ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭੋ
ਬਹੁਪਦ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਕੱਢੋ
ਗਰੁੱਪਿੰਗ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.1
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
56 ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.2 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.2
18 ਅਤੇ 24 ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (LCM) ਲੱਭੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.3 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.3
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: −3a(7a+8b)।−3a(7a+8b)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆ ਦਿੱਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.26 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭੋ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਉਲਟਾ ਕਰਾਂਗੇ; ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਇਸਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜਾਂਗੇ। ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (LCM) ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣਾ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭਾਂਗੇ। ਜਿਹੜਾ ਤਰੀਕਾ ਅਸੀਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ LCM ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਸੀ।
ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ
ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਕਦਮਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ (GCF) ਲੱਭੋ।
ਕਦਮ 1. ਹਰੇਕ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਸਾਰੀਆਂ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 2. ਸਾਰੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ—ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮੇਲੋ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਘੇਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਉਹ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਆਓ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਸਾਂਝਾ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਕਦਮ 4. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਸਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਬੀਜ-ਗਣਿਤਿਕ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਲੱਭਣ ਦੇ ਕਦਮ ਦੱਸੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.1
21x³, 9x², 15x ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤਾਂ ਨਾਲ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। ਹਰੇਕ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਘੇਰੋ। ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਆਓ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: 21x³, 9x² ਅਤੇ 15x ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ 3x ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.1
ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ: 25m⁴, 35m³, 20m²।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.2
ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭੋ: 14x³, 70x², 105x।
ਬਹੁਪਦ ਵਿੱਚੋਂ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢਣਾ
ਕਈ ਵਾਰੀ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 12 ਨੂੰ 2·6 ਜਾਂ 3·4 ਵਜੋਂ। ਬੀਜ-ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਵੀ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 3x²+15x, ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ, 3x(x+5), ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਾਂਗੇ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵਿਤਰਣ ਨਿਯਮ (Distributive Property) ਨੂੰ "ਉਲਟੇ ਪਾਸੇ" ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਵਿਤਰਣ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਇੱਥੇ ਬਿਲਕੁਲ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵੇਖਿਆ ਸੀ ਅਤੇ "ਉਲਟੇ ਪਾਸੇ"।
ਵਿਤਰਣ ਨਿਯਮ
ਜੇਕਰ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਰੂਪ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਰੂਪ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਤਰਣ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹੋ!
ਉਦਾਹਰਨ 6.2
ਬਹੁਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਤਰਣ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: 8m³−12m²n+20mn²।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.3
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: 9xy²+6x²y²+21y³।
Try It 6.4
Factor: 3p3−6p2q+9pq3.3p3−6p2q+9pq3.
How To
Factor the greatest common factor from a polynomial.
Step 1. Find the GCF of all the terms of the polynomial.
Step 2. Rewrite each term as a product using the GCF.
Step 3. Use the “reverse” Distributive Property to factor the expression.
Step 4. Check by multiplying the factors.
Factor as a Noun and a Verb
We use “factor” as both a noun and a verb:
Example 6.3
Factor: 5x3−25x2.5x3−25x2.
Solution
row: Find the GCF of 5x35x3 and 25x2.25x2.
row: Rewrite each term.
row: Factor the GCF.
row: Check:5x2(x−5)5x2·x−5x2·55x3−25x2✓5x2(x−5)5x2·x−5x2·55x3−25x2✓
Try It 6.5
Factor: 2x3+12x2.2x3+12x2.
Try It 6.6
Factor: 6y3−15y2.6y3−15y2.
Example 6.4
Factor: 8x3y−10x2y2+12xy3.8x3y−10x2y2+12xy3.
Solution
row: The GCF of 8x3y,−10x2y2,and12xy38x3y,−10x2y2,and12xy3is 2xy.2xy.
row: Rewrite each term using the GCF, 2xy.2xy.
row: Factor the GCF.
row: Check:2xy(4x2−5xy+6y2)2xy·4x2−2xy·5xy+2xy·6y28x3y−10x2y2+12xy3✓2xy(4x2−5xy+6y2)2xy·4x2−2xy·5xy+2xy·6y28x3y−10x2y2+12xy3✓
Try It 6.7
Factor: 15x3y−3x2y2+6xy3.15x3y−3x2y2+6xy3.
Try It 6.8
Factor: 8a3b+2a2b2−6ab3.8a3b+2a2b2−6ab3.
When the leading coefficient is negative, we factor the negative out as part of the GCF.
Example 6.5
Factor: −4a3+36a2−8a.−4a3+36a2−8a.
Solution
The leading coefficient is negative, so the GCF will be negative.
row: Rewrite each term using the GCF, −4a.−4a.
row: Factor the GCF.
row: Check:−4a(a2−9a+2)−4a·a2−(−4a)·9a+(−4a)·2−4a3+36a2−8a✓−4a(a2−9a+2)−4a·a2−(−4a)·9a+(−4a)·2−4a3+36a2−8a✓
Try It 6.9
Factor: −4b3+16b2−8b.−4b3+16b2−8b.
Try It 6.10
Factor: −7a3+21a2−14a.−7a3+21a2−14a.
So far our greatest common factors have been monomials. In the next example, the greatest common factor is a binomial.
Example 6.6
Factor: 3y(y+7)−4(y+7).3y(y+7)−4(y+7).
Solution
GCF ਦੋਪਦੀ y+7.y+7 ਹੈ।
GCF, (y+7).(y+7) ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਆਪਣੇ ਆਪ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.11
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: 4m(m+3)−7(m+3).4m(m+3)−7(m+3)।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.12
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: 8n(n−4)+5(n−4)।8n(n−4)+5(n−4)।
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਕਈ ਵਾਰ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਜਦੋਂ ਚਾਰ ਪਦ ਹੋਣ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦੋ ਪਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਫਿਰ ਹਰੇਕ ਭਾਗ ਵਿੱਚ GCF ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ। ਜੇ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਉੱਭਰਦਾ ਹੈ। ਸਾਰੀਆਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਜਿਵੇਂ ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਭਾਜ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੁਝ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਵੀ ਅਭਾਜ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.7
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: xy+3y+2x+6.xy+3y+2x+6।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.13
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: xy+8y+3x+24.xy+8y+3x+24।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.14
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: ab+7b+8a+56.ab+7b+8a+56।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਬੱਧ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਕਦਮ 3. ਪਦ ਤੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ।
ਕਦਮ 4. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.8
੧. ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ: ⓐ x^2+3x−2x−6x^2+3x−2x−6 ⓑ 6x^2−3x−4x+26x^2−3x−4x+2.
੨. ਹੱਲ
੩. ⓐ
੪. ਕਤਾਰ: ਚਾਰੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ। | x^2+3x−2x−6x^2+3x−2x−6
੫. ਕਤਾਰ: ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। | x^2+3x−2x−6x^2+3x−2x−6
੬. ਕਤਾਰ: ਦੋਵਾਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢੋ। ਆਖਰੀ ਦੋ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢਣ ਵੇਲੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ। | x(x+3)−2(x+3)x(x+3)−2(x+3)
੭. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। | (x+3)(x−2)(x+3)(x−2)
੮. ਕਤਾਰ: ਆਪਣੇ ਆਪ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
੯. ⓑ
੧੦. ਕਤਾਰ: ਚਾਰੇ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ। | 6x^2−3x−4x+26x^2−3x−4x+2
੧੧. ਕਤਾਰ: ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। | 6x^2−3x−4x+26x^2−3x−4x+2
੧੨. ਕਤਾਰ: ਦੋਵਾਂ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢੋ। | 3x(2x−1)−2(2x−1)3x(2x−1)−2(2x−1)
੧੩. ਕਤਾਰ: ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। | (2x−1)(3x−2)(2x−1)(3x−2)
੧੪. ਕਤਾਰ: ਆਪਣੇ ਆਪ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
੧੫. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ ੬.੧੫
੧੬. ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ: ⓐ x^2+2x−5x−10x^2+2x−5x−10 ⓑ 20x^2−16x−15x+12.20x^2−16x−15x+12.
੧੭. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ ੬.੧੬
੧੮. ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ: ⓐ y^2+4y−7y−28y^2+4y−7y−28 ⓑ 42m^2−18m−35m+15.42m^2−18m−35m+15.
੧੯. ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
੨੦. ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦਾ ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ
੨੧. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਹੱਤਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
੨੨. 10 p^3 q , 12 p q^2
੨੩. 8 a^2 b^3 , 10 a b^2
੨੪. 12 m^2 n^3 , 30 m^5 n^3
28 x 2 y 4 , 42 x 4 y 4 28 x 2 y 4 , 42 x 4 y 4
10 a 3 , 12 a 2 , 14 a 10 a 3 , 12 a 2 , 14 a
20 y 3 , 28 y 2 , 40 y 20 y 3 , 28 y 2 , 40 y
35 x 3 y 2 , 10 x 4 y , 5 x 5 y 3 35 x 3 y 2 , 10 x 4 y , 5 x 5 y 3
27 p 2 q 3 , 45 p 3 q 4 , 9 p 4 q 3 27 p 2 q 3 , 45 p 3 q 4 , 9 p 4 q 3
Factor the Greatest Common Factor from a Polynomial
In the following exercises, factor the greatest common factor from each polynomial.
6 m + 9 6 m + 9
14 p + 35 14 p + 35
9 n − 63 9 n − 63
45 b − 18 45 b − 18
3 x 2 + 6 x − 9 3 x 2 + 6 x − 9
4 y 2 + 8 y − 4 4 y 2 + 8 y − 4
8 p 2 + 4 p + 2 8 p 2 + 4 p + 2
10 q 2 + 14 q + 20 10 q 2 + 14 q + 20
8 y 3 + 16 y 2 8 y 3 + 16 y 2
12 x 3 − 10 x 12 x 3 − 10 x
5 x 3 − 15 x 2 + 20 x 5 x 3 − 15 x 2 + 20 x
8 m 2 − 40 m + 16 8 m 2 − 40 m + 16
24 x 3 − 12 x 2 + 15 x 24 x 3 − 12 x 2 + 15 x
24 y 3 − 18 y 2 − 30 y 24 y 3 − 18 y 2 − 30 y
12 x y 2 + 18 x 2 y 2 − 30 y 3 12 x y 2 + 18 x 2 y 2 − 30 y 3
21 p q 2 + 35 p 2 q 2 − 28 q 3 21 p q 2 + 35 p 2 q 2 − 28 q 3
20 x 3 y − 4 x 2 y 2 + 12 x y 3 20 x 3 y − 4 x 2 y 2 + 12 x y 3
24a³b + 6a²b² − 18ab³
−2x − 4
−3b + 12
−2x³ + 18x² − 8x
−5y³ + 35y² − 15y
−4p³q − 12p²q² + 16pq²
−6a³b − 12a²b² + 18ab²
5x(x + 1) + 3(x + 1)
2x(x − 1) + 9(x − 1)
3b(b − 2) − 13(b − 2)
6m(m − 5) − 7(m − 5)
ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਮੂਹੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
ab + 5a + 3b + 15
cd + 6c + 4d + 24
8y² + y + 40y + 5
6y² + 7y + 24y + 28
uv − 9u + 2v − 18
pq − 10p + 8q − 80
u² − u + 6u − 6
x² − x + 4x − 4
9p² + 12p − 15p − 20
16q² + 20q − 28q − 35
mn − 6m − 4n + 24
2 r 2 − 3 r − r + 3
2 x 2 − 14 x − 5 x + 35
4 x 2 − 36 x − 3 x + 27
ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਭਿਆਸ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
−18 x y 2 − 27 x 2 y
−4 x 3 y 5 − x 2 y 3 + 12 x y 4
3 x 3 − 7 x 2 + 6 x − 14
x 3 + x 2 + x + 1
x 2 + x y + 5 x + 5 y
5 x 3 − 3 x 2 + 5 x − 3
ਲਿਖਤੀ ਅਭਿਆਸ
ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ?
ਬਹੁਪਦ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਤੁਸੀਂ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹੋ?
36 ਅਤੇ 60 ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ 12 ਹੈ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ।
y4,y5,y4,y5, ਅਤੇ y10?y10? ਦਾ GCF ਕੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਆਮ ਨਿਯਮ ਲਿਖੋ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ya,yb,ya,yb, ਅਤੇ yc.yc. ਦਾ GCF ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ।
ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
ⓐ ਅਭਿਆਸ ਮੁਕੰਮਲ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ⓑ ਜੇ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਜਾਂਚਾਂ ਸਨ:
… ਭਰੋਸੇ ਨਾਲ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਏ ਹਨ! ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲ ਵਰਤੇ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕੋ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਭਰੋਸਾ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕੀਤਾ? ਖਾਸ ਬਣੋ!
… ਕੁਝ ਮਦਦ ਨਾਲ। ਇਸ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਹੜੇ ਵਿਸ਼ੇ ਤੁਸੀਂ ਮਾਸਟਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਉਹ ਤੁਹਾਡੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਟੋਏ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹੈ - ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਨੀਂਹ ਬਣਾ ਲਈ ਹੋਵੇ। ਤੁਸੀਂ ਮਦਦ ਲਈ ਕਿਸਨੂੰ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਹਿਪਾਠੀ ਅਤੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੇ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲ ਸੁਧਾਰੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?
… ਨਹੀਂ - ਮੈਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ! ਇਹ ਗੰਭੀਰ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਭਾਰੀ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਤੁਸੀਂ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।