ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ (Zero Product Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਨਖੰਡਨ (factoring) ਦੁਆਰਾ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (quadratic equations) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (polynomial functions) ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (polynomial equations) ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਤਿਆਰੀ 6.10
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਸ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਨੂੰ ਲਓ।
ਹੱਲ ਕਰੋ: 5y−3=0. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 2.2 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 6.11
ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰੋ: n3−9n2−22n. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.48 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰੀ 6.12
ਜੇਕਰ f(x)=8x−16, ਤਾਂ f(3) ਲੱਭੋ ਅਤੇ f(x)=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਗੁਆਚੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 3.59 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਣ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਸਮਾਂ ਬਿਤਾਇਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਘਾਤ (degree) ਬਹੁਪਦੀ ਦੀ ਘਾਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ
ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਘਾਤ ਬਹੁਪਦੀ ਦੀ ਘਾਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਹੱਲ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ (linear equations) ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ax+b=c ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੂਜੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ (quadratic equation) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:
ਆਖਰੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਰਗ (squared) ਵਾਲਾ ਚੱਲ (variable) ਨਹੀਂ ਜਾਪਦਾ, ਪਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ n2+n ਮਿਲੇਗਾ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ax2+bx+c=0 ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a≠0। (ਜੇਕਰ a=0, ਤਾਂ 0·x2=0 ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਕੋਈ ਦੋਘਾਤੀ ਪਦ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦਾ।)
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ
ax2+bx+c=0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਢੰਗਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰੇ ਢੰਗਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਢੰਗ ਦੇਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅਗਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਕਈ ਹੋਰ ਦੇਖਾਂਗੇ।
ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੁਝ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ
ਜੇ a·b=0, ਤਾਂ ਜਾਂ ਤਾਂ a=0 ਜਾਂ b=0 ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ।
ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.44
ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰੀਏ
ਹੱਲ ਕਰੋ: (5n−2)(6n−1)=0.
ਹੱਲ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.87
ਹੱਲ ਕਰੋ: (3m−2)(2m+1)=0.
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ 6.88
ਹੱਲ ਕਰੋ: (4p+3)(4p−3)=0.
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 2. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਵਧੀਆ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਅਲੱਗ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, ax2+bx+c=0, ਵਿੱਚ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੀਏ। ਫਿਰ ਸਾਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.45
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰੀਏ
ਹੱਲ ਕਰੋ: 2y2=13y+45.
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.89
ਹੱਲ ਕਰੋ: 3c²=10c−8.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.90
ਹੱਲ ਕਰੋ: 2d²−5d=3.
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ।
ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ, ax²+bx+c=0 ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਦੂਜਾ ਕਦਮ। ਦੋਘਾਤੀ ਵਿਅੰਜਕ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਤੀਜਾ ਕਦਮ। ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਚੌਥਾ ਕਦਮ। ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਪੰਜਵਾਂ ਕਦਮ। ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਹੱਲ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਸਿੱਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਗੁਣਨਖੰਡ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੇਗਾ! ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਗੁਣਨਫਲ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਦੇ ਹੋ?
ਉਦਾਹਰਨ 6.46
ਹੱਲ ਕਰੋ: 169x²=49.
