Learning Objectives
7.1.1 Plot a curve described by parametric equations.
7.1.2 Convert the parametric equations of a curve into the form y = f ( x ) . y = f ( x ) .
7.1.3 Recognize the parametric equations of basic curves, such as a line and a circle.
7.1.4 Recognize the parametric equations of a cycloid.
In this section we examine parametric equations and their graphs. In the two-dimensional coordinate system, parametric equations are useful for describing curves that are not necessarily functions. The parameter is an independent variable that both x and y depend on, and as the parameter increases, the values of x and y trace out a path along a plane curve. For example, if the parameter is t (a common choice), then t might represent time. Then x and y are defined as functions of time, and (x(t),y(t))(x(t),y(t)) can describe the position in the plane of a given object as it moves along a curved path.
Parametric Equations and Their Graphs
Consider the orbit of Earth around the Sun. Our year lasts approximately 365.25 days, but for this discussion we will use 365 days. On January 1 of each year, the physical location of Earth with respect to the Sun is nearly the same, except for leap years, when the lag introduced by the extra 1414 day of orbiting time is built into the calendar. We call January 1 “day 1” of the year. Then, for example, day 31 is January 31, day 59 is February 28, and so on.
The number of the day in a year can be considered a variable that determines Earth’s position in its orbit. As Earth revolves around the Sun, its physical location changes relative to the Sun. After one full year, we are back where we started, and a new year begins. According to Kepler’s laws of planetary motion, the shape of the orbit is elliptical, with the Sun at one focus of the ellipse. We study this idea in more detail in Conic Sections.
Figure 7.2: Earth’s orbit around the Sun in one year.
Figure 7.2 depicts Earth’s orbit around the Sun during one year. The point labeled F2F2 is one of the foci of the ellipse; the other focus is occupied by the Sun. If we superimpose coordinate axes over this graph, then we can assign ordered pairs to each point on the ellipse (Figure 7.3). Then each x value on the graph is a value of position as a function of time, and each y value is also a value of position as a function of time. Therefore, each point on the graph corresponds to a value of Earth’s position as a function of time.
Figure 7.3: Coordinate axes superimposed on the orbit of Earth.
We can determine the functions for x(t)x(t) and y(t),y(t), thereby parameterizing the orbit of Earth around the Sun. The variable tt is called an independent parameter and, in this context, represents time relative to the beginning of each year.
A curve in the (x,y)(x,y) plane can be represented parametrically. The equations that are used to define the curve are called parametric equations.
Definition
If x and y are continuous functions of t on an interval I, then the equations
are called parametric equations and t is called the parameter. The set of points (x,y)(x,y) obtained as t varies over the interval I is called the graph of the parametric equations. The graph of parametric equations is called a parametric curve or plane curve, and is denoted by C.
Notice in this definition that x and y are used in two ways. The first is as functions of the independent variable t. As t varies over the interval I, the functions x(t)x(t) and y(t)y(t) generate a set of ordered pairs (x,y).(x,y). This set of ordered pairs generates the graph of the parametric equations. In this second usage, to designate the ordered pairs, x and y are variables. It is important to distinguish the variables x and y from the functions x(t)x(t) and y(t).y(t).
Example 7.1
Graphing a Parametrically Defined Curve
Sketch the curves described by the following parametric equations:
x(t)=t−1,y(t)=2t+4,−3≤t≤2x(t)=t−1,y(t)=2t+4,−3≤t≤2
x(t)=t2−3,y(t)=2t+1,−2≤t≤3x(t)=t2−3,y(t)=2t+1,−2≤t≤3
x(t)=4cost,y(t)=4sint,0≤t≤2πx(t)=4cost,y(t)=4sint,0≤t≤2π
Solution
To create a graph of this curve, first set up a table of values. Since the independent variable in both x(t)x(t) and y(t)y(t) is t, let t appear in the first column. Then x(t)x(t) and y(t)y(t) will appear in the second and third columns of the table. t x(t)x(t) y(t)y(t) −3 −4 −2 −2 −3 0 −1 −2 2 0 −1 4 1 0 6 2 1 8 The second and third columns in this table provide a set of points to be plotted. The graph of these points appears in Figure 7.4. The arrows on the graph indicate the orientation of the graph, that is, the direction that a point moves on the graph as t varies from −3 to 2. Figure 7.4 Graph of the plane curve described by the parametric equations in part a.
