ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਗਰੋਥ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਮਿਸ਼ਰਤ ਵਿਆਜ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।
ਡਬਲਿੰਗ ਟਾਈਮ (ਦੋਗੁਣੀ ਹੋਣ ਦਾ ਸਮਾਂ) ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਾਓ।
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਡਿਕੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਡਿਕੇ ਅਤੇ ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਕੂਲਿੰਗ ਦਾ ਕਾਨੂੰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਹਾਫ-ਲਾਈਫ (ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ) ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਾਓ।
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਦੇ ਮਾਡਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਕਈ ਕੁਦਰਤੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਤ ਵਿਆਜ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਗਿਰਾਵਟ ਅਤੇ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਕੂਲਿੰਗ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ ਤੱਕ, ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਸਰਬ-ਵਿਆਪਕ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਗਰੋਥ ਮਾਡਲ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵਾਧਾ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ y=y0ekt,y=y0ekt ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ y0y0 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ kk ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਗਰੋਥ ਕਾਂਸਟੈਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਗਰੋਥ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਹ ਹੈ, ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਮੌਜੂਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਹੈ। ਇਹ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵਾਧੇ ਦੀ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ 6.27 ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ।
ਨਿਯਮ: ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਗਰੋਥ ਮਾਡਲ
ਜੋ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵਾਧਾ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹ ਗਣਿਤਿਕ ਮਾਡਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀਆਂ ਹਨ
ਜਿੱਥੇ y0y0 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ k>0k>0 ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਗਰੋਥ ਕਾਂਸਟੈਂਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਆਬਾਦੀ ਵਾਧਾ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵਾਧੇ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਸੰਭਵ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਹੋਵੇਗੀ। ਆਖ਼ਰਕਾਰ, ਜਿੰਨੇ ਜ਼ਿਆਦਾ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਪ੍ਰਜਨਨ ਕਰਨ ਲਈ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਉਨੀ ਹੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਆਬਾਦੀ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6.79 ਅਤੇ ਸਾਰਣੀ 6.1 200200 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਆਬਾਦੀ ਅਤੇ 0.02.0.02 ਦੇ ਗਰੋਥ ਕਾਂਸਟੈਂਟ ਨਾਲ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਿਰਫ 22 ਘੰਟਿਆਂ (120120 ਮਿੰਟ) ਬਾਅਦ, ਆਬਾਦੀ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਆਕਾਰ ਤੋਂ 1010 ਗੁਣਾ ਹੈ!
ਚਿੱਤਰ 6.79: ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਲਈ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਵਾਧੇ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ।
ਸਤਰ: ਸਮਾਂ (ਮਿੰਟ) | ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਆਕਾਰ (ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਸੰਖਿਆ)
ਸਤਰ: 1010 | 244244
ਸਤਰ: 2020 | 298298
ਸਤਰ: 3030 | 364364
ਸਤਰ: 4040 | 445445
ਸਤਰ: 5050 | 544544
ਸਤਰ: 6060 | 664664
ਸਤਰ: 7070 | 811811
ਸਤਰ: 8080 | 991991
ਸਤਰ: 9090 | 12101210
1. ਕਤਾਰ: 100100 | 14781478
2. ਕਤਾਰ: 110110 | 18051805
3. ਕਤਾਰ: 120120 | 22052205
4. ਇਹ ਧਿਆਨ ਦੇਣ ਯੋਗ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ 'ਤੇ, ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਮਾਡਲ ਗੈਰ-ਪੂਰਨ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਉਸ ਵਰਤਾਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਮਾਡਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 6.42
6. ਆਬਾਦੀ ਵਾਧਾ
7. ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਣਿਤ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਆਬਾਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t)=200e0.02t,f(t)=200e0.02t ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 55 ਘੰਟਿਆਂ (300(300 ਮਿੰਟ) ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਮੌਜੂਦ ਹਨ? ਆਬਾਦੀ ਕਦੋਂ 100,000100,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?
8. ਹੱਲ
9. ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(t)=200e0.02t.f(t)=200e0.02t ਹੈ। ਫਿਰ
10. 55 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ 80,68680,686 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਹਨ।
11. ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਕਦੋਂ 100,000100,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
12. ਆਬਾਦੀ 310.73310.73 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ 100,000100,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।
13. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.42
14. ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t)=500e0.05t,f(t)=500e0.05t ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ tt ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 4 ਘੰਟਿਆਂ ਬਾਅਦ ਆਬਾਦੀ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਮੌਜੂਦ ਹਨ? ਆਬਾਦੀ ਕਦੋਂ 100100 ਮਿਲੀਅਨ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?
