1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ
2. x 2 + y 2 = 16
3. (x−1) 2 / 16 + (y−3) 2 / 4 = 1
4. ਕੇਂਦਰ: (0,0); ਸਿਖਰ: (±6,0); ਸਹਿ-ਸਿਖਰ: (0,±2); ਨਾਭੀਆਂ: (±4√2,0)
5. ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ: x 2 / 16 + y 2 / 49 = 1; ਕੇਂਦਰ: (0,0); ਸਿਖਰ: (0,±7); ਸਹਿ-ਸਿਖਰ: (±4,0); ਨਾਭੀਆਂ: (0,±√33)
6. ਕੇਂਦਰ: (4,2); ਸਿਖਰ: (−2,2) ਅਤੇ (10,2); ਸਹਿ-ਸਿਖਰ: (4,2−2√5) ਅਤੇ (4,2+2√5); ਨਾਭੀਆਂ: (0,2) ਅਤੇ (8,2)
7. (x−3) 2 / 4 + (y+1) 2 / 16 = 1; ਕੇਂਦਰ: (3,−1); ਸਿਖਰ: (3,−5) ਅਤੇ (3,3); ਸਹਿ-ਸਿਖਰ: (1,−1) ਅਤੇ (5,−1); ਨਾਭੀਆਂ: (3,−1−2√3) ਅਤੇ (3,−1+2√3)
8. ⓐ x 2 / 57,600 + y 2 / 25,600 = 1
9. ⓑ ਲੋਕ 358 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ।
10. ਸਿਖਰ: (±3,0); ਨਾਭੀਆਂ: (±√3/4,0)
11. y 2 / 4 - x 2 / 16 = 1
12. (y−3) 2 / 25 - (x−1) 2 / 144 = 1
13. ਸਿਖਰ: (±12,0); ਸਹਿ-ਸਿਖਰ: (0,±9); ਨਾਭੀਆਂ: (±15,0); ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: y=±3/4 x
14. ਕੇਂਦਰ: (3,−4); ਸਿਖਰ: (3,−14) ਅਤੇ (3,6); ਸਹਿ-ਸਿਖਰ: (−5,−4) ਅਤੇ (11,−4); ਨਾਭੀਆਂ: (3,−4−2√41) ਅਤੇ (3,−4+2√41); ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: y=±5/4 (x−3)−4
15. ਟਾਵਰ ਦੀਆਂ ਸਾਈਡਾਂ ਨੂੰ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। x 2 / 400 - y 2 / 3600 = 1 ਜਾਂ x 2 / 20 2 - y 2 / 60 2 = 1.
16. ਨਾਭੀ: (−4,0); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: x=4; ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ: (−4,±8)
17. ਨਾਭੀ: (0,2); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: y=−2; ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ: (±4,2).
18. x 2 = 14y.
19. ਸਿਖਰ: (8,−1); ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ: y=−1; ਨਾਭੀ: (9,−1); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: x=7; ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ: (9,−3) ਅਤੇ (9,1).
20. ਸਿਖਰ: (−2,3); ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ: x=−2; ਨਾਭੀ: (−2,−2); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: y=8; ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ: (−12,−2) ਅਤੇ (8,−2).
21. ⓐ y 2 = 1280x
22. ⓑ ਕੁੱਕਰ ਦੀ ਡੂੰਘਾਈ 500 ਮਿਲੀਮੀਟਰ ਹੈ
23. ⓐ ਹਾਈਪਰਬੋਲਾ
24. ⓑ ਐਲਿਪਸ
24x'² + 21y'² = 1
ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ
ਅੰਡਾਕਾਰ
ਅੰਡਾਕਾਰ; e= 1 3 ;x=−2
r= 1 1−cosθ
4−8x+3 x² − y² =0
8.1 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਅੰਡਾਕਾਰ ਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨਾਭੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।
ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਥਿਤੀ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੋਵੇਗੀ।
ਇਹ x-ਧੁਰੇ, y-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਮਮਿਤ ਹੈ।
ਹਾਂ; x² 3² + y² 2² =1
ਹਾਂ; x² ( 1 2 )² + y² ( 1 3 )² =1
x² 2² + y² 7² =1; ਮੇਜਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 0,7 ) ਅਤੇ ( 0,−7 ). ਮਾਈਨਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 2,0 ) ਅਤੇ ( −2,0 ). ਨਾਭੀਆਂ ( 0,3√5 ),( 0,−3√5 ).