To create a graph of this curve, again set up a table of values. t x(t)x(t) y(t)y(t) −2 1 −3 −1 −2 −1 0 −3 1 1 −2 3 2 1 5 3 6 7 The second and third columns in this table give a set of points to be plotted (Figure 7.5). The first point on the graph (corresponding to t=−2)t=−2) has coordinates (1,−3),(1,−3), and the last point (corresponding to t=3)t=3) has coordinates (6,7).(6,7). As t progresses from −2 to 3, the point on the curve travels along a parabola. The direction the point moves is again called the orientation and is indicated on the graph. Figure 7.5 Graph of the plane curve described by the parametric equations in part b.
In this case, use multiples of π/6π/6 for t and create another table of values: t x(t)x(t) y(t)y(t) t x(t)x(t) y(t)y(t) 0 4 0 7π67π6 −23≈−3.5−23≈−3.5 2 π6π6 23≈3.523≈3.5 22 4π34π3 −2 −23≈−3.5−23≈−3.5 π3π3 22 23≈3.523≈3.5 3π23π2 0 −4 π2π2 0 4 5π35π3 2 −23≈−3.5−23≈−3.5 2π32π3 −2 23≈3.523≈3.5 11π611π6 23≈3.523≈3.5 2 5π65π6 −23≈−3.5−23≈−3.5 2 2π2π 4 0 ππ −4 0 The graph of this plane curve appears in the following graph. Figure 7.6 Graph of the plane curve described by the parametric equations in part c. This is the graph of a circle with radius 4 centered at the origin, with a counterclockwise orientation. The starting point and ending points of the curve both have coordinates (4,0).(4,0).
Checkpoint 7.1
Sketch the curve described by the parametric equations
Eliminating the Parameter
To better understand the graph of a curve represented parametrically, it is useful to rewrite the two equations as a single equation relating the variables x and y. Then we can apply any previous knowledge of equations of curves in the plane to identify the curve. For example, the equations describing the plane curve in Example 7.1b. are
Solving the second equation for t gives
This can be substituted into the first equation:
This equation describes x as a function of y. These steps give an example of eliminating the parameter. The graph of this function is a parabola opening to the right. Recall that the plane curve started at (1,−3)(1,−3) and ended at (6,7).(6,7). These terminations were due to the restriction on the parameter t.
Example 7.2
Eliminating the Parameter
Eliminate the parameter for each of the plane curves described by the following parametric equations and describe the resulting graph.
x(t)=2t+4,y(t)=2t+1,−2≤t≤6x(t)=2t+4,y(t)=2t+1,−2≤t≤6
x(t)=4cost,y(t)=3sint,0≤t≤2πx(t)=4cost,y(t)=3sint,0≤t≤2π
Solution
To eliminate the parameter, we can solve either of the equations for t. For example, solving the first equation for t gives x=2t+4x2=2t+4x2−4=2tt=x2−42.x=2t+4x2=2t+4x2−4=2tt=x2−42. Note that when we square both sides it is important to observe that x≥0.x≥0. Substituting t=x2−42t=x2−42 this into y(t)y(t) yields y(t)=2t+1y=2(x2−42)+1y=x2−4+1y=x2−3.y(t)=2t+1y=2(x2−42)+1y=x2−4+1y=x2−3. This is the equation of a parabola opening upward. There is, however, a domain restriction because of the limits on the parameter t. When t=−2,t=−2, x=2(−2)+4=0,x=2(−2)+4=0, and when t=6,t=6, x=2(6)+4=4.x=2(6)+4=4. The graph of this plane curve follows. Figure 7.7 Graph of the plane curve described by the parametric equations in part a.
Sometimes it is necessary to be a bit creative in eliminating the parameter. The parametric equations for this example are x(t)=4costandy(t)=3sint.x(t)=4costandy(t)=3sint. Solving either equation for t directly is not advisable because sine and cosine are not one-to-one functions. However, dividing the first equation by 4 and the second equation by 3 (and suppressing the t) gives us cost=x4andsint=y3.cost=x4andsint=y3. Now use the Pythagorean identity cos2t+sin2t=1cos2t+sin2t=1 and replace the expressions for sintsint and costcost with the equivalent expressions in terms of x and y. This gives (x4)2+(y3)2=1x216+y29=1.(x4)2+(y3)2=1x216+y29=1. This is the equation of a horizontal ellipse centered at the origin, with semimajor axis 4 and semiminor axis 3 as shown in the following graph. Figure 7.8 Graph of the plane curve described by the parametric equations in part b. As t progresses from 00 to 2π,2π, a point on the curve traverses the ellipse once, in a counterclockwise direction. Recall from the section opener that the orbit of Earth around the Sun is also elliptical. This is a perfect example of using parameterized curves to model a real-world phenomenon.