ਹੱਲ
ਸਤਰ: 169x²=49
ਸਤਰ: ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | 169x²−49=0
ਸਤਰ: ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। ਇਹ ਵਰਗਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ ਹੈ। | (13x−7)(13x+7)=0
ਸਤਰ: ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਲਈ ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | 13x−7=0, 13x+7=0, 13x=7, 13x=−7, x=7/13, x=−7/13
ਜਾਂਚ:
ਅਸੀਂ ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ 'ਤੇ ਛੱਡਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 6.91
p2 = 49/25
6.92
x2 = 121/36
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਪਰ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜ਼ੀਰੋ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤਣ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.47
x = 4 ਜਾਂ x = 2/3
ਹੱਲ
(3x−8)(x−1)=3x
row: ਬਾਈਨੋਮੀਅਲ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। | 3x2−11x+8=3x
row: ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | 3x2−14x+8=0
row: ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ। | (3x−2)(x−4)=0
row: ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਲਈ ਜ਼ੀਰੋ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | 3x−2=0x−4=03x=2x=4
row: x=2/3
row: ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। | ਜਾਂਚ ਤੁਹਾਡੇ ਉੱਤੇ ਛੱਡੀ ਗਈ ਹੈ।
6.93
m = -3 ਜਾਂ m = 4/2
6.94
k = 3 ਜਾਂ k = -3
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਗੁਣਨਖੰਡ ਮਿਲਣਗੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਪਹਿਲਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਗੁਣਨਖੰਡ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.48
x = 7 ਜਾਂ x = -3
ਹੱਲ
3x2=12x+63
row: ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ। | 3x2−12x−63=0
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢੋ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.95
ਹੱਲ ਕਰੋ: 18a2−30=−33a।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.96
ਹੱਲ ਕਰੋ: 123b=−6−60b2।
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਵੱਧ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਗੁਣਨਫਲ ਸਿਫਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸਿਫਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਕੁਝ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਸੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.49
ਹੱਲ ਕਰੋ: 9m3+100m=60m2।
ਹੱਲ
9m3+100m=60m2
ਸਾਰੇ ਪਦ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ ਤਾਂ ਜੋ ਦੂਜਾ ਪਾਸਾ ਸਿਫਰ ਹੋ ਜਾਵੇ।
ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮਹੱਤਮ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢੋ।
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ।
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.97
ਹੱਲ ਕਰੋ: 8x3=24x2−18x।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.98
ਹੱਲ ਕਰੋ: 16y2=32y3+2y।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਡਾ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਜਾਰੀ ਰਹੇਗਾ, ਇਹ ਜਾਣਨਾ ਅਕਸਰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਦੋਂ ਕੋਈ ਖਾਸ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੇਗਾ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਕਿਹੜੇ ਬਿੰਦੂ ਸਥਿਤ ਹਨ। ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਨਾਲ ਸਾਡਾ ਕੰਮ ਇਹਨਾਂ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰੇਗਾ।
Example 6.50
For the function f(x)=x2+2x−2,f(x)=x2+2x−2,
ⓐ find x when f(x)=6f(x)=6 ⓑ find two points that lie on the graph of the function.
Solution
ⓐ
row: f(x)=x2+2x−2f(x)=x2+2x−2
row: Substitute 6 for f(x)f(x). | 6=x2+2x−26=x2+2x−2
row: Put the quadratic in standard form. | x2+2x−8=0x2+2x−8=0
row: Factor the trinomial. | (x+4)(x−2)=0(x+4)(x−2)=0
row: Use the zero product property. Solve. | x+4=0orx−2=0x=−4orx=2x+4=0orx−2=0x=−4orx=2
row: Check:
row: f(x)=x2+2x−2f(x)=x2+2x−2f(−4)=(−4)2+2(−4)−2f(2)=22+2·2−2f(−4)=16−8−2f(2)=4+4−2f(−4)=6✓f(2)=6✓f(x)=x2+2x−2f(x)=x2+2x−2f(−4)=(−4)2+2(−4)−2f(2)=22+2·2−2f(−4)=16−8−2f(2)=4+4−2f(−4)=6✓f(2)=6✓
ⓑ Since f(−4)=6f(−4)=6 and f(2)=6,f(2)=6, the points (−4,6)(−4,6) and (2,6)(2,6) lie on the graph of the function.
Try It 6.99
For the function f(x)=x2−2x−8,f(x)=x2−2x−8,
ⓐ find x when f(x)=7f(x)=7 ⓑ Find two points that lie on the graph of the function.
Try It 6.100
For the function f(x)=x2−8x+3,f(x)=x2−8x+3,
ⓐ find x when f(x)=−4f(x)=−4 ⓑ Find two points that lie on the graph of the function.
The Zero Product Property also helps us determine where the function is zero. A value of x where the function is 0, is called a zero of the function.
Zero of a Function
For any function f, if f(x)=0,f(x)=0, then x is a zero of the function.
When f(x)=0,f(x)=0, the point (x,0)(x,0) is a point on the graph. This point is an x-intercept of the graph. It is often important to know where the graph of a function crosses the axes. We will see some examples later.