x² ( 1 )² + y² ( 1 3 )² =1; ਮੇਜਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 1,0 ) ਅਤੇ ( −1,0 ). ਮਾਈਨਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 0, 1 3 ),( 0,− 1 3 ). ਨਾਭੀਆਂ ( 2√2 3 ,0 ),( − 2√2 3 ,0 ).
( x−2 )² 7² + ( y−4 )² 5² =1; ਮੇਜਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 9,4 ),( −5,4 ). ਮਾਈਨਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 2,9 ),( 2,−1 ). ਨਾਭੀਆਂ ( 2+2√6 ,4 ),( 2−2√6 ,4 ).
( x+5 )² 2² + ( y−7 )² 3² =1; ਮੇਜਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( −5,10 ),( −5,4 ). ਮਾਈਨਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( −3,7 ),( −7,7 ). ਨਾਭੀਆਂ ( −5,7+√5 ),( −5,7−√5 ).
( x−1 )² 3² + ( y−4 )² 2² =1; ਮੇਜਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 4,4 ),( −2,4 ). ਮਾਈਨਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 1,6 ),( 1,2 ). ਨਾਭੀਆਂ ( 1+√5 ,4 ),( 1−√5 ,4 ).
( x−3 )² ( 3 2 )² + ( y−5 )² ( 2 )² =1; ਮੇਜਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 3+3√2 2 ,5 ),( 3−3√2 2 ,5 ). ਮਾਈਨਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 3,5+ 2 ),( 3,5− 2 ). ਨਾਭੀਆਂ ( 7,5 ),( −1,5 ).
( x+5 )² ( 5 )² + ( y−2 )² ( 2 )² =1; ਮੇਜਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 0,2 ),( −10,2 ). ਮਾਈਨਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( −5,4 ),( −5,0 ). ਨਾਭੀਆਂ ( −5+√21 ,2 ),( −5−√21 ,2 ).
( x+3 )² ( 5 )² + ( y+4 )² ( 2 )² =1; ਮੇਜਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( 2,−4 ),( −8,−4 ). ਮਾਈਨਰ ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਿਰੇ ( −3,−2 ),( −3,−6 ). ਨਾਭੀਆਂ ( −3+√21 ,−4 ),( −3−√21 ,−4 ).
ਨਾਭੀਆਂ ( −3,−1+√11 ),( −3,−1−√11 )
ਨਾਭੀ ( 0,0 )
ਨਾਭੀਆਂ ( −10,30 ),( −10,−30 )
ਕੇਂਦਰ ( 0,0 ), ਸਿਖਰ ( 4,0 ),( −4,0 ),(0,3),(0,−3), ਨਾਭੀਆਂ ( √7 ,0 ),( −√7 ,0 )
ਕੇਂਦਰ ( 0,0 ), ਸਿਖਰ ( 1 9 ,0 ),( − 1 9 ,0 ),( 0, 1 7 ),( 0,− 1 7 ), ਨਾਭੀਆਂ ( 0, 4 2 63 ),( 0,− 4 2 63 )
ਕੇਂਦਰ ( −3,3 ), ਸਿਖਰ ( 0,3 ),( −6,3 ),( −3,0 ),( −3,6 ), ਨਾਭੀ ( −3,3 )
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਅੰਡਾਕਾਰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਨਾਭੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕੇਂਦਰ ਨਾਲ ਮਿਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਕੇਂਦਰ ( 1,1 ), ਸਿਖਰ ( 5,1 ),( −3,1 ),( 1,3 ),( 1,−1 ), ਨਾਭੀਆਂ (1+23,1), (1-23,1)
