ਪੜਾਅ
x=2+3y+1, ਜਾਂ y=−1+3x−2। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ (2,−1) ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ x(t)=t, y(t)=t2+2t ਹੈ। ਦੂਜੀ ਸੰਭਾਵਨਾ x(t)=2t−3, y(t)=(2t−3)2+2(2t−3)=4t2−8t+3 ਹੈ।
ਦਰਅਸਲ, ਅਨੰਤ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਹਨ।
x′(t)=2t−4 ਅਤੇ y′(t)=6t2−6, ਇਸ ਲਈ dydx=6t2−62t−4=3t2−3t−2। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ t=2 ਤੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ ਅਤੇ t=±1 ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ y=24x+100 ਹੈ।
d2ydx2=3t2−12t+32(t−2)3। ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਬਿੰਦੂ (5,4), (−3,−4), ਅਤੇ (−4,4) ਹਨ।
A=3π (ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇੰਟੀਗਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਉੱਤਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਕਾਰਨ ਹੈ ਕਿ x(t) ਅੰਤਰਾਲ [0,2π] ਤੇ ਇੱਕ ਘਟਦਾ ਹੋਇਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ; ਭਾਵ, ਵਕਰ ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਖੱਬੇ ਖਿੱਚੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।)
s = 2 ( 10 3 / 2 − 2 3 / 2 ) ≈ 57.589
A = π ( 494 13 + 128 ) 1215
(82,5π4) ਅਤੇ (−2,23)
ਇਸ ਆਕਾਰ ਦਾ ਨਾਮ ਕਾਰਡੀਓਇਡ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅੱਗੇ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।
y=x2, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।
ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ।
A = 3 π / 2
A = 4 π 3 + 2 3
s = 3 π
x=2(y+3)2−2
(x+1)216+(y−2)29=1
(y+2)29−(x−1)24=1। ਇਹ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਹੈ। ਅਸਮਤੋਟ y=−2±32(x−1)।
e = c a = 74 7 ≈ 1.229
ਇੱਥੇ e=0.8 ਅਤੇ p=5 ਹੈ। ਇਹ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ।
ਸ਼ੰਕੂ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ ਹੈ ਅਤੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਕੋਣ θ=22.5° ਹੈ।
ਭਾਗ 7.1 ਅਭਿਆਸ
ਉਪਰ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ
ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ
y=x^24+1
ਅਸੀਮਟੋਟ y=x ਅਤੇ y=−x ਹਨ
y=x+12; ਪ੍ਰਦੇਸ਼: x∈[–1,∞)
x^2/16+y^2/9=1; ਪ੍ਰਦੇਸ਼ x∈[−4,4]
y=3x+2; ਪ੍ਰਦੇਸ਼: ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅੰਕ।
(x−1)^2+(y−3)^2=1; ਪ੍ਰਦੇਸ਼: x∈[0,2]
y=x^2−1; ਪ੍ਰਦੇਸ਼: x∈(-∞,-1]
y^2=1−x^2; ਪ੍ਰਦੇਸ਼: x∈[-1,1]
y=lnx; ਪ੍ਰਦੇਸ਼: x∈[1,∞)
y=lnx; ਪ੍ਰਦੇਸ਼: x∈(0,∞)
x^2+y^2=4; ਪ੍ਰਦੇਸ਼: x∈[−2,2]
ਰੇਖਾ
ਪੈਰਾਬੋਲਾ
ਚੱਕਰ
ਅੰਡਾਕਾਰ
ਅਤਿ ਪਰਵਲਯ
ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਸਾਈਕਲੌਇਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
22,092 ਮੀਟਰ ਲਗਭਗ 51 ਸੈਕਿੰਡ ਵਿੱਚ।
ਭਾਗ 7.2 ਅਭਿਆਸ
0
−3 5
ਢਲਾਨ=0; y=8
Slope is undefined; x=2.x=2.
tan t = -2(45,−85), (45,−85)tan t = -2(45,−85), (45,−85), -45,85-45,85.
No points possible; undefined expression.
y = − ( 4 e ) x + 5 y = − ( 4 e ) x + 5
y = –2 x + 3 y = –2 x + 3
π 4 , 5 π 4 , 3 π 4 , 7 π 4 π 4 , 5 π 4 , 3 π 4 , 7 π 4
d y d x = − tan ( t ) d y d x = − tan ( t )
dydx=34dydx=34 and d2ydx2=0,d2ydx2=0, so the curve is neither concave up nor concave down at t=3.t=3. Therefore the graph is linear and has a constant slope but no concavity.
dydx=4,d2ydx2=−63;dydx=4,d2ydx2=−63; the curve is concave down at θ=π6.θ=π6.