Checkpoint 7.2
Eliminate the parameter for the plane curve defined by the following parametric equations and describe the resulting graph.
ਤਦ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਵੇਖੀ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਕਰਵ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕਰਵ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਏ ਅਤੇ ਉਸ ਕਰਵ ਲਈ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਏ? ਇਹ ਯਕੀਨਨ ਸੰਭਵ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇਹ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕਰਵ ਲਈ ਕਈ ਵੱਖੋ-ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਕਰਵ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.3
ਕਰਵ ਦਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ
y=2x^2−3.y=2x^2−3. ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਜੋੜੇ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, x(t)=t,x(t)=t ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ y(t).y(t) ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x ਨੂੰ t ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਕਰਵ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀ ਨਾ ਹੋਣ ਕਾਰਨ, t ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਦੂਜੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਚੋਣ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਪੂਰੀ ਆਜ਼ਾਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ x(t)=3t−2.x(t)=3t−2 ਦੀ ਚੋਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇਹ ਚੈੱਕ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ x 'ਤੇ ਕੋਈ ਪਾਬੰਦੀ ਨਹੀਂ ਲਗਾਈ ਗਈ ਹੈ; ਭਾਵ, x(t)x(t) ਦੀ ਰੇਂਜ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ। ਇਹ x(t)=3t−2.x(t)=3t−2 ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਹੁਣ ਕਿਉਂਕਿ y=2x^2−3,y=2x^2−3, ਅਸੀਂ x ਲਈ x(t)=3t−2x(t)=3t−2 ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ
ਇਸ ਲਈ, ਕਰਵ ਦਾ ਦੂਜਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 7.3
y=x^2+2x.y=x^2+2x. ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਸੈੱਟ ਲੱਭੋ।
ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਅਤੇ ਹੋਰ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਕਰਵ
ਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਸਾਈਕਲ ਦੀ ਸਵਾਰੀ 'ਤੇ ਜਾਣ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ। ਟਾਇਰ ਸੜਕ ਦੇ ਸੰਪਰਕ ਵਿੱਚ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦੇ ਹਨ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਦ੍ਰਿੜ੍ਹ ਚਿਊਂਟੀ ਇੱਕ ਲੰਬੇ ਦਿਨ ਬਾਅਦ ਥੱਕ ਗਈ ਹੈ ਅਤੇ ਘਰ ਜਾਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਟਾਇਰ ਦੇ ਪਾਸੇ ਲਟਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਮੁਫਤ ਸਵਾਰੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਇਸ ਚਿਊਂਟੀ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਦਾ ਮਾਰਗ ਸਾਈਕਲੋਇਡ (ਚਿੱਤਰ 7.9) ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। 'a' ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ (ਜਾਂ ਸਾਈਕਲ ਦੇ ਪਹੀਏ) ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਹ ਸੱਚ ਕਿਉਂ ਹੈ, ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਪਹੀਏ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੁਆਰਾ ਲਏ ਗਏ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕੇਂਦਰ ਪਹੀਏ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਉਚਾਈ 'ਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਰੇਡੀਅਸ 'a' ਹੈ, ਤਾਂ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ
ਕਿਸੇ ਵੀ 't' ਮੁੱਲ ਲਈ। ਅੱਗੇ, ਚਿਊਂਟੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਘੁੰਮਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਸਾਈਕਲ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ ਤਾਂ ਪਹੀਏ ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮ ਰਹੇ ਹਨ। ਚਿਊਂਟੀ ਦੀ ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਭਵ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਪਹੀਏ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ) ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
(ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਲੋੜ ਕਰਵ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਉਲਟਾਉਣ ਲਈ ਹੈ। ਜੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਪਹੀਏ ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦਾ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨੀ ਪੈਂਦੀ।) ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 7.9: ਇੱਕ ਪਹੀਆ ਬਿਨਾਂ ਖਿਸਕਾਏ ਸੜਕ 'ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ; ਪਹੀਏ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਈਕਲ ਦਾ ਪਹੀਆ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਸਗੋਂ ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਪਹੀਏ ਦੇ ਅੰਦਰ ਚਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7.10 ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ, ਹਰਾ ਚੱਕਰ ਨੀਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਚਲ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਹਰੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਹਾਈਪੋਸਾਈਕਲੋਇਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.10: ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਹਾਈਪੋਸਾਈਕਲੋਇਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਹਾਈਪੋਸਾਈਕਲੋਇਡ ਲਈ ਆਮ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਕੁਝ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹਨ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੱਡੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ 'a' ਹੈ ਅਤੇ ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ 'b' ਹੈ। ਫਿਰ ਪਹੀਏ ਦਾ ਕੇਂਦਰ 'a−b'.a−b. ਰੇਡੀਅਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਤੱਥ ਉਪਰੋਕਤ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੋਨਾਂ x(t)x(t) ਅਤੇ y(t)y(t) ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ 2πba−b.2πba−b ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
'a'/'b' ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਕਸਪਸ (ਕੋਨਿਆਂ ਜਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਨੁਕਤੇ ਵਾਲੇ ਸਿਰੇ) ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7.11 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਅਨੁਪਾਤ ਕੁਝ ਬਹੁਤ ਹੀ ਦਿਲਚਸਪ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦੇ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਨੁਪਾਤ ਤਰਕਪੂਰਨ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਚਿੱਤਰ 7.10 'a'=4'a'=4 ਅਤੇ 'b'=1.'b'=1 ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਚਾਰ ਕਸਪਸ ਵਾਲਾ ਹਾਈਪੋਸਾਈਕਲੋਇਡ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7.11 ਕੁਝ ਹੋਰ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਆਖਰੀ ਦੋ ਹਾਈਪੋਸਾਈਕਲੋਇਡਸ ਲਈ 'a'/'b' ਦੇ ਅਰੈਸ਼ਨਲ ਮੁੱਲ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਹਾਈਪੋਸਾਈਕਲੋਇਡਸ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਕਸਪਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਕਦੇ ਵੀ ਆਪਣੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦੇ। ਇਹ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਣ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਪੇਸ-ਫਿਲਿੰਗ ਕਰਵ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.11: 'a'/'b' ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹਾਈਪੋਸਾਈਕਲੋਇਡਜ਼ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ਅਗਨੇਸੀ ਦੀ ਡਾਇਣ
ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਕਈ ਤਲ ਵਕਰਾਂ (plane curves) ਦੇ ਨਾਮ ਉਨ੍ਹਾਂ ਲੋਕਾਂ ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਡੇਕਾਰਟ ਦਾ ਫੋਲੀਅਮ (folium of Descartes) ਜਾਂ ਆਰਕੀਮੇਡੀਜ਼ ਦਾ ਸਰਪਿਲ (spiral of Archimedes)। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸ਼ਾਇਦ ਕਿਸੇ ਵਕਰ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਅਜੀਬ ਨਾਮ ਅਗਨੇਸੀ ਦੀ ਡਾਇਣ ਹੈ। ਡਾਇਣ ਕਿਉਂ?
ਮਾਰੀਆ ਗੇਟਾਨਾ ਅਗਨੇਸੀ (1718–1799) ਅਠਾਰ੍ਹਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਇਟਲੀ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਮਾਨਤਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਮਹਿਲਾ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ (analytic geometry) 'ਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਪੁਸਤਕ ਲਿਖੀ, ਜੋ 1748 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਹੋਈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਵਕਰ ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ ਜਿਸਦਾ ਅਧਿਐਨ ਫਰਮਾਟ (Fermat) ਨੇ 1630 ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਗੁਇਡੋ ਗ੍ਰਾਂਡੀ (Guido Grandi) ਨੇ 1703 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਇਸ ਵਕਰ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਉਸਨੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ "ਵਰਸੋਰੀਆ" (versoria) ਕਿਹਾ, ਜੋ ਕਿ ਜਹਾਜ਼ ਚਲਾਉਣ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਰੱਸੀ ਲਈ ਇੱਕ ਲਾਤੀਨੀ ਸ਼ਬਦ ਹੈ। ਅਗਨੇਸੀ ਨੇ ਇਸ ਰੱਸੀ ਲਈ ਇਤਾਲਵੀ ਸ਼ਬਦ "ਵਰਸੀਏਰਾ" (versiera) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ, ਪਰ ਲਾਤੀਨੀ ਵਿੱਚ, ਇਸੇ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਅਰਥ "ਮਹਿਲਾ ਗੋਬਲਿਨ" (female goblin) ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਗਨੇਸੀ ਦੀ ਪੁਸਤਕ ਦਾ 1801 ਵਿੱਚ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਤਾਂ ਅਨੁਵਾਦਕ ਨੇ ਰੱਸੀ ਦੀ ਬਜਾਏ ਵਕਰ ਲਈ "ਡਾਇਣ" (witch) ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। "ਅਗਨੇਸੀ ਦੀ ਡਾਇਣ" ਨਾਮ ਉਦੋਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅਗਨੇਸੀ ਦੀ ਡਾਇਣ ਇੱਕ ਵਕਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ: ਇੱਕ ਚੱਕਰ (circle) ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਜਿਸਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ (radius) 'a' ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਜੋ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਅਤੇ (0,2a) ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣ (ਚਿੱਤਰ 7.12)। O ਨੂੰ ਮੂਲ (origin) ਮੰਨੋ। ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ A ਚੁਣੋ, ਅਤੇ ਰੇਖਾ OA ਖਿੱਚੋ। B ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਰੇਖਾ OA ਬਿੰਦੂ (0,2a) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ (horizontal line) ਨੂੰ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। B ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਲੰਬ ਰੇਖਾ (vertical line) A ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ P 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਬਿੰਦੂ A ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ P ਜਿਸ ਮਾਰਗ ਦੀ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਲਈ ਅਗਨੇਸੀ ਦੀ ਡਾਇਣ ਵਕਰ ਹੈ।
ਅਗਨੇਸੀ ਦੀਆਂ ਡਾਇਣ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ (physics) ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ ਲਹਿਰਾਂ (water waves) ਅਤੇ ਸਪੈਕਟਰਲ ਲਾਈਨਾਂ (spectral lines) ਦੇ ਵਿਤਰਨ (distributions) ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ (probability theory) ਵਿੱਚ, ਇਹ ਵਕਰ ਕਾਚੀ ਵਿਤਰਨ (Cauchy distribution) ਦੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫਲਨ (probability density function) ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ (parameterize) ਕਰੋਗੇ।
ਚਿੱਤਰ 7.12: ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਬਿੰਦੂ A ਚੱਕਰ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ P ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਲਈ ਅਗਨੇਸੀ ਦੀ ਡਾਇਣ ਵਕਰ ਨੂੰ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 'ਤੇ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਿੰਦੂਆਂ, ਲੰਬਾਈਆਂ ਅਤੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ: C x-ਧੁਰੇ (x-axis) 'ਤੇ A ਦੇ ਸਮਾਨ x-ਸੰਯੋਜਕ (x-coordinate) ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। x, P ਦਾ x-ਸੰਯੋਜਕ ਹੈ, ਅਤੇ y, P ਦਾ y-ਸੰਯੋਜਕ ਹੈ। E ਬਿੰਦੂ (0,a) ਹੈ। F ਰੇਖਾ ਖੰਡ OA 'ਤੇ ਅਜਿਹਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਕਿ ਰੇਖਾ ਖੰਡ EF, ਰੇਖਾ ਖੰਡ OA ਦੇ ਲੰਬ ਹੈ। b, O ਤੋਂ F ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ। c, F ਤੋਂ A ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ। d, O ਤੋਂ B ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ। θ, ਕੋਣ ∠COA ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਦਾ ਟੀਚਾ θ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ ਡਾਇਣ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, x ਅਤੇ y ਲਈ ਸਿਰਫ਼ θ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ d=2asinθ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x=dcosθ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ x=2acotθ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ θ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਕਰ ਦੇ x-ਸੰਯੋਜਕ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਲਿਆ ਹੋਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ y ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਲਿਆ ਹੋਵੇਗਾ।
θ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਕੋਣ ∠EOA ਕੀ ਹੈ?
