Try It
6π 6π
1 2 1 2 compressed
π 2 ; π 2 ; right
2 units up
midline: y=0; y=0; amplitude: | A |= 1 2 ; | A |= 1 2 ; period: P= 2π | B | =6π; P= 2π | B | =6π; phase shift: C B =π C B =π
f( x )=sin(x)+2 f( x )=sin(x)+2
two possibilities: y=4sin( π 5 x− π 5 )+4 y=4sin( π 5 x− π 5 )+4 or y=−4sin( π 5 x+ 4π 5 )+4 y=−4sin( π 5 x+ 4π 5 )+4
midline: y=0; y=0; amplitude: | A |=0.8; | A |=0.8; period: P= 2π | B | =π; P= 2π | B | =π; phase shift: C B =0 C B =0 or none
midline: y=0; y=0; amplitude: | A |=2; | A |=2; period: P= 2π | B | =6; P= 2π | B | =6; phase shift: C B =− 1 2 C B =− 1 2
7
y=3cos( x )−4 y=3cos( x )−4
It would be reflected across the line y=−1, y=−1, becoming an increasing function.
g(x)=4tan(2x) g(x)=4tan(2x)
This is a vertical reflection of the preceding graph because A A is negative.
arccos(0.8776)≈0.5 arccos(0.8776)≈0.5
ⓐ− π 2 ; − π 2 ;
ⓑ − π 4 ; − π 4 ;
ⓒ π; π;
ⓓ π 3 π 3
1.9823 or 113.578°
sin −1 (0.6)=36.87°=0.6435 sin −1 (0.6)=36.87°=0.6435 radians
π 8 ; 2π 9 π 8 ; 2π 9
3π 4 3π 4
12 13 12 13
4 2 9 4 2 9
4x 16 x 2 +1 4x 16 x 2 +1
4.1 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਇਹ ਗੁਣ ਹੈ ਕਿ f(x+P)=f(x) ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ P ਲਈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਫਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹਰ P ਇਕਾਈ ਲਈ ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਸਥਿਰ A (ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ) ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਕੁੱਲ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਵਧਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਥਿਰ D (ਲੰਬਵਤ ਸ਼ਿਫਟ) ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿਸਕਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਜਿੱਥੇ t ਦਾ ਟਰਮੀਨਲ ਪਾਸਾ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ sin(t) ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 2/3; ਪੀਰੀਅਡ: 2π; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=0; ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: y=2/3 x=2π 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ: y=−2/3 x=π 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ 0 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 2π 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 4; ਪੀਰੀਅਡ: 2π; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=0; ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ y=4 x=π/2 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ: y=−4 x=3π/2 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਪੀਰੀਅਡ x=0 ਤੋਂ x=2π ਤੱਕ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 1; ਪੀਰੀਅਡ: π; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=0; ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: y=1 x=π 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ: y=−1 x=π/2 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਪੀਰੀਅਡ x=0 ਤੋਂ x=π ਤੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 4; ਪੀਰੀਅਡ: 2; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=0; ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: y=4 x=2 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ: y=−4 x=1 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 3; ਪੀਰੀਅਡ: π/4; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=5; ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: y=8 x=0.12 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ: y=2 x=0.516 