15. ਆਓ ਹੁਣ ਆਪਣਾ ਧਿਆਨ ਇੱਕ ਵਿੱਤੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਵੱਲ ਮੋੜੀਏ: ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ। ਜਿਸ ਵਿਆਜ ਦਾ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਉਸਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਵਿਆਜ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਧਾਰਨ ਵਿਆਜ ਇੱਕ ਵਾਰ ਭੁਗਤਾਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਸਮਾਂ ਮਿਆਦ (ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ 11 ਸਾਲ) ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 2%2% ਸਧਾਰਨ ਵਿਆਜ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਕਮਾਉਣ ਵਾਲੇ ਬੱਚਤ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $1000$1000 ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
16. ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਕਈ ਵਾਰ ਭੁਗਤਾਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਮਿਆਦ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਬੈਂਕ ਹਰ 66 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ ਵਿਆਜ ਦਾ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ 66 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਸਾਲ ਦੇ ਵਿਆਜ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹਿੱਸਾ ਜਮ੍ਹਾਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਾਲ ਦੇ ਦੂਜੇ ਅੱਧ ਦੌਰਾਨ, ਖਾਤਾ ਨਾ ਸਿਰਫ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ $1000,$1000 'ਤੇ, ਬਲਕਿ ਪਹਿਲੇ ਅੱਧੇ ਸਾਲ ਦੌਰਾਨ ਕਮਾਏ ਗਏ ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਵੀ ਵਿਆਜ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਬੋਲਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
17. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਹਰ 44 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
18. ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਵਿਆਜ ਰੋਜ਼ਾਨਾ (ਸਾਲ ਵਿੱਚ 365(365 ਵਾਰ) ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ $1020.20.$1020.20 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
19. ਹੁਣ ਆਓ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੇਰਫੇਰ ਕਰੀਏ ਤਾਂ ਜੋ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸੰਖਿਆ ee ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
20. ਇਸਦੇ ਅਧਾਰ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ (1+1/m).(1+1/m) ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ n=0.02m.n=0.02m। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਵੇਂ n→∞,n→∞, m→∞m→∞ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
21. ਅਸੀਂ ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ e.e. ਵਜੋਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਸਾਡੇ ਬੈਂਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਬਕਾਇਆ 1000e0.02t.1000e0.02t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਆਮ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ $P$P ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਕਾਏ ਵਾਲਾ ਬੈਂਕ ਖਾਤਾ r%r% ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਿਆਜ ਕਮਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ tt ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਖਾਤੇ ਦਾ ਬਕਾਇਆ ਹੈ
22. ਉਦਾਹਰਨ 6.43
23. ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ
24. ਇੱਕ 25-ਸਾਲਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰਿਟਾਇਰਮੈਂਟ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਪੈਸਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਮੌਕਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ 5%5% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ 65 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਰਿਟਾਇਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਉਸਦੇ ਕੋਲ $1$1 ਮਿਲੀਅਨ ਹੋਣ ਲਈ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਅੱਜ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਉਹ ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ 6%6% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਨਿਰੰਤਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਮਾ ਸਕਦੀ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ?
1. ਹੱਲ
2. ਅਸੀਂ
3. ਉਸਨੂੰ 5% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $135,335.28$135,335.28 ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ।
4. ਜੇ, ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਉਹ 6% ਕਮਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
5. ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਉਸਨੂੰ ਸਿਰਫ $90,717.95.$90,717.95 ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ 5% 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਰਕਮ ਦਾ ਲਗਭਗ ਦੋ-ਤਿਹਾਈ ਹੈ। ਇਹ ਤੱਥ ਕਿ ਵਿਆਜ ਲਗਾਤਾਰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿਆਜ ਦਰ ਵਿੱਚ 1% ਦੇ ਵਾਧੇ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਵਧਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
6. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.43
7. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 2525 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਵਿਦਿਆਰਥੀ 3535 ਸਾਲ ਦੀ ਉਮਰ ਤੱਕ ਉਡੀਕ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੂੰ 5% 'ਤੇ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ? 6% 'ਤੇ ਕਿੰਨਾ?
