1. ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
2. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਦੋ ਜਾਂ ਵਧੇਰੇ ਚਲਾਂ (variables) ਦੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਵਿਚਾਰਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
3. ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਕੋਈ ਵੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਾ (ordered pair) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
4. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੱਲ ਵਾਲੀ ਸੁਤੰਤਰ (independent), ਅਨੰਤ ਹੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਨਿਰਭਰ (dependent), ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਾ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਅਸੰਗਤ (inconsistent) ਵਜੋਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
5. ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ (graphing) ਹੈ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ (axes) ਦੇ ਸੈੱਟ ਉੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
6. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਨ (substitution) ਹੈ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
7. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਤੀਜਾ ਤਰੀਕਾ ਜੋੜ (addition) ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸੰਗਤ ਚਲਾਂ ਦੇ ਵਿਰੋਧੀ ਗੁਣਾਂਕਾਂ (opposite coefficients) ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
8. ਜਦੋਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਦੀ ਸਹੂਲਤ ਲਈ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ (constant) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5, ਉਦਾਹਰਨ 6, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
9. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਤਰੀਕਾ ਅਸੰਗਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਝੂਠਾ ਕਥਨ (false statement) ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ (parallel lines) ਨਾਲ ਬਣੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕਦੇ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੀਆਂ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
10. ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੱਚ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
11. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਚਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮਾਲੀਆ (revenue), ਲਾਗਤ (cost), ਅਤੇ ਮੁਨਾਫਾ (profit) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
12. ਹੱਲ ਸਮੂਹ (solution set) ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤ੍ਰੈਗੁਣ { ( x,y,z ) } ਹੈ ਜੋ ਪੁਲਾੜ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮਤਲਾਂ (planes) ਦੇ ਚੌਰਾਹੇ (intersection) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
13. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਚਲ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਮਜਬੂਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਕਦਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਬਦਲਣਾ, ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
14. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਕਈ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
15. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੱਲ ਮੌਜੂਦ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਖਾਤਮੇ ਦੀਆਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ (elimination operations) ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ (contradiction) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
16. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸਮਾਂਤਰ ਸਮਤਲਾਂ, ਦੋ ਸਮਾਂਤਰ ਸਮਤਲਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਾਟਵਾਂ ਸਮਤਲ, ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਸਮਤਲ ਜੋ ਦੂਜੇ ਦੋ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹਨ ਪਰ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਨਹੀਂ, ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
17. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨਿਰਭਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੋਣ। ਖਾਤਮੇ ਦੀਆਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਸਰਬਸੰਮਤੀ (identity) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
18. ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਸਮਤਲਾਂ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਤਿੰਨ ਸਮਤਲਾਂ, ਜਾਂ ਦੋ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਸਮਤਲਾਂ ਜੋ ਤੀਜੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।
19. ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ (parabola) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਵ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: (1) ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਰੇਖਾ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ; (2) ਇੱਕ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ (tangent) ਕਰਦੀ ਹੈ; ਅਤੇ (3) ਦੋ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਪਰਵਲੈ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
20. ਇੱਕ ਚੱਕਰ (circle) ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸੰਭਵ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: (1) ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਰੇਖਾ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ; (2) ਇੱਕ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ; (3) ਦੋ ਹੱਲ, ਰੇਖਾ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
21. ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellipse) ਅਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀ ਅਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (nonlinear equations) ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਦੀਆਂ ਪੰਜ ਸੰਭਵ ਕਿਸਮਾਂ ਹਨ: (1) ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦੇ; (2) ਇੱਕ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ; (3) ਦੋ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ; (4) ਤਿੰਨ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਤਿੰਨ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ; (5) ਚਾਰ ਹੱਲ, ਚੱਕਰ ਅਤੇ ਅੰਡਾਕਾਰ ਚਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
22. ਇੱਕ ਅਸਮਾਨਤਾ (inequality) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਲਗਭਗ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਾਂਗ ਹੀ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਿਵਾਏ > ਜਾਂ < ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਡੈਸ਼ਡ ਲਾਈਨ (dashed line) ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਉਸ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਸ਼ੇਡ (shade) ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
23. ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ (equalities) ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੋਵੇਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
24. P( x ) Q( x ) ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ (partial fractions) ਨੂੰ A a 1 x+ b 1 + B a 2 x+ b 2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਵਿਭਾਜਿਤ (decompose) ਕਰੋ। ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਕੇ, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ, ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਸੰਗਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਕਰਕੇ, ਫਿਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਵਿੱਚ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਪੁਨਰਵ੍ਰਿਤੀ ਹੋਵੇ, ਹਰ ਗੁਣਕ ਦੇ ਵਧਦੇ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਰੱਖਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
P( x ) Q( x ) P( x ) Q( x ) ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਵਿੱਚ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਦੀ ਪੁਨਰਵ੍ਰਿਤੀ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਅੰਸ਼ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ A x + Bx+C ( a x 2 +bx+c ) । A x + Bx+C ( a x 2 +bx+c ) । ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
P( x ) Q( x ) , P( x ) Q( x ) ਦੇ ਵਿਘਟਨ ਵਿੱਚ, ਜਿੱਥੇ Q( x ) Q( x ) ਵਿੱਚ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਦੀ ਪੁਨਰਵ੍ਰਿਤੀ ਹੋਵੇ, ਜਦੋਂ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਪੁਨਰਵ੍ਰਿਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਕਾਂ ਦੇ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਵਧਦੇ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ Ax+B ( a x 2 +bx+c ) + A 2 x+ B 2 ( a x 2 +bx+c ) 2 +⋯+ A n x+ B n ( a x 2 +bx+c ) n । Ax+B ( a x 2 +bx+c ) + A 2 x+ B 2 ( a x 2 +bx+c ) 2 +⋯+ A n x+ B n ( a x 2 +bx+c ) n । ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਮੈਟਰਿਕਸ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਵਿਵਸਥਾ ਹੈ। ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ ਕਾਲਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਮਾਪ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। 3×2 3×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਕਾਲਮ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਮਾਪ ਵਾਲੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਘਟਾ ਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਹੋਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾ ਅਕਸਰ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਪ ਸਮਾਨ ਹੋਣ—ਪਹਿਲੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੂਜੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
ਦੋ ਮੈਟਰਿਕਸ, A A ਅਤੇ B, B, ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ, A A ਦੀ ਕਤਾਰ 1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ B, B ਦੇ ਕਾਲਮ 1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਫਿਰ A A ਦੀ ਕਤਾਰ 1 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨੂੰ B, B ਦੇ ਕਾਲਮ 2 ਦੇ ਹਰੇਕ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਸੇਵ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਮੈਟਰਿਕਸ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵਧਾਇਆ ਹੋਇਆ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਸਫਾਈ ਕਾਰਜਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਫਾਈ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ, ਇੱਕ ਸਫਾਈ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਫਾਈ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ, ਅਤੇ ਸਫਾਈਆਂ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਸਫਾਈ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉੱਤੇ ਸਫਾਈ ਕਾਰਜ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ ਵਧਾਏ ਹੋਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਸਫਾਈ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਫਾਈ ਕਾਰਜ ਕਰੋ। ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਿਛੇ-ਬਦਲੋ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵਧਾਏ ਹੋਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 11 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਤਤਸਮ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ AI=IA=A। AI=IA=A। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਉਲਟਾਉਣਯੋਗ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ A A −1 = A −1 A=I। A A −1 = A −1 A=I। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੈਟਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਤਤਸਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਪਛਾਣਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਤਤਸਮ ਨਾਲ ਵਾਧਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤਤਸਮ ਨਾਲ 3×3 3×3 ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅਸਲ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉਲਟ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ AX=B, AX=B ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ, ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A ਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ: A −1 AX= A −1 B. A: A −1 AX= A −1 B. ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉਲਟ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
[ a b c d ] [ a b c d ] ਲਈ ਨਿਰਣਾਇਕ ad−bc ਹੈ। ad−bc। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਹੱਲ ਹਨ x= D x D ,y= D y D । x= D x D ,y= D y D । ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
3×3 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧਾ ਕਰੋ। ਤਿੰਨ ਵਿਕਰਨ ਐਂਟਰੀਆਂ (ਉੱਪਰ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਸੱਜੇ) ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਿਕਰਨ ਐਂਟਰੀਆਂ (ਹੇਠਾਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਸੱਜੇ) ਘਟਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਲੋੜੀਂਦੇ ਹੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਲਮ ਨਾਲ ਬਦਲੋ: x= D x D ,y= D y D ,z= D z D । x= D x D ,y= D y D ,z= D z D । ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਕ੍ਰੇਮਰ ਦਾ ਨਿਯਮ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਾ ਹੋਣ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੀ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਨਿਰਣਾਇਕਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ: ਜੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਉੱਪਰ ਤਿਕੋਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਐਂਟਰੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਦੋ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਕਾਲਮਾਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਕਾਲਮ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਲਟ ਮੈਟਰਿਕਸ A −1 A −1 ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਮੈਟਰਿਕਸ A. A ਦੇ ਨਿਰਣਾਇਕ ਦਾ ਵਿਪਰੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਿਰਣਾਇਕ ਉਸੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।