Checkpoint
172πcm/sec,172πcm/sec, or approximately 0.0044 cm/sec
500 ft/sec 500 ft/sec
1 10 rad/sec 1 10 rad/sec
−0.61 ft/sec −0.61 ft/sec
L(x)=2+112(x−8);L(x)=2+112(x−8); 2.00833
L ( x ) = − x + π 2 L ( x ) = − x + π 2
L ( x ) = 1 + 4 x L ( x ) = 1 + 4 x
d y = 2 x e x 2 d x d y = 2 x e x 2 d x
dy=1.6,dy=1.6, Δy=1.64Δy=1.64
The volume measurement is accurate to within 21.6cm3.21.6cm3.
7.6%
x=−23,x=−23, x=1x=1
The absolute maximum is 33 and it occurs at x=4.x=4. The absolute minimum is −1−1 and it occurs at x=2.x=2.
c = 2 c = 2
522522 sec
ff has a local minimum at −2−2 and a local maximum at 3.3.
ff has no local extrema because f′f′ does not change sign at x=1.x=1.
ff is concave up over the interval (−∞,12)(−∞,12) and concave down over the interval (12,∞)(12,∞)
ff has a local maximum at −2−2 and a local minimum at 3.3.
Both limits are 3.3. The line y=3y=3 is a horizontal asymptote.
Let ε>0.ε>0. Let N=1ε.N=1ε. Therefore, for all x>N,x>N, we have
| 3 − 1 x 2 − 3 | = 1 x 2 < 1 N 2 = ε | 3 − 1 x 2 − 3 | = 1 x 2 < 1 N 2 = ε
Therefore, limx→∞(3−1/x2)=3.limx→∞(3−1/x2)=3.
Let M>0.M>0. Let N=M3.N=M3. Then, for all x>N,x>N, we have
3 x 2 > 3 N 2 = 3 ( M 3 ) 2 2 = 3 M 3 = M 3 x 2 > 3 N 2 = 3 ( M 3 ) 2 2 = 3 M 3 = M
− ∞ − ∞
3 5 3 5
± 3 ± 3
limx→∞f(x)=35,limx→∞f(x)=35, limx→−∞f(x)=−2limx→−∞f(x)=−2
y = 3 2 x y = 3 2 x
The function ff has a cusp at (0,5)(0,5) limx→0−f′(x)=∞,limx→0−f′(x)=∞, limx→0+f′(x)=−∞.limx→0+f′(x)=−∞. For end behavior, limx→±∞f(x)=−∞.limx→±∞f(x)=−∞.
The maximum area is 5000ft2.5000ft2.
V(x)=x(20−2x)(30−2x).V(x)=x(20−2x)(30−2x). The domain is [0,10].[0,10].
T ( x ) = x 6 + ( 15 − x ) 2 + 1 2.5 T ( x ) = x 6 + ( 15 − x ) 2 + 1 2.5
The company should charge $75$75 per car per day.
A(x)=4x1−x2.A(x)=4x1−x2. The domain of consideration is [0,1].[0,1].
c(x)=259.2x+0.2x2c(x)=259.2x+0.2x2 dollars
1 1
0 0
limx→0+cosx=1.limx→0+cosx=1. Therefore, we cannot apply L’Hôpital’s rule. The limit of the quotient is ∞∞
1 1
0 0
e e
1 1
The function 2x2x grows faster than x100.x100.
x 1 ≈ 0.33333333 , x 2 ≈ 0.347222222 x 1 ≈ 0.33333333 , x 2 ≈ 0.347222222
x 1 = 2 , x 2 = 1.75 x 1 = 2 , x 2 = 1.75
x 1 ≈ − 1.842105263 , x 2 ≈ − 1.772826920 x 1 ≈ − 1.842105263 , x 2 ≈ − 1.772826920
x 1 = 6 , x 2 = 8 , x 3 = 26 3 , x 4 = 80 9 , x 5 = 242 27 ; x * = 9 x 1 = 6 , x 2 = 8 , x 3 = 26 3 , x 4 = 80 9 , x 5 = 242 27 ; x * = 9
− cos x + C − cos x + C
d d x ( x sin x + cos x + C ) = sin x + x cos x − sin x = x cos x d d x ( x sin x + cos x + C ) = sin x + x cos x − sin x = x cos x
x 4 − 5 3 x 3 + 1 2 x 2 − 7 x + C x 4 − 5 3 x 3 + 1 2 x 2 − 7 x + C
y = − 3 x + 5 y = − 3 x + 5
2.93 sec , 64.5 ft 2.93 sec , 64.5 ft
Section 4.1 Exercises
8 8
± 13 10 ± 13 10
2323 ft/sec
The distance is decreasing at 390mi/h.390mi/h.