8. ਜੇ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਲਈ ਲੱਗਣ ਵਾਲਾ ਸਮਾਂ ਸਥਿਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ 100100 ਤੋਂ 200200 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਵਧਣ ਲਈ ਉਹੀ ਸਮਾਂ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਜੋ 10,00010,000 ਤੋਂ 20,00020,000 ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਤੱਕ ਵਧਣ ਲਈ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਨਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮਾਤਰਾ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਆਕਾਰ ਦੇ ਦੁੱਗਣੀ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
9. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
10. ਜੇ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ ਉਹ ਸਮਾਂ ਹੈ ਜੋ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਲਈ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
11. ਉਦਾਹਰਨ 6.44
12. ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ ਵਰਤਣਾ
13. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਤਲਾਅ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ 500500 ਮੱਛੀਆਂ ਨਾਲ ਭਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 66 ਮਹੀਨਿਆਂ ਬਾਅਦ, ਤਲਾਅ ਵਿੱਚ 10001000 ਮੱਛੀਆਂ ਹਨ। ਮਾਲਕ ਆਪਣੇ ਦੋਸਤਾਂ ਅਤੇ ਗੁਆਂਢੀਆਂ ਨੂੰ ਤਲਾਅ ਵਿੱਚ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 10,00010,000 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਹੀ ਮੱਛੀ ਫੜਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦੇਵੇਗਾ। ਮਾਲਕ ਦੇ ਦੋਸਤ ਕਦੋਂ ਮੱਛੀ ਫੜ ਸਕਣਗੇ?
14. ਹੱਲ
15. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਹੋਣ ਲਈ 66 ਮਹੀਨੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇ t ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੁੱਗਣਾ ਸਮਾਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 6=(ln2)/k ਹੈ।6=(ln2)/k. ਫਿਰ, k=(ln2)/6.k=(ln2)/6. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਬਾਦੀ y=500e((ln2)/6)t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।y=500e((ln2)/6)t. ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਆਬਾਦੀ 10,00010,000 ਮੱਛੀਆਂ ਤੱਕ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ:
16. ਮਾਲਕ ਦੇ ਦੋਸਤਾਂ ਨੂੰ ਤਲਾਅ ਵਿੱਚ ਮੱਛੀ ਫੜਨ ਲਈ 25.9325.93 ਮਹੀਨੇ (22 ਸਾਲ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵੱਧ) ਉਡੀਕ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ।
17. ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 6.44
18. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਉਦਾਹਰਨ 6.44 ਵਿੱਚ ਮੱਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ 10001000 ਮੱਛੀਆਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ 99 ਮਹੀਨੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਾਲਕ ਦੇ ਦੋਸਤਾਂ ਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਉਡੀਕ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ?
19. ਘਾਤਕ ਕਮੀ ਮਾਡਲ
20. ਘਾਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਹਨਾਂ ਆਬਾਦੀਆਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸੁੰਗੜਦੀਆਂ ਹਨ (ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬਿਮਾਰੀ ਤੋਂ), ਜਾਂ ਰਸਾਇਣਕ ਮਿਸ਼ਰਣ ਜੋ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਟੁੱਟ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਜਿਹੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਘਾਤਕ ਵਾਧੇ ਦੀ ਬਜਾਏ ਘਾਤਕ ਕਮੀ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਮਾਡਲ ਲਗਭਗ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ ਘਾਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ k,k ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ y=y0e−kt ਹੈ।y=y0e−kt.