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ: −4; ਲੰਬਵਤ ਅਨੁਵਾਦ 5; ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ x=0 ਤੋਂ x=π/4 ਤੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 5; ਪੀਰੀਅਡ: 2π/5; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=−2; ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: y=3 x=0.08 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ: y=−7 x=0.71 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ: −4; ਲੰਬਵਤ ਅਨੁਵਾਦ: −2; ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਪੀਰੀਅਡ x=0 ਤੋਂ x=2π/5 ਤੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 1; ਪੀਰੀਅਡ: 2π; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=1; ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: y=2 x=2.09 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ: y=0 t=5.24 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ: −π/3; ਲੰਬਵਤ ਅਨੁਵਾਦ: 1; ਇੱਕ ਪੂਰਾ ਪੀਰੀਅਡ t=0 ਤੋਂ t=2π ਤੱਕ ਹੈ।
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 1; ਪੀਰੀਅਡ: 4π; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=0; ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: y=1 t=11.52 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ: y=−1 t=5.24 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ; ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ: −10π/3; ਲੰਬਵਤ ਸ਼ਿਫਟ: 0।
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 2; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=−3; ਪੀਰੀਅਡ: 4; ਸਮੀਕਰਨ: f(x)=2sin(π/2 x)−3
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 2; ਪੀਰੀਅਡ: 5; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=3; ਸਮੀਕਰਨ: f(x)=−2cos(2π/5 x)+3
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 4; ਪੀਰੀਅਡ: 2; ਮੱਧ ਰੇਖਾ: y=0; ਸਮੀਕਰਨ: f(x)=−4cos(π(x−π/2))
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 2; ਪੀਰੀਅਡ: 2; ਮੱਧ ਰੇਖਾ y=1; ਸਮੀਕਰਨ: f(x)=2cos(πx)+1
0, π
sin(π/2)=1
π/2
f(x)=sin(x) ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ।
π/3, 5π/3
Maximum: 1 1 at x= 0 x=0 ; minimum: -1 -1 at x= π x=π
A linear function is added to a periodic sine function. The graph does not have an amplitude because as the linear function increases without bound the combined function h(x)=x+sinx h(x)=x+sinx will increase without bound as well. The graph is bounded between the graphs of y=x+1 y=x+1 and y=x-1 y=x-1 because sine oscillates between −1 and 1.
There is no amplitude because the function is not bounded.
The graph is symmetric with respect to the y-axis and there is no amplitude because the function’s bounds decrease as |x| |x| grows. There appears to be a horizontal asymptote at y=0 y=0 .
8.2 Section Exercises
Since y=cscx y=cscx is the reciprocal function of y=sinx, y=sinx, you can plot the reciprocal of the coordinates on the graph of y=sinx y=sinx to obtain the y-coordinates of y=cscx. y=cscx. The x-intercepts of the graph y=sinx y=sinx are the vertical asymptotes for the graph of y=cscx. y=cscx.
Answers will vary. Using the unit circle, one can show that tan( x+π )=tanx. tan( x+π )=tanx.
The period is the same: 2π. 2π.
IV
III
period: 8; horizontal shift: 1 unit to left
1.5
5
−cotxcosx−sinx −cotxcosx−sinx
stretching factor: 2; period: π 4 ; π 4 ; asymptotes: x= 1 4 ( π 2 +πk )+8, where k is an integer x= 1 4 ( π 2 +πk )+8, where k is an integer
stretching factor: 6; period: 6; asymptotes: x=3k, where k is an integer x=3k, where k is an integer
