Learning Objectives
3.1.1 Write the general equation of a vector-valued function in component form and unit-vector form.
3.1.2 Recognize parametric equations for a space curve.
3.1.3 Describe the shape of a helix and write its equation.
3.1.4 Define the limit of a vector-valued function.
Our study of vector-valued functions combines ideas from our earlier examination of single-variable calculus with our description of vectors in three dimensions from the preceding chapter. In this section we extend concepts from earlier chapters and also examine new ideas concerning curves in three-dimensional space. These definitions and theorems support the presentation of material in the rest of this chapter and also in the remaining chapters of the text.
Definition of a Vector-Valued Function
Our first step in studying the calculus of vector-valued functions is to define what exactly a vector-valued function is. We can then look at graphs of vector-valued functions and see how they define curves in both two and three dimensions.
Definition
A vector-valued function is a function of the form
where the component functions f, g, and h, are real-valued functions of the parameter t. Vector-valued functions are also written in the form
In both cases, the first form of the function defines a two-dimensional vector-valued function; the second form describes a three-dimensional vector-valued function.
The parameter t can lie between two real numbers: a≤t≤b.a≤t≤b. Another possibility is that the value of t might take on all real numbers. Last, the component functions themselves may have domain restrictions that enforce restrictions on the value of t. We often use t as a parameter because t can represent time.
Example 3.1
Evaluating Vector-Valued Functions and Determining Domains
For each of the following vector-valued functions, evaluate r(0),r(π2),andr(2π3).r(0),r(π2),andr(2π3). Do any of these functions have domain restrictions?
r(t)=4costi+3sintjr(t)=4costi+3sintj
r(t)=3tanti+4sectj+5tkr(t)=3tanti+4sectj+5tk
Solution
To calculate each of the function values, substitute the appropriate value of t into the function: r(0)=4cos(0)i+3sin(0)j=4i+0j=4ir(π2)=4cos(π2)i+3sin(π2)j=0i+3j=3jr(2π3)=4cos(2π3)i+3sin(2π3)j=4(−12)i+3(32)j=−2i+332j.r(0)=4cos(0)i+3sin(0)j=4i+0j=4ir(π2)=4cos(π2)i+3sin(π2)j=0i+3j=3jr(2π3)=4cos(2π3)i+3sin(2π3)j=4(−12)i+3(32)j=−2i+332j. To determine whether this function has any domain restrictions, consider the component functions separately. The first component function is f(t)=4costf(t)=4cost and the second component function is g(t)=3sint.g(t)=3sint. Neither of these functions has a domain restriction, so the domain of r(t)=4costi+3sintjr(t)=4costi+3sintj is all real numbers.
To calculate each of the function values, substitute the appropriate value of t into the function: r(0)=3tan(0)i+4sec(0)j+5(0)k=0i+4j+0k=4jr(π2)=3tan(π2)i+4sec(π2)j+5(π2)k,which does not existr(2π3)=3tan(2π3)i+4sec(2π3)j+5(2π3)k=3(−3)i+4(−2)j+10π3k=−33i−8j+10π3k.r(0)=3tan(0)i+4sec(0)j+5(0)k=0i+4j+0k=4jr(π2)=3tan(π2)i+4sec(π2)j+5(π2)k,which does not existr(2π3)=3tan(2π3)i+4sec(2π3)j+5(2π3)k=3(−3)i+4(−2)j+10π3k=−33i−8j+10π3k. To determine whether this function has any domain restrictions, consider the component functions separately. The first component function is f(t)=3tant,f(t)=3tant, the second component function is g(t)=4sect,g(t)=4sect, and the third component function is h(t)=5t.h(t)=5t. The first two functions are not defined for odd multiples of π/2,π/2, so the function is not defined for odd multiples of π/2.π/2. Therefore, dom(r(t))={t|t≠(2n+1)π2},dom(r(t))={t|t≠(2n+1)π2}, where n is any integer.
Checkpoint 3.1
For the vector-valued function r(t)=(t2−3t)i+(4t+1)j,r(t)=(t2−3t)i+(4t+1)j, evaluate r(0),r(1),andr(−4).r(0),r(1),andr(−4). Does this function have any domain restrictions?