The distance between them shrinks at a rate of 132013≈101.5mph.132013≈101.5mph.
9292 ft/sec
It grows at a rate 4949 ft/sec
The distance is increasing at (13526)26(13526)26 ft/sec
−56−56 m/sec
240π240π m2/sec
12π12π cm
The area is increasing at a rate (33)8ft2/sec.(33)8ft2/sec.
The depth of the water decreases at 128125π128125π ft/min.
The volume is decreasing at a rate of (25π)16ft3/min.(25π)16ft3/min.
The water flows out at rate (2π)5m3/min.(2π)5m3/min.
3232 m/sec
2519π2519π ft/min
245π245π ft/min
The angle decreases at 4001681rad/sec.4001681rad/sec.
100 π mi/min 100 π mi/min
The angle is changing at a rate of 1125rad/sec.1125rad/sec.
The distance is increasing at a rate of 62.5062.50 ft/sec.
The distance is decreasing at a rate of 11.9911.99 ft/sec.
Section 4.2 Exercises
f ′ ( a ) = 0 f ′ ( a ) = 0
The linear approximation exact when y=f(x)y=f(x) is linear or constant.
L ( x ) = 1 2 − 1 4 ( x − 2 ) L ( x ) = 1 2 − 1 4 ( x − 2 )
L ( x ) = 1 L ( x ) = 1
L ( x ) = 0 L ( x ) = 0
0.02
1.9996875 1.9996875
0.001593 0.001593
1;1; error, ~0.00005~0.00005
0.97;0.97; error, ~0.0006~0.0006
3−1600;3−1600; error, ~4.632×10−7~4.632×10−7
d y = ( cos x − x sin x ) d x d y = ( cos x − x sin x ) d x
d y = ( x 2 − 2 x − 2 ( x − 1 ) 2 ) d x d y = ( x 2 − 2 x − 2 ( x − 1 ) 2 ) d x
dy=−1(x+1)2dx,dy=−1(x+1)2dx, −116−116
dy=9x2+12x−22(x+1)3/2dx,dy=9x2+12x−22(x+1)3/2dx, −0.1−0.1
dy=(3x2+2−1x2)dx,dy=(3x2+2−1x2)dx, 0.20.2
12 x d x 12 x d x
4 π r 2 d r 4 π r 2 d r
−1.2 π cm 3 −1.2 π cm 3
−100−100 ft3
ਭਾਗ 4.3 ਅਭਿਆਸ
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ
ਨਹੀਂ; ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ
ਕਿਉਂਕਿ ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਆਉਟਪੁੱਟ) ਮੁੱਲ ਹੈ ਨਾ ਕਿ x ਮੁੱਲ, ਇਸ ਲਈ ਜਵਾਬ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ
ਜਦੋਂ a=0a=0
ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 3 'ਤੇ; ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ −2.2 'ਤੇ; ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ −2, 1 'ਤੇ; ਸਥਾਨਕ ਅਧਿਕਤਮ −1, 2 'ਤੇ
ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ −2, 2 'ਤੇ; ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ −2.5, 2.5 'ਤੇ; ਘੱਟੋ-ਘੱਟ –2, 0, ਅਤੇ 2 'ਤੇ (ਨੋਟ: –2 ਅਤੇ 2 ਦੋਵੇਂ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹਨ); ਸਥਾਨਕ ਅਧਿਕਤਮ −1, 1 'ਤੇ
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
x = 1 x = 1
ਕੋਈ ਨਹੀਂ
x = 0 ; x = ± 2 x = 0 ; x = ± 2
ਕੋਈ ਨਹੀਂ
x = −1 , 1 x = −1 , 1
ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ: x=4,x=4, y=332;y=332; ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=1,x=1, y=3y=3
ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=12,x=12, y=4y=4
ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ: x=2π,x=2π, y=2π;y=2π; ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=0,x=0, y=0y=0
ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ: x=−3x=−3 ਅਤੇ y=6;;y=6;; ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: −1≤x≤1,−1≤x≤1, y=2y=2
ਨਿਰਪੇਖ ਅਧਿਕਤਮ: x=π4,x=π4, y=2;y=2; ਨਿਰਪੇਖ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=5π4,x=5π4, y=−2y=−2
1. ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ: x=−2, y=1
2. ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ: x=−3, y=−135; ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: x=0, y=0; ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=1, y=−7
3. ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: x=1−22, y=3−42; ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=1+22, y=3+42
4. ਸਰਬੋਤਮ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: x=22, y=32; ਸਰਬੋਤਮ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=−22, y=−32
5. ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: x=−2, y=59; ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=1, y=−130
6. ਸਰਬੋਤਮ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ: x=0, y=1; ਸਰਬੋਤਮ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=−2,2, y=0
7. h=924549m, t=30049s
8. 1848 ਵਿੱਚ ਸਰਬੋਤਮ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੀ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸੋਨਾ ਪੈਦਾ ਨਹੀਂ ਹੋਇਆ ਸੀ।
9. ਸਰਬੋਤਮ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: x=0, x=2, y=1; ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ x=1, y=2
