1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਕਿਸੇ ਵਕਰ (curve) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (tangent line) ਦੀ ਢਲਾਣ (slope) ਉਸ ਵਕਰ ਦੇ ਤਤਕਾਲੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ (instantaneous rate of change) ਨੂੰ ਮਾਪਦੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ (difference quotient) ਦੀ ਸੀਮਾ (limit) ਲੱਭ ਕੇ ਜਾਂ ਵਾਧੇ h.h ਵਾਲੇ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ ਦੁਆਰਾ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਕਿਸੇ ਫਲਨ (function) f(x)f(x) ਦਾ ਕਿਸੇ ਮੁੱਲ aa ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਜ (derivative) ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
4. ਵੇਗ (velocity) ਸਥਿਤੀ (position) ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੇਂ tt ਉੱਤੇ ਵੇਗ v(t)v(t) ਸਮੇਂ t.t ਉੱਤੇ ਸਥਿਤੀ s(t)s(t) ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਹੈ। ਔਸਤ ਵੇਗ vave=s(t)−s(a)t−a.vave=s(t)−s(a)t−a ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਤਕਾਲੀ ਵੇਗ v(a)=s′(a)=limt→as(t)−s(a)t−a.v(a)=s′(a)=limt→as(t)−s(a)t−a ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
5. ਅਸੀਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ (table of values) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਅਵਕਲਜ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
6. ਕਿਸੇ ਫਲਨ f(x)f(x) ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਉਹ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ xx ਉੱਤੇ f′(x).f′(x) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
7. ਕਿਸੇ ਫਲਨ f(x)f(x) ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ f(x).f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ f(x)f(x) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਧਨ (positive) ਹੈ, f′(x)>0.f′(x)>0। ਜਿੱਥੇ f(x)f(x) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਣ ਰਿਣ (negative) ਹੈ, f′(x)<0.f′(x)<0। ਜਿੱਥੇ f(x)f(x) ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖਿਤਿਜੀ (horizontal) ਹੈ, f′(x)=0.f′(x)=0।
8. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫਲਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ (differentiable) ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ (continuous) ਹੈ। ਕੋਈ ਫਲਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਉਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਖੜਵੀਂ (vertical) ਹੈ, ਜਾਂ ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਕੋਈ ਤਿੱਖਾ ਕੋਨਾ (sharp corner) ਜਾਂ ਕਸਪ (cusp) ਹੈ।
9. ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ (higher-order) ਅਵਕਲਜ, ਅਵਕਲਜਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਹਨ, ਦੂਜੇ ਅਵਕਲਜ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ n-ਵੇਂ (nth) ਅਵਕਲਜ ਤੱਕ।
10. ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਫਲਨ (constant function) ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
11. ਕਿਸੇ ਘਾਤ ਫਲਨ (power function) ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ xx ਉੱਤੇ ਘਾਤ (power) ਪਦ (term) ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ (coefficient) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਵਕਲਜ ਵਿੱਚ xx ਉੱਤੇ ਘਾਤ 1 ਘੱਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
12. ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ c ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਫਲਨ f ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ, ਸਥਿਰ ਨੂੰ f ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
13. ਕਿਸੇ ਫਲਨ f ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਫਲਨ g ਦੇ ਜੋੜ (sum) ਦਾ ਅਵਕਲਜ, f ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਅਤੇ g ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
14. ਕਿਸੇ ਫਲਨ f ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਫਲਨ g ਦੇ ਅੰਤਰ (difference) ਦਾ ਅਵਕਲਜ, f ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਅਤੇ g ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
15. ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ (product) ਦਾ ਅਵਕਲਜ, ਪਹਿਲੇ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਗੁਣਾ ਦੂਜਾ ਫਲਨ, ਜੋੜ ਦੂਜੇ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਗੁਣਾ ਪਹਿਲਾ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
16. ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ (quotient) ਦਾ ਅਵਕਲਜ, ਪਹਿਲੇ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਗੁਣਾ ਦੂਜਾ ਫਲਨ, ਘਟਾਓ ਦੂਜੇ ਫਲਨ ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਗੁਣਾ ਪਹਿਲਾ ਫਲਨ, ਇਹ ਸਭ ਦੂਜੇ ਫਲਨ ਦੇ ਵਰਗ (square) ਦੁਆਰਾ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
17. ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਜ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ (limit definition) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਸਹਾਰਾ ਲਏ ਬਿਨਾਂ ਅਵਕਲਜ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਕੱਲੇ ਜਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਸੁਮੇਲ (combination) ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
18. f(a+h)≈f(a)+f′(a)h,f(a+h)≈f(a)+f′(a)h ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, f′(a)f′(a) ਅਤੇ f(a).f(a) ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ f(a+h)f(a+h) ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ।
19. ਸਥਿਤੀ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਵੇਗ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੇਗ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਤੋਰਨ (acceleration) ਹੈ। ਗਤੀ (speed) ਵੇਗ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ (absolute value), ਜਾਂ ਮਾਤਰਾ (magnitude) ਹੈ।
20. ਭਵਿੱਖੀ ਆਬਾਦੀ (population) ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਅਤੇ ਮੌਜੂਦਾ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
21. ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ (marginal cost), ਸੀਮਾਂਤ ਮਾਲੀਆ (marginal revenue), ਅਤੇ ਸੀਮਾਂਤ ਮੁਨਾਫ਼ਾ (marginal profit) ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਸਤੂ (item) ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ, ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਸਤੂ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮਾਲੀਆ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਸਤੂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਅਤੇ ਵਿਕਰੀ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮੁਨਾਫ਼ੇ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
22. ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਜ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ ਪਹਿਲਾਂ ਲੱਭੇ ਗਏ ਸੀਮਾ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ sin x ਅਤੇ cos x ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨਤੀਜੇ ਹਨ ddxsinx=cosxddxcosx=−sinx.ddxsinx=cosxddxcosx=−sinx।
23. ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸੂਤਰਾਂ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਛੇ ਮੂਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ (trigonometric functions) ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
24. ਚੇਨ ਰੂਲ (chain rule) ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ (compositions) ਦਾ ਅਵਕਲਜ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ h(x)=f(g(x)),h(x)=f(g(x)) ਲਈ, h′(x)=f′(g(x))g′(x).h′(x)=f′(g(x))g′(x)। ਲੀਬਨਿਜ਼ (Leibniz) ਦੀ ਨੋਟੇਸ਼ਨ (notation) ਵਿੱਚ ਇਹ ਨਿਯਮ dydx=dydu·dudx.dydx=dydu·dudx ਰੂਪ ਧਾਰਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਿੱਖੇ ਹੋਏ ਹੋਰ ਨਿਯਮਾਂ ਨਾਲ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿਉਤਪੰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚੇਨ ਰੂਲ ਪਾਵਰ ਰੂਲ ਨਾਲ ਮਿਲ ਕੇ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਨਿਯਮ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ: ਜੇਕਰ h(x)=(g(x))n ਹੈ, ਤਾਂ h′(x)=n(g(x))n−1g′(x)। ਜੇਕਰ h(x)=(g(x))n ਹੈ, ਤਾਂ h′(x)=n(g(x))n−1g′(x)।
ਜਦੋਂ ਤਿੰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਚੇਨ ਰੂਲ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: ਜੇਕਰ h(x)=f(g(k(x))) ਹੈ, ਤਾਂ h′(x)=f′(g(k(x))g′(k(x))k′(x)। ਜੇਕਰ h(x)=f(g(k(x))) ਹੈ, ਤਾਂ h′(x)=f′(g(k(x))g′(k(x))k′(x)।
ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਨਵਰਸ ਟ੍ਰਿਗਨੋਮੈਟ੍ਰਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਵਰਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ) ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ y=bx, b>0 ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ ਅਤੇ 0 'ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ ਅਵਕਲਨੀਯ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਅਵਕਲਜ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਅਸੀਂ y=lnx ਦੇ ਅਵਕਲਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸਬੰਧ logbx=lnxlnb ਸਾਨੂੰ ਸਾਡੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਧਾਰ ਵਾਲੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਲਘੂਗਣਕੀ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ y=g(x)f(x) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਜਟਿਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਲੈ ਕੇ ਅਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਲਾਭ ਉਠਾ ਕੇ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।