ਕੇਂਦਰ ( −4,5 ), ਸਿਖਰ ( −2,5 ),( −6,5 ),( −4,6 ),( −4,4 ), ਨਾਭੀਆਂ ( −4+ 3 ,5 ),( −4− 3 ,5 )
ਕੇਂਦਰ ( −2,1 ), ਸਿਖਰ ( 0,1 ),( −4,1 ),( −2,5 ),( −2,−3 ), ਨਾਭੀਆਂ ( −2,1+2 3 ),( −2,1−2 3 )
ਕੇਂਦਰ ( −2,−2 ), ਸਿਖਰ ( 0,−2 ),( −4,−2 ),( −2,0 ),( −2,−4 ), ਨਾਭੀ ( −2,−2 )
x 2 25 + y 2 29 =1
( x−4 ) 2 25 + ( y−2 ) 2 1 =1
( x+3 ) 2 16 + ( y−4 ) 2 4 =1
x 2 81 + y 2 9 =1
( x+2 ) 2 4 + ( y−2 ) 2 9 =1
ਖੇਤਰਫਲ = 12π ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ
ਖੇਤਰਫਲ = 2 5 π ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ।
ਖੇਤਰਫਲ = 9π ਵਰਗ ਇਕਾਈਆਂ।
x 2 4 h 2 + y 2 1 4 h 2 =1
x 2 400 + y 2 144 =1 . ਦੂਰੀ = 17.32 ਫੁੱਟ
ਲਗਭਗ 51.96 ਫੁੱਟ
8.2 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
ਅਤਿਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ (ਨਾਭੀਆਂ) ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਇੱਕ ਧਨ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਨਾਭੀਆਂ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦੇ ਅਕਸ਼ (transverse axis) ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਦੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ।
ਕੇਂਦਰ ਨਾਭੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾਖੰਡ ਦਾ ਮੱਧ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਹਾਂ x 2 6 2 − y 2 3 2 =1
ਹਾਂ x 2 4 2 − y 2 5 2 =1
x 2 5 2 − y 2 6 2 =1; x 2 5 2 − y 2 6 2 =1; vertices: ( 5,0 ),( −5,0 ); ( 5,0 ),( −5,0 ); foci: ( 61 ,0 ),( − 61 ,0 ); ( 61 ,0 ),( − 61 ,0 ); asymptotes: y= 6 5 x,y=− 6 5 x y= 6 5 x,y=− 6 5 x
y 2 2 2 − x 2 9 2 =1; y 2 2 2 − x 2 9 2 =1; vertices: ( 0,2 ),( 0,−2 ); ( 0,2 ),( 0,−2 ); foci: ( 0, 85 ),( 0,− 85 ); ( 0, 85 ),( 0,− 85 ); asymptotes: y= 2 9 x,y=− 2 9 x y= 2 9 x,y=− 2 9 x
( x−1 ) 2 3 2 − ( y−2 ) 2 4 2 =1; ( x−1 ) 2 3 2 − ( y−2 ) 2 4 2 =1; vertices: ( 4,2 ),( −2,2 ); ( 4,2 ),( −2,2 ); foci: ( 6,2 ),( −4,2 ); ( 6,2 ),( −4,2 ); asymptotes: y= 4 3 ( x−1 )+2,y=− 4 3 ( x−1 )+2 y= 4 3 ( x−1 )+2,y=− 4 3 ( x−1 )+2
( x−2 ) 2 7 2 − ( y+7 ) 2 7 2 =1; ( x−2 ) 2 7 2 − ( y+7 ) 2 7 2 =1; vertices: ( 9,−7 ),( −5,−7 ); ( 9,−7 ),( −5,−7 ); foci: ( 2+7 2 ,−7 ),( 2−7 2 ,−7 ); ( 2+7 2 ,−7 ),( 2−7 2 ,−7 ); asymptotes: y=x−9,y=−x−5 y=x−9,y=−x−5