No horizontal tangents. Vertical tangents at (1,0),(−1,0).(1,0),(−1,0).
− sec 3 ( π t ) − sec 3 ( π t )
Horizontal (0,−9);(0,−9); vertical (±2,−6).(±2,−6).
1
0
4
Concave up on t>0.t>0.
e π 2 – 1 2 e π 2 – 1 2
3 π 2 3 π 2
6 π a 2 6 π a 2
2 π a b 2 π a b
1 3 ( 2 2 − 1 ) 1 3 ( 2 2 − 1 )
7.075 7.075
6 a 6 a
6 2 6 2
2 π ( 247 13 + 64 ) 1215 2 π ( 247 13 + 64 ) 1215
59.101
8 π 3 ( 17 17 − 1 ) 8 π 3 ( 17 17 − 1 )
Section 7.3 Exercises
B ( 3 , − π 3 ) B ( −3 , 2 π 3 ) B ( 3 , − π 3 ) B ( −3 , 2 π 3 )
D ( 5 , 7 π 6 ) D ( −5 , π 6 ) D ( 5 , 7 π 6 ) D ( −5 , π 6 )
( 5 , 5 . 356 ) ( – 5 , 2 . 214 ) ( 5 , 5 . 356 ) ( – 5 , 2 . 214 )
( 10 , 2 . 214 ) ( – 10 , 5 . 356 ) ( 10 , 2 . 214 ) ( – 10 , 5 . 356 )
( 2 3 , 11 π 6 ) ( −2 3 , 5 π 6 ) ( 2 3 , 11 π 6 ) ( −2 3 , 5 π 6 )
( − 3 , −1 ) ( − 3 , −1 )
( − 3 2 , −1 2 ) ( − 3 2 , −1 2 )
( 0 , 0 ) ( 0 , 0 )
Symmetry with respect to the x-axis, y-axis, and origin.
Symmetric with respect to x-axis only.
Symmetry with respect to x-axis only.
Line y=xy=x
y = 1 y = 1
Hyperbola; polar form r2cos(2θ)=16r2cos(2θ)=16 or r2=16sec(2θ).r2=16sec(2θ).
r=23cosθ−sinθr=23cosθ−sinθ
x2+y2=4yx2+y2=4y
xtanx2+y2=yxtanx2+y2=y
y-axis symmetry
y-axis symmetry
x- and y-axis symmetry and symmetry about the pole
x-axis symmetry
x- and y-axis symmetry and symmetry about the pole
no symmetry
a line
Answers vary. One possibility is the spiral lines become closer together and the total number of spirals increases.
Section 7.4 Exercises
9 2 ∫ 0 π sin 2 θ d θ 9 2 ∫ 0 π sin 2 θ d θ
32 ∫ 0 π / 2 sin 2 ( 2 θ ) d θ 32 ∫ 0 π / 2 sin 2 ( 2 θ ) d θ
1 2 ∫ π 2 π ( 1 − sin θ ) 2 d θ 1 2 ∫ π 2 π ( 1 − sin θ ) 2 d θ
∫ sin −1 ( 2 / 3 ) π / 2 ( 2 − 3 sin θ ) 2 d θ ∫ sin −1 ( 2 / 3 ) π / 2 ( 2 − 3 sin θ ) 2 d θ
∫ π / 3 π ( 1 − 2 cos θ ) 2 d θ − ∫ 0 π / 3 ( 1 − 2 cos θ ) 2 d θ ∫ π / 3 π ( 1 − 2 cos θ ) 2 d θ − ∫ 0 π / 3 ( 1 − 2 cos θ ) 2 d θ
4 ∫ 0 π / 3 d θ + 16 ∫ π / 3 π / 2 ( cos 2 θ ) d θ 4 ∫ 0 π / 3 d θ + 16 ∫ π / 3 π / 2 ( cos 2 θ ) d θ
9 π 9 π
9 π 4 9 π 4
9 π 8 9 π 8
18 π − 27 3 2 18 π − 27 3 2
4 3 ( 4 π − 3 3 ) 4 3 ( 4 π − 3 3 )
3 2 ( 4 π − 3 3 ) 3 2 ( 4 π − 3 3 )
2 π − 4 2 π − 4
∫ 0 2 π ( 1 + sin θ ) 2 + cos 2 θ d θ ∫ 0 2 π ( 1 + sin θ ) 2 + cos 2 θ d θ