10. ਜੇ 'aa' ਟਾਂਕ ਹੈ ਤਾਂ ਕੋਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ/ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਨਹੀਂ, ਜੇ 'aa' ਜਿਸਤ ਹੈ ਤਾਂ x=1 'ਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ
11. ਭਾਗ 4.4 ਅਭਿਆਸ
12. ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ f(x)=|x|+3, −2≤x≤2
13. ਹਾਂ, ਪਰ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਅਜੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ
14. (−∞,0) ਜਾਂ (0,∞) ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ
15. (−∞,−2) ਜਾਂ (2,∞) ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ
16. 2 ਬਿੰਦੂ
17. 5 ਬਿੰਦੂ
18. c = 2/3
19. c = 1/2, 1, 3/2
20. c = 1
21. ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ
22. ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ
23. ਹਾਂ
24. ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ x=1/4, 3/4, 5/4, 7/4 'ਤੇ ਅਸੰਤਤ ਹੈ।
ਹਾਂ
ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ; x=0 'ਤੇ ਅਸੰਤਤ ਹੈ।
ਹਾਂ
ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ; x=0 'ਤੇ ਅਵਕਲਨੀਯ ਨਹੀਂ ਹੈ।
b = ± 2 c
c=±1πcos−1(π2), c=±0.1533
ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
12c+1−2c3=5212880; c=3.133,5.867
ਹਾਂ
ਮੰਨ ਲਓ s1(t) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਸਟਾਪਲਾਈਟ 1 ਤੋਂ ਕਾਰ 1 ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ s2(t) ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਸਟਾਪਲਾਈਟ 1 ਤੋਂ ਕਾਰ 2 ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਤਾਂ s1(0) = 0 = s2(0)। ਮੰਨ ਲਓ t=m ਉਹ ਸਮਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਾਰਾਂ ਸਟਾਪਲਾਈਟ 2 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੀਆਂ ਹਨ। ਤਾਂ s1(m) = d = s2(m) ਜਿੱਥੇ d ਸਟਾਪਲਾਈਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(t) = s1(t) − s2(t) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ। ਤਾਂ f(0)=0=f(m)। ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ, ਇੱਕ ਸਮਾਂ 0<c<m ਹੈ ਜਿੱਥੇ
ਸਮੇਂ c 'ਤੇ,
ਇਸ ਲਈ, ਸਮੇਂ c 'ਤੇ, ਕਾਰ 1 ਅਤੇ ਕਾਰ 2 ਇੱਕੋ ਗਤੀ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਹੀਆਂ ਹਨ।
ਧਾਰਾ 4.5 ਅਭਿਆਸ
ਇਹ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ/ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ f′ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
ਨਹੀਂ
ਗਲਤ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, y=x।
ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ −2<x<−1 ਅਤੇ x>2; ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ x<−2 ਅਤੇ −1<x<2
ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ x<1, ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ x>1
ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ −2<x<−1 ਅਤੇ 1<x<2; ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ −1<x<1 ਅਤੇ x<−2 ਅਤੇ x>2
a. −2<x<−1,0<x<1,x>2 'ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, x<−2, −1<x<0,1<x<2 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ; b. x=−1 ਅਤੇ x=1 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ, x=−2 ਅਤੇ x=0 ਅਤੇ x=2 'ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ।
a. x>0 'ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, x<0 'ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ; b. x=0 'ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ।
ਸਾਰੇ x 'ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਹੈ, ਕੋਈ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਨਹੀਂ।
ਸਾਰੇ x 'ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਹੈ, ਕੋਈ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਨਹੀਂ।
x<0x<0 ਅਤੇ x>1,x>1 ਲਈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, 0<x<1,0<x<1 ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, x=0x=0 ਅਤੇ x=1x=1 ਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ।
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
ਜਵਾਬ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
a. −π2<x<π2,−π2<x<π2 ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, x<−π2,x>π2x<−π2,x>π2 ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। b. x=π2;x=π2; ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ; x=−π2x=−π2 ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ।
a. x>43,x>43 ਲਈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, x<43x<43 ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ। b. x=43x=43 ਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ।