Example 3.1 illustrates an important concept. The domain of a vector-valued function consists of real numbers. The domain can be all real numbers or a subset of the real numbers. The range of a vector-valued function consists of vectors. Each real number in the domain of a vector-valued function is mapped to either a two- or a three-dimensional vector.
ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵੈਕਟਰ ਵਿੱਚ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ: ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਪ। ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ (ਆਰੰਭਕ ਬਿੰਦੂ) ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਾਸ ਦੂਰੀ ਲਈ ਚੱਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਵਿੱਚੋਂ ਆਰੰਭਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ ਨੂੰ ਘਟਾ ਕੇ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇਕਰ ਆਰੰਭਕ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਦੀ ਗਾਰੰਟੀ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਪਰੰਪਰਾ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। r(t)=f(t)i+g(t)j ਰੂਪ ਦੇ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਾਰੇ (t,r(t)) ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਮਾਰਗ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k ਰੂਪ ਦੇ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਾਰੇ (t,r(t)) ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਮਾਰਗ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਕਰਵ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਸਮਤਲ ਵਕਰ ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਕਰਵ ਦੀ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਈ ਵੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਕਰ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3.2
ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ:
r(t)=4costi+3sintj, 0≤t≤2π ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਸਮਤਲ ਵਕਰ
r(t)=4cos2ti+3sin2tj, 0≤t≤π ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਸਮਤਲ ਵਕਰ
r(t)=4costi+4sintj+tk, 0≤t≤4π ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਸਪੇਸ ਕਰਵ
ਹੱਲ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ ਦੇ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮਿਆਰੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 3.2)। ਇਹ ਵਕਰ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਬਣਦੀ ਹੈ। t | r(t) --|---- 0 | 4i π/4 | 2√2i+3√2j π/2 | 3j 3π/4 | -2√2i+3√2j π | -4i 5π/4 | -2√2i-3√2j 3π/2 | -3j 7π/4 | 2√2i-3√2j 2π | 4i ਸਾਰਣੀ 3.1 r ( t ) = 4 cos t i + 3 sin t j , 0 ≤ t ≤ 2 π ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਚਿੱਤਰ 3.2 ਪਹਿਲੇ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ।
r(t)=4cos2ti+3sin2tj, 0≤t≤π ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ: t | r(t) --|---- 0 | 4i π/8 | 2√2i+3√2j π/4 | 3j 3π/8 | -2√2i+3√2j π/2 | -4i 5π/8 | -2√2i-3√2j 3π/4 | -3j 7π/8 | 2√2i-3√2j π | 4i ਸਾਰਣੀ 3.2 r ( t ) = 4 cos 2 t i + 3 sin 2 t j , 0 ≤ t ≤ π ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਇਸ ਵਕਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵੀ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3.3 ਦੂਜੇ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵੀ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਉਸੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੇ ਹਾਂ। t | r(t) --|---- 0 | 4i π/4 | 2√2i+2√2j+π/4k π/2 | 4j+π/2k 3π/4 | -2√2i+2√2j+3π/4k π | -4j+πk 5π/4 | -2√2i-2√2j+5π/4k 3π/2 | -4j+3π/2k 7π/4 | 2√2i-2√2j+7π/4k 2π | 4i+2πk ਸਾਰਣੀ 3.3 r ( t ) = 4 cos t i + 4 sin t j + t k , 0 ≤ t ≤ 4 π ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਮੁੱਲ ਫਿਰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਕਿ k ਦਾ ਗੁਣਕ ਹਮੇਸ਼ਾ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 3.4)। ਇਸ ਵਕਰ ਨੂੰ ਹੈਲਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ k ਭਾਗ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ r(t)=costi+sintj ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3.4 ਤੀਜੇ ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਹੈਲਿਕਸ ਹੈ।
ਤੁਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਭਾਗ a. ਅਤੇ b. ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਵਕਰ b ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਕਰ a ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਅਖੌਤੀ ਰੀਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਕਰ ਦੇ ਅਨੰਤ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਰੀਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਬਿਨਾਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਵਕਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਵਿੱਚ ਵੀ t ਨੂੰ 2t ਨਾਲ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਸ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ t ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਹ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਬੱਸ ਇਹੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਇਸ ਵਿਚਾਰ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਵਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਰਕ-ਲੰਬਾਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ 3.2c. ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਕਰ ਦਾ ਨਾਮ ਹੈਲਿਕਸ (ਚਿੱਤਰ 3.4) ਹੈ। ਵਕਰ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਵਰਗੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਜ਼ੈਡ-ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਨਾਲ ਦੇਖਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰੀ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੈਲਿਕਸ ਦਾ ਅੰਡਾਕਾਰ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਹੋਣਾ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ r(t)=4costi+3sintj+tk ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈਲਿਕਸ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਹੈਲਿਕਸ ਦਾ x,y-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਹੈਲਿਕਸ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਤੀਰ t ਦੇ 0 ਤੋਂ 4π ਤੱਕ ਵਧਣ ਦੇ ਨਾਲ ਵਕਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਚੈਕਪੁਆਇੰਟ 3.2
ਵੈਕਟਰ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ r(t)=(t2−1)i+(2t−3)j, 0≤t≤3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
At this point, you may notice a similarity between vector-valued functions and parameterized curves. Indeed, given a vector-valued function r(t)=f(t)i+g(t)j,r(t)=f(t)i+g(t)j, we can define x=f(t)x=f(t) and y=g(t).y=g(t). If a restriction exists on the values of t (for example, t is restricted to the interval [a,b][a,b] for some constants a<b),a<b), then this restriction is enforced on the parameter. The graph of the parameterized function would then agree with the graph of the vector-valued function, except that the vector-valued graph would represent vectors rather than points. Since we can parameterize a curve defined by a function y=f(x),y=f(x), it is also possible to represent an arbitrary plane curve by a vector-valued function.
Limits and Continuity of a Vector-Valued Function
We now take a look at the limit of a vector-valued function. This is important to understand to study the calculus of vector-valued functions.
Definition
A vector-valued function r approaches the limit L as t approaches a, written
provided
This is a rigorous definition of the limit of a vector-valued function. In practice, we use the following theorem:
Theorem 3.1
Limit of a Vector-Valued Function
Let f, g, and h be functions of t. Then the limit of the vector-valued function r(t)=f(t)i+g(t)jr(t)=f(t)i+g(t)j as t approaches a is given by
provided the limits limt→af(t)andlimt→ag(t)limt→af(t)andlimt→ag(t) exist. Similarly, the limit of the vector-valued function r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)kr(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k as t approaches a is given by
provided the limits limt→af(t),limt→ag(t)andlimt→ah(t)limt→af(t),limt→ag(t)andlimt→ah(t) exist.
In the following example, we show how to calculate the limit of a vector-valued function.
Example 3.3
Evaluating the Limit of a Vector-Valued Function
For each of the following vector-valued functions, calculate limt→3r(t)limt→3r(t) for
r(t)=(t2−3t+4)i+(4t+3)jr(t)=(t2−3t+4)i+(4t+3)j
r(t)=2t−4t+1i+tt2+1j+(4t−3)kr(t)=2t−4t+1i+tt2+1j+(4t−3)k
Solution
Use Equation 3.3 and substitute the value t=3t=3 into the two component expressions: limt→3r(t)=limt→3[(t2−3t+4)i+(4t+3)j]=[limt→3(t2−3t+4)]i+[limt→3(4t+3)]j=4i+15j.limt→3r(t)=limt→3[(t2−3t+4)i+(4t+3)j]=[limt→3(t2−3t+4)]i+[limt→3(4t+3)]j=4i+15j.
