ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ (definite integrals) ਕਿਸੇ ਵਕਰ (curve) ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਉਹ ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਦੋ ਵਕਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਜੋ ਕਿ ਫਲਨਾਂ (functions) ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ, ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ (difference) ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰੋ।
ਜੇ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ, ਜਾਂ ਜੇ ਖੇਤਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ (absolute value) ਵਰਤੋ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਕਈ ਵਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ y ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਸੌਖਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਚੱਲ (variable) ਵਜੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇ, ਸਿਧਾਂਤ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ (solids) ਦੇ ਆਇਤਨ (volumes) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ (slicing method) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਖੇਤਰਫਲ (cross-sectional area) ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰਕੇ ਆਇਤਨ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥਾਂ (solids of revolution) ਲਈ, ਆਇਤਨ ਸਲਾਈਸ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਡਿਸਕ (disks) ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਚੱਕਰ (circles) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਵਿੱਚ ਸਲਾਈਸਿੰਗ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਉਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਚੱਕਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਸੂਤਰ (formula) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਜੇ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਖੋਖਲਾਪਨ (cavity) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਆਇਤਨ ਸਲਾਈਸ ਵਾਸ਼ਰ (washers) ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਨਾਲ, ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਤੋਂ ਘਟਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਫਿਰ ਅਨੁਕਲਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਿਲੰਡਰੀਕਲ ਸ਼ੈੱਲ ਵਿਧੀ (cylindrical shells method) ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਧੀ ਕਈ ਵਾਰ ਡਿਸਕ ਵਿਧੀ ਜਾਂ ਵਾਸ਼ਰ ਵਿਧੀ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਪਸੰਦੀਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਚੱਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਨੁਕਲਨ ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਕਾਫ਼ੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ (geometry) ਅਤੇ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਮੁਸ਼ਕਲ, ਇਹ ਮੁੱਖ ਕਾਰਕ ਹਨ ਜੋ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਅਨੁਕਲਨ ਵਿਧੀ ਵਰਤੀ ਜਾਵੇ।
ਕਿਸੇ ਵਕਰ ਦੀ ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ (arc length) ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ (line segments) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਰੀਮੈਨ ਜੋੜ (Riemann sum) ਤਿਆਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਸੀਮਾ (limit) ਲੈਣ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਸੂਤਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ y ਦੇ ਫਲਨਾਂ (functions of y) 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਘੁੰਮਣ ਵਾਲੀ ਸਤਹ (surface of revolution) ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ (surface area) ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਆਮ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚਾਪ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੋਵਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਅਕਸਰ ਕੱਢਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨ ਦੇ ਕਈ ਭੌਤਿਕ ਉਪਯੋਗ (physical applications) ਆਮ ਹਨ।
ਜੇ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਘਣਤਾ ਫਲਨ (density function) ਪਤਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਉਸ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ (mass) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕੰਮ (Work) ਦੀ ਗਣਨਾ ਵੀ ਬਲ ਫਲਨ (force function) ਦਾ ਅਨੁਕਲਨ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਗੁਰੂਤਾ ਬਲ (force of gravity) ਦਾ ਮੁਕਾਬਲਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪੰਪਿੰਗ ਸਮੱਸਿਆ (pumping problem) ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਨੁਕਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਡੁੱਬੀ ਹੋਈ ਵਸਤੂ 'ਤੇ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਬਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ (system) ਦਾ ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ (center of mass) ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਬਿਨਾਂ ਕੋਈ ਮੋਮੈਂਟ (moment) ਬਦਲੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਸੰਤੁਲਨ ਬਿੰਦੂ (balancing point) ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ (number line) 'ਤੇ ਵੰਡੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ (point masses) ਲਈ, ਮੂਲ (origin) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਮੋਮੈਂਟ M=∑i=1nmixi ਹੈ। ਇੱਕ ਤਲ (plane) ਵਿੱਚ ਵੰਡੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਪੁੰਜਾਂ ਲਈ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ (axes) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ Mx=∑i=1nmiyi ਅਤੇ My=∑i=1nmixi ਹਨ।
f(x) ਫਲਨ ਦੁਆਰਾ ਉੱਪਰ ਸੀਮਤ (bounded above) ਇੱਕ ਲੈਮੀਨਾ (lamina) ਲਈ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ x- ਅਤੇ y-ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟ Mx=ρ∫ab[f(x)]^2/2 dx ਅਤੇ My=ρ∫abxf(x)dx ਹਨ।
ਪੁੰਜ ਕੇਂਦਰ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (coordinates) ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ y-ਧੁਰੇ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੇ ਮੋਮੈਂਟਾਂ ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਪੁੰਜ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਿਧਾਂਤ (symmetry principle) ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਕੋਈ ਖੇਤਰ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ (symmetric) ਹੈ, ਤਾਂ ਖੇਤਰ ਦਾ ਕੇਂਦ੍ਰੋਗ (centroid) ਉਸ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।
ਪੈਪਸ ਥਿਊਰਮ (theorem of Pappus) ਆਇਤਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਧੁਰੇ (external axis) ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁਮਾਇਆ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਬਣੇ ਠੋਸ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਆਇਤਨ, ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦ੍ਰੋਗ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਲਘੂਰਤਕ (logarithms) ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ (exponential functions) ਦਾ ਪਿਛਲਾ ਇਲਾਜ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਅਤੇ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਸੀ। ਇਹ ਭਾਗ ਸੰਕਲਪਾਂ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਖ਼ਤ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਵਿਕਾਸ ਦਾ ਆਧਾਰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ (natural logarithm) ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਇੱਕ ਸੰਕਲਨ (integral) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਫਿਰ ਫਲਨ (function) e^x ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਲਘੂਗਣਕ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਧਾਰਨ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ (general exponential functions) e^x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸੰਗਤ ਉਲਟ ਫਲਨ ਸਧਾਰਨ ਲਘੂਗਣਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਲਘੂਗਣਕਾਂ ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਗੁਣ ਇਸ ਵਧੇਰੇ ਸਖ਼ਤ ਪ੍ਰਸੰਗ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕਾਇਮ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ (exponential growth) ਅਤੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਘਾਟ (exponential decay) ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਵਰਤੋਂਵਾਂ ਹਨ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ y=y₀eᵏᵗ ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਵਿੱਚ, ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, y'=ky।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਦੁਗੁਣਾ ਸਮਾਂ (doubling time) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ (ln2)/k ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਘਾਟ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ y=y₀e⁻ᵏᵗ ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਘਾਟ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੱਧਾ ਜੀਵਨ (half-life) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ (ln2)/k ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਈ ਫਲਨ (hyperbolic functions) ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਪਦ-ਅਨੁਸਾਰ ਅਵਕਲਨ (Term-by-term differentiation) ਅਤਿ-ਪਰਵਲਈ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਅਵਕਲਨ ਸੂਤਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਨ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਉਚਿਤ ਰੇਂਜ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਨਾਲ, ਸਾਰੇ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਈ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਅਪ੍ਰਤੱਖ ਅਵਕਲਨ (Implicit differentiation) ਉਲਟ ਅਤਿ-ਪਰਵਲਈ ਫਲਨਾਂ ਲਈ ਅਵਕਲਨ ਸੂਤਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਸੰਕਲਨ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਈ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਭੌਤਿਕ ਵਰਤੋਂਵਾਂ ਕੈਟੇਨਰੀ (catenaries) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਗਣਨਾਵਾਂ ਹਨ।