Example 6.51
1. ਜੇਕਰ f(x)=3x^2+10x−8 ਹੈ, ਤਾਂ f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
੧. ⓐ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ, ⓑ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ x-ਅੰਤਰਖੰਡ, ⓒ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ y-ਅੰਤਰਖੰਡ
1. ਨਿਵਾਰਨ
ⓐ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਦੋਂ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
1. ਫੰਕਸ਼ਨ (x) = 3x² + 10x - 8
1. ਕਤਾਰ: f(x)f(x) ਦੀ ਥਾਂ 0 ਲਿਖੋ। | 0=3x2+10x−80=3x2+10x−8
1. ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ। | (x+4)(3x−2)=0(x+4)(3x−2)=0
1. ਸੂਤ: ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਕਰੋ। | x+4=0 ਜਾਂ 3x−2=0 x=−4 ਜਾਂ x=2/3
੧. ⓑ ਇੱਕ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f(−4)=0 ਅਤੇ f(23)=0, ਬਿੰਦੂ (−4,0) ਅਤੇ (23,0) ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਹਨ। ⓒ ਇੱਕ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ x=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ f(0) ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
1. ਫੰਕਸ਼ਨ(x) = 3x² + 10x - 8
1. f(0) = 3(0)² + 10(0) - 8 = -8
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | f(0)=−8f(0)=−8
ਕਿਉਂਕਿ f(0)=−8 ਹੈ, ਬਿੰਦੂ (0,−8) ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਫਲਨ ਦਾ y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.101
1. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2x2−7x+5 ਲਈ, ਲੱਭੋ
੧. ⓐ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ, ⓑ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ x-ਅੰਤਰਖੰਡ, ⓒ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ y-ਅੰਤਰਖੰਡ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.102
1. ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=6x^2+13x−15, ਲਈ, ਲੱਭੋ
੧. ⓐ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ, ⓑ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ x-ਅੰਤਰਖੰਡ, ⓒ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ y-ਅੰਤਰਖੰਡ।
ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਪ੍ਰਯੋਗ
ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਜਿਹੜੀ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਰਜ਼ੀਆਂ ਲਈ ਵਰਤੀ ਸੀ, ਉਹ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਰਜ਼ੀਆਂ ਲਈ ਵੀ ਓਨੀ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਰਣਨੀਤੀ ਇੱਥੇ ਨਕਲ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸੰਦਰਭ ਵਜੋਂ ਵਰਤ ਸਕੀਏ।
1. ਕਿਵੇਂ
ਸਮੱਸਿਆ-ਹੱਲ ਰਣਨੀਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸ਼ਬਦ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
1. ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹੋ। ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਸਾਰੇ ਸ਼ਬਦ ਅਤੇ ਵਿਚਾਰ ਸਮਝੇ ਗਏ ਹਨ।
1. ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
2. ਕਦਮ 3. ਜੋ ਅਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਉਸਦਾ ਨਾਮ ਰੱਖੋ। ਉਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਚੁਣੋ।
3. ਕਦਮ 4. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। ਸਾਰੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਜਾਣਕਾਰੀ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੱਸਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਕ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ।
4. ਕਦਮ 5. ਉਚਿਤ ਅਲਜਬਰਾ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
5. ਕਦਮ 6. ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਅਤੇ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਇਹ ਸਮਝਦਾਰ ਹੈ।
6. ਕਦਮ 7. ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਵਾਕ ਨਾਲ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦਾ ਉੱਤਰ ਦਿਓ।
7. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨ ਦਾ ਅਭਿਆਸ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਸਮੱਸਿਆ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 6.52
9. ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 323 ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. ਹੱਲ
11. ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਪੜ੍ਹੋ।
12. ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। | ਅਸੀਂ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
13. ਕਦਮ 3. ਜੋ ਅਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ ਉਸਦਾ ਨਾਮ ਰੱਖੋ। | ਮੰਨ ਲਓ n = ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ।
14. n+2 = ਅਗਲੀ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ
15. ਕਦਮ 4. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਦੱਸੋ। | ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 323 ਹੈ।
16. n(n+2)=323
17. ਕਦਮ 5. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | n²+2n=323
18. ਸਾਰੇ ਪਦ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਲਿਆਓ। | n²+2n−323=0
19. ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | (n−17)(n+19)=0
20. ਜ਼ੀਰੋ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | n−17=0 n+19=0 n=17 n=−19
21. n ਲਈ ਦੋ ਮੁੱਲ ਹਨ ਜੋ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਦੋ ਸਮੂਹ ਹਨ ਜੋ ਕੰਮ ਕਰਨਗੇ।
22. ਜੇ ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ n=17 ਹੈ | ਜੇ ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ n=−19 ਹੈ
23. ਤਾਂ ਅਗਲੀ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ | ਤਾਂ ਅਗਲੀ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ
24. n+2 | n+2
1. ਕਤਾਰ: 17+217+2 | −19+2−19+2
2. ਕਤਾਰ: 1919 | −17−17
3. ਕਤਾਰ: 17,1917,19 | −17,−19−17,−19
4. ਕਦਮ 6. ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
5. ਨਤੀਜੇ ਲਗਾਤਾਰ ਅਨੋਖੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ
6. 17,19ਅਤੇ−19,−17.17,19ਅਤੇ−19,−17.
