1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ∑i=1nai∑i=1nai ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਿਗਮਾ (ਜੋੜ) ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ, ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਲੰਬੇ ਜੋੜਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ।
3. [a,b],[a,b] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਲਈ, ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ n ਬਰਾਬਰ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ, ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੱਕ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਨ, ਆਇਤਾਂ ਦੀ ਲੜੀ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਉਸ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ।
4. ਹਰੇਕ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ Δx=b−an.Δx=b−an ਹੈ।
5. ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ ∑i=1nf(xi*)Δx,∑i=1nf(xi*)Δx ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ y=f(x).y=f(x) ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ-ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਅਨੁਮਾਨ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ {xi*}{xi*} ਦੇ ਮੁੱਲ ਉਪ-ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਸਿਰੇ ਵਜੋਂ ਚੁਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ।
6. ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ {xi*}{xi*} ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਲਚਕਤਾ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿਸ 'ਤੇ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਹੇਠਲਾ ਜੋੜ ਜਾਂ ਇੱਕ ਉੱਪਰਲਾ ਜੋੜ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਨਜ਼ਰ ਨਾਲ।
7. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦਾ ਉਪਯੋਗ ਨੈੱਟ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਘਟਾਓ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ। ਨੈੱਟ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ, ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
8. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗਰਲ ਦੇ ਭਾਗ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ, ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਹਨ।
9. ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜੋ ਫਲਨ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਉਹ ਅਜੇ ਵੀ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਬਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਅਸੰਤੁਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
10. ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
11. ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
12. ਫਲਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
13. ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਮੁੱਲ c ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(c)f(c) ਫਲਨ ਦੇ ਔਸਤ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਲਈ ਮੱਧਮਾਨ ਥਿਊਰਮ ਵੇਖੋ।
14. ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1, ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 1 ਵੇਖੋ।
15. ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2, ਇਸਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਦੇ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੈਲਕੂਲਸ ਦਾ ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ, ਭਾਗ 2 ਵੇਖੋ।
16. ਨੈੱਟ ਪਰਿਵਰਤਨ ਥਿਊਰਮ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਮਾਤਰਾ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਪਲੱਸ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨੈੱਟ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ, ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ, ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
17. ਇੱਕ ਸਮਮਿਤੀ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਮ ਫਲਨ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕਰਕੇ ਗਿਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫਲਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਮਮਿਤੀ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅੱਧਾ ਖੇਤਰਫਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
18. ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਹੈ ਜੋ ਚੇਨ-ਰੂਲ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। 'ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ' ਸ਼ਬਦ ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਵਿੱਚ ਉਚਿਤ ਪ੍ਰਗਟਾਵਿਆਂ ਲਈ ਵੇਰੀਏਬਲ ਬਦਲਣ ਜਾਂ ਵੇਰੀਏਬਲ u ਅਤੇ du ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
19. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਲਈ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਬਦਲਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
20. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫਲਨ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਉਭਰਦੇ ਹਨ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਜੋ ਵਿਕਾਸ ਅਤੇ ਗਿਰਾਵਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ।
21. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਜਾਂ ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਅਕਸਰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
22. ਵਿਪਰੀਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲਈ ਸੂਤਰ ਜੋ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ, ਸਿੱਧੇ ਵਿਪਰੀਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਸੂਤਰਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
23. ਵਿਪਰੀਤ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਸ਼ਨ ਸੂਤਰਾਂ ਦੇ ਨਿਯਮ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਸਹੀ ਫਾਰਮੈਟ ਨਾਲ ਮੇਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ ਅਤੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਬਦਲਾਅ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਣ।
24. ਇੰਟੀਗ੍ਰੈਂਡ ਨੂੰ ਸਹੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ ਅਕਸਰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।