$
$x = 3^3 = 27$
$x = 9^{1/2} = 3$
$x = 6^{-3} = 1/216$
$x = e^2$
$3^2$
$1.06$
$14.125$
$1/2$
$4$
$-3$
$-12$
0 0
10 10
2.708 2.708
0.151 0.151
ਨਹੀਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ x=0 ਲਈ ਕੋਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। x=0। ਤਸਦੀਕ ਕਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ x=0 x=0 ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=log(x) ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। f(x)=log(x)। ਫਿਰ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ n n ਹੋਵੇਗੀ ਕਿ n=log(0)। n=log(0)। ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ: 10 n =0, 10 n =0, ਜੋ ਕਿ ਅਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਜਿਹੀ ਕੋਈ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ n n ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, x=0 x=0 ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=log(x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। f(x)=log(x)।
ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੋਈ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x x ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ lnx=2। lnx=2। ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਣ 'ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਹੈ x= e 2 , x= e 2 , ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਤਸਦੀਕ ਕਰਨ ਲਈ, x= e 2 ਲਓ। x= e 2 । ਫਿਰ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ln( x )=ln( e 2 )=2। ln( x )=ln( e 2 )=2।
ਨਹੀਂ; ln( 1 )=0, ln( 1 )=0, ਇਸ ਲਈ ln( e 1.725 ) ln( 1 ) ln( e 1.725 ) ln( 1 ) ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ।
2 2
6.4 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਨਵਰਸ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਹਨ। y=x। ਇਸ ਲਈ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ (a,b) (a,b) ਲਈ, ਇਸਦੇ ਇਨਵਰਸ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ (b,a) (b,a) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਾਉਣਾ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨਾ ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰੇਗਾ।
ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ ਸੀਮਾ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦੇਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ: ( −∞, 1 2 ); ( −∞, 1 2 ); ਸੀਮਾ: ( −∞,∞ ) ( −∞,∞ )
ਡੋਮੇਨ: ( − 17 4 ,∞ ); ( − 17 4 ,∞ ); ਸੀਮਾ: ( −∞,∞ ) ( −∞,∞ )
ਡੋਮੇਨ: ( 5,∞ ); ( 5,∞ ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ: x=5 x=5
ਡੋਮੇਨ: ( − 1 3 ,∞ ); ( − 1 3 ,∞ ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ: x=− 1 3 x=− 1 3
ਡੋਮੇਨ: ( −3,∞ ); ( −3,∞ ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ: x=−3 x=−3
ਡੋਮੇਨ: ( 3 7 , ∞ )( 3 7 , ∞ ) ; ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ: x= 3 7 x= 3 7 ; ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ: ਜਿਵੇਂ x→ ( 3 7 ) + ,f(x)→−∞ x→ ( 3 7 ) + ,f(x)→−∞ ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ x→∞,f(x)→∞ x→∞,f(x)→∞
ਡੋਮੇਨ: ( −3,∞ ) ( −3,∞ ) ; ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ: x=−3 x=−3 ; ਅੰਤ ਵਿਵਹਾਰ: ਜਿਵੇਂ x→− 3 + x→− 3 + , f(x)→−∞ f(x)→−∞ ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ x→∞x→∞ , f(x)→∞ f(x)→∞
ਡੋਮੇਨ: ( 1,∞ ); ( 1,∞ ); ਸੀਮਾ: ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ: x=1; x=1; x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: ( 5 4 ,0 ); ( 5 4 ,0 ); y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: DNE
ਡੋਮੇਨ: ( −∞,0 ); ( −∞,0 ); ਸੀਮਾ: ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ: x=0; x=0; x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: ( − e 2 ,0 ); ( − e 2 ,0 ); y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: DNE
ਡੋਮੇਨ: ( 0,∞ ); ( 0,∞ ); ਸੀਮਾ: ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤਾ: x=0; x=0; x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: ( e 3 ,0 ); ( e 3 ,0 ); y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ: DNE
B
C
B
C
C
f(x)= log 2 (−(x−1)) f(x)= log 2 (−(x−1))
f(x)=3 log 4 (x+2) f(x)=3 log 4 (x+2)
x=2 x=2
x≈2.303 x≈2.303
x≈−0.472 x≈−0.472
The graphs of f(x)= log 1 2 ( x ) f(x)= log 1 2 ( x ) and g(x)=− log 2 ( x ) g(x)=− log 2 ( x ) appear to be the same; Conjecture: for any positive base b≠1, b≠1, log b ( x )=− log 1 b ( x ). log b ( x )=− log 1 b ( x ).
