ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਅਵਿਕਾਰ ਕਰਨਾ
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦਾ ਅਵਿਕਾਰ ਕਰਨਾ
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜਾਂ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦਾ ਅਵਿਕਾਰ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.7
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: (3x2)3.(3x2)3। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.18 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.8
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (m+4)2.(m+4)2। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.32 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 6.9
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: (x−3)(x+3).(x−3)(x+3)। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.33 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੁਝ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਅਤੇ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ—ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਸੰਯੁਗਮੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਸਿੱਖਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਅਵਿਕਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਅਵਿਕਾਰ ਕਰੋ
ਕੁਝ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਹ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਦੋ-ਪਦੀ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਤਿੰਨ-ਪਦੀ 9x2+24x+169x2+24x+16 ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਦੋ-ਪਦੀ 3x+4.3x+4 ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋਗੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਅਭਾਜ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਅਵਿਕਾਰ ਕਰੋਗੇ।
ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਗਏ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਵਿਕਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ax2+bx+c.ax2+bx+c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਵਰਗ ਹਨ ਅਤੇ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰਾ ਕੰਮ ਬਚਾਓਗੇ।
ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਹੈ—ਦੋ-ਪਦੀ ਵਰਗ ਪੈਟਰਨ ਦਾ ਉਲਟਾ।
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਪੈਟਰਨ
ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ
ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਦਾ ਲਾਭ ਉਠਾਉਣ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਪਛਾਣਨਾ ਪਵੇਗਾ ਕਿ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਤਿੰਨ-ਪਦੀ ਇਸ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਮੋਹਰੀ ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ, a2.a2 ਹੈ। ਅੱਗੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਆਖਰੀ ਪਦ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ, b2.b2 ਹੈ। ਫਿਰ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ—ਕੀ ਇਹ ਗੁਣਨਫਲ, 2ab?2ab ਹੈ? ਜੇਕਰ ਸਭ ਕੁਝ ਜਾਂਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.23
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤਿੰਨ-ਪਦੀਆਂ ਦਾ ਅਵਿਕਾਰ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
1. ਗੁਣਨਖੰਡ: 9x² + 12x + 4
2. ਹੱਲ
3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.45
4. ਗੁਣਨਖੰਡ: 4x² + 12x + 9
5. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.46
6. ਗੁਣਨਖੰਡ: 9y² + 24y + 16
7. ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਹੜਾ ਪੈਟਰਨ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਜਦੋਂ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ a² - 2ab + b² ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ (a - b)² ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
8. ਕਦਮ ਇੱਥੇ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
9. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
10. ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
11. ਕਦਮ 1. ਕੀ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ? a² + 2ab + b² ਜਾਂ a² - 2ab + b² ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ? (a)² ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਕੀ ਆਖਰੀ ਪਦ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ? (b)² ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ 2ab ਹੈ? (a)² ↘ 2·a·b ↙ (b)² ਕਦਮ 2. ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਨੂੰ ਲਿਖੋ। (a + b)² ਜਾਂ (a - b)² ਕਦਮ 3. ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
12. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 6.24
14. ਗੁਣਨਖੰਡ: 81y² - 72y + 16
15. ਹੱਲ
16. ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਵਰਗ ਹਨ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਕੀ ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦਾ ਹੈ। ਵਿਚਕਾਰਲਾ ਪਦ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਵਰਗ (a - b)² ਹੋਵੇਗਾ।
17. ਕਤਾਰ: ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ?
18. ਕਤਾਰ: ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
19. ਕਤਾਰ: ਕੀ ਇਹ (a - b)² ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ? ਹਾਂ।
20. ਕਤਾਰ: ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਵਰਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
21. ਕਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ: (9y - 4)² = (9y)² - 2·9y·4 + 4² = 81y² - 72y + 16 ✓
22. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.47
23. ਗੁਣਨਖੰਡ: 64y² - 80y + 25
24. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.48
Factor: 16z2−72z+81.16z2−72z+81.
The next example will be a perfect square trinomial with two variables.
Example 6.25
Factor: 36x2+84xy+49y2.36x2+84xy+49y2.