ਦਿਖਾਓ ਕਿ b+c=2acos(π2−θ) ਹੈ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ y=2acos(π2−θ)sinθ ਹੈ।
ਦਿਖਾਓ ਕਿ y=2asin2θ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਹੁਣ θ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਕਰ ਦੇ y-ਸੰਯੋਜਕ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ।
ਸਿੱਟਾ ਕੱਢੋ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਡਾਇਣ ਵਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ x=2acotθ, y=2asin2θ, −∞<θ<∞ ਹੈ।
ਆਪਣੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਡਾਇਣ ਵਕਰ ਫਲਨ f(x)=8a3x2+4a2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ।
ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ
ਮੇਰੀ ਚਿਊਂਟੀ ਨਾਲ ਸਫ਼ਰ: ਕਰਟੇਟ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਲੇਟ ਸਾਈਕਲੋਇਡ (Curtate and Prolate Cycloids)
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਕਲੋਇਡ (cycloid) ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (parametric equations) ਨੂੰ ਦੇਖਿਆ ਸੀ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਪਹੀਏ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਮਾਰਗ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪਹੀਆ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਪਥ 'ਤੇ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਦੇ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੂਪਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕਰਟੇਟ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਲੇਟ ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ ਸਾਈਕਲੋਇਡ ਦੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਉਤਪਤੀ (derivation) 'ਤੇ ਮੁੜ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿੜ੍ਹ ਚਿਊਂਟੀ (ant) 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਸੀ ਜੋ ਇੱਕ ਸਾਈਕਲ ਦੇ ਟਾਇਰ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਲਟਕ ਕੇ ਘਰ ਪਹੁੰਚਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੀ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਲਿਆ ਹੈ ਕਿ ਚਿਊਂਟੀ ਟਾਇਰ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਚੜ੍ਹ ਗਈ ਸੀ, ਜਿੱਥੇ ਟਾਇਰ ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਪਹੀਆ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਚਿਊਂਟੀ ਟਾਇਰ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਨਾਲ ਘੁੰਮਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 7.13)।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਲਚਕਤਾ (flexibility) ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t ਨੂੰ ਪਹੀਏ ਦੁਆਰਾ ਘੁੰਮੇ ਗਏ ਕੋਣ (angle) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 7.13 ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਹੀਏ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਪਹੀਏ ਦੇ ਕੇਂਦਰ, C=(xC,yC) ਦੀ ਸਥਿਤੀ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਚਿਊਂਟੀ ਦੀ ਸਥਿਤੀ, A=(xA,yA) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ:
ਫਿਰ:
ਚਿੱਤਰ 7.13: (a) ਚਿਊਂਟੀ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਘੁੰਮ ਰਹੇ ਸਾਈਕਲ ਦੇ ਟਾਇਰ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਨਾਲ ਚਿਪਕੀ ਹੋਈ ਹੈ। (b) ਟਾਇਰ ਦੇ t ਕੋਣ ਨਾਲ ਘੁੰਮਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਚਿਊਂਟੀ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਰੂਪਾਂ (parametric representations) ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਵੇਰੀਏਬਲ t ਨੂੰ ਇੱਕ ਭੌਤਿਕ ਅਰਥ ਦਿੱਤਾ ਹੈ।
After a while the ant is getting dizzy from going round and round on the edge of the tire. So he climbs up one of the spokes toward the center of the wheel. By climbing toward the center of the wheel, the ant has changed his path of motion. The new path has less up-and-down motion and is called a curtate cycloid (Figure 7.14). As shown in the figure, we let b denote the distance along the spoke from the center of the wheel to the ant. As before, we let t represent the angle the tire has rotated through. Additionally, we let C=(xC,yC)C=(xC,yC) represent the position of the center of the wheel and A=(xA,yA)A=(xA,yA) represent the position of the ant.
Figure 7.14: (a) The ant climbs up one of the spokes toward the center of the wheel. (b) The ant’s path of motion after he climbs closer to the center of the wheel. This is called a curtate cycloid. (c) The new setup, now that the ant has moved closer to the center of the wheel.
What is the position of the center of the wheel after the tire has rotated through an angle of t?
Use geometry to find expressions for xC−xAxC−xA and for yC−yA.yC−yA.
On the basis of your answers to parts 1 and 2, what are the parametric equations representing the curtate cycloid? Once the ant’s head clears, he realizes that the bicyclist has made a turn, and is now traveling away from his home. So he drops off the bicycle tire and looks around. Fortunately, there is a set of train tracks nearby, headed back in the right direction. So the ant heads over to the train tracks to wait. After a while, a train goes by, heading in the right direction, and he manages to jump up and just catch the edge of the train wheel (without getting squished!). The ant is still worried about getting dizzy, but the train wheel is slippery and has no spokes to climb, so he decides to just hang on to the edge of the wheel and hope for the best. Now, train wheels have a flange to keep the wheel running on the tracks. So, in this case, since the ant is hanging on to the very edge of the flange, the distance from the center of the wheel to the ant is actually greater than the radius of the wheel (Figure 7.15). The setup here is essentially the same as when the ant climbed up the spoke on the bicycle wheel. We let b denote the distance from the center of the wheel to the ant, and we let t represent the angle the tire has rotated through. Additionally, we let C=(xC,yC)C=(xC,yC) represent the position of the center of the wheel and A=(xA,yA)A=(xA,yA) represent the position of the ant (Figure 7.15). When the distance from the center of the wheel to the ant is greater than the radius of the wheel, his path of motion is called a prolate cycloid. A graph of a prolate cycloid is shown in the figure. Figure 7.15 (a) The ant is hanging onto the flange of the train wheel. (b) The new setup, now that the ant has jumped onto the train wheel. (c) The ant travels along a prolate cycloid.