( x+3 ) 2 3 2 − ( y−3 ) 2 3 2 =1; ( x+3 ) 2 3 2 − ( y−3 ) 2 3 2 =1; vertices: ( 0,3 ),( −6,3 ); ( 0,3 ),( −6,3 ); foci: ( −3+3 2 ,1 ),( −3−3 2 ,1 ); ( −3+3 2 ,1 ),( −3−3 2 ,1 ); asymptotes: y=x+6,y=−x y=x+6,y=−x
( y−4 ) 2 2 2 − ( x−3 ) 2 4 2 =1; ( y−4 ) 2 2 2 − ( x−3 ) 2 4 2 =1; vertices: ( 3,6 ),( 3,2 ); ( 3,6 ),( 3,2 ); foci: ( 3,4+2 5 ),( 3,4−2 5 ); ( 3,4+2 5 ),( 3,4−2 5 ); asymptotes: y= 1 2 ( x−3 )+4,y=− 1 2 ( x−3 )+4 y= 1 2 ( x−3 )+4,y=− 1 2 ( x−3 )+4
( y+5 ) 2 7 2 − ( x+1 ) 2 70 2 =1; ( y+5 ) 2 7 2 − ( x+1 ) 2 70 2 =1; vertices: ( −1,2 ),( −1,−12 ); ( −1,2 ),( −1,−12 ); foci: ( −1,−5+7 101 ),( −1,−5−7 101 ); ( −1,−5+7 101 ),( −1,−5−7 101 ); asymptotes: y= 1 10 ( x+1 )−5,y=− 1 10 ( x+1 )−5 y= 1 10 ( x+1 )−5,y=− 1 10 ( x+1 )−5
( x+3 ) 2 5 2 − ( y−4 ) 2 2 2 =1; ( x+3 ) 2 5 2 − ( y−4 ) 2 2 2 =1; vertices: ( 2,4 ),( −8,4 ); ( 2,4 ),( −8,4 ); foci: ( −3+ 29 ,4 ),( −3− 29 ,4 ); ( −3+ 29 ,4 ),( −3− 29 ,4 ); asymptotes: y= 2 5 ( x+3 )+4,y=− 2 5 ( x+3 )+4 y= 2 5 ( x+3 )+4,y=− 2 5 ( x+3 )+4
y= 2 5 ( x−3 )−4,y=− 2 5 ( x−3 )−4 y= 2 5 ( x−3 )−4,y=− 2 5 ( x−3 )−4
y= 3 4 ( x−1 )+1,y=− 3 4 ( x−1 )+1 y= 3 4 ( x−1 )+1,y=− 3 4 ( x−1 )+1
x 2 9 − y 2 16 =1 x 2 9 − y 2 16 =1
( x−6 ) 2 25 − ( y−1 ) 2 11 =1 ( x−6 ) 2 25 − ( y−1 ) 2 11 =1
( x−4 ) 2 25 − ( y−2 ) 2 1 =1 ( x−4 ) 2 25 − ( y−2 ) 2 1 =1
y 2 16 − x 2 25 =1 y 2 16 − x 2 25 =1
y 2 9 − ( x+1 ) 2 9 =1 y 2 9 − ( x+1 ) 2 9 =1
( x+3 ) 2 25 − ( y+3 ) 2 25 =1 ( x+3 ) 2 25 − ( y+3 ) 2 25 =1
y( x )=3 x 2 +1 ,y( x )=−3 x 2 +1 y( x )=3 x 2 +1 ,y( x )=−3 x 2 +1
y( x )=1+2 x 2 +4x+5 ,y( x )=1−2 x 2 +4x+5 y( x )=1+2 x 2 +4x+5 ,y( x )=1−2 x 2 +4x+5
x 2 25 − y 2 25 =1 x 2 25 − y 2 25 =1
x 2 100 − y 2 25 =1 x 2 100 − y 2 25 =1
x 2 400 − y 2 225 =1 x 2 400 − y 2 225 =1
4(x-1)2-y22=16 4(x-1)2-y22=16
( x−h ) 2 a2 - (y-k)2 b2 =(x-3)2-9y2=4 ( x−h ) 2 a2 -(y-k)2 b2=(x-3)2-9y2=4
8.3 Section Exercises
ਪਰਵਲੈ (Parabola) ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ, ਨਾਭੀ (focus), ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੇਖਾ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ (directrix), ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹੇਗਾ।
ਨਾਭੀ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਵਧੇਗੀ।
ਹਾਂ, x^2 = 4(116)y
ਹਾਂ, (y-3)^2 = 4(2)(x-2)