2 ∫ 0 1 e θ d θ 2 ∫ 0 1 e θ d θ
10 3 ( e 6 − 1 ) 10 3 ( e 6 − 1 )
32
6.238
2
4.39
A = π ( 2 2 ) 2 = π 2 and 1 2 ∫ 0 π ( 1 + 2 sin θ cos θ ) d θ = π 2 A = π ( 2 2 ) 2 = π 2 and 1 2 ∫ 0 π ( 1 + 2 sin θ cos θ ) d θ = π 2
C = 2 π ( 3 2 ) = 3 π and ∫ 0 π 3 d θ = 3 π C = 2 π ( 3 2 ) = 3 π and ∫ 0 π 3 d θ = 3 π
C = 2 π ( 5 ) = 10 π and ∫ 0 π 10 d θ = 10 π C = 2 π ( 5 ) = 10 π and ∫ 0 π 10 d θ = 10 π
d y d x = f ′ ( θ ) sin θ + f ( θ ) cos θ f ′ ( θ ) cos θ − f ( θ ) sin θ d y d x = f ′ ( θ ) sin θ + f ( θ ) cos θ f ′ ( θ ) cos θ − f ( θ ) sin θ
The slope is 13.13.
The slope is 0.
At (4,0),(4,0), the slope is undefined. At (−4,π2),(−4,π2), the slope is 0.
The slope is undefined at 4+π4-π4+π4-π
Slope = −1.
Slope is −2π.−2π.
Calculator answer: −0.836.
Horizontal tangent at (±2,π6),(±2,π6), (±2,−π6).(±2,−π6).
Horizontal tangents at π2,7π6,11π6.π2,7π6,11π6. Vertical tangents at π6,5π6π6,5π6 and also at the pole (0,0).(0,0).
Section 7.5 Exercises
y 2 = 16 x y 2 = 16 x
x 2 = 2 y x 2 = 2 y
x 2 = −4 ( y − 3 ) x 2 = −4 ( y − 3 )
( x + 3 ) 2 = 8 ( y − 3 ) ( x + 3 ) 2 = 8 ( y − 3 )
x 2 16 + y 2 12 = 1 x 2 16 + y 2 12 = 1
x 2 13 + y 2 4 = 1 x 2 13 + y 2 4 = 1
( y − 1 ) 2 16 + ( x + 3 ) 2 12 = 1 ( y − 1 ) 2 16 + ( x + 3 ) 2 12 = 1
x 2 16 + y 2 12 = 1 x 2 16 + y 2 12 = 1
x 2 25 − y 2 11 = 1 x 2 25 − y 2 11 = 1
x 2 7 − y 2 9 = 1 x 2 7 − y 2 9 = 1
( y + 2 ) 2 4 − ( x + 2 ) 2 32 = 1 ( y + 2 ) 2 4 − ( x + 2 ) 2 32 = 1
x 2 4 − y 2 32 = 1 x 2 4 − y 2 32 = 1
e=1,e=1, parabola
e=12,e=12, ellipse
e=3,e=3, hyperbola
r = 4 5 + cos θ r = 4 5 + cos θ
r = 4 1 + 2 sin θ r = 4 1 + 2 sin θ
Hyperbola
Ellipse
Ellipse
At the point 2.25 feet above the vertex.
0.5625 feet
Length is 96 feet and height is approximately 26.53 feet.
r = 2.616 1 + 0.995 cos θ r = 2.616 1 + 0.995 cos θ
r = 5.192 1 + 0.0484 cos θ r = 5.192 1 + 0.0484 cos θ
Review Exercises
True.
False. Imagine y=t+1,y=t+1, x=−t+1.x=−t+1.
y=1−x3y=1−x3
x216+(y−1)2=1x216+(y−1)2=1
Symmetric about polar axis
r 2 = 4 sin 2 θ − cos 2 θ r 2 = 4 sin 2 θ − cos 2 θ
y=322+15(x+322)
1. ਏ ਦੋ ਦੋ ਏ ਦੋ ਦੋ
9 10 9 10
( y + 5 ) 2 = −8 x + 32
( y + 1 ) 2 16 − ( x + 2 ) 2 9 = 1
e=23,e=23, ਡੈਸ਼-ਡੈਸ਼-ਡੈਸ਼
1. y219.032+x219.632=1,y219.032+x219.632=1, e=0.2447e=0.2447