PunjabiUni

ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋਗੇ।

ਸਮਝੋਗੇ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇਸਦੇ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓਗੇ।

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।

ਚਿੱਤਰ 1: ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਮੈਥਿਊ ਕੋਲਵਿਨ ਡੀ ਵਾਲੇ, ਫਲਿੱਕਰ)

ਵਕਰ ਐਂਟੀਨਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਟੈਲੀਵਿਜ਼ਨ ਅਤੇ ਟੈਲੀਫੋਨ ਸਿਗਨਲਾਂ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਅਤੇ ਪੁਲਾੜੀ ਜਹਾਜ਼ ਸੰਚਾਰ ਪ੍ਰਸਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮਾਈਕ੍ਰੋਵੇਵ ਅਤੇ ਰੇਡੀਓ ਤਰੰਗਾਂ ਨੂੰ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਐਂਟੀਨਾ ਦਾ ਕ੍ਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਅਕਸਰ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਉੱਚ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਮੌਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ U-ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਅਤਿਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਵਰਟੈਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲਾ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਸਮਰੂਪ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਰਟੈਕਸ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਤਾਂ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ, ਜਾਂ ਰੂਟਸ, x ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ

ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਵਰਟੈਕਸ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।

ਹੱਲ

ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਰਟੈਕਸ (3,1) 'ਤੇ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਉਹ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਨੂੰ ਵਰਟੈਕਸ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=3 ਹੈ। ਇਹ ਪੈਰਾਬੋਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਕੋਈ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਹ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (0,7) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।

ਸਮਝਣਾ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ

ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a≠0। ਜੇ a>0, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ। ਜੇ a<0, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=−b/2a ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ, x=−b±√b²−4ac / 2a, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ax²+bx+c=0 ਨੂੰ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਜਾਂ ਜ਼ੀਰੋ, ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧੇ 'ਤੇ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ x=−b/2a ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 4 ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y=x²+4x+3 ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, a=1, b=4, ਅਤੇ c=3। ਕਿਉਂਕਿ a>0, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਦਾ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=−4/2(1)=−2 ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਸਮਝ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ x=−2 ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਵੰਡਦੀ ਹੈ। ਵਰਟੈਕਸ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲਣ ਵਾਲੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਲਈ, ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, (−2,−1)। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜਿੱਥੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, (−3,0) ਅਤੇ (−1,0) 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ।

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ

ਜਿੱਥੇ (h,k) ਵਰਟੈਕਸ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਟੈਕਸ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਰੂਪ ਨੂੰ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਟੈਕਸ ਰੂਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜਿਵੇਂ ਆਮ ਰੂਪ ਨਾਲ, ਜੇਕਰ a>0, a>0, ਤਾਂ ਪਰਬਲਯ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਨਿਊਨਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a<0, a<0, ਤਾਂ ਪਰਬਲਯ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਮਹੱਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ y=−3 ( x+2 ) 2 +4 ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। y=−3 ( x+2 ) 2 +4। ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ x–h=x+2 x–h=x+2 ਹੈ, h=–2। h=–2। ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, a=−3,h=−2, a=−3,h=−2, ਅਤੇ k=4। k=4। ਕਿਉਂਕਿ a<0, a<0, ਪਰਬਲਯ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ( −2,4 )। ( −2,4 ) 'ਤੇ ਹੈ।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ y= x 2 y= x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6 ਇਸ ਬੁਨਿਆਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ।

ਜੇਕਰ k>0, k>0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜੇਕਰ k<0, k<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, k>0, k>0, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕਿਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ h>0, h>0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ h<0, h<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, h<0, h<0, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਿਆ ਹੈ। a a ਦਾ ਮਾਪ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ | a |>1, | a |>1, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ x- x- ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦੂਰ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸੰਕੀਰਨ ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ | a |<1, | a |<1, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ x- x- ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚੌੜਾ ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, | a |>1, | a |>1, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸੰਕੀਰਨ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਅਤੇ ਆਮ ਰੂਪ ਇੱਕੋ ਫਲਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਵਿਧੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਰੇਖੀ ਪਦਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਲਈ, ਗੁਣਾਂਕ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

ਇਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਸਥਿਰ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ:

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ k ਫਲਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ h, h, ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ f(h)=k। f(h)=k।

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੋ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਪਰਬਲਯ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ f(x)=a x 2 +bx+c f(x)=a x 2 +bx+c ਹੈ ਜਿੱਥੇ a,b, a,b, ਅਤੇ c c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a≠0। a≠0।

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ f(x)=a (x−h) 2 +k f(x)=a (x−h) 2 +k ਹੈ ਜਿੱਥੇ a≠0। a≠0।

ਸਿਖਰ (h,k) (h,k) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫਲਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਪਰਬਲਯ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ; ਇਹ ਮੁੱਲ h, h, ਹੈ। ਪਰਬਲਯ ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ; ਇਹ ਮੁੱਲ k, k, ਹੈ।

ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ f(x)=a (x–h) 2 +k f(x)=a (x–h) 2 +k ਵਿੱਚ h h ਅਤੇ k. k. ਲਈ ਬਦਲੋ।

ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਪਰਬਲਯ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ x x ਅਤੇ f(x). f(x). ਲਈ ਬਦਲੋ।

ਖਿੱਚ ਗੁਣਕ, | a |. | a |. ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।

ਉਦਾਹਰਨ 2

ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦੋ ਘਾਤੀ ਫਲਨ g g ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।

ਹੱਲ

ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੈ ਜੋ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 2 ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ 3 ਵੱਲ ਖਿਸਕਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ g(x)=a (x−(−2)) 2 −3=a (x+2) 2 –3 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਦਾ ਹੈ। g(x)=a (x−(−2)) 2 −3=a (x+2) 2 –3।

ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ (0,−1), (0,−1), ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਖਿੱਚ ਦੇ ਗੁਣਕ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਬੀਜਗਣਿਤ ਮਾਡਲ (g)x= 1 2 (x+2) 2 –3 ਹੈ। (g)x= 1 2 (x+2) 2 –3।

ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਬਹੁਪਦ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਪਰਬਲ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ; ਸਿਖਰ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ 'ਤੇ ਟੇਬਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ Y1= 1 2 (x+2) 2 −3 ਦਰਜ ਕਰੋ। Y1= 1 2 (x+2) 2 −3। ਅੱਗੇ, TBLSET, TBLSET ਚੁਣੋ, ਫਿਰ TblStart=–6 TblStart=–6 ਅਤੇ ΔTbl = 2, ΔTbl = 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ TABLE, TABLE ਚੁਣੋ। ਸਾਰਣੀ 1 ਦੇਖੋ।

ਸਤਰ: x x | –6 | –4 | –2 | 0 | 2

ਸਤਰ: y y | 5 | –1 | –3 | –1 | 5

ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1

ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਗ੍ਰਿਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਦੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਮਾਰਗ ਉੱਤੇ ਸੁਪਰਇੰਪੋਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (–4, 7) ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਗੇਂਦ ਦੇ ਮਾਰਗ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਕੀ ਨਿਸ਼ਾਨੇਬਾਜ਼ ਟੋਕਰੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ?

ਚਿੱਤਰ 8: (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਡੈਨ ਮੇਅਰ ਦੇ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ, ਪਰਬਲ ਦਾ ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।

a, b, ਅਤੇ c ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। a, b, ਅਤੇ c।

h, h, ਸਿਖਰ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ, a a ਅਤੇ b b ਨੂੰ h=– b 2a ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ। h=– b 2a।

k, k, ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ, k=f( h )=f( − b 2a ) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ। k=f( h )=f( − b 2a )।

ਉਦਾਹਰਨ 3

ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਿਖਰ ਲੱਭਣਾ

ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2 x 2 –6x+7 ਦਾ ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ। f(x)=2 x 2 –6x+7। ਵਰਗਾਕਾਰ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (ਸਿਖਰ ਰੂਪ) ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ

ਸਿਖਰ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ h = − b 2a = − −6 2(2) = 6 4 = 3 2 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਿਖਰ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ k = f(h) = f( 32) = 2(32)2−6(32)+7 = 5 2 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਿਖਰ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ h = − b 2a = − −6 2(2) = 6 4 = 3 2 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਿਖਰ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ k = f(h) = f( 32) = 2(32)2−6(32)+7 = 5 2 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਵੇਲੇ, ਖਿੱਚ ਦਾ ਗੁਣਕ ਉਸੇ 'a' ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇਗਾ ਜੋ ਅਸਲ ਵਰਗਾਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਸਿਖਰ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ ਸਿਖਰ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ। ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਆਮ ਰੂਪ ਤੋਂ "aa" ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।

ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਗਾਕਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸੇਗਾ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ, k, ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, x। x।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2

ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ g(x)=13+ x 2 −6x, g(x)=13+ x 2 −6x, ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।

ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ

ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਰੇਂਜ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇਗਾ, ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ y-ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ ਜੋ ਟਰਨਿੰਗ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਜਾਂ ਟਰਨਿੰਗ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।

ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ

ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਪੇਸ਼ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ।

ਆਮ ਰੂਪ f(x)=a x 2 +bx+c f(x)=a x 2 +bx+c ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, f(x)≥f( − b 2a ), f(x)≥f( − b 2a ), ਜਾਂ [ f( − b 2a ),∞ ); [ f( − b 2a ),∞ ); ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, f(x)≤f( − b 2a ), f(x)≤f( − b 2a ), ਜਾਂ ( −∞,f( − b 2a ) ] ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ( −∞,f( − b 2a ) ]।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ f(x)=a (x−h) 2 +k f(x)=a (x−h) 2 +k ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, f(x)≥k; f(x)≥k; ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, f(x)≤k ਹੁੰਦੀ ਹੈ। f(x)≤k।

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਲੱਭੋ।

ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।

ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ a ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ। ਜੇਕਰ a ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ, k, ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ। k।

ਜੇਕਰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੇਂਜ f(x)≥k, f(x)≥k, ਜਾਂ [ k,∞ ) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। [ k,∞ )। ਜੇਕਰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੇਂਜ f(x)≤k, f(x)≤k, ਜਾਂ ( −∞,k ] ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ( −∞,k ]।

ਉਦਾਹਰਨ 4

ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ

f(x)=−5 x 2 +9x−1, f(x)=−5 x 2 +9x−1, ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ

ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਂਗ, ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ a ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ f(h) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। f(h)।

ਰੇਂਜ f(x)≤ 61 20 , f(x)≤ 61 20 , ਜਾਂ ( −∞, 61 20 ] ਹੈ। ( −∞, 61 20 ]।

1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3

2. f(x)=2 ( x− 4 7 ) 2 + 8 11 ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਪਤਾ ਕਰੋ।

3. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ

4. ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ, ਪਰਬਲ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲਤਾ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

5. ਅਜਿਹੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਮਾਲੀਆ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ।

6. ਉਦਾਹਰਨ 5

7. ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ

8. ਇੱਕ ਘਰੇਲੂ ਕਿਸਾਨ ਆਪਣੀ ਵਾੜੀ ਵਾਲੀ ਵਿਹੜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਬਾਗ ਲਈ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਜਗ੍ਹਾ ਨੂੰ ਘੇਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੇ ਤਿੰਨ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਘੇਰਨ ਲਈ 80 ਫੁੱਟ ਤਾਰ ਦੀ ਵਾੜ ਖਰੀਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹ ਚੌਥੇ ਪਾਸੇ ਵਜੋਂ ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਵਾੜ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੇਗੀ।

9. ⓐ ਜੇਕਰ ਮੌਜੂਦਾ ਵਾੜ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਫੈਂਸਿੰਗ ਦੇ ਪਾਸੇ L ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਹੋਣ ਤਾਂ ਫੈਂਸ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।

10. ⓑ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਬਾਗ ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮਾਪ ਬਣਾਉਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?

11. ਹੱਲ

12. ਆਓ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਵਰਤੀਏ। ਇੱਕ ਅਸਥਾਈ ਵੇਰੀਏਬਲ, W, ਪੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਵੀ ਮਦਦਗਾਰ ਹੈ, ਜੋ ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਵਾੜ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਫੈਂਸ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

13. ⓐ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਿਰਫ 80 ਫੁੱਟ ਫੈਂਸ ਉਪਲਬਧ ਹੈ, ਅਤੇ L+W+L=80, ਜਾਂ ਹੋਰ ਸਰਲ, 2L+W=80। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਚੌੜਾਈ, W, ਨੂੰ L ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। W=80−2L ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਉਸ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ ਜੋ ਫੈਂਸ ਘੇਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੰਬਾਈ ਗੁਣਾ ਚੌੜਾਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ A = LW=L(80−2L) A(L) = 80L−2 L 2 ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲੰਬਾਈ L ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੈਂਸ ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ, ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ, A(L)=−2 L 2 +80L ਹੈ।

14. ⓑ ਦੋਘਾਤੀ ਕੋਲ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗਾ, ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਖੇਤਰ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਿਖਰ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਟਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਵਾਲੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ a ਵਰਗ ਟਰਮ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, a=−2, b=80, ਅਤੇ c=0।

15. ਸਿਖਰ ਲੱਭਣ ਲਈ:

16. ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 800 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ L=20 ਫੁੱਟ ਹੋਣ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਛੋਟੇ ਪਾਸੇ 20 ਫੁੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਲੰਬੇ ਪਾਸੇ ਲਈ 40 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਬਚੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਸਨੂੰ ਬਾਗ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਘੇਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਛੋਟੇ ਪਾਸੇ 20 ਫੁੱਟ ਲੰਬੇ ਹੋਣ ਅਤੇ ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਵਾੜ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਲੰਬਾ ਪਾਸਾ 40 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੋਵੇ।

17. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

18. ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਵੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿੱਥੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

19. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

20. ਮਾਲੀਆ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

21. ਮਾਲੀਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

22. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।

23. ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।

24. ਉਦਾਹਰਨ 6

ਸਰਬੋਤਮ ਮਾਲੀਆ ਲੱਭਣਾ

ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਕੀਮਤ ਉਸਦੀ ਸਪਲਾਈ ਅਤੇ ਮੰਗ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਭਾਵ, ਜੇ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਕੀਮਤ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਸਤੂ ਦੀ ਮੰਗ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘਟ ਜਾਵੇਗੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਅਖਬਾਰ ਕੋਲ ਇਸ ਸਮੇਂ $30 ਦੀ ਤਿਮਾਹੀ ਫੀਸ 'ਤੇ 84,000 ਗਾਹਕ ਹਨ। ਬਾਜ਼ਾਰ ਖੋਜ ਨੇ ਸੁਝਾਅ ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਮਾਲਕ ਕੀਮਤ $32 ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ 5,000 ਗਾਹਕ ਗੁਆ ਬੈਠਣਗੇ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਗਾਹਕੀ ਕੀਮਤ ਨਾਲ ਰੇਖੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਅਖਬਾਰ ਨੂੰ ਆਪਣਾ ਮਾਲੀਆ ਵਧਾਉਣ ਲਈ ਤਿਮਾਹੀ ਗਾਹਕੀ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਕੀਮਤ ਵਸੂਲਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?

ਹੱਲ

ਮਾਲੀਆ ਉਹ ਪੈਸਾ ਹੈ ਜੋ ਕੋਈ ਕੰਪਨੀ ਕਮਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਮਾਲੀਆ ਪ੍ਰਤੀ ਗਾਹਕੀ ਕੀਮਤ ਨੂੰ ਗਾਹਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜਾਂ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ, p ਪ੍ਰਤੀ ਗਾਹਕੀ ਕੀਮਤ ਲਈ ਅਤੇ Q ਮਾਤਰਾ ਲਈ, ਪੇਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਮਾਲੀਆ=pQ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ।

ਕਿਉਂਕਿ ਗਾਹਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੀਮਤ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਸਮੇਂ p=30 ਅਤੇ Q=84,000 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇ ਕੀਮਤ $32 ਤੱਕ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਖਬਾਰ 5,000 ਗਾਹਕ ਗੁਆ ਬੈਠੇਗਾ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਦੂਜਾ ਜੋੜਾ ਮਿਲੇਗਾ, p=32 ਅਤੇ Q=79,000। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਢਲਾਣ ਹੋਵੇਗੀ

ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਾਗਜ਼ ਹਰ ਡਾਲਰ ਜੋ ਉਹ ਕੀਮਤ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਲਈ 2,500 ਗਾਹਕ ਗੁਆ ਬੈਠੇਗਾ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇਹ ਸਾਨੂੰ Q=−2,500p+159,000 ਦਾ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਲਾਗਤ ਅਤੇ ਗਾਹਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਆਪਣੇ ਮਾਲੀਆ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ।

ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਗਾਹਕੀ ਚਾਰਜ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਮਾਲੀਆ ਲਈ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਖਬਾਰ ਲਈ ਮਾਲੀਆ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਕੀਮਤ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਮਾਡਲ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਲੀਆ ਉਦੋਂ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ ਅਖਬਾਰ ਗਾਹਕੀ ਲਈ $31.80 ਵਸੂਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਲੀਆ ਕਿੰਨਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮਾਲੀਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਇਸਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਵਰਗਾਤਮਕ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਵੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮਾਲੀਆ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣਾ

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਸਾਨੂੰ ਪਰਬੋਲਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹਨਾਂ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 13: ਪਰਬੋਲਾ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।

y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ f(0) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।

x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 7

ਇੱਕ ਪਰਬੋਲਾ ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣਾ

ਵਰਗਾਤਮਕ f(x)=3x^2+5x−2 ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ

ਅਸੀਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ f(0) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਲਈ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,−2) 'ਤੇ ਹੈ।

x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x)=0 ਦੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਹੱਲ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (1/3, 0) ਅਤੇ (-2, 0) ਤੇ ਹਨ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (0, -2) ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (1/3, 0) ਅਤੇ (-2, 0) ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ।

ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖਣਾ

ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵਿੱਚ, ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖ ਕੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।

a ਅਤੇ b ਨੂੰ h = -b/2a ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।

k ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ x=h ਨੂੰ ਬਦਲੋ।

h ਅਤੇ k ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖੋ।

x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 8

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ

ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2x² + 4x - 4 ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ

ਅਸੀਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖ ਕੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a=2। ਫਿਰ ਅਸੀਂ h ਅਤੇ k ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਲਈ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (-1-√3, 0) ਅਤੇ (-1+√3, 0) ਤੇ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇਖੋ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਅਸੀਂ ਦੂਰ-ਸੰਖਿਆ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਇਹੀ ਨਤੀਜੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ। a=2, b=4 ਅਤੇ c=−4 ਲਓ।

ਇਸ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ( −1−√3 ,0 ) ਅਤੇ ( −1+√3 ,0 ) ਤੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4

ਇੱਕ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=13+x²−6x ਲਈ ਸਟੈਂਡਰਡ ਅਤੇ ਆਮ ਰੂਪ ਪਾਇਆ। ਹੁਣ y- ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ) ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 9

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ

ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 40 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ 80 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ H(t)=−16t²+80t+40 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ⓐ ਗੇਂਦ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?

ⓑ ਗੇਂਦ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?

ਹੱਲ

ⓐ ਗੇਂਦ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। h = − 80 / 2(−16) = 80 / 32 = 5 / 2 = 2.5 ਗੇਂਦ 2.5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।

ⓑ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦੇ y-ਸੰਯੋਜਕ ਨੂੰ ਪਤਾ ਕਰੋ। k = H( − b / 2a ) = H( 2.5 ) = −16 ( 2.5 )² +80( 2.5 )+40 = 140 ਗੇਂਦ 140 ਫੁੱਟ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।

ⓒ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਗੇਂਦ ਕਦੋਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਵੱਜਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, H(t)=0। ਅਸੀਂ ਦੂਰ-ਸੰਖਿਆ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। t = −80±√(80² −4(−16)(40)) / 2(−16) = −80±√8960 / −32 ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮ ਸੌਖਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। t= −80−√8960 / −32 ≈5.458 ਜਾਂ t= −80+√8960 / −32 ≈−0.458 ਦੂਜਾ ਜਵਾਬ ਸਾਡੇ ਮਾਡਲ ਦੇ ਵਾਜਬ ਡੋਮੇਨ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੇਂਦ ਲਗਭਗ 5.458 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਵੱਜੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 16 ਦੇਖੋ। ਚਿੱਤਰ 16 ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਗੇਂਦ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਮਾਰਗ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਹਰੇਕ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5

ਇੱਕ ਚੱਟਾਨ ਨੂੰ ਸਮੁੰਦਰ ਵੱਲ ਵੇਖਦੀ 112-ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਚੱਟਾਨ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ 96 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੁੰਦਰ ਤੋਂ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ H(t)=−16t²+96t+112 ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ⓐ ਚੱਟਾਨ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?

ⓑ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?

ਮੀਡੀਆ

ਦੂਰ-ਸੰਖਿਆ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।

ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੂਰ-ਸੰਖਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ

ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੂਰ-ਸੰਖਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਮੌਖਿਕ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਦਾ ਕੀ ਫਾਇਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਦੱਸੋ।

ਕਿਸੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ (vertex) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?

ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ a≠0 ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਕਿਉਂ ਲਗਾਈ ਗਈ ਹੈ।

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਨਾਮ ਕੀ ਹੈ?

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (horizontal intercepts) ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹੜੀਆਂ ਦੋ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਧੀਆਂ (algebraic methods) ਵਰਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ?

ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਰੂਪ (vertex form) ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਦੱਸੋ।

f( x )= x 2 −12x+32

g( x )= x 2 +2x−3

f(x)= x 2 −x

f(x)= x 2 +5x−2

h( x )=2 x 2 +8x−10

k( x )=3 x 2 −6x−9

f(x)=2 x 2 −6x

f(x)=3 x 2 −5x−1

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਹਰੇਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ (minimum) ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ (maximum) ਮੁੱਲ ਹੈ। ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ (axis of symmetry) ਲੱਭੋ।

y( x )=2 x 2 +10x+12

f( x )=2 x 2 −10x+4

f(x)=− x 2 +4x+3

f(x)=4 x 2 +x−1

h( t )=−4 t 2 +6t−1

f(x)= 1 2 x 2 +3x+1

f(x)=− 1 3 x 2 −2x+3

ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।

f(x)= (x−3) 2 +2

f(x)=−2 (x+3) 2 −6

f(x)= x 2 +6x+4

f(x)=2 x 2 −4x+2

k( x )=3 x 2 −6x−9

ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਿਖਰ (h,k) ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

(h,k)=(2,0),(x,y)=(4,4)

(h,k)=(−2,−1),(x,y)=(−4,3)

(h,k)=(0,1),(x,y)=(2,5)

(h,k)=(2,3),(x,y)=(5,12)

(h,k)=(−5,3),(x,y)=(2,9)

(h,k)=(3,2),(x,y)=(10,1)

(h,k)=(0,1),(x,y)=(1,0)

(h,k)=(1,0),(x,y)=(0,1)

ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ

ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਸਿਖਰ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਅਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦੱਸੋ।

f(x)= x 2 −2x

f(x)= x 2 −6x−1

f(x)= x 2 −5x−6

f(x)= x 2 −7x+3

f(x)=−2 x 2 +5x−8

f(x)=4 x 2 −12x−3

ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਅੰਕੀ

ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ, ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਲੱਭੋ।