ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
7.3.1 ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਣਾ।
7.3.2 ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ।
7.3.3 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਕਰਵਜ਼ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ।
7.3.4 ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ।
7.3.5 ਪੋਲਰ ਕਰਵਜ਼ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ।
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ (ਜਾਂ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਪਲੇਨ) ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰਜ਼ ਅਤੇ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰਜ਼ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੱਕ ਮੈਪ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਧਨ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰਜ਼ ਤੱਕ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਮੈਪਿੰਗ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰਜ਼ ਤੱਕ ਮੈਪ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੁਝ ਹਾਲਾਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 7.27 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਬਿੰਦੂ P ਦੇ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y) ਹਨ। ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ P ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਮੂਲ ਤੋਂ P ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਲੰਬਾਈ r ਹੈ। ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ x-ਐਕਸਿਸ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ θ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰੀਖਣ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪੇਅਰ (x,y) ਅਤੇ ਮੁੱਲਾਂ r ਅਤੇ θ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਪੱਤਰ-ਵਿਹਾਰ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪੱਤਰ-ਵਿਹਾਰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਆਧਾਰ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਦੋ ਮੁੱਲ (ਇਸ ਲਈ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰ ਸ਼ਬਦ) ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਵੀ ਦੋ ਮੁੱਲ ਜੁੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: r ਅਤੇ θ।
ਚਿੱਤਰ 7.27: ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੀ ਬਿੰਦੂ।
ਸੱਜੇ-ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਬਿੰਦੂ P ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਸੱਚ ਹਨ:
ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ,
ਇਸ ਲਈ, ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰ (r,θ) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਲ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਨੂੰ ਕੋਣੀ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ tanθ=y/x ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਰਡਰਡ ਪੇਅਰ (x,y) ਲਈ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਹੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ 0 ਅਤੇ 2π ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ਚਤੁਰਭੁਜ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸਲ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਸਥਿਤ ਹੈ। ਫਿਰ r ਦਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੁੱਲ ਪਾਜ਼ੇਟਿਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ r²=x²+y²।
ਥਿਊਰਮ 7.4
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ
ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ P ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਕਾਰਟੇਸੀਅਨ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (x,y) ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ (r,θ) ਹਨ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਸੱਚ ਹਨ:
ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਤੋਂ ਪੋਲਰ ਜਾਂ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.10
ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਅਤੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
(1,1)
(−3,4)
(0,3)
(53,−5)
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
(3,π/3)
(2,3π/2)
(6,−5π/6)
ਹੱਲ
x=1 ਅਤੇ y=1 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 7.8 ਵਿੱਚ ਵਰਤੋ: r2=x2+y2=12+12r=2 ਅਤੇ tanθ=yx=11=1 θ=π4। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ (2,π4) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
x=−3 ਅਤੇ y=4 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 7.8 ਵਿੱਚ ਵਰਤੋ: r2=x2+y2=(−3)2+(4)2r=5 ਅਤੇ tanθ=yx=−43 θ=π-arctan(43)≈2.21। ਬਿੰਦੂ (-3, 4) ਚੌਥੇ ਚਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ। θ ਦੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ π ਵਿੱਚੋਂ ਸੰਦਰਭ ਕੋਣ, arctan43, ਦਾ ਮੁੱਲ ਘਟਾਓ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ (5,2.21) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
x=0 ਅਤੇ y=3 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 7.8 ਵਿੱਚ ਵਰਤੋ: r2=x2+y2=(3)2+(0)2=9+0r=3 ਅਤੇ tanθ=yx=30। ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਵਰਤੋਂ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ (0,3) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਧਨ y-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਧਨ y-ਧੁਰੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ π2 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ (3,π2) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
x=53 ਅਤੇ y=−5 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 7.8 ਵਿੱਚ ਵਰਤੋ: r2=x2+y2=(53)2+(−5)2=75+25r=10 ਅਤੇ tanθ=yx=−553=−33 θ=−π6। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ (10,−π6) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
r=3 ਅਤੇ θ=π3 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 7.7 ਵਿੱਚ ਵਰਤੋ: x=rcosθ=3cos(π3)=3(12)=32 ਅਤੇ y=rsinθ=3sin(π3)=3(32)=332। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ (32,332) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
r=2 ਅਤੇ θ=3π2 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 7.7 ਵਿੱਚ ਵਰਤੋ: x=rcosθ=2cos(3π2)=2(0)=0 ਅਤੇ y=rsinθ=2sin(3π2)=2(−1)=−2। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ (0,−2) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
r=6 ਅਤੇ θ=−5π6 ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 7.7 ਵਿੱਚ ਵਰਤੋ: x=rcosθ=6cos(−5π6)=6(−32)=−33 ਅਤੇ y=rsinθ=6sin(−5π6)=6(−12)=−3। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ (−33,−3) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.10
(−8,−8) ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ (4,2π3) ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪੋਲਰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਵਿਲੱਖਣ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (2,π3) ਅਤੇ (2,7π3) ਦੋਵੇਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (1,3) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਨਾਲ ਹੀ, rr ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ (−2,4π3) ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ ਵੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ (1,3) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ 7.8 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਪੋਲਰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਦਾ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਅਰਥ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, rr ਉਹ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਦੂਰੀ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ ਤੋਂ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ θ ਉਹ ਕੋਣ ਮਾਪਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮੂਲ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਧਨ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਵਾਮ-ਰੋਧੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਘੜੀ-ਵਾਰ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.28: ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ।
ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਰੇਖਾ ਖੰਡ (ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਧਨ x-ਧੁਰੇ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਪੋਲਰ ਧੁਰਾ ਹੈ। ਕੇਂਦਰੀ ਬਿੰਦੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਪੋਲ, ਜਾਂ ਮੂਲ ਹੈ, ਅਤੇ r=0 ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7.28 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਸਭ ਤੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੱਕਰ ਪੋਲ ਤੋਂ 1 ਇਕਾਈ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ r=1 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫਿਰ r=2 ਪੋਲ ਤੋਂ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ। ਪੋਲ ਤੋਂ ਨਿਕਲਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਕੋਣ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਜੇ ਕੋਣ ਧਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਵਾਮ-ਰੋਧੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਮਾਪੋ। ਜੇ ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਘੜੀ-ਵਾਰ ਮਾਪੋ। ਜੇ rr ਦਾ ਮੁੱਲ ਧਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਣ ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਰੇਅ ਦੇ ਨਾਲ ਉਸ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਜਾਓ। ਜੇ ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੀ ਟਰਮੀਨਲ ਰੇਅ ਦੇ ਉਲਟ ਰੇਅ ਦੇ ਨਾਲ ਜਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.11
ਪੋਲਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਤਲ 'ਤੇ ਪਲਾਟ ਕਰੋ।
(2,π4)
(−3,2π3)(−3,2π3)
(4,5π4)(4,5π4)
ਹੱਲ
ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 7.29: ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 7.11
ਪੋਲਰ ਤਲ ਉੱਤੇ (4,5π3)(4,5π3) ਅਤੇ (−3,−7π2)(−3,−7π2) ਦਰਸਾਓ।
ਪੋਲਰ ਵਕਰ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x)y=f(x) ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ r=f(θ).r=f(θ) ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਆਮ ਵਿਚਾਰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ (ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ θ(θ) ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਆਜ਼ਾਦ ਵੇਰੀਏਬਲ r.r ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਤਿਆਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੈਟਰਨ ਦਾ ਲਾਭ ਉਠਾਓ ਜੋ ਦਿਖਾਈ ਦੇ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੀਰੀਓਡਿਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਸਿਰਫ ਸੀਮਤ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਮੱਸਾ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ
ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ। ਪਹਿਲਾ ਕਾਲਮ θ,θ, ਲਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਕਾਲਮ r.r, ਲਈ ਹੈ।
θ.θ, ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।
ਹਰੇਕ θ.θ, ਲਈ ਅਨੁਸਾਰੀ rr ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।
ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਆਰਡਰ ਕੀਤੇ ਜੋੜੇ (r,θ)(r,θ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਇਹ ਵੀਡੀਓ ਦੇਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.12
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ r=4sinθ.r=4sinθ, ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਵਕਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਹੈ, ਇਹ 2π,2π, ਦੇ ਅਰਸੇ ਨਾਲ ਪੀਰੀਓਡਿਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ 0 ਅਤੇ 2π.2π, ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ θθ, ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਕਦਮ 1–3 ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7.30 ਇਸ ਟੇਬਲ ਦੇ ਅਧਾਰ ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
r=4sinθ
0
π/6 | 2 | 7π/6 | -2
π/4 | √2≈2.8 | 5π/4 | -√2≈-2.8
π/3 | ³√2≈3.4 | 4π/3 | -³√2≈-3.4
π/2 | 4 | 3π/2 | -4
2π/3 | ³√2≈3.4 | 5π/3 | -³√2≈-3.4
3π/4 | √2≈2.8 | 7π/4 | -√2≈-2.8
5π/6 | 2 | 11π/6 | -2
2π/2 | 0
ਚਿੱਤਰ 7.30: ਫੰਕਸ਼ਨ r=4sinθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ।