Recall that the argument of a logarithmic function must be positive, so we determine where x+2 x−4 >0 x+2 x−4 >0 . From the graph of the function f( x )= x+2 x−4 , f( x )= x+2 x−4 , note that the graph lies above the x-axis on the interval ( −∞,−2 ) ( −∞,−2 ) and again to the right of the vertical asymptote, that is ( 4,∞ ). ( 4,∞ ). Therefore, the domain is ( −∞,−2 )∪( 4,∞ ). ( −∞,−2 )∪( 4,∞ ).
6.5 Section Exercises
Any root expression can be rewritten as an expression with a rational exponent so that the power rule can be applied, making the logarithm easier to calculate. Thus, log b ( x 1 n )= 1 n log b (x). log b ( x 1 n )= 1 n log b (x).
log b ( 2 )+ log b ( 7 )+ log b ( x )+ log b ( y ) log b ( 2 )+ log b ( 7 )+ log b ( x )+ log b ( y )
log b ( 13 )− log b ( 17 ) log b ( 13 )− log b ( 17 )
−kln(4) −kln(4)
ln( 7xy ) ln( 7xy )
log b (4) log b (4)
log b ( 7 ) log b ( 7 )
15log(x)+13log(y)−19log(z) 15log(x)+13log(y)−19log(z)
3 2 log(x)−2log(y) 3 2 log(x)−2log(y)
8 3 log(x)+ 14 3 log(y) 8 3 log(x)+ 14 3 log(y)
ln(2 x 7 ) ln(2 x 7 )
log( x z 3 y ) log( x z 3 y )
log 7 ( 15 )= ln( 15 ) ln( 7 ) log 7 ( 15 )= ln( 15 ) ln( 7 )
11 ਦਾ ਲਾਗ (5) = 5 ਦਾ ਲਾਗ (5) 5 ਦਾ ਲਾਗ (11) = 1 b 11 ਦਾ ਲਾਗ (5) = 5 ਦਾ ਲਾਗ (5) 5 ਦਾ ਲਾਗ (11) = 1 b
11 ਦਾ ਲਾਗ (6 11) = 5 ਦਾ ਲਾਗ (6 11) 5 ਦਾ ਲਾਗ (11) = 5 ਦਾ ਲਾਗ (6) - 5 ਦਾ ਲਾਗ (11) 5 ਦਾ ਲਾਗ (11) = a-b b = a b -1 11 ਦਾ ਲਾਗ (6 11) = 5 ਦਾ ਲਾਗ (6 11) 5 ਦਾ ਲਾਗ (11) = 5 ਦਾ ਲਾਗ (6) - 5 ਦਾ ਲਾਗ (11) 5 ਦਾ ਲਾਗ (11) = a-b b = a b -1
3 3
2.81359 2.81359
0.93913 0.93913
-2.23266 -2.23266
x=4; 6 ਦਾ ਲਾਗ ( x+2 ) - 6 ਦਾ ਲਾਗ ( x-3 ) = 6 ਦਾ ਲਾਗ ( x+2 x-3 ) = 1. 6 ਦਾ ਲਾਗ ( x+2 ) - 6 ਦਾ ਲਾਗ ( x-3 ) = 6 ਦਾ ਲਾਗ ( x+2 x-3 ) = 1.
ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ: x:
6 1 = x+2 x-3 ((x-3) ਨਾਲ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ) 6(x-3) = x+2 (ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ) 6x-18 = x+2 (ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 18 ਜੋੜਨ ਅਤੇ x ਘਟਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ) 5x = 20 x =4 6 1 = x+2 x-3 ((x-3) ਨਾਲ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ) 6(x-3) = x+2 (ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਵਿਤਰਕ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ) 6x-18 = x+2 (ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ 18 ਜੋੜਨ ਅਤੇ x ਘਟਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ) 5x = 20 x =4
ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 6 ਦਾ ਲਾਗ ( 4+2 ) - 6 ਦਾ ਲਾਗ ( 4-3 ) = 6 ਦਾ ਲਾਗ ( 6 ) - 6 ਦਾ ਲਾਗ ( 1 ) 6 ਦਾ ਲਾਗ ( 4+2 ) - 6 ਦਾ ਲਾਗ ( 4-3 ) = 6 ਦਾ ਲਾਗ ( 6 ) - 6 ਦਾ ਲਾਗ ( 1 ) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ x=4. x=4.
ਮੰਨ ਲਓ b ਅਤੇ n 1 ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ। ਫਿਰ, ਅਧਾਰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ, b ਦਾ ਲਾਗ ( n ) = n ਦਾ ਲਾਗ ( n ) n ਦਾ ਲਾਗ ( b ) = 1 n ਦਾ ਲਾਗ ( b ) । b ਦਾ ਲਾਗ ( n ) = n ਦਾ ਲਾਗ ( n ) n ਦਾ ਲਾਗ ( b ) = 1 n ਦਾ ਲਾਗ ( b ) ।
6.6 ਸੈਕਸ਼ਨ ਅਭਿਆਸ
ਪਹਿਲਾਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਹਰ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਨਾਲ ਦੁਬਾਰਾ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਲਾਗ ਅਪਲਾਈ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਗਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਲਾਗ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਰਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ-ਇੱਕ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਜਦੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਅਧਾਰ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਲਾਗ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।
x = - 1 3 x = - 1 3
n = -1 n = -1
b = 6 5 b = 6 5
x = 10 x = 10
ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ
p = ਲਾਗ ( 17 8 ) - 7 p = ਲਾਗ ( 17 8 ) - 7
k = - ln ( 38 ) 3 k = - ln ( 38 ) 3
x = ln ( 38 3 ) - 8 9 x = ln ( 38 3 ) - 8 9
x = ln12 x = ln12
x = ln ( 3 5 ) - 3 8 x = ln ( 3 5 ) - 3 8
no solution
x=ln( 3 ) x=ln( 3 )
10 −2 = 1 100 10 −2 = 1 100
n=49 n=49
k= 1 36 k= 1 36
x= 9−e 8 x= 9−e 8
n=1 n=1
No solution
No solution
x=± 10 3 x=± 10 3
x=10 x=10
x=0 x=0
x= 3 4 x= 3 4
x=9 x=9
x= e 2 3 ≈2.5 x= e 2 3 ≈2.5
x=−5 x=−5
x= e+10 4 ≈3.2 x= e+10 4 ≈3.2
No solution
x= 11 5 ≈2.2 x= 11 5 ≈2.2
x= 101 11 ≈9.2 x= 101 11 ≈9.2
about $27,710.24 $27,710.24
about 5 years
ln(17) 5 ≈0.567 ln(17) 5 ≈0.567
x= log( 38 )+5log( 3 ) 4log( 3 ) ≈2.078 x= log( 38 )+5log( 3 ) 4log( 3 ) ≈2.078
x≈2.2401 x≈2.2401
x≈−44655.7143 x≈−44655.7143
about 5.83 5.83
t=ln( ( y A ) 1 k ) t=ln( ( y A ) 1 k )
t=ln( ( T− T s T 0 − T s ) − 1 k ) t=ln( ( T− T s T 0 − T s ) − 1 k )
6.7 Section Exercises
Half-life is a measure of decay and is thus associated with exponential decay models. The half-life of a substance or quantity is the amount of time it takes for half of the initial amount of that substance or quantity to decay.
Doubling time is a measure of growth and is thus associated with exponential growth models. The doubling time of a substance or quantity is the amount of time it takes for the initial amount of that substance or quantity to double in size.