21. ਘਾਤਕ ਵਾਧੇ ਵਾਂਗ, ਘਾਤਕ ਕਮੀ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
22. ਨਿਯਮ: ਘਾਤਕ ਕਮੀ ਮਾਡਲ
23. ਘਾਤਕ ਕਮੀ ਦਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਮਾਡਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ
24. ਜਿੱਥੇ y0y0 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ k>0k>0 ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਮੀ ਸਥਿਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਸਵੀਰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧ ਘਾਤੀ ਹਾਸ਼ੀਏ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।
2. ਤਸਵੀਰ 6.80: ਘਾਤੀ ਹਾਸ਼ੀਏ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ।
3. ਆਓ ਆਪਾਂ ਘਾਤੀ ਹਾਸ਼ੀਏ ਦੀ ਇੱਕ ਭੌਤਿਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਯਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਉਸ ਵਸਤੂ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਅਤੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਠੰਢੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇ TT ਵਸਤੂ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ TaTa ਕਮਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ
4. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਘਾਤੀ ਹਾਸ਼ੀਏ ਲਈ ਬਿਲਕੁਲ ਸਹੀ ਮਾਡਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ TaTa ਪਦ ਹੈ। ਖੁਸ਼ਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਬਦਲਾਅ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇਸ ਮੁੱਦੇ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ y(t)=T(t)−Ta.y(t)=T(t)−Ta. ਫਿਰ y′(t)=T′(t)−0=T′(t),y′(t)=T′(t)−0=T′(t), ਅਤੇ ਸਾਡਾ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
5. ਸਾਡੇ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ y ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਿਚਕਾਰ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਘਾਤੀ ਹਾਸ਼ੀਏ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
6. ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
7. ਜਿੱਥੇ T0T0 ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਆਪਾਂ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰੀਏ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 6.45
9. ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਠੰਢਾ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਯਮ
10. ਤਜਰਬੇਕਾਰ ਬਾਰਿਸਟਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਕੌਫੀ ਪਰੋਸਣ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲ ਤਾਪਮਾਨ 155°F155°F ਅਤੇ 175°F.175°F ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕੌਫੀ 200°F,200°F ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਡੋਲ੍ਹੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ 70°F70°F ਕਮਰੇ ਵਿੱਚ 22 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਇਹ 180°F.180°F ਤੱਕ ਠੰਢੀ ਹੋ ਗਈ ਹੈ। ਕੌਫੀ ਕਦੋਂ ਪਰੋਸਣ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਕਾਫ਼ੀ ਠੰਢੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ? ਕੌਫੀ ਕਦੋਂ ਪਰੋਸਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਠੰਢੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ? ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਅੱਧੇ ਮਿੰਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
11. ਹੱਲ
12. ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
13. ਫਿਰ, ਮਾਡਲ ਹੈ
14. ਕੌਫੀ 175°F175°F ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ
15. ਕੌਫੀ ਡੋਲ੍ਹਣ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 2.52.5 ਮਿੰਟ ਬਾਅਦ ਪਰੋਸਣ ਲਈ ਠੰਢੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕੌਫੀ 155°F155°F ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ
16. ਕੌਫੀ ਡੋਲ੍ਹਣ ਤੋਂ ਲਗਭਗ 55 ਮਿੰਟ ਬਾਅਦ ਪਰੋਸਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਠੰਢੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
17. ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.45
18. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕਮਰਾ ਗਰਮ ਹੈ (75°F)(75°F) ਅਤੇ 22 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਕੌਫੀ ਸਿਰਫ 185°F.185°F ਤੱਕ ਠੰਢੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਕੌਫੀ ਕਦੋਂ ਪਰੋਸਣ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਕਾਫ਼ੀ ਠੰਢੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ? ਕੌਫੀ ਕਦੋਂ ਪਰੋਸਣ ਲਈ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਠੰਢੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ? ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਅੱਧੇ ਮਿੰਟ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
19. ਜਿਵੇਂ ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਦਿਖਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੁਗਣਾ ਸਮਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਘਾਤੀ ਹਾਸ਼ੀਏ ਦਿਖਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੱਧੇ ਜੀਵਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਦੋਂ ਮਾਤਰਾ ਆਪਣੀ ਅਸਲ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਅੱਧਾ ਰਹਿ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
20. ਨੋਟ: ਇਹ ਉਹੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਦੁਗਣੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਕੱਢਿਆ ਸੀ।
21. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
22. ਜੇ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਘਾਤੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਉਹ ਸਮਾਂ ਹੈ ਜੋ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਘਟਾਉਣ ਵਿੱਚ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
23. ਉਦਾਹਰਨ 6.46
24. ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਡਿਕੇ ਮਾਡਲ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਵਰਤੋਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਕਾਰਬਨ ਡੇਟਿੰਗ ਹੈ। ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਅਤੇ ਲਗਾਤਾਰ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਦਰ 'ਤੇ ਡਿਕੇ (ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਕਣ ਦਾ ਨਿਕਾਸ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਕਾਰਬਨ ਮੌਜੂਦ ਸੀ ਅਤੇ ਕਿੰਨਾ ਕਾਰਬਨ ਬਾਕੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਮਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਲਗਭਗ 5730 ਸਾਲ ਹੈ—ਭਾਵ, ਇੰਨੇ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ, ਅੱਧੀ ਸਮੱਗਰੀ ਅਸਲ ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਤੋਂ ਨਵੇਂ ਨਾਨ-ਰੇਡੀਓਐਕਟਿਵ ਨਾਈਟ੍ਰੋਜਨ-14 (Nitrogen-14) ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅੱਜ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਹੈ, ਤਾਂ 50 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਬਾਕੀ ਰਹੇਗਾ? ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਕਲਾਤਮਕ ਵਸਤੂ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ ਸੀ ਅਤੇ ਹੁਣ 10 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਿੰਨੀ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸੌ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਮਾਡਲ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ
50 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, 50 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ, 99.40 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਬਾਕੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਲਾਤਮਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਮਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ
ਕਲਾਤਮਕ ਵਸਤੂ ਲਗਭਗ 19,000 ਸਾਲ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 6.46
ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ-14 (Carbon-14) ਹੈ, ਤਾਂ 500 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨਾ ਬਾਕੀ ਰਹੇਗਾ? ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਕਲਾਤਮਕ ਵਸਤੂ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 100 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ ਸੀ ਅਤੇ ਹੁਣ 20 ਗ੍ਰਾਮ ਕਾਰਬਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਿੰਨੀ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ? ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸੌ ਸਾਲਾਂ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਸੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਝੂਠ? ਜੇ ਸੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ। ਜੇ ਝੂਠ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਲੱਭੋ।
y=c^t (y=c^t) ਲਈ ਡਬਲਿੰਗ ਟਾਈਮ (ln(2))/(ln(c)) ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ $500 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ 3% ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਪਹਿਲੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ 2.5% ਨਿਰੰਤਰ ਵਿਆਜ ਦਰ ਨਾਲੋਂ ਵੱਧ ਪੈਸਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ 100°C (100°C) ਦੀ ਚਾਹ ਦਾ ਇੱਕ ਬਰਤਨ ਕਮਰੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ (25°C) (25°C) 'ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਬਰਤਨ ਫਰਿੱਜ (5°C) (5°C) ਵਿੱਚ, k=0.02 (k=0.02) ਨਾਲ ਛੱਡਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਫਰਿੱਜ ਵਿੱਚ ਚਾਹ ਕਮਰੇ ਦੇ ਤਾਪਮਾਨ ਵਾਲੀ ਚਾਹ ਤੋਂ 55 ਮਿੰਟ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਹਿਲਾਂ ਪੀਣ ਯੋਗ ਤਾਪਮਾਨ (70°C) (70°C) ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ t ਸਾਲ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ y=e^kt (y=e^kt) ਲਈ ਸਥਿਰ k ਦੀ ਗਣਨਾ k=ln(1/2)/t (k=ln(1/2)/t) ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, y=y0ekt (y=y0ekt) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਕਲਚਰ 3 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ 10 ਗੁਣਾ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਘੰਟੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ?
ਜੇਕਰ ਬੈਕਟੀਰੀਆ 10 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 10 ਗੁਣਾ ਵੱਧ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ 100 ਗੁਣਾ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਘੰਟੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ?
ਇੱਕ ਖੋਪੜੀ ਕਿੰਨੀ ਪੁਰਾਣੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਧੁਨਿਕ ਖੋਪੜੀ ਨਾਲੋਂ ਪੰਜਵਾਂ ਹਿੱਸਾ ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਹੈ? ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 5730 ਸਾਲ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅਵਸ਼ੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਵੀਂ ਸਮੱਗਰੀ ਨਾਲੋਂ 90% ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਹ ਈਸਾ ਦੇ ਸਮੇਂ (ਲਗਭਗ 2000 ਸਾਲ ਪਹਿਲਾਂ) ਤੋਂ ਆ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਰੇਡੀਓਕਾਰਬਨ ਦਾ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ 5730 ਸਾਲ ਹੈ।
ਕਾਹਿਰਾ ਦੀ ਆਬਾਦੀ 2020 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ 5.5 ਮਿਲੀਅਨ ਤੋਂ 10 ਮਿਲੀਅਨ ਤੱਕ ਵਧ ਗਈ। ਆਬਾਦੀ 8 ਮਿਲੀਅਨ ਕਦੋਂ ਸੀ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਿਊਯਾਰਕ ਅਤੇ ਲਾਸ ਏਂਜਲਸ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 1% ਅਤੇ 1.4% ਸਾਲਾਨਾ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ। 8 ਮਿਲੀਅਨ (ਨਿਊਯਾਰਕ) ਅਤੇ 6.6 ਮਿਲੀਅਨ (ਲਾਸ ਏਂਜਲਸ) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਆਬਾਦੀ ਕਦੋਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗੀ? ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਨੂੰ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਪੂਰੀ ਸੰਖਿਆ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਜਾਪਾਨੀ ਯੇਨ ਵਿੱਚ $1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 2% ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। $1=¥250 (1$=¥250) ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, $1=¥1 (1$=¥1) ਕਦੋਂ ਹੋਵੇਗਾ?