ਇਹ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ r=4sinθ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ r ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ r²=4rsinθ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅੱਗੇ r²=x²+y² ਅਤੇ y=rsinθ ਦੇ ਤੱਥਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ x²+y²=4y ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ 4y ਘਟਾਓ ਅਤੇ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰੋ:
ਇਹ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ 2 ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਅਤੇ (0,2) ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 7.12
ਫੰਕਸ਼ਨ r=4+4cosθ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.12 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸੀ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ 7.8 ਵਿੱਚ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪਰਿਵਰਤਨ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7.14 ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.13
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
θ=π/3
r=3
r=6cosθ−8sinθ
ਹੱਲ
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਦਾ ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਓ। ਇਸ ਨਾਲ tanθ=tan(π/3)=√3 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ tanθ=y/x ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ y/x ਨਾਲ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਨਾਲ y/x=√3 ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ y=x√3 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ 3 ਦਾ ਢਲਾਨ (slope) ਰੱਖਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, θ=K ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪੋਲ (pole) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਢਲਾਨ tanK ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ $r^2=9$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ $r^2$ ਨੂੰ $x^2+y^2$ ਨਾਲ ਬਦਲੋ। ਇਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ $x^2+y^2=9$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 3 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, $r=k$ ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ, ਜਿੱਥੇ $k$ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ $k$ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। (ਨੋਟ: ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਅਣਜਾਣੇ ਵਿੱਚ ਨਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਪੇਸ਼ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ 'ਤੇ ਹਮੇਸ਼ਾ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕੋਈ ਨਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਪੇਸ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $(-3, \pi/3)$ ਬਿੰਦੂ $(3, 4\pi/3)$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।)
ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $r$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ $r^2=6r\cos\theta - 8r\sin\theta$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ $r^2=x^2+y^2$, $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ $r^2=6(r\cos\theta) - 8(r\sin\theta)$ ਅਤੇ $x^2+y^2=6x-8y$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆਉਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ, ਫਿਰ ਵਰਗ ਪੂਰਾ ਕਰੋ। $x^2+y^2=6x-8y \implies x^2-6x+y^2+8y=0 \implies (x^2-6x)+(y^2+8y)=0 \implies (x^2-6x+9)+(y^2+8y+16)=9+16 \implies (x-3)^2+(y+4)^2=25$। ਇਹ $(3,-4)$ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ 5 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚੱਕਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੇਂਦਰ 5 ਇਕਾਈ ਦੂਰ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 7.13
ਸਮੀਕਰਨ $r=\sec\theta\tan\theta$ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਕਈ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦੇਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਕੁਝ ਆਮ ਵਕਰਾਂ ਦਾ ਸਾਰਣੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, $a$ ਅਤੇ $b$ ਮਨਮਾਨੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹਨ।
ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਇੱਕ ਲਿਮਾਸਨ (ਉਚਾਰਨ "ਲੀ-ਮਾ-ਸਨ") ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ $a=b$ ਜਾਂ $a=-b$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰੋਜ਼ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਦਿਲਚਸਪ ਵਕਰ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $r=3\sin(2\theta)$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਪੱਤੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, $r=3\sin(3\theta)$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਪੱਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.33: $r=3\sin(3\theta)$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ।
ਜੇਕਰ $\theta$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਸਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀਆਂ ਪੱਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ $\theta$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੱਤੀਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਗੁਣਾਂਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਉਤਸ਼ਾਹਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹਾ ਕਿਉਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਵੀ ਦਿਲਚਸਪ ਗ੍ਰਾਫ ਉਭਰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ $\theta$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਤਰਕਪੂਰਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਬੰਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ; ਭਾਵ, ਇਹ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਉੱਥੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੋਂ ਇਹ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਈ ਸੀ (ਚਿੱਤਰ 7.34(a))। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਗੁਣਾਂਕ ਅਤਾਰਕੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਕਦੇ ਬੰਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ (ਚਿੱਤਰ 7.34(b))। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਕਰ ਬੰਦ ਹੈ, ਨੇੜਿਓਂ ਜਾਂਚ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪਤਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਧਨਾਤਮਕ $r$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਉੱਪਰ ਪੱਤੀਆਂ ਥੋੜ੍ਹੀਆਂ ਮੋਟੀਆਂ ਹਨ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪੱਤੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਬਿਲਕੁਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੀ।