y^2 = 1/8 x, V:(0,0); F:(1/32,0); d:x=-1/32
x^2 = -1/4 y, V:(0,0); F:(0,-1/16); d:y=1/16
y^2 = 1/36 x, V:(0,0); F:(1/144,0); d:x=-1/144
(x-1)^2 = 4(y-1), V:(1,1); F:(1,2); d:y=0
(y-4)^2 = 2(x+3), V:(-3,4); F:(-5/2,4); d:x=-7/2
(x+4)^2 = 24(y+1), V:(-4,-1); F:(-4,5); d:y=-7
(y-3)^2 = -12(x+1), V:(-1,3); F:(-4,3); d:x=2
(x-5)^2 = 4/5(y+3), V:(5,-3); F:(5,-14/5); d:y=-16/5
(x-2)^2 = -2(y-5), V:(2,5); F:(2,9/2); d:y=11/2
(y-1)^2 = 4/3(x-5), V:(5,1); F:(16/3,1); d:x=14/3
x^2 = -16y
(y-2)^2 = 4^2(x-2)
(y+3)^2 = -4^2(x-2)
x^2 = y
(y-2)^2 = 1/4(x+2)
(y-3)^2 = 4/5(x+2)
y^2 = -8x
(y+1)^2 = 12(x+3)
(0,1)
ਸਿਖਰ ਤੋਂ 2.25 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ।
0.5625 ਫੁੱਟ
x 2 =−125( y−20 ), ਉਚਾਈ 7.2 ਫੁੱਟ ਹੈ
2304 ਫੁੱਟ
8.4 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
xy ਪਦ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਦਾ ਹੈ।
ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ ਇੱਕ ਅਤਿਪਰਵਲੈ ਹੈ।
ਇਹ xy ਪਦ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਕੋਣ ਦੱਸਦਾ ਹੈ।
AB=0, AB=0, parabola
AB=−4<0, AB=−4<0, hyperbola
AB=6>0, AB=6>0, ellipse
B 2 −4AC=0, ਪਰਵਲੈ
B 2 −4AC=0, ਪਰਵਲੈ
B 2 −4AC=−96<0, ਅੰਡਾਕਾਰ
7 x ′ 2 +9 y ′ 2 −4=0
3 x ′ 2 +2 x ′ y ′ −5 y ′ 2 +1=0
θ= 60 ∘ ,11 x ′ 2 − y ′ 2 + 3 x ′ + y ′ −4=0
θ= - 30 ∘ ,21 x ′ 2 +9 y ′ 2 +4 x ′ −4 3 y ′ −6=0
θ≈ 36.9 ∘ ,125 x ′ 2 +6 x ′ −42 y ′ +10=0
θ= 45 ∘ ,3 x ′ 2 − y ′ 2 − 2 x ′ + 2 y ′ +1=0
2 2 ( x ′ + y ′ )= 1 2 ( x ′ − y ′ ) 2
( x ′ − y ′ ) 2 8 + ( x ′ + y ′ ) 2 2 =1
( x ′ + y ′ ) 2 2 − ( x ′ − y ′ ) 2 2 =1
3 2 x ′ − 1 2 y ′ = ( 1 2 x ′ + 3 2 y ′ −1 ) 2
θ= 45 ∘
θ= 60 ∘
θ≈ 36.9 ∘
1. −4 6 <k<4 6 −4 6 <k<4 6
2. k=2 k=2
3. 8.5 ਭਾਗ ਅਭਿਆਸ
4. ਜੇਕਰ ਉਤਸਾਰਤਾ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ (ellips) ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਤਸਾਰਤਾ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਵਲੈ (parabola) ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਤਸਾਰਤਾ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ (hyperbola) ਹੈ।
5. ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਧਰੁਵੀ ਧੁਰੇ (polar axis) ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੋਵੇਗੀ।
6. ਨਾਭੀਆਂ (foci) ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ (origin) ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੋਵੇਗੀ।