ਇਸ਼ਤਿਹਾਰਬਾਜ਼ੀ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘੱਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ 3 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ 40% ਆਬਾਦੀ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਉਤਪਾਦ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਤੱਕ 20% ਇਸਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣਗੇ?
If y=1000y=1000 at t=3t=3 and y=3000y=3000 at t=4,t=4, what was y0y0 at t=0?t=0?
If y=100y=100 at t=4t=4 and y=10y=10 at t=8,t=8, when does y=1?y=1?
If a bank offers annual interest of 7.5%7.5% or continuous interest of 7.25%,7.25%, which has a better annual yield?
What continuous interest rate has the same yield as an annual rate of 9%?9%?
If you deposit $5000$5000 at 8%8% annual interest, how many years can you withdraw $500$500 (starting after the first year) without running out of money?
You are trying to save $50,000$50,000 in 2020 years for college tuition for your child. If interest is a continuous 10%,10%, how much do you need to invest initially?
You are cooling a turkey that was taken out of the oven with an internal temperature of 165°F.165°F. After 1010 minutes of resting the turkey in a 70°F70°F apartment, the temperature has reached 155°F.155°F. What is the temperature of the turkey 2020 minutes after taking it out of the oven?
You are trying to thaw some vegetables that are at a temperature of 1°F.1°F. To thaw vegetables safely, you must put them in the refrigerator, which has an ambient temperature of 44°F.44°F. You check on your vegetables 22 hours after putting them in the refrigerator to find that they are now 12°F.12°F. Plot the resulting temperature curve and use it to determine when the vegetables reach 33°F.33°F.
You are an archaeologist and are given a bone that is claimed to be from a Tyrannosaurus Rex. You know these dinosaurs lived during the Cretaceous Era (146(146 million years to 6565 million years ago), and you find by radiocarbon dating that there is 0.000001%0.000001% the amount of radiocarbon. Is this bone from the Cretaceous?
The spent fuel of a nuclear reactor contains plutonium-239, which has a half-life of 24,00024,000 years. If 11 barrel containing 10kg10kg of plutonium-239 is sealed, how many years must pass until only 10g10g of plutonium-239 is left?
For the next set of exercises, use the following table, which features the world population by decade.
row: Years since 1950 | Population (millions)
row: 00 | 2,5562,556
row: 1010 | 3,0393,039
row: 2020 | 3,7063,706
row: 3030 | 4,4534,453
row: 4040 | 5,2795,279
row: 5050 | 6,0836,083
row: 6060 | 6,8496,849
: Source: http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.
[T] The best-fit exponential curve to the data of the form P(t)=aebtP(t)=aebt is given by P(t)=2686e0.01604t.P(t)=2686e0.01604t. Use a graphing calculator to graph the data and the exponential curve together.
[T] Find and graph the derivative y′y′ of your equation. Where is it increasing and what is the meaning of this increase?
[T] Find and graph the second derivative of your equation. Where is it increasing and what is the meaning of this increase?
[T] Find the predicted date when the population reaches 1010 billion. Using your previous answers about the first and second derivatives, explain why exponential growth is unsuccessful in predicting the future.
For the next set of exercises, use the following table, which shows the population of San Francisco during the 19th century.
row: Years since 1850 | Population (thousands)
row: 00 | 21.0021.00
row: 1010 | 56.8056.80
row: 2020 | 149.5149.5
row: 3030 | 234.0234.0
: Source: http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.
[T] The best-fit exponential curve to the data of the form P(t)=aebtP(t)=aebt is given by P(t)=35.26e0.06407t.P(t)=35.26e0.06407t. Use a graphing calculator to graph the data and the exponential curve together.
[T] Find and graph the derivative y′y′ of your equation. Where is it increasing? What is the meaning of this increase? Is there a value where the increase is maximal?
[T] Find and graph the second derivative of your equation. Where is it increasing? What is the meaning of this increase?