ਚਿੱਤਰ 7.34: ਤਰਕਪੂਰਨ ਗੁਣਾਂਕ (a) ਅਤੇ ਅਤਾਰਕੀ ਗੁਣਾਂਕ (b) ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪੋਲਰ ਰੋਜ਼ ਗ੍ਰਾਫ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਭਾਗ (b) ਵਿੱਚ ਰੋਜ਼ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 3 ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਡਿਸਕ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਭਰਦਾ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਲੱਗਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੇਖਣ ਲਈ, ਸਿਰਫ ਇਹ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਿਰਨ ਲਈ, $\theta$ ਦੇ ਸਿਰਫ ਗਿਣਤੀਯੋਗ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਉਸ ਕਿਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡਿਸਕ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਜਿੰਨੇ ਨੇੜੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਉੱਨੇ ਨੇੜੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.14
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ: ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ
ਚੈਪਟਰ ਓਪਨਰ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਚੈਂਬਰਡ ਨੌਟੀਲਸ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਇਹ ਜੀਵ ਅੱਧੀ ਬਾਹਰੀ ਸ਼ੈੱਲ ਨੂੰ ਕੱਟਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਪਾਈਰਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7.35 ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਪਾਈਰਲ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਕਰ ਦਾ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਚਿੱਤਰ 7.35: ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਪਾਈਰਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਵਰਣਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਹੱਲ
ਜਿਵੇਂ ਹੀ ਬਿੰਦੂ P ਸਪਾਈਰਲ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਯਾਤਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇਸਦੀ ਦੂਰੀ $d$ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਦੂਰੀ $d$ ਕੋਣ $\theta$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਗੁਣਾ $k$ ਹੈ ਜੋ ਰੇਖਾ ਖੰਡ OP ਧਨਾਤਮਕ $r$-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $d(P,O)=k\theta$, ਜਿੱਥੇ O ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਹੁਣ ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਤੇ ਕੁਝ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ $x$ ਜਾਂ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਬਹੁਤ ਸਰਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, $d(P,O)=r$, ਅਤੇ $\theta$ ਦੂਜਾ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਪਾਈਰਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ $r=k\theta$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ $\theta=0$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ $r=0$ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਪਾਈਰਲ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜ ਕੇ ਇਸ ਪਾਬੰਦੀ ਨੂੰ ਹਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਸਪਾਈਰਲ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ $r=a+k\theta$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a$ ਅਤੇ $k$ ਮਨਮਾਨੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਅਰਕੀਮੀਡੀਜ਼ ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਰਕੀਮੀਡੀਅਨ ਸਪਾਈਰਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਸਪਾਈਰਲ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਲਘੂਗਣਕ ਸਪਾਈਰਲ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਵਰਣਨ ਫੰਕਸ਼ਨ $r=a \cdot b^\theta$ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ $r=1.2(1.25^\theta)$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 7.36 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਸਪਾਈਰਲ ਚੈਂਬਰਡ ਨੌਟੀਲਸ ਦੇ ਸ਼ੈੱਲ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.36: ਇੱਕ ਲਘੂਗਣਕ ਸਪਾਈਰਲ ਚੈਂਬਰਡ ਨੌਟੀਲਸ ਸ਼ੈੱਲ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧਾ ਜਿਟਜ਼ ਕਾਉਪੇਰਸ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਕਰ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ $r=f(\theta)$ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪੋਲਰ ਤੋਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਤੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:
ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੁੜ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ:
ਇਹ ਕਦਮ $\theta$ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਕੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਵਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 7.31 ਤੋਂ ਸਪਾਈਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ $r=a+b\theta$ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
$\theta$ ਨੂੰ $-\infty$ ਤੋਂ $\infty$ ਤੱਕ ਵਧਣ ਦੇਣ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਸਪਾਈਰਲ ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ
ਜਦੋਂ ਆਪਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ (ਯਾਨੀ, y=f(x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ) ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਆਪਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਅਤੇ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ f ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(−x)=f(x) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ (even function) ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ f ਲਈ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ x ਲਈ f(−x)=−f(x) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f ਇੱਕ ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨ (odd function) ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਆਪਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਦਿੱਖ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਜਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹੋਰ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ (polar curves) ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਥਿਊਰਮ 7.5