An order of magnitude is the nearest power of ten by which a quantity exponentially grows. It is also an approximate position on a logarithmic scale; Sample response: Orders of magnitude are useful when making comparisons between numbers that differ by a great amount. For example, the mass of Saturn is 95 times greater than the mass of Earth. This is the same as saying that the mass of Saturn is about 10 2 10 2 times, or 2 orders of magnitude greater, than the mass of Earth.
f(0)≈16.7; f(0)≈16.7; The amount initially present is about 16.7 units.
150
exponential; f(x)= 1.2 x f(x)= 1.2 x
logarithmic
logarithmic
about 1.4 1.4 years
about 7.3 7.3 years
4 4 half-lives; 8.18 8.18 minutes
M= 2 3 log( S S 0 ) log( S S 0 )= 3 2 M S S 0 = 10 3M 2 S= S 0 10 3M 2 M= 2 3 log( S S 0 ) log( S S 0 )= 3 2 M S S 0 = 10 3M 2 S= S 0 10 3M 2
Let y= b x y= b x for some non-negative real number b b such that b≠1. b≠1. Then,
ln(y)=ln( b x ) ln(y)=xln(b) e ln(y) = e xln(b) y= e xln(b) ln(y)=ln( b x ) ln(y)=xln(b) e ln(y) = e xln(b) y= e xln(b)
A=125 e ( −0.3567t ) ;A≈43 A=125 e ( −0.3567t ) ;A≈43 mg
about 60 60 days
A(t)=250 e (−0.00822t) ; A(t)=250 e (−0.00822t) ; half-life: about 84 84 minutes
r≈−0.0667, r≈−0.0667, So the hourly decay rate is about 6.67% 6.67%
f(t)=1350 e (0.03466t) ; f(t)=1350 e (0.03466t) ; after 3 hours: P(180)≈691,200 P(180)≈691,200
f(t)=256 e (0.068110t) ; f(t)=256 e (0.068110t) ; doubling time: about 10 10 minutes
about 88 88 minutes
T(t)=90 e (−0.008377t) +75, T(t)=90 e (−0.008377t) +75, where t t is in minutes.
about 113 113 minutes
log( x )=1.5;x≈31.623 log( x )=1.5;x≈31.623
MMS magnitude: 5.82 5.82
N(3)≈71 N(3)≈71
C
6.8 Section Exercises
Logistic models are best used for situations that have limited values. For example, populations cannot grow indefinitely since resources such as food, water, and space are limited, so a logistic model best describes populations.
Regression analysis is the process of finding an equation that best fits a given set of data points. To perform a regression analysis on a graphing utility, first list the given points using the STAT then EDIT menu. Next graph the scatter plot using the STAT PLOT feature. The shape of the data points on the scatter graph can help determine which regression feature to use. Once this is determined, select the appropriate regression analysis command from the STAT then CALC menu.
The y-intercept on the graph of a logistic equation corresponds to the initial population for the population model.
C
B
P(0)=22 P(0)=22 ; 175
p≈2.67 p≈2.67
y-intercept: ( 0,15 ) ( 0,15 )
4 4 koi
about 6.8 6.8 months.
About 38 wolves
About 8.7 years
f(x)= 776.682(1.426)x f(x)=776.682(1.426)x
f(x)= 731.92e-0.3038x f(x)=731.92e-0.3038x
When f(x)= 250, x≈3.6 f(x)=250, x≈3.6
y=5.063+1.934log(x) y=5.063+1.934log(x)
When f(10) ≈2.3 f(10)≈2.3
When f(x)= 8, x≈0.82 f(x)=8, x≈0.82
f(x)= 25.081 1+3.182 e −0.545x f(x)= 25.081 1+3.182 e −0.545x
About 25
When f(x)= 68, x≈4.9 f(x)=68, x≈4.9
f(x)= 1.034341(1.281204)x f(x)=1.034341(1.281204)x ; g(x)= 4.035510 g(x)=4.035510 ; the regression curves are symmetrical about y=xy=x , so it appears that they are inverse functions.
f −1 ( x ) = ln(a)-ln(cx-1) b f −1 ( x ) = ln(a)-ln(cx-1) b
Review Exercises
exponential decay; The growth factor, 0.825, 0.825, is between 0 0 and 1. 1.
y=0.25 ( 3 ) x y=0.25 ( 3 ) x
$42,888.18 $42,888.18
continuous decay; the growth rate is negative.
domain: all real numbers; range: all real numbers strictly greater than zero; y-intercept: (0, 3.5);
g(x)=7 ( 6.5 ) −x ; g(x)=7 ( 6.5 ) −x ; y-intercept: (0,7); (0,7); Domain: all real numbers; Range: all real numbers greater than 0. 0.