stretching factor: 1; period: π; π; asymptotes: x=πk, where k is an integer x=πk, where k is an integer
Stretching factor: 1; period: π; π; asymptotes: x= π 4 +πk, where k is an integer x= π 4 +πk, where k is an integer
stretching factor: 2; period: 2π; 2π; asymptotes: x=πk, where k is an integer x=πk, where k is an integer
stretching factor: 4; period: 2π 3 ; 2π 3 ; asymptotes: x= π 6 k, where k is an odd integer x= π 6 k, where k is an odd integer
stretching factor: 7; period: 2π 5 ; 2π 5 ; asymptotes: x= π 10 k, where k is an odd integer x= π 10 k, where k is an odd integer
stretching factor: 2; period: 2π; 2π; asymptotes: x=− π 4 +πk, where k is an integer x=− π 4 +πk, where k is an integer
stretching factor: 7 5 ; 7 5 ; period: 2π; 2π; asymptotes: x= π 4 +πk, where k is an integer x= π 4 +πk, where k is an integer
y=tan( 3( x− π 4 ) )+2 y=tan( 3( x− π 4 ) )+2
f( x )=csc( 2x ) f( x )=csc( 2x )
f( x )=csc( 4x ) f( x )=csc( 4x )
f( x )=2cscx f( x )=2cscx
f(x)= 1 2 tan(100πx) f(x)= 1 2 tan(100πx)
ⓐ ( − π 2 , π 2 ); ( − π 2 , π 2 );
ⓑ
ⓒ x=− π 2 x=− π 2 and x= π 2 ; x= π 2 ; the distance grows without bound as | x | | x | approaches π 2 π 2 —i.e., at right angles to the line representing due north, the boat would be so far away, the fisherman could not see it;
ⓓ3; when x=− π 3 , x=− π 3 , the boat is 3 km away;
ⓔ 1.73; when x= π 6 , x= π 6 , the boat is about 1.73 km away;
ⓕ 1.5 km; when x=0 x=0
ⓐ h( x )=2tan( π 120 x ); h( x )=2tan( π 120 x );
ⓑ
ⓒ h( 0 )=0: h( 0 )=0: after 0 seconds, the rocket is 0 mi above the ground; h( 30 )=2: h( 30 )=2: after 30 seconds, the rockets is 2 mi high;
ⓓAs x x approaches 60 seconds, the values of h( x ) h( x ) grow increasingly large. The distance to the rocket is growing so large that the camera can no longer track it.
8.3 Section Exercises
The function y=sinx y=sinx is one-to-one on [ − π 2 , π 2 ]; [ − π 2 , π 2 ]; thus, this interval is the range of the inverse function of y=sinx, y=sinx, f(x)= sin −1 x. f(x)= sin −1 x. The function y=cosx y=cosx is one-to-one on [ 0,π ]; [ 0,π ]; thus, this interval is the range of the inverse function of y=cosx,f(x)= cos −1 x. y=cosx,f(x)= cos −1 x.
π 6 π 6 is the radian measure of an angle between − π 2 − π 2 and π 2 π 2 whose sine is 0.5.
In order for any function to have an inverse, the function must be one-to-one and must pass the horizontal line test. The regular sine function is not one-to-one unless its domain is restricted in some way. Mathematicians have agreed to restrict the sine function to the interval [ − π 2 , π 2 ] [ − π 2 , π 2 ] so that it is one-to-one and possesses an inverse.
True . The angle, θ 1 θ 1 that equals arccos(−x) arccos(−x), x>0 x>0, will be a second quadrant angle with reference angle, θ 2 θ 2, where θ 2 θ 2 equals arccosx arccosx, x>0 x>0. Since θ 2 θ 2 is the reference angle for θ 1 θ 1, θ 2 =π− θ 1 θ 2 =π− θ 1 and arccos(−x) arccos(−x) = π−arccosx π−arccosx-
− π 6 − π 6
3π 4 3π 4
− π 3 − π 3
π 3 π 3
1.98
0.93
1.41
0.56 ਰੇਡੀਅਨ
0
0.71
-0.71
− π 4 − π 4
0.8
5 13 5 13
x−1 − x 2 +2x x−1 − x 2 +2x
x 2 −1 x x 2 −1 x
x+0.5 − x 2 −x+ 3 4 x+0.5 − x 2 −x+ 3 4
2x+1x+12x+1x+1
2x+1 x 2x+1 x
t t
ਡੋਮੇਨ [ −1,1 ]; ਰੇਂਜ [ 0,π ]
ਲਗਭਗ x=0.00
0.395 ਰੇਡੀਅਨ
1.11 ਰੇਡੀਅਨ
1.25 ਰੇਡੀਅਨ
0.405 ਰੇਡੀਅਨ
ਨਹੀਂ। ਪੌੜੀ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਕੋਣ 60 ਡਿਗਰੀ ਹੈ।
ਸਮੀਖਿਆ ਅਭਿਆਸ