Use Equation 3.4 and substitute the value t=3t=3 into the three component expressions: limt→3r(t)=limt→3(2t−4t+1i+tt2+1j+(4t−3)k)=[limt→3(2t−4t+1)]i+[limt→3(tt2+1)]j+[limt→3(4t−3)]k=12i+310j+9k.limt→3r(t)=limt→3(2t−4t+1i+tt2+1j+(4t−3)k)=[limt→3(2t−4t+1)]i+[limt→3(tt2+1)]j+[limt→3(4t−3)]k=12i+310j+9k.
Checkpoint 3.3
Calculate limt→−2r(t)limt→−2r(t) for the function r(t)=t2−3t−1i+(4t+3)j+sin(t+1)π2k.r(t)=t2−3t−1i+(4t+3)j+sin(t+1)π2k.
Now that we know how to calculate the limit of a vector-valued function, we can define continuity at a point for such a function.
Definition
Let f, g, and h be functions of t. Then, the vector-valued function r(t)=f(t)i+g(t)jr(t)=f(t)i+g(t)j is continuous at point t=at=a if the following three conditions hold:
r(a)r(a) exists
limt→ar(t)limt→ar(t) exists
limt→ar(t)=r(a)limt→ar(t)=r(a)
Similarly, the vector-valued function r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)kr(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k is continuous at point t=at=a if the following three conditions hold:
r(a)r(a) exists
limt→ar(t)limt→ar(t) exists
limt→ar(t)=r(a)limt→ar(t)=r(a)
Give the component functions x=f(t)x=f(t) and y=g(t)y=g(t) for the vector-valued function r(t)=3secti+2tantj.r(t)=3secti+2tantj.
Given r(t)=3secti+2tantj,r(t)=3secti+2tantj, find the following values (if possible).
r(π4)r(π4)
r(π)r(π)
r(π2)r(π2)
Sketch the curve of the vector-valued function r(t)=3secti+2tantjr(t)=3secti+2tantj and give the orientation of the curve. Sketch asymptotes as a guide to the graph.
Evaluate limt→0〈et,sintt,e−t〉.limt→0〈et,sintt,e−t〉.
Given the vector-valued function r(t)=〈cost,sint〉,r(t)=〈cost,sint〉, find the following values:
limt→π3r(t)limt→π3r(t)
r(π3)r(π3)
Is r(t)r(t) continuous at t=π3?t=π3?
Graph r(t).r(t).
Given the vector-valued function r(t)=〈t,t2+1〉,r(t)=〈t,t2+1〉, find the following values:
limt→−3r(t)limt→−3r(t)
r(−3)r(−3)
Is r(t)r(t) continuous at t=−3?t=−3?
r(t+2)−r(t)r(t+2)−r(t)
Let r(t)=eti+sintj+lntk.r(t)=eti+sintj+lntk. Find the following values:
r(π4)r(π4)
limt→π/4r(t)limt→π/4r(t)
Is r(t)r(t) continuous at t=π4?t=π4?
Find the limit of the following vector-valued functions at the indicated value of t.
lim t → 4 〈 t − 3 , t − 2 t − 4 , tan ( π t ) 〉 lim t → 4 〈 t − 3 , t − 2 t − 4 , tan ( π t ) 〉
limt→π/2r(t)limt→π/2r(t) for r(t)=eti+sintj+lntkr(t)=eti+sintj+lntk
lim t → ∞ 〈 e −2 t , 2 t + 3 3 t − 1 , arctan ( 2 t ) 〉 lim t → ∞ 〈 e −2 t , 2 t + 3 3 t − 1 , arctan ( 2 t ) 〉
lim t → e 2 〈 t ln ( t ) , ln t t 2 , ln ( t 2 ) 〉 lim t → e 2 〈 t ln ( t ) , ln t t 2 , ln ( t 2 ) 〉
lim t → π / 6 〈 cos 2 t , sin 2 t , 1 〉 lim t → π / 6 〈 cos 2 t , sin 2 t , 1 〉
limt→∞r(t)limt→∞r(t) for r(t)=2e−ti+e−tj+ln(t−1)kr(t)=2e−ti+e−tj+ln(t−1)k
Describe the curve defined by the vector-valued function r(t)=(1+t)i+(2+5t)j+(−1+6t)k.r(t)=(1+t)i+(2+5t)j+(−1+6t)k.