ਪੋਲਰ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ
ਪੋਲਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ r=f(θ) ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਵਕਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਵਕਰ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ (r,θ) ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (r,−θ) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੋਵੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ r=f(θ) θ ਨੂੰ −θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਅਟੁੱਟ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਵਕਰ ਪੋਲ (pole) ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ (r,θ) ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (r,π+θ) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੋਵੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ r=f(θ) r ਨੂੰ −r ਨਾਲ, ਜਾਂ θ ਨੂੰ π+θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਅਟੁੱਟ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਵਕਰ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ θ=π/2 ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ (r,θ) ਲਈ, ਬਿੰਦੂ (r,π−θ) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੋਵੇ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ r=f(θ) θ ਨੂੰ π−θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ ਅਟੁੱਟ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਾਰਣੀ ਹਰ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.15
ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
r=3sin(2θ) ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਗੁਲਾਬ (rose) ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (r,θ) r=3sin(2θ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਹੈ।
ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ θ ਨੂੰ −θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ r=3sin(2(−θ))=−3sin(2θ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਜਾਂਚ ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾ ਕੇ ਅਤੇ r ਨੂੰ −r ਅਤੇ θ ਨੂੰ π−θ ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ −r=3sin(2(π−θ))=3sin(2π−2θ)=3sin(−2θ)=−3sin2θ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ r=3sin2θ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ।
ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ r ਨੂੰ −r ਨਾਲ ਬਦਲੋ, ਜਿਸ ਨਾਲ −r=3sin(2θ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ r=−3sin(2θ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਸਮਰੂਪਤਾ ਲਈ ਜਾਂਚ ਪਾਸ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾ ਕੇ ਅਤੇ θ ਨੂੰ θ+π ਨਾਲ ਬਦਲਣ 'ਤੇ r=3sin(2(θ+π))=3sin(2θ+2π)=3(sin2θcos2π+cos2θsin2π)=3sin2θ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪੋਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ।
ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ θ=π/2 ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ r ਨੂੰ −r ਅਤੇ θ ਨੂੰ −θ ਨਾਲ ਬਦਲੋ। −r=3sin(2(−θ))=3sin(−2θ)=−3sin2θ। ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ r=3sin2θ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ θ=π/2 ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੈ।
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਪੋਲਰ ਧੁਰੇ, ਮੂਲ, ਅਤੇ ਪੋਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ, 0 ਅਤੇ π/2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ θ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: θ | r
ਸਤਰ: 0 | 0
ਸਤਰ: π/6 | 3√2 ≈ 2.6
ਸਤਰ: π/4 | 3
ਸਤਰ: π/3 | 3√2 ≈ 2.6
ਸਤਰ: π/2 | 0
ਇਹ ਗੁਲਾਬ ਦੀ ਇੱਕ ਪੱਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.37: ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ θ=0 ਅਤੇ θ=π/2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ।
ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਬਾਕੀ ਤਿੰਨ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਕਰਨ ਨਾਲ ਪੂਰਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7.38: ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਪੂਰਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਾਰ-ਪੱਤੀਆਂ ਵਾਲਾ ਗੁਲਾਬ ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚੈੱਕਪੁਆਇੰਟ 7.14
ਸਮੀਕਰਨ r=2cos(3θ) ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਪਹਿਲਾਂ ਕੋਣ θ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਿਰਨ ਦੇ ਨਾਲ r ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਕੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।
( 3 , π 6 )
( −2 , 5 π 3 )
( 0 , 7 π 6 )
( −4 , 3 π 4 )
( 1 , π 4 )
( 2 , 5 π 6 )
( 1 , π 2 )
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪੋਲਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਦੋ ਸੈੱਟ ਦਿਓ।
ਬਿੰਦੂ A ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ।
ਬਿੰਦੂ B ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ।
ਬਿੰਦੂ C ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ।
ਬਿੰਦੂ D ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਰੈਕਟੈਂਗੂਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਬਿੰਦੂ ਲਈ (0,2π] ਵਿੱਚ ਦੋ ਪੋਲਰ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਦੇ ਸੈੱਟ ਲੱਭੋ। ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
( 2 , 2 )
( 3 , −4 )
( 8 , 15 )
( −6 , 8 )
( 4 , 3 )
( 3 , − 3 ) ( 3 , − 3 )
For the following exercises, find rectangular coordinates for the given point in polar coordinates.
( 2 , 5 π 4 ) ( 2 , 5 π 4 )
( −2 , π 6 ) ( −2 , π 6 )
( 5 , π 3 ) ( 5 , π 3 )
( 1 , 7 π 6 ) ( 1 , 7 π 6 )
( −3 , 3 π 4 ) ( −3 , 3 π 4 )
( 0 , π 2 ) ( 0 , π 2 )
( −4.5 , 6.5 ) ( −4.5 , 6.5 )
For the following exercises, determine whether the graphs of the polar equation are symmetric with respect to the xx-axis, the yy-axis, or the origin.
r = 3 sin ( 2 θ ) r = 3 sin ( 2 θ )
r 2 = 9 cos θ r 2 = 9 cos θ
r = cos ( θ 5 ) r = cos ( θ 5 )
r = 2 sec θ r = 2 sec θ
r = 1 + cos θ r = 1 + cos θ
For the following exercises, describe the graph of each polar equation. Confirm each description by converting into a rectangular equation.
r = 3 r = 3
θ = π 4 θ = π 4
r = sec θ r = sec θ
r = csc θ r = csc θ
For the following exercises, convert the rectangular equation to polar form and sketch its graph.
x 2 + y 2 = 16 x 2 + y 2 = 16
x 2 − y 2 = 16 x 2 − y 2 = 16
x = 8 x = 8
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੋਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ।
3 x − y = 2
y 2 = 4 x
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ।
r = 4 sin θ
r = 6 cos θ
r = θ
r = cot θ csc θ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪੋਲਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪਛਾਣੋ।
r = 1 + sin θ
r = 3 − 2 cos θ
r = 2 − 2 sin θ
r = 5 − 4 sin θ
r = 3 cos ( 2 θ )
r = 3 sin ( 2 θ )
r = 2 cos ( 3 θ )
r = 3 cos ( θ 2 )
r 2 = 4 cos ( 2 θ )
r 2 = 4 sin θ
r = 2 θ
[T] r=2cos(2θ)sec(θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਟ੍ਰੋਫੋਇਡ (strophoid) ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ, ਅਸੀਮਟੋਟ (asymptote) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
[T] ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=62sinθ−3cosθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ।
[T] ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=11−cosθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ।
[T] ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=esin(θ)−2cos(4θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
1. [T] ਟੈਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=sin(3θ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ (0≤θ≤14π ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਵਰਤੋ)।
2. ਟੈਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਪੋਲਰ ਕਰਵ θ=2π/3 ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
3. [T] ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=θsinθ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ (−π≤θ≤π)।
4. [T] ਟੈਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=e−0.1θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ (−10≤θ≤10)।
5. [T] ਇੱਕ ਕਰਵ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ “ਬਲੈਕ ਹੋਲ” ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਟੈਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=e−0.01θ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ (−100≤θ≤100)।
6. [T] ਪਿਛਲੀਆਂ ਦੋ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ r=e−0.001θ ਅਤੇ r=e−0.0001θ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ ਜਦੋਂ |θ|>100 ਹੋਵੇ।