ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ℝ3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਤ੍ਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਅਧਿਐਨ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰਾਂ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਟਰੇਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਪੱਧਰੀ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਕੰਟੂਰ ਮੈਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਲਿਮਟਾਂ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ δ ਡਿਸਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਲਿਮਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ P ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ δ ਬਾਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਮੁੱਲ (ਲਿਮਟ ਮੁੱਲ) ਦੇ ਅਨੰਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨੇੜੇ ਹੋਵੇ।
ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਲਿਮਟ ਕਾਨੂੰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਸਥਾਰ ਹਨ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲਿਮਟ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਲਿਮਟ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ।
ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਇੱਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਹੋਰ ਸਾਰੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਮੰਨੋ ਅਤੇ ਆਮ ਡਿਫਰੈਂਸੀਏਸ਼ਨ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਗਣਨਾ ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਵਕਰ ਲਈ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਾਈਨ ਦਾ ਐਨਾਲਾਗ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਤ੍ਹਾ ਲਈ ਟੈਂਜੈਂਟ ਪਲੇਨ ਹੈ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਪਲੇਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ "ਸਮੂਥ" ਹੋਵੇ (ਭਾਵ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਕੋਈ ਕੋਨੇ ਜਾਂ ਡਿਸਕੰਟੀਨਿਊਟੀ ਮੌਜੂਦ ਨਾ ਹੋਵੇ)।
ਕੁੱਲ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਿੰਦੂ (x0,y0) 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ z=f(x0,y0) ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ Δx ਅਤੇ Δy ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਹਨ।
ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ਕ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਟ੍ਰੀ ਡਾਇਗਰਾਮ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਚੇਨ ਰੂਲ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਹਰੇਕ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੋਰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ 'ਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਦਿਸ਼ਾਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਿਸ਼ਾਈ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਗ੍ਰੇਡੀਐਂਟ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x,y) ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਕੋਈ ਵੀ ਪੁਆਇੰਟ (x0,y0) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਜਾਂ ਤਾਂ fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0, ਜਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ fx(x0,y0) ਅਤੇ fy(x0,y0) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।
ਇੱਕ ਸੈਡਲ ਪੁਆਇੰਟ ਇੱਕ ਪੁਆਇੰਟ (x0,y0) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0, ਪਰ (x0,y0) ਉਸ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ ਨਾ ਤਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ।
ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਕ੍ਰਿਟੀਕਲ ਪੁਆਇੰਟ ਲੱਭੋ, ਫਿਰ ਡਿਸਕ੍ਰਿਮੀਨੈਂਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਉਦੇਸ਼ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੋਕਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲ ਕੇ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
ਅਨੁਕੂਲਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚਾਰ-ਪੜਾਵੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਲਾਗਰੇਂਜ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਵਿਧੀ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।