Find the domain of the vector-valued functions.
Domain: r(t)=〈t2,tant,lnt〉r(t)=〈t2,tant,lnt〉
Domain: r(t)=〈t2,t−3,32t+1〉r(t)=〈t2,t−3,32t+1〉
Domain: r(t)=〈csc(t),1t−3,ln(t−2)〉r(t)=〈csc(t),1t−3,ln(t−2)〉
Let r(t)=〈cost,t,sint〉r(t)=〈cost,t,sint〉 and use it to answer the following questions.
For what values of t is r(t)r(t) continuous?
Sketch the graph of r(t).r(t).
Find the domain of r(t)=2e−ti+e−tj+ln(t−1)k.r(t)=2e−ti+e−tj+ln(t−1)k.
For what values of t is r(t)=2e−ti+e−tj+ln(t−1)kr(t)=2e−ti+e−tj+ln(t−1)k continuous?
Eliminate the parameter t, write the equation in Cartesian coordinates, then sketch the graphs of the vector-valued functions.
r(t)=2ti+t2jr(t)=2ti+t2j (Hint: Let x=2tx=2t and y=t2.y=t2. Solve the first equation for x in terms of t and substitute this result into the second equation.)
r ( t ) = t 3 i + 2 t j r ( t ) = t 3 i + 2 t j
r ( t ) = 2 ( sinh t ) i + 2 ( cosh t ) j , t > 0 r ( t ) = 2 ( sinh t ) i + 2 ( cosh t ) j , t > 0
r ( t ) = 3 ( cos t ) i + 3 ( sin t ) j r ( t ) = 3 ( cos t ) i + 3 ( sin t ) j
r ( t ) = 〈 3 sin t , 3 cos t 〉 r ( t ) = 〈 3 sin t , 3 cos t 〉
Use a graphing utility to sketch each of the following vector-valued functions:
[T] r(t)=2cos2ti+(2−t)jr(t)=2cos2ti+(2−t)j
[T] r(t)=〈ecos(3t),e−sin(t)〉r(t)=〈ecos(3t),e−sin(t)〉
[T] r(t)=〈2−sin(2t),3+2cost〉r(t)=〈2−sin(2t),3+2cost〉
4x2+9y2=36;4x2+9y2=36; clockwise and counterclockwise
r(t)=〈t,t2〉;r(t)=〈t,t2〉; from left to right
The line through P and Q where P is (1,4,−2)(1,4,−2) and Q is (3,9,6)(3,9,6)
Consider the curve described by the vector-valued function r(t)=(50e−tcost)i+(50e−tsint)j+(5−5e−t)k.r(t)=(50e−tcost)i+(50e−tsint)j+(5−5e−t)k.
What is the initial point of the path corresponding to r(0)?r(0)?
What is limt→∞r(t)?limt→∞r(t)?
[T] Use technology to sketch the curve.
Eliminate the parameter t to show that z=5−r10z=5−r10 where r2=x2+y2.r2=x2+y2.
[T] Let r(t)=costi+sintj+0.3sin(2t)k.r(t)=costi+sintj+0.3sin(2t)k. Use technology to graph the curve (called the roller-coaster curve) over the interval [0,2π).[0,2π). Choose at least two views to determine the peaks and valleys.
[T] Use the result of the preceding problem to construct an equation of a roller coaster with a steep drop from the peak and steep incline from the “valley.” Then, use technology to graph the equation.
Use the results of the preceding two problems to construct an equation of a path of a roller coaster with more than two turning points (peaks and valleys).
Graph the curve r(t)=(4+cos(18t))cos(t)i+(4+cos(18t)sin(t))j+0.3sin(18t)kr(t)=(4+cos(18t))cos(t)i+(4+cos(18t)sin(t))j+0.3sin(18t)k using two viewing angles of your choice to see the overall shape of the curve.
Does the curve resemble a “slinky”?
What changes to the equation should be made to increase the number of coils of the slinky?