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 3; ਪੀਰੀਅਡ: 2π; ਮਿਡਲਾਈਨ: y=3; ਕੋਈ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 3; ਪੀਰੀਅਡ: 2π; ਮਿਡਲਾਈਨ: y=0; ਕੋਈ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 3; ਪੀਰੀਅਡ: 2π; ਮਿਡਲਾਈਨ: y=−4; ਕੋਈ ਅਸਮਤੋਟ ਨਹੀਂ
6; 2π 3 ; y=−1; ਕੋਈ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਨਹੀਂ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਗੁਣਾਂਕ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ; ਅਵਧੀ: π; y=−4; ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: x= π 2 +πk, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਗੁਣਾਂਕ: 3; ਅਵਧੀ: π 4 ; y=−2; ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: x= π 8 + π 4 k, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ; ਅਵਧੀ: 2π; ਕੋਈ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਹੀਂ; ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: x= π 2 k, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ; ਅਵਧੀ: 2π 5 ; ਕੋਈ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਹੀਂ; ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: x= π 5 k, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ; ਅਵਧੀ: 4π; ਕੋਈ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਹੀਂ; ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: x=2πk, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ: 20,000; ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ: 4,000
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 8,000; ਅਵਧੀ: 10; ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ: 0
2007 ਵਿੱਚ, ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਆਬਾਦੀ 4,413 ਹੈ। 2010 ਵਿੱਚ, ਆਬਾਦੀ 11,924 ਹੋਵੇਗੀ।
5 ਇੰਚ
10 ਸਕਿੰਟ
π 6
π 4
π 3
ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ
12 5
ਗ੍ਰਾਫ y=x ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਉਹ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਜਾਪਦੇ ਹਨ।
ਅਭਿਆਸ ਟੈਸਟ
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 0.5; ਅਵਧੀ: 2π; ਮਿਡਲਾਈਨ y=0
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 5; ਅਵਧੀ: 2π; ਮਿਡਲਾਈਨ: y=0
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 1; ਅਵਧੀ: 2π; ਮਿਡਲਾਈਨ: y=1
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: 3; ਅਵਧੀ: 6π; ਮਿਡਲਾਈਨ: y=0
ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ; ਅਵਧੀ: π; ਮਿਡਲਾਈਨ: y=0, ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: x= 2π 3 +πk, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ
amplitude: none; period: 2π 3 ; 2π 3 ; midline: y=0, y=0, asymptotes: x= π 3 k, x= π 3 k, where k k is an integer
amplitude: none; period: 2π; 2π; midline: y=−3 y=−3
amplitude: 2; period: 2; midline: y=0; y=0; f( x )=2sin( π( x−1 ) ) f( x )=2sin( π( x−1 ) )
amplitude: 1; period: 12; phase shift: −6; −6; midline y=−3 y=−3
D( t )=68−12sin( π 12 x ) D( t )=68−12sin( π 12 x )
period: π 6 ; π 6 ; horizontal shift: −7 −7
f( x )=sec( πx ); f( x )=sec( πx ); period: 2; phase shift: 0
4 4
The views are different because the period of the wave is 1 25 . 1 25 . Over a bigger domain, there will be more cycles of the graph.
3 5 3 5
On the approximate intervals ( 0.5,1 ),( 1.6,2.1 ),( 2.6,3.1 ),( 3.7,4.2 ),( 4.7,5.2 ),(5.6,6.28) ( 0.5,1 ),( 1.6,2.1 ),( 2.6,3.1 ),( 3.7,4.2 ),( 4.7,5.2 ),(5.6,6.28)
f( x )=2cos( 12( x+ π 4 ) )+3 f( x )=2cos( 12( x+ π 4 ) )+3
This graph is periodic with a period of 2π. 2π.
π 3 π 3
π 2 π 2
1− ( 1−2x ) 2 1− ( 1−2x ) 2
1 1+ x 4 1 1+ x 4
x+1 x x+1 x
False
approximately 0.07 radians