Using the same approach you used in parts 1– 3, find the parametric equations for the path of motion of the ant.
What do you notice about your answer to part 3 and your answer to part 4? Notice that the ant is actually traveling backward at times (the “loops” in the graph), even though the train continues to move forward. He is probably going to be really dizzy by the time he gets home!
For the following exercises, sketch the curves below by eliminating the parameter t. Give the orientation of the curve.
x=t2+2t,x=t2+2t, y=t+1y=t+1
x = cos ( t ) , y = sin ( t ) , ( 0 , 2 π ] x = cos ( t ) , y = sin ( t ) , ( 0 , 2 π ]
x = 2 t + 4 , y = t − 1 x = 2 t + 4 , y = t − 1
x = 3 − t , y = 2 t − 3 , 1.5 ≤ t ≤ 3 x = 3 − t , y = 2 t − 3 , 1.5 ≤ t ≤ 3
For the following exercises, eliminate the parameter and sketch the graphs.
x = 2 t 2 , y = t 4 + 1 x = 2 t 2 , y = t 4 + 1
For the following exercises, use technology (CAS or calculator) to sketch the parametric equations.
[T] x=t2+t,y=t2−1x=t2+t,y=t2−1
[T] x=e−t,y=e2t−1x=e−t,y=e2t−1
[T] x=3cost,y=4sintx=3cost,y=4sint
[T] x=sect,y=costx=sect,y=cost
For the following exercises, sketch the parametric equations by eliminating the parameter. Indicate any asymptotes of the graph.
x = e t , y = e 2 t + 1 x = e t , y = e 2 t + 1
x = 6 sin ( 2 θ ) , y = 4 cos ( 2 θ ) x = 6 sin ( 2 θ ) , y = 4 cos ( 2 θ )
x = cos θ , y = 2 sin ( 2 θ ) x = cos θ , y = 2 sin ( 2 θ )
x = 3 − 2 cos θ , y = −5 + 3 sin θ x = 3 − 2 cos θ , y = −5 + 3 sin θ
x = 4 + 2 cos θ , y = −1 + sin θ x = 4 + 2 cos θ , y = −1 + sin θ
x = sec t , y = tan t x = sec t , y = tan t
x = ln ( 2 t ) , y = t 2 x = ln ( 2 t ) , y = t 2
x = e t , y = e 2 t x = e t , y = e 2 t
x = e −2 t , y = e 3 t x = e −2 t , y = e 3 t
x = t 3 , y = 3 ln t x = t 3 , y = 3 ln t
x = 4 sec θ , y = 3 tan θ x = 4 sec θ , y = 3 tan θ
For the following exercises, convert the parametric equations of a curve into rectangular form. No sketch is necessary. State the domain of the rectangular form.
x = t 2 − 1 , y = t 2 x = t 2 − 1 , y = t 2
x = 1 t + 1 , y = t 1 + t , t > −1 x = 1 t + 1 , y = t 1 + t , t > −1
x = 4 cos θ , y = 3 sin θ , θ ∈ ( 0 , 2 π ] x = 4 cos θ , y = 3 sin θ , θ ∈ ( 0 , 2 π ]
x = cosh t , y = sinh t x = cosh t , y = sinh t
x = 2 t − 3 , y = 6 t − 7 x = 2 t − 3 , y = 6 t − 7
x = t 2 , y = t 3 x = t 2 , y = t 3
x = 1 + cos t , y = 3 − sin t x = 1 + cos t , y = 3 − sin t
x = t , y = 2 t + 4 x = t , y = 2 t + 4
x = sec t , y = tan t , π ≤ t < 3 π 2 x = sec t , y = tan t , π ≤ t < 3 π 2
x = 2 cosh t , y = 4 sinh t x = 2 cosh t , y = 4 sinh t
x = cos ( 2 t ) , y = sin t x = cos ( 2 t ) , y = sin t
x = 4 t + 3 , y = 16 t 2 − 9 x = 4 t + 3 , y = 16 t 2 − 9
x = t 2 , y = 2 ln t , t ≥ 1 x = t 2 , y = 2 ln t , t ≥ 1
x = t 3 , y = 3 ln t , t ≥ 1 x = t 3 , y = 3 ln t , t ≥ 1
x=tn,y=nlnt,t≥1,x=tn,y=nlnt,t≥1, where n is a natural number
x=ln(5t)y=ln(t2)x=ln(5t)y=ln(t2) where 1≤t≤e1≤t≤e
x = 2 sin ( 8 t ) y = 2 cos ( 8 t ) x = 2 sin ( 8 t ) y = 2 cos ( 8 t )
x = tan t y = sec 2 t − 1 x = tan t y = sec 2 t − 1
For the following exercises, the pairs of parametric equations represent lines, parabolas, circles, ellipses, or hyperbolas. Name the type of basic curve that each pair of equations represents.
x = 3 t + 4 y = 5 t − 2 x = 3 t + 4 y = 5 t − 2
x − 4 = 5 t y + 2 = t x − 4 = 5 t y + 2 = t
x = 2 t + 1 y = t 2 − 3 x = 2 t + 1 y = t 2 − 3
x = 3 cos t y = 3 sin t x = 3 cos t y = 3 sin t
x = 2 cos ( 3 t ) y = 2 sin ( 3 t ) x = 2 cos ( 3 t ) y = 2 sin ( 3 t )
x = cosh t y = sinh t x = cosh t y = sinh t
x = 3 cos t y = 4 sin t x = 3 cos t y = 4 sin t
x = 2 cos ( 3 t ) y = 5 sin ( 3 t ) x = 2 cos ( 3 t ) y = 5 sin ( 3 t )
x = 3 cosh ( 4 t ) y = 4 sinh ( 4 t ) x = 3 cosh ( 4 t ) y = 4 sinh ( 4 t )
x = 2 cosh t y = 2 sinh t x = 2 cosh t y = 2 sinh t
Show that x=h+rcosθy=k+rsinθx=h+rcosθy=k+rsinθ represents the equation of a circle.
Use the equations in the preceding problem to find a set of parametric equations for a circle whose radius is 5 and whose center is (−2,3).(−2,3).
For the following exercises, use a graphing utility to graph the curve represented by the parametric equations and identify the curve from its equation.
[T] x=θ+sinθy=1−cosθx=θ+sinθy=1−cosθ
[T] x=2t−2sinty=2−2costx=2t−2sinty=2−2cost
[T] x=t−0.5sinty=1−1.5costx=t−0.5sinty=1−1.5cost
An airplane traveling horizontally at 100 m/s over flat ground at an elevation of 4000 meters must drop an emergency package on a target on the ground. The trajectory of the package is given by x=100t,y=−4.9t2+4000,t≥0x=100t,y=−4.9t2+4000,t≥0 where the origin is the point on the ground directly beneath the plane at the moment of release. How many horizontal meters before the target should the package be released in order to hit the target?
The trajectory of a bullet is given by x=v0(cosα)t,y=v0(sinα)t−12gt2x=v0(cosα)t,y=v0(sinα)t−12gt2 where v0=500m/s,v0=500m/s, g=9.8=9.8m/s2,g=9.8=9.8m/s2, and α=30degrees.α=30degrees. When will the bullet hit the ground? How far from the gun will the bullet hit the ground?
[T] Use technology to sketch the curve represented by x=sin(4t),y=sin(3t),0≤t≤2π.x=sin(4t),y=sin(3t),0≤t≤2π.
[T] Use technology to sketch x=2tan(t),y=3sec(t),−π<t<π.x=2tan(t),y=3sec(t),−π<t<π.
Sketch the curve known as an epitrochoid, which gives the path of a point on a circle of radius b as it rolls on the outside of a circle of radius a. The equations are
x=(a+b)cost−c·cos[(a+b)tb]y=(a+b)sint−c·sin[(a+b)tb].x=(a+b)cost−c·cos[(a+b)tb]y=(a+b)sint−c·sin[(a+b)tb]. Let a=1,b=2,c=1.a=1,b=2,c=1.
[T] Use technology to sketch the spiral curve given by x=tcos(t),y=tsin(t)x=tcos(t),y=tsin(t) from −2π≤t≤2π.−2π≤t≤2π.
[T] Use technology to graph the curve given by the parametric equations x=2cot(t),y=1−cos(2t),−π/2≤t≤π/2.x=2cot(t),y=1−cos(2t),−π/2≤t≤π/2. This curve is known as the witch of Agnesi.
[T] Sketch the curve given by parametric equations x=cosh(t)y=sinh(t),x=cosh(t)y=sinh(t), where −2≤t≤2.−2≤t≤2.