7. ਪਰਵਲੈ ਜਿਸਦੀ ਉਤਸਾਰਤਾ e=1 ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਧਰੁਵ (pole) ਤੋਂ 3/4 ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਹੈ।
8. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਜਿਸਦੀ ਉਤਸਾਰਤਾ e=2 ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਧਰੁਵ (pole) ਤੋਂ 5/2 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਹੈ।
9. ਪਰਵਲੈ ਜਿਸਦੀ ਉਤਸਾਰਤਾ e=1 ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਧਰੁਵ (pole) ਤੋਂ 3/10 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
10. ਅੰਡਾਕਾਰ ਜਿਸਦੀ ਉਤਸਾਰਤਾ e=2/7 ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਧਰੁਵ (pole) ਤੋਂ 2 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
11. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਜਿਸਦੀ ਉਤਸਾਰਤਾ e=5/3 ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਧਰੁਵ (pole) ਤੋਂ 11/5 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਹੈ।
12. ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈ ਜਿਸਦੀ ਉਤਸਾਰਤਾ e=8/7 ਹੈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਧਰੁਵ (pole) ਤੋਂ 7/8 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
13. 25 x² +16 y² −12y−4=0
14. 21 x² −4 y² −30x+9=0
15. 64 y² =48x+9
16. 96 y² −25 x² +110y+25=0
17. 3 x² +4 y² −2x−1=0
18. 5 x² +9 y² −24x−36=0
19. r = 4 / (5+cosθ)
20. r = 4 / (1+2sinθ)
21. r = 1 / (1+cosθ)
22. r = 7 / (8−28cosθ)
23. r = 12 / (2+3sinθ)
24. r = 15 / (4−3cosθ)
r= 3 3−3cosθ
r=± 2 1+sinθcosθ
r=± 2 4cosθ+3sinθ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਭਿਆਸ
x 2 5 2 + y 2 8 2 =1; ਕੇਂਦਰ: ( 0,0 ); ਸਿਖਰ: ( 5,0 ),( −5,0 ),( 0,8 ),( 0,−8 ); ਨਾਭੀਆਂ: ( 0, 39 ),( 0,− 39 )
(x+3) 2 1 2 + (y−2) 2 3 2 =1; ਕੇਂਦਰ: (−3,2); ਸਿਖਰ: (−2,2),(−4,2),(−3,5),(−3,−1); ਨਾਭੀਆਂ: ( −3,2+2 2 ),( −3,2−2 2 )
ਕੇਂਦਰ: ( 0,0 ); ਸਿਖਰ: ( 6,0 ),( −6,0 ),( 0,3 ),( 0,−3 ); ਨਾਭੀਆਂ: ( 3 3 ,0 ),( −3 3 ,0 )
ਕੇਂਦਰ: ( −2,−2 ); ਸਿਖਰ: ( 2,−2 ),( −6,−2 ),( −2,6 ),( −2,−10 ); ਨਾਭੀਆਂ: ( −2,−2+4 3 , ),( −2,−2−4 3 )
x 2 25 + y 2 16 =1
ਲਗਭਗ 35.71 ਫੁੱਟ
( y+1 ) 2 4 2 − ( x−4 ) 2 6 2 =1; ਕੇਂਦਰ: ( 4,−1 ); ਸਿਖਰ: ( 4,3 ),( 4,−5 ); ਨਾਭੀਆਂ: ( 4,−1+2 13 ),( 4,−1−2 13 )
( x−2 ) 2 2 2 − ( y+3 ) 2 ( 2 3 ) 2 =1; ਕੇਂਦਰ: ( 2,−3 ); ਸਿਖਰ: ( 4,−3 ),( 0,−3 ); ਨਾਭੀਆਂ: ( 6,−3 ),( −2,−3 )