a. x<0x<0 ਅਤੇ x>4,x>4 ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, 0<x<40<x<4 ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। b. x=0,x=0 ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ, x=4x=4 ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ। c. x>2,x>2 ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, x<2x<2 ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ। d. x=2x=2 ਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ।
a. x<0x<0 ਅਤੇ x>6011,x>6011 ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, 0<x<60110<x<6011 ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। b. x=6011x=6011 ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ, x=0x=0 ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ। c. x<5411,x<5411 ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, x>5411x>5411 ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ। d. x=5411x=5411 ਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ।
a. x>−12,x>−12 ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, x<−12x<−12 ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। b. x=−12x=−12 ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ। c. ਸਾਰੇ xx ਲਈ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ। d. ਕੋਈ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ।
a. −14<x<34,−14<x<34 ਤੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, x>34x>34 ਅਤੇ x<−14x<−14 ਤੇ ਘਟਦਾ ਹੈ। b. x=−14,x=−14 ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ, x=34x=34 ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ। c. −34<x<14,−34<x<14 ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, x<−34x<−34 ਅਤੇ x>14x>14 ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ। d. x=−34,x=14x=−34,x=14 ਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ।
a. ਸਾਰੇ xx ਲਈ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। b. ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ। c. x>0,x>0 ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, x<0x<0 ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ। d. x=0x=0 ਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ।
a. ਸਾਰੇ xx ਲਈ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। b. ਕੋਈ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ। c. x<1;x<1; ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, x>1x>1 ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ। d. ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਨਹੀਂ।
a. −π4<x<3π4,−π4<x<3π4 ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, x>3π4,x<−π4x>3π4,x<−π4 ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। b. x=−π4,x=−π4 ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ, x=3π4x=3π4 ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ। c. −π2<x<π2,−π2<x<π2 ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, x<−π2,x>π2x<−π2,x>π2 ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ। d. x=±π2x=±π2 ਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ।
a. x>4,x>4 ਤੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, 0<x<40<x<4 ਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। b. x=4x=4 ਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ। c. 0<x<823,0<x<823 ਤੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ, x>823x>823 ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਨੂੰ ਅੰਦਰ ਵੱਲ। d. x=823x=823 ਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ।
f > 0 , f ′ > 0 , f ″ < 0
f > 0 , f ′ < 0 , f ″ > 0
f > 0 , f ′ > 0 , f ″ > 0
ਸੱਚ ਹੈ, ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੁਆਰਾ।
ਸੱਚ ਹੈ, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਭਾਗ 4.6 ਅਭਿਆਸ
x = 1
x = −1 , x = 2
x = 0
ਹਾਂ, ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ ਹੈ।
ਹਾਂ, ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਤਾ ਹੈ।
0 0
∞ ∞
− 1 7 − 1 7
−2 −2
−4 −4
Horizontal: none, vertical: x=0x=0
Horizontal: none, vertical: x=±2x=±2
Horizontal: none, vertical: none
Horizontal: y=0,y=0, vertical: x=±1x=±1
Horizontal: y=0,y=0, vertical: x=0x=0 and x=−1x=−1
Horizontal: y=1,y=1, vertical: x=1x=1
Horizontal: none, vertical: none
Answers will vary, for example: y=2xx−1y=2xx−1
Answers will vary, for example: y=4xx+1y=4xx+1
y = 0 y = 0
∞ ∞
y = 3 y = 3
P ( 0 ) ≠ 0 and Q ( 0 ) = 0 P ( 0 ) ≠ 0 and Q ( 0 ) = 0
lim x → 1 − f ( x ) = -∞ and lim x → 1 − g ( x ) = ∞ lim x → 1 − f ( x ) = -∞ and lim x → 1 − g ( x ) = ∞
Section 4.7 Exercises
The critical points can be the minima, maxima, or neither.
False; y=x2y=x2 has a minimum only
h=623h=623 in.
1 1
੧੦੦ ਫੁੱਟ ਗੁਣਾ ੧੦੦ ਫੁੱਟ ੧੦੦ ਫੁੱਟ ਗੁਣਾ ੧੦੦ ਫੁੱਟ
40 ਫੁੱਟ ਗੁਣਾ 40 ਫੁੱਟ 40 ਫੁੱਟ ਗੁਣਾ 40 ਫੁੱਟ
੧੯.੭੩ ਫੁੱਟ . ੧੯.੭੩ ਫੁੱਟ .
84 ਬੀਟ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 84 ਬੀਟ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ
T ( θ ) = 40 θ 3 v + 40 cos θ v
1. ਵਾਹਿਗੁਰੂ ਜੀ ਕਾ ਖਾਲਸਾ, ਵਾਹਿਗੁਰੂ ਜੀ ਕੀ ਫਤਹਿ।
ਲਗਭਗ 34 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਘੰਟਾ
1. ਚਾਰ ਚਾਰ
0 0
1. ਅਧਿਕਤਮ: x=5,y=5;x=5,y=5; ਨਿਊਨਤਮ: x=0,y=10x=0,y=10 ਅਤੇ y=0,x=10y=0,x=10
1. ਮਹੱਤਮ: x=1,y=9;x=1,y=9; ਘੱਟੋ-ਘੱਟ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
4 π 3 3 4 π 3 3
6 6
r = 2 , h = 4 r = 2 , h = 4
1. ( 2 , 1 ) ( 2 , 1 )
1. ( 0.8351 , 0.6974 ) ( 0.8351 , 0.6974 )
1. ਏ = 20 20 π + 4 - 2 20 π + 4 2 - 1 2 π 20 π + 4 2
C(x) = 5x^2 + 32x
P ( x ) = ( 50 − x ) ( 750 + 25 x )
4.8 ਅਭਿਆਸ
∞ ∞
1. 1 2 ਅ 1 2 ਅ
1. ਇਕ ਨਾ ਇਕ ਦਿਨ, ਇਕ ਨਾ ਇਕ ਦਿਨ
1. ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ; ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
Cannot apply directly; rewrite as limx→0x3limx→0x3
6 6
−2 −2
−1 −1
n n
− 1 2 − 1 2
1 2 1 2
1 1
1 6 1 6
1 1
0 0
0 0
−1 −1
∞ ∞
0 0
1 e 1 e
0 0
1 1
0 0
tan ( 1 ) tan ( 1 )
2 2
Section 4.9 Exercises
F ( x n ) = x n − x n 3 + 2 x n + 1 3 x n 2 + 2 F ( x n ) = x n − x n 3 + 2 x n + 1 3 x n 2 + 2
F ( x n ) = x n − e x n e x n F ( x n ) = x n − e x n e x n
|c|>0.5|c|>0.5 fails, |c|≤0.5|c|≤0.5 works
c = 1 f ′ ( x n ) c = 1 f ′ ( x n )
a. x1=1225,x2=312625;x1=1225,x2=312625; b. x1=−4,x2=−40x1=−4,x2=−40
a. x1=1.291,x2=0.8801;x1=1.291,x2=0.8801; b. x1=0.7071,x2=1.189x1=0.7071,x2=1.189
a. x1=−2625,x2=−1224625;x1=−2625,x2=−1224625; b. x1=4,x2=18x1=4,x2=18
a. x1=610,x2=610;x1=610,x2=610; b. x1=2,x2=2x1=2,x2=2
3.1623 or − 3.1623 3.1623 or − 3.1623
0 , −1 or 1 0 , −1 or 1
0 0
0.5188 or − 1.2906 0.5188 or − 1.2906
0 0
4.493 4.493
0.159 , 3.146 0.159 , 3.146
We need ff to be twice continuously differentiable.
x = 0 x = 0
x = −1 x = −1
x = 5.619 x = 5.619
x = −1.326 x = −1.326
There is no solution to the equation.
It enters a cycle.
0 0
−0.3513 −0.3513
Newton: 1111 iterations, secant: 1616 iterations
Newton: three iterations, secant: six iterations
Newton: five iterations, secant: eight iterations
E = 4.071 E = 4.071
4 . 394 % 4 . 394 %
Section 4.10 Exercises
F ′ ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3 F ′ ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3
F ′ ( x ) = 2 x e x + x 2 e x F ′ ( x ) = 2 x e x + x 2 e x
F ′ ( x ) = e x F ′ ( x ) = e x
F ( x ) = e x − x 3 − cos ( x ) + C F ( x ) = e x − x 3 − cos ( x ) + C
F ( x ) = x 2 2 − x − 2 cos ( 2 x ) + C F ( x ) = x 2 2 − x − 2 cos ( 2 x ) + C
F ( x ) = 1 2 x 2 + 4 x 3 + C F ( x ) = 1 2 x 2 + 4 x 3 + C
F ( x ) = 2 5 ( x ) 5 + C F ( x ) = 2 5 ( x ) 5 + C
F ( x ) = 3 2 x 2 / 3 + C F ( x ) = 3 2 x 2 / 3 + C
F ( x ) = x + tan ( x ) + C F ( x ) = x + tan ( x ) + C
F ( x ) = 1 3 sin 3 ( x ) + C F ( x ) = 1 3 sin 3 ( x ) + C
F ( x ) = − 1 2 cot ( x ) − 1 x + C F ( x ) = − 1 2 cot ( x ) − 1 x + C
F ( x ) = − sec x − 4 csc x + C F ( x ) = − sec x − 4 csc x + C
F ( x ) = − 1 8 e −4 x − cos x + C F ( x ) = − 1 8 e −4 x − cos x + C
− cos x + C − cos x + C
3 x − 2 x + C 3 x − 2 x + C
8 3 x 3 / 2 + 4 5 x 5 / 4 + C 8 3 x 3 / 2 + 4 5 x 5 / 4 + C
14 x − 2 x − 1 2 x 2 + C 14 x − 2 x − 1 2 x 2 + C
f ( x ) = − 1 2 x 2 + 3 2 f ( x ) = − 1 2 x 2 + 3 2
f ( x ) = sin x + tan x + 1 f ( x ) = sin x + tan x + 1
f ( x ) = − 1 6 x 3 − 2 x + 13 6 f ( x ) = − 1 6 x 3 − 2 x + 13 6
Answers may vary; one possible answer is f(x)=e−xf(x)=e−x
Answers may vary; one possible answer is f(x)=−sinxf(x)=−sinx
5.8675.867 sec
7.3337.333 sec
13.7513.75 ft/sec2
F ( x ) = 1 3 x 3 + 2 x F ( x ) = 1 3 x 3 + 2 x
F ( x ) = x 2 − cos x + 1 F ( x ) = x 2 − cos x + 1
F ( x ) = − 1 ( x + 1 ) + 1 F ( x ) = − 1 ( x + 1 ) + 1
True
False
Review Exercises
True, by Mean Value Theorem
True
Increasing: (−2,0)∪(4,∞),(−2,0)∪(4,∞), decreasing: (−∞,−2)∪(0,4)(−∞,−2)∪(0,4)
L ( x ) = 17 16 + 1 2 ( 1 + 4 π ) ( x − 1 4 ) L ( x ) = 17 16 + 1 2 ( 1 + 4 π ) ( x − 1 4 )
Critical point: x=3π4,x=3π4, absolute minimum: x=0,x=0, absolute maximum: x=πx=π
Increasing: (−1,0)∪(3,∞),(−1,0)∪(3,∞), decreasing: (−∞,−1)∪(0,3),(−∞,−1)∪(0,3), concave up: (−∞,13(2−13))∪(13(2+13),∞),(−∞,13(2−13))∪(13(2+13),∞), concave down: (13(2−13),13(2+13))(13(2−13),13(2+13))
Increasing: (14,∞),(14,∞), decreasing: (0,14),(0,14), concave up: (0,∞),(0,∞), concave down: nowhere
3 3
− 1 π − 1 π
x 1 = −1 , x 2 = −1 x 1 = −1 , x 2 = −1
F ( x ) = 2 x 3 / 2 3 + 1 x + C F ( x ) = 2 x 3 / 2 3 + 1 x + C
Inflection points: none; critical points: x=−13;x=−13; zeros: none; vertical asymptotes: x=−1,x=−1, x=0;x=0; horizontal asymptote: y=0y=0
The height is decreasing at a rate of 0.1250.125 m/sec
x=abx=ab feet