Solution
row: Test each term to verify the pattern.
row: Factor.
row: Check by multiplying.(6x+7y)2(6x)2+2·6x·7y+(7y)236x2+84xy+49y2✓(6x+7y)2(6x)2+2·6x·7y+(7y)236x2+84xy+49y2✓
Try It 6.49
Factor: 49x2+84xy+36y2.49x2+84xy+36y2.
Try It 6.50
Factor: 64m2+112mn+49n2.64m2+112mn+49n2.
Remember the first step in factoring is to look for a greatest common factor. Perfect square trinomials may have a GCF in all three terms and it should be factored out first. And, sometimes, once the GCF has been factored, you will recognize a perfect square trinomial.
Example 6.26
Factor: 100x2y−80xy+16y.100x2y−80xy+16y.
Solution
row: Is there a GCF? Yes, 4y,4y, so factor it out.
row: Is this a perfect square trinomial?
row: Verify the pattern.
row: Factor.
Remember: Keep the factor 4y in the final product.
Check:4y(5x−2)24y[(5x)2−2·5x·2+22]4y(25x2−20x+4)100x2y−80xy+16y✓4y(5x−2)24y[(5x)2−2·5x·2+22]4y(25x2−20x+4)100x2y−80xy+16y✓
Try It 6.51
Factor: 8x2y−24xy+18y.8x2y−24xy+18y.
6.52 ਅਜ਼ਮਾਓ।
27p²q + 90pq + 75q ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਵੇਖਿਆ ਸੀ। ਤੁਸੀਂ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੋ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਸੀ ਜੋ ਸੰਯੁਗਮ ਸਨ। ਇਹ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ:
ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਪੈਟਰਨ।
ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ,
ਯਾਦ ਰੱਖੋ, "ਅੰਤਰ" ਦਾ ਭਾਵ ਘਟਾਓ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਰਗ ਘਟਾਏ ਜਾ ਰਹੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.27
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ।
64y² − 1 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
6.53 ਅਜ਼ਮਾਓ।
121m² − 1 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
6.54 ਅਜ਼ਮਾਓ।
81y² − 1 ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਕੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ? a² − b² ਕੀ ਇਹ ਅੰਤਰ ਹੈ? ____ − ____ ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ? ਦੂਜਾ ਕਦਮ। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। (a)² − (b)² ਤੀਜਾ ਕਦਮ। ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲਿਖੋ। (a − b)(a + b) ਚੌਥਾ ਕਦਮ। ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਕੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ? a² − b² ਕੀ ਇਹ ਅੰਤਰ ਹੈ? ____ − ____ ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ? ਦੂਜਾ ਕਦਮ। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। (a)² − (b)² ਤੀਜਾ ਕਦਮ। ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲਿਖੋ। (a − b)(a + b) ਚੌਥਾ ਕਦਮ। ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੋ-ਪਦੀਆਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ-ਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ ਜੋ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਹੋ ਕੇ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕੋਈ ਵੀ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (GCF) ਹਟਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, a² + b² ਦਾ ਪਦ ਅਭਾਜ ਹੈ!
ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦੋਨਾਂ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.28
144x² − 49y² ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
144x2−49y2
ਕੀ ਇਹ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਹਾਂ। | (12x)2−(7y)2
ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | (12x−7y)(12x+7y)
ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। (12x−7y)(12x+7y)144x2−49y2✓
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.55
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 196m2−25n2.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.56
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 121p2−9q2.
ਹਮੇਸ਼ਾ ਵਾਂਗ, ਜਦੋਂ ਵੀ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕੋਈ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ "ਛੁਪਾ" ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਸੀਂ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਪਛਾਣੋਗੇ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ GCF ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਾ ਲੈਂਦੇ।
ਨਾਲ ਹੀ, ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਵਾਂਗੇ!
ਉਦਾਹਰਨ 6.29
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ: 48x4y2−243y2.
ਹੱਲ
48x4y2−243y2
ਕੀ ਕੋਈ GCF ਹੈ? ਹਾਂ, 3y2—ਇਸਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ! | 3y2(16x4−81)
ਕੀ ਦੋਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ? ਹਾਂ। | 3y2((4x2)2−(9)2)
ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 3y2(4x2−9)(4x2+9)
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਦੋਪਦੀ ਵੀ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ! | 3y2((2x)2−(3)2)(4x2+9)
ਇਸਨੂੰ ਸੰਯੁਗਮਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 3y2(2x−3)(2x+3)(4x2+9)
ਆਖਰੀ ਗੁਣਨਖੰਡ, ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ:
3y2(2x−3)(2x+3)(4x2+9)
3y2(4x2−9)(4x2+9)
3y2(16x4−81)
row: 48x4y2−243y2✓48x4y2−243y2✓
Try It 6.57
Factor: 2x4y2−32y2.2x4y2−32y2.
Try It 6.58
Factor: 7a4c2−7b4c2.7a4c2−7b4c2.
The next example has a polynomial with 4 terms. So far, when this occurred we grouped the terms in twos and factored from there. Here we will notice that the first three terms form a perfect square trinomial.
Example 6.30
Factor: x2−6x+9−y2.x2−6x+9−y2.
Solution
Notice that the first three terms form a perfect square trinomial.
row: Factor by grouping the first three terms.
row: Use the perfect square trinomial pattern.
row: Is this a difference of squares? Yes.
row: Yes—write them as squares.
row: Factor as the product of conjugates.
You may want to rewrite the solution as (x−y−3)(x+y−3).(x−y−3)(x+y−3).
Try It 6.59
Factor: x2−10x+25−y2.x2−10x+25−y2.
Try It 6.60
Factor: x2+6x+9−4y2.x2+6x+9−4y2.
Factor Sums and Differences of Cubes
There is another special pattern for factoring, one that we did not use when we multiplied polynomials. This is the pattern for the sum and difference of cubes. We will write these formulas first and then check them by multiplication.
We’ll check the first pattern and leave the second to you.
row: Distribute.
ਸਤਾਰ: ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਤਾਰ: ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦਾ ਪੈਟਰਨ
ਦੋਵੇਂ ਪੈਟਰਨ ਬਹੁਤ ਮਿਲਦੇ-ਜੁਲਦੇ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਹੈ ਨਾ? ਪਰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ। ਦੋਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਮੂਲ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਤੇ ਤਿੰਨਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਪਦ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਮੂਲ ਦੋਪਦੀ ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਤੋਂ ਉਲਟ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਨਿਸ਼ਾਨਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਇਹ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪੈਟਰਨ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨਪਦੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਗੁਣਨਖੰਡਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ।
ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ 1 ਤੋਂ 10 ਤੱਕ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਘਣਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਸਿੱਖ ਲੈਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀ 6.1 ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ 10 ਤੱਕ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਘਣਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੈ।
ਸਤਾਰ: n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
ਸਤਾਰ: n³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000
ਉਦਾਹਰਨ 6.31
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: x³+64.x³+64.
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.61
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: x³+27.x³+27.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.62
ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ: y³+8.y³+8.
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਕੀ ਦੋਪਦੀ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਬੈਠਦੀ ਹੈ? ਕੀ ਇਹ ਜੋੜ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਾਓ? ਕੀ ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ?
ਕਦਮ 2. ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਘਣਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਕਦਮ 3. ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 4. ਬਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 5. ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.32
27u3−125v3.27u3−125v3. ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਇਹ ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ।
ਸਤਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਣਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.63
8x3−27y3.8x3−27y3. ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.64
1000m3−125n3.1000m3−125n3. ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ GCF ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.33
6x3y+48y4.6x3y+48y4. ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਸਾਂਝੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਇਹ ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ।
ਸਤਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਣਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਜਾਂਚ:
ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ, ਫਿਰ ਉਸ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ 6y ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ।6y. ਅਸੀਂ ਗੁਣਾ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.65
500p3+4q3.500p3+4q3. ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.66
ਗੁਣਨਖੰਡ: 432c³+686d³.432c³+686d³.
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਦੋਪਦੀ ਦਾ ਘਣ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.34
ਗੁਣਨਖੰਡ: (x+5)³−64x³.(x+5)³−64x³.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: ਇਹ ਦੋਪਦੀ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਪਹਿਲਾ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਪਦ ਸੰਪੂਰਨ ਘਣ ਹਨ।
ਸਤਰ: ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਣਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਸਤਰ: ਘਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਸਤਰ: ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.67
ਗੁਣਨਖੰਡ: (y+1)³−27y³.(y+1)³−27y³.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.68
ਗੁਣਨਖੰਡ: (n+3)³−125n³.(n+3)³−125n³.
ਮੀਡੀਆ
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਦੋਪਦੀਆਂ-ਘਣਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ #2
ਅਭਿਆਸ ਪਰਪੱਕਤਾ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ
ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਤ੍ਰਿਪਦੀਆਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
16 y² + 24 y + 9 16 y² + 24 y + 9
25 v² + 20 v + 4 25 v² + 20 v + 4
36 s² + 84 s + 49 36 s² + 84 s + 49
49 ਸ² + 154 ਸ + 121
100 x² − 20 x + 1
64 z² − 16 z + 1
25 n² − 120 n + 144
4 p² − 52 p + 169
49 x² + 28 xy + 4 y²
25 r² + 60 rs + 36 s²
100 y² − 20 y + 1
64 m² − 16 m + 1
10 j k² + 80 jk + 160 j
64 x² y − 96 xy + 36 y
75 u⁴ − 30 u³ v + 3 u² v²
90 p⁴ + 300 p³ q + 250 p² q²
ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
25 v² − 1
169 q² − 1
4 − 49 x²
121 − 25 s²
6 p² q² − 54 p²
98 r³ − 72 r
24 p² + 54
20 b² + 140
121 x² − 144 y²
49 x 2 − 81 y 2
169 c 2 − 36 d 2
36 p 2 − 49 q 2
16 z 4 − 1
m 4 − n 4
162 a 4 b 2 − 32 b 2
48 m 4 n 2 − 243 n 2
x 2 − 16 x + 64 − y 2
p 2 + 14 p + 49 − q 2
a 2 + 6 a + 9 − 9 b 2
m 2 − 6 m + 9 − 16 n 2
ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ, ਘਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਂ ਦੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ।
x 3 + 125
n 6 + 512
z 6 − 27
v 3 − 216
8 − 343 t 3
125 − 27 w 3
8 y 3 − 125 z 3
27 x 3 − 64 y 3
216 a 3 + 125 b 3
27 y 3 + 8 z 3
7 k 3 + 56
6 x 3 − 48 y 3
2 x 2 − 16 x 2 y 3
−2 x 3 y 2 − 16 y 5
( x + 3 ) 3 + 8 x 3
( x + 4 ) 3 − 27 x 3
( y − 5 ) 3 − 64 y 3
( y − 5 ) 3 + 125 y 3
ਮਿਸ਼ਰਤ ਅਭਿਆਸ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
64 a 2 − 25
121 x 2 − 144
27 q 2 − 3
4 p 2 − 100
16 x 2 − 72 x + 81
36 y 2 + 12 y + 1
8 p 2 + 2
81 x 2 + 169
125 − 8 y 3
27 u 3 + 1000
45 n 2 + 60 n + 20
48 q 3 − 24 q 2 + 3 q
x 2 − 10 x + 25 − y 2
x 2 + 12 x + 36 − y 2
( x + 1 ) 3 + 8 x 3
1. ( y − 3 ) 3 − 64 y 3 ( y − 3 ) 3 − 64 y 3
2. ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
3. ਬਹੁਪਦਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਦੋਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨਾ ਕਿਉਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸੀ?
4. ਤੁਸੀਂ ਦੋਪਦੀ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਨਮੂਨੇ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹੋ?
5. ਸਮਝਾਓ ਕਿ n2+25≠(n+5)2 ਕਿਉਂ ਹੈ। n2+25≠(n+5)2। ਅਲਜਬਰਾ, ਸ਼ਬਦਾਂ ਜਾਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
6. ਮਾਰੀਬੇਲ ਨੇ y2−30y+81 ਨੂੰ (y−9)2 ਵਜੋਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ। ਕੀ ਉਹ ਸਹੀ ਸੀ ਜਾਂ ਗਲਤ? ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਹੈ?
7. ਸਵੈ-ਜਾਂਚ
8. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
9. ⓑ ਇਹ ਚੈਕਲਿਸਟ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦੀ ਹੈ? ਸੁਧਾਰ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੇ ਕਦਮ ਚੁੱਕੋਗੇ?