( x−5 ) 2 1 − ( y−7 ) 2 3 =1
( x+2 ) 2 = 1 2 ( y−1 ); ਸਿਖਰ: ( −2,1 ); ਨਾਭੀ: ( −2, 9 8 ); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: y= 7 8
( x+5 ) 2 =( y+2 ); ਸਿਖਰ: ( −5,−2 ); ਨਾਭੀ: ( −5,− 7 4 ); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: y=− 9 4
( x−2 ) 2 =( 1 2 )( y−1 )
B 2 −4AC=0, ਪਰਵਲਯ
B 2 −4AC=−31<0, ਅੰਡਾਕਾਰ
θ= 45 ∘ , x ′ 2 +3 y ′ 2 −12=0
θ= 45 ∘
ਅਤਿ-ਪਰਵਲਯ ਜਿਸਦਾ e=5 ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਪੋਲ ਤੋਂ 2 2 ਇਕਾਈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।
ਅੰਡਾਕਾਰ ਜਿਸਦਾ e= 3 4 ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਪੋਲ ਤੋਂ 1 3 1 3 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਹੈ।
r= 3 1+cos θ
ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰੀਖਿਆ
x 2 9 + y 2 4 =1; x 2 9 + y 4 =1; ਕੇਂਦਰ: ( 0,0 ); ( 0,0 ); ਸਿਖਰ: ( 3,0 ),( –3,0 ),( 0,2 ),( 0,−2 ); ( 3,0 ),( –3,0 ),( 0,2 ),( 0,−2 ); ਨਾਭੀਆਂ: ( √5 ,0 ),( −√5 ,0 ) ( √5 ,0 ),( −√5 ,0 )
ਕੇਂਦਰ: ( 3,2 ); ( 3,2 ); ਸਿਖਰ: ( 11,2 ),( −5,2 ),( 3,8 ),( 3,−4 ); ( 11,2 ),( −5,2 ),( 3,8 ),( 3,−4 ); ਨਾਭੀਆਂ: ( 3+2√7 ,2 ),( 3−2√7 ,2 ) ( 3+2√7 ,2 ),( 3−2√7 ,2 )
( x−1 ) 2 36 + ( y−2 ) 2 27 =1 ( x−1 ) 2 36 + ( y−2 ) 2 27 =1
x 2 49 − y 2 81 =1; x 2 49 − y 2 81 =1; ਕੇਂਦਰ: ( 0,0 ); ( 0,0 ); ਸਿਖਰ ( 7,0 ),( −7,0 ); ( 7,0 ),( −7,0 ); ਨਾਭੀਆਂ: ( √130 ,0 ),( −√130 ,0 ); ( √130 ,0 ),( −√130 ,0 ); ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: y=± 9 7 x y=± 9 7 x
ਕੇਂਦਰ: ( 3,−3 ); ( 3,−3 ); ਸਿਖਰ: ( 8,−3 ),( −2,−3 ); ( 8,−3 ),( −2,−3 ); ਨਾਭੀਆਂ: ( 3+√26 ,−3 ),( 3−√26 ,−3 ); ( 3+√26 ,−3 ),( 3−√26 ,−3 ); ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ: y=± 1 5 (x−3)−3 y=± 1 5 (x−3)−3
( y−3 ) 2 1 − ( x−1 ) 2 8 =1 ( y−3 ) 2 1 − ( x−1 ) 2 8 =1
( x−2 ) 2 = 1 3 ( y+1 ); ( x−2 ) 2 = 1 3 ( y+1 ); ਸਿਖਰ: ( 2,−1 ); ( 2,−1 ); ਨਾਭੀ: ( 2,− 11 12 ); ( 2,− 11 12 ); ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ: y=− 13 12 y=− 13 12
ਲਗਭਗ 8.49 8.49 ਫੁੱਟ
ਪਰਵਲਯ; θ≈ 63.4 ∘ θ≈ 63.4 ∘
x ′ 2 −4 x ′ +3 y ′ =0 x ′ 2 −4 x ′ +3 y ′ =0
ਅਤਿ ਪਰਵਲਯ ਜਿਸਦਾ ਵਿਕੇਂਦ੍ਰਤਾ e= 3 2 , e= 3 2 , ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਕ ਰੇਖਾ ਧਰੁ ਤੋਂ 5 6 5 6 ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ।