ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਜਾਂ ਜੇਕਰ ਖੇਤਰ ਜਟਿਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ (absolute value) ਵਰਤੋ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਈ ਵਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ y ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਆਸਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਏਕੀਕਰਨ (integration) ਦੇ ਚਲ (variable) ਵਜੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇ, ਸਿਧਾਂਤ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਠੋਸ ਵਸਤੂਆਂ (solids) ਦੇ ਆਇਤਨ (volumes) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਲਾਈਸਿੰਗ (slicing) ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ (cross-sectional) ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀਆਂ ਠੋਸ ਵਸਤੂਆਂ (solids of revolution) ਲਈ, ਆਇਤਨ ਦੇ ਸਲਾਈਸ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਡਿਸਕ (disks) ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਚੱਕਰ (circles) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਵਿੱਚ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਉਸ ਖਾਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਚੱਕਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਠੋਸ ਵਸਤੂ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਖੋਖਲਾਪਨ (cavity) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਆਇਤਨ ਦੇ ਸਲਾਈਸ ਵਾਸ਼ਰ (washers) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਨਾਲ, ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚੋਂ ਘਟਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸ਼ੈੱਲ (cylindrical shells) ਵਿਧੀ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਠੋਸ ਵਸਤੂ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਧੀ ਕਈ ਵਾਰ ਡਿਸਕ ਜਾਂ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਨਾਲੋਂ ਤਰਜੀਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਚਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਕਾਫ਼ੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਜਟਿਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ (geometry) ਅਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਮੁਸ਼ਕਲ, ਕਿਹੜੀ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਵਿਧੀ ਵਰਤਣੀ ਹੈ, ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਕਾਰਕ ਹਨ।
ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ (arc length) ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ (line segments) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ (approximated) ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਰੀਮੈਨਨ ਜੋੜ (Riemann sum) ਤਿਆਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਸੀਮਾ (limit) ਲੈਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਸੂਤਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ (surface of revolution) ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ (surface area) ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਆਮ (generalized) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੋਵਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਅਕਸਰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੰਟੀਗਰਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀਆਂ ਕਈ ਭੌਤਿਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ (physical applications) ਆਮ ਹਨ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (density function) ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਸ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ (mass) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕੰਮ (Work) ਦੀ ਗਣਨਾ ਵੀ ਇੱਕ ਬਲ ਫੰਕਸ਼ਨ (force function) ਨੂੰ ਇੰਟੀਗਰੇਟ ਕਰਕੇ, ਜਾਂ ਗੁਰੂਤਾ ਦੇ ਬਲ ਦਾ ਮੁਕਾਬਲਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ (pumping problem) ਵਿੱਚ, ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਲਾਏ ਗਏ ਬਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ (system) ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (center of mass) ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨੂੰ ਬਿਨਾਂ ਮੋਮੈਂਟ (moment) ਬਦਲੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਧਾਰਨ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂ (balancing point) ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ (number line) 'ਤੇ ਵੰਡੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ (point masses) ਲਈ, ਮੂਲ (origin) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ M=∑i=1nmixi ਹੈ। ਇੱਕ ਤਲ (plane) ਵਿੱਚ ਵੰਡੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਲਈ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ (axes) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ Mx=∑i=1nmiyi ਅਤੇ My=∑i=1nmixi ਹਨ।
f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰੋਂ ਸੀਮਿਤ (bounded) ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ (lamina) ਲਈ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ Mx=ρ∫ab[f(x)]22dx ਅਤੇ My=ρ∫abxf(x)dx ਹਨ।
ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (coordinates) ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ y-ਧੁਰੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਿਧਾਂਤ (symmetry principle) ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਖੇਤਰ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਰੂਪ (symmetric) ਹੈ, ਤਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ (centroid) ਉਸ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪੈਪਸ (Pappus) ਦਾ ਆਇਤਨ ਲਈ ਪ੍ਰਮੇਯ (theorem) ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਧੁਰੇ (external axis) ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਬਣੀ ਠੋਸ ਵਸਤੂ ਦਾ ਆਇਤਨ, ਖੇਤਰ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਇਡ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਲਘੂਗਣਕ (logarithms) ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (exponential functions) ਦਾ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇਲਾਜ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਅਤੇ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਸੀ। ਇਹ ਭਾਗ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਖ਼ਤ (rigorous) ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਿਕਸਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਪੱਥਰ-ਬੁਨਿਆਦ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ (natural logarithm) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੱਕ ਅਭਿੰਨ (integral) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਫਿਰ ਫਲਨ exex ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਮ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ (general exponential functions) ex,ex ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸੰਗਤ ਉਲਟ ਫਲਨ ਆਮ ਲਘੂਗਣਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਗੁਣ ਇਸ ਵਧੇਰੇ ਸਖ਼ਤ ਪ੍ਰਸੰਗ (rigorous context) ਵਿੱਚ ਵੀ ਕਾਇਮ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ (exponential growth) ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਘਾਟ (exponential decay) ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਵਰਤੋਂਵਾਂ ਹਨ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ y=y0ekt ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਵਿੱਚ, ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ (proportional) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, y′=ky।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦੁਗੁਣਾ ਸਮਾਂ (doubling time) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ (ln2)/k ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਘਾਟ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ y=y0e−kt ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਘਾਟ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ (half-life) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ (ln2)/k ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਵਲਈ ਫਲਨ (hyperbolic functions) ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਪਦ-ਦਰ-ਪਦ ਅਵਕਲਨ (term-by-term differentiation) ਪਰਵਲਈ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਅਵਕਲਨ ਸੂਤਰ (differentiation formulas) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਵਕਲਨ ਸੂਤਰ, ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਮਾਕਲਨ ਸੂਤਰਾਂ (integration formulas) ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਉਚਿਤ ਸੀਮਾ ਪਾਬੰਦੀਆਂ (range restrictions) ਨਾਲ, ਸਾਰੇ ਪਰਵਲਈ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਅਵਕਲਨ (implicit differentiation) ਉਲਟ ਪਰਵਲਈ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਅਵਕਲਨ ਸੂਤਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਪਰਵਲਈ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਭੌਤਿਕ ਵਰਤੋਂਵਾਂ ਕੈਟੇਨਰੀ (catenaries) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਗਣਨਾਵਾਂ ਹਨ।