1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ∑i=1nai∑i=1nai ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਿਗਮਾ (ਜੋੜ) ਸੰਕੇਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਲੰਮੇ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ।
3. [a,b],[a,b] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ n ਬਰਾਬਰ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ, ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੱਕ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ, ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਲੜੀ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ।
4. ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ Δx=b−an.Δx=b−an ਹੈ।
5. ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ∑i=1nf(xi*)Δx,∑i=1nf(xi*)Δx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ y=f(x).y=f(x) ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ {xi*}{xi*} ਦੇ ਮੁੱਲ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
6. ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ {xi*}{xi*} ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਲਚਕਤਾ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਜਾਂ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲਾ ਜੋੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਨਜ਼ਰ ਨਾਲ।
7. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਉਪਯੋਗ ਸ਼ੁੱਧ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਘਟਾਓ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ। ਸ਼ੁੱਧ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ, ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
8. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਭਾਗ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ।
9. ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੋ ਫਲਨ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਉਹ ਅਜੇ ਵੀ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
10. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
11. ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
12. ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
13. ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਮੁੱਲ c ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(c)f(c) ਫਲਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੇਖੋ।
14. ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1 ਦੇਖੋ।
15. ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2, ਇਸਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2 ਦੇਖੋ।
16. ਸ਼ੁੱਧ ਪਰਿਵਰਤਨ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪਲੱਸ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁੱਧ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ, ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ, ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
17. ਇੱਕ ਸਮ ਫਲਨ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਮਮਿਤੀ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰਕੇ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫਲਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਮਮਿਤੀ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅੱਧਾ ਖੇਤਰਫਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
18. ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਹੈ ਜੋ ਚੇਨ-ਰੂਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। 'ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ' ਸ਼ਬਦ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਉਚਿਤ ਪ੍ਰਗਟਾਵਿਆਂ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਬਦਲਣ ਜਾਂ ਵੇਰੀਏਬਲ u ਅਤੇ du ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
19. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਬਦਲਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
20. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫਲਨ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਸੰਸਾਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉਭਰਦੇ ਹਨ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਜੋ ਵਿਕਾਸ ਅਤੇ ਕਮੀ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ।
21. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਜਾਂ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਕਸਰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
22. ਵਿਪਰੀਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਲਈ ਸੂਤਰ ਜੋ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਸਿੱਧੇ ਵਿਪਰੀਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਸੂਤਰਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
23. ਵਿਪਰੀਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਸੂਤਰਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਸਹੀ ਫਾਰਮੈਟ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਬਦਲਾਅ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਣ।
24. ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਨੂੰ ਸਹੀ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਪਾਉਣ ਲਈ ਅਕਸਰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।