17 x =4913 17 x =4913
log a b=− 2 5 log a b=− 2 5
x= 64 1 3 =4 x= 64 1 3 =4
log( 0.000001 )=−6 log( 0.000001 )=−6
ln( e −0.8648 )=−0.8648 ln( e −0.8648 )=−0.8648
Domain: x>−5; x>−5; Vertical asymptote: x=−5; x=−5; End behavior: as x→− 5 + ,f(x)→−∞ x→− 5 + ,f(x)→−∞ and as x→∞,f(x)→∞. x→∞,f(x)→∞.
log 8 ( 65xy ) log 8 ( 65xy )
ln( z xy ) ln( z xy )
log y ( 12 ) log y ( 12 )
ln( 2 )+ln( b )+ ln( b+1 )−ln( b−1 ) 2 ln( 2 )+ln( b )+ ln( b+1 )−ln( b−1 ) 2
log 7 ( v 3 w 6 u 3 ) log 7 ( v 3 w 6 u 3 )
x= log( 125 ) log( 5 ) +17 12 = 5 3 x= log( 125 ) log( 5 ) +17 12 = 5 3
x=−3 x=−3
no solution
no solution
x=ln( 11 ) x=ln( 11 )
a= e 4 −3 a= e 4 −3
x=± 9 5 x=± 9 5
about 5.45 5.45 years
f −1 ( x )= 2 4x −1 3 f −1 ( x )= 2 4x −1 3
f(t)=300 ( 0.83 ) t ; f(t)=300 ( 0.83 ) t ;f(24)≈3.43 g f(24)≈3.43 g
about 45 45 minutes
about 8.5 8.5 days
exponential
y=4 ( 0.2 ) x ; y=4 ( 0.2 ) x ; y=4 e -1.609438x y=4 e -1.609438x
about 7.2 7.2 days
logarithmic; y=16.68718−9.71860ln(x) y=16.68718−9.71860ln(x)
Practice Test
About 13 dolphins.
$1,947 $1,947
y-intercept: (0,5) (0,5)
8.5 a =614.125 8.5 a =614.125
x= ( 1 7 ) 2 = 1 49 x= ( 1 7 ) 2 = 1 49
ln( 0.716 )≈−0.334 ln( 0.716 )≈−0.334
Domain: x<3; x<3; Vertical asymptote: x=3; x=3; End behavior: x→ 3 − ,f(x)→−∞ x→ 3 − ,f(x)→−∞ and x→−∞,f(x)→∞ x→−∞,f(x)→∞
log t ( 12 ) log t ( 12 )
3ln( y )+2ln( z )+ ln( x−4 ) 3 3ln( y )+2ln( z )+ ln( x−4 ) 3
x= ln( 1000 ) ln( 16 ) +5 3 ≈2.497 x= ln( 1000 ) ln( 16 ) +5 3 ≈2.497
a= ln( 4 )+8 10 a= ln( 4 )+8 10
no solution
x=ln( 9 ) x=ln( 9 )
x=± 3 3 2 x=± 3 3 2
f(t)=112 e −.019792t ; f(t)=112 e −.019792t ; half-life: about 35 35 days
T(t)=36 e −0.025131t +35;T( 60 )≈ 43 o F T(t)=36 e −0.025131t +35;T( 60 )≈ 43 o F
logarithmic
exponential; y=15.10062 ( 1.24621 ) x y=15.10062 ( 1.24621 ) x
logistic; y= 18.41659 1+7.54644 e −0.68375x y= 18.41659 1+7.54644 e −0.68375x