7. 17·19=323✓−19(−17)=323✓17·19=323✓−19(−17)=323✓
8. ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਜੋੜੇ ਹੱਲ ਹਨ।
9. ਕਦਮ 7. ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ | ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ 17, 19 ਅਤੇ −19,−17.−19,−17. ਹਨ।
10. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.103
11. ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਅਨੋਖੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 255 ਹੈ। ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭੋ।
12. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.104
13. ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਅਨੋਖੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 483 ਹੈ। ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭੋ।
14. ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਤੋਂ ਹੈਰਾਨ ਹੋਏ ਜੋ ਪਿਛਲੇ ਉਦਾਹਰਣ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ? ਦੋ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਅਤੇ ਦੋ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੋਵੇਂ ਧਨਾਤਮਕ ਨਤੀਜੇ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
15. ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੱਲ ਅਲਜਬਰਾ ਤੋਂ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣਗੇ, ਪਰ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਯਥਾਰਥਵਾਦੀ ਨਹੀਂ ਹੋਣਗੇ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 6.53
17. ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਬੈੱਡਰੂਮ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 117 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਬੈੱਡਰੂਮ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਚਾਰ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਬੈੱਡਰੂਮ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਲੱਭੋ।
18. ਹੱਲ
19. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਪੜ੍ਹੋ। ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਚਿੱਤਰਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਕੈਚ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
20. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ। | ਅਸੀਂ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
21. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 3. ਤੁਸੀਂ ਜੋ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ ਉਸਨੂੰ ਨਾਮ ਦਿਓ। | ਮੰਨ ਲਓ w=w= ਬੈੱਡਰੂਮ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ।
22. ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਚਾਰ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। | w+4=w+4= ਬਗੀਚੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ
23. ਕਦਮ 4. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ।
24. ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਕ ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਓ। | ਬੈੱਡਰੂਮ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 117 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੂਤਰ ਵਰਤੋ। | A=l·w
ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਮਤਾਂ ਭਰੋ। | 117=(w+4)w
ਕਦਮ 5. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ ਵੰਡ ਕਰੋ। | 117=w2+4w
ਇਕ ਪਾਸੇ ਸਿਫਰ ਬਣਾਓ। | 117=w2+4w
ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 0=w2+4w−117
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਦੇ ਗੁਣ ਵਰਤੋ। | 0=(w+13)(w−9)
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। | 0=w+130=w−9
ਕਿਉਂਕਿ w ਬੈਡਰੂਮ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਕੋਈ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ। ਅਸੀਂ w ਲਈ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਖਾਰਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। | −13=w9=w
w=9w=9 ਚੌੜਾਈ 9 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। | w+4w+49+49+413 ਲੰਬਾਈ 13 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਕਦਮ 6. ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਕੀ ਜਵਾਬ ਸਹੀ ਹੈ? ਹਾਂ, ਇਹ ਸਹੀ ਹੈ।
ਕਦਮ 7. ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ। | ਬੈਡਰੂਮ ਦੀ ਚੌੜਾਈ 9 ਫੁੱਟ ਹੈ ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ 13 ਫੁੱਟ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.105
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਾਈਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 30 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਸਾਈਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਸਾਈਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਲੱਭੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 6.106
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਪਾਟੀਓ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 180 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪਾਟੀਓ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਫੁੱਟ ਘੱਟ ਹੈ। ਪਾਟੀਓ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਲੱਭੋ।
ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ (a2+b2=c2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹ ਸੂਤਰ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਲੱਤਾਂ ਅਤੇ ਕਾਰਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। | a2+b2=c2
ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਗਲੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 6.54
ਇੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦੀ ਪਤੰਗ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਾਰਨ 17 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਘੱਟ ਹੋਵੇਗੀ। ਪਤੰਗ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1. ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹੋ
ਕਦਮ 2. ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ। | ਅਸੀਂ ਪਤੰਗ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਕਦਮ 3. ਜਿਸ ਨੂੰ ਤੁਸੀਂ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੋ ਉਸ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿਓ। ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਦੂਜੇ ਤੋਂ 7 ਘੱਟ ਹੈ। | ਮੰਨ ਲਓ x=x= ਪਤੰਗ ਦੇ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ। x−7=x−7= ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ।
1. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 4. ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰੋ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸੀਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। | a2+b2=c2a2+b2=c2
2. ਕਤਾਰ: ਵੇਰੀਏਬਲਜ਼ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। | x2+(x−7)2=172x2+(x−7)2=172
3. ਕਤਾਰ: ਕਦਮ 5. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਸਰਲ ਕਰੋ। | x2+x2−14x+49=289x2+x2−14x+49=289
4. 2x2−14x+49=2892x2−14x+49=289
5. ਇਹ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਜ਼ੀਰੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ। | 2x2−14x−240=02x2−14x−240=0
6. ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਕ ਕੱਢੋ। | 2(x2−7x−120)=02(x2−7x−120)=0
7. ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। | 2(x−15)(x+8)=02(x−15)(x+8)=0
8. ਜ਼ੀਰੋ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਨੂੰ ਵਰਤੋ। | 2≠0x−15=0x+8=02≠0x−15=0x+8=0
9. ਹੱਲ ਕਰੋ। | 2≠0x=15x=−82≠0x=15x=−8
10. ਕਿਉਂਕਿ x ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਹੈ, x=−8x=−8 ਦਾ ਕੋਈ ਮਤਲਬ ਨਹੀਂ ਹੈ। | 2≠0x=15x=−82≠0x=15x=−8
11. ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
12. ਜੇ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ ਤਾਂ ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ | 8 ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ।
13. ਕਦਮ 6. ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕੀ ਇਹ ਅੰਕ ਸਹੀ ਹਨ?
14. ਕਦਮ 7. ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦਿਓ | ਪਤੰਗ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ 8, 15 ਅਤੇ 17 ਫੁੱਟ ਹਨ।
15. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.107
16. ਜਸਟੀਨ ਆਪਣੇ ਪਿਛਲੇ ਵਿਹੜੇ ਦੇ ਕੋਨੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਡੇਕ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ। ਡੇਕ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਨਾਲੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਕਾਰਨ 13 ਹੈ। ਡੇਕ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.108
18. ਇੱਕ ਧਿਆਨ ਬਾਗ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਇੱਕ ਲੱਤ 7 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਕਾਰਨ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੀ ਲੱਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੈ। ਕਾਰਨ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਲੱਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।
19. ਅਗਲਾ ਉਦਾਹਰਨ ਉਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 80 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰੋਂ ਸੁੱਟੀ ਗਈ ਵਸਤੂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 6.55
21. ਡੇਨਿਸ ਆਪਣੀ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੈਂਪਸ ਬਿਲਡਿੰਗ ਦੀ ਚੋਟੀ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਸੁੱਟਣ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ ਰਬੜ ਬੈਂਡ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 80 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰੋਂ ਸੁੱਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−16t2+64t+80h(t)=−16t2+64t+80 ਸਮੇਂ, t ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ, h, ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਤਾ ਕਰੋ:
22. ⓐ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਗੇਂਦ ਕਦੋਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗੇਗੀ, ⓑ ਗੇਂਦ ਕਦੋਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 80 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇਗੀ, ⓒ t=2t=2 ਸੈਕਿੰਡ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ।
23. ਹੱਲ
24. ⓐ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ h(t)=0.h(t)=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸੇਗਾ ਕਿ ਗੇਂਦ ਕਦੋਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗੇਗੀ।
1. ਕਤਾਰ: ਹੱਥ=0ਹੱਥ=0
1. ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪਾਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵਿੱਚ h(t) ਦੀ ਥਾਂ 'ਤੇ h(t) ਨੂੰ ਬਦਲੋ। h(t). | −16t2+64t+80=0−16t2+64t+80=0
1. ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੱਢੋ, −16.−16. | −16(t2−4t−5)=0−16(t2−4t−5)=0
1. ਤ੍ਰਿਪਦੀ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ। | −16(t−5)(t+1)=0
1. ਕਤਾਰ: ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣਧਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹੱਲ ਕਰੋ। | t−5=0t+1=0t=5t=−1t−5=0t+1=0t=5t=−1
ਇਹ ਨਤੀਜਾ t=5t=5 ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗੇਂਦ ਸੁੱਟੇ ਜਾਣ ਤੋਂ 5 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਟਕਰਾਏਗੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਇਸ ਲਈ t=−1t=−1 ਨਤੀਜਾ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ⓑ ਜਦੋਂ h(t)=80 ਹੋਵੇਗਾ, ਤਾਂ ਗੇਂਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 80 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇਗੀ।
1. ਸਤਰ: ਹ(ਟੀ)=80ਹ(ਟੀ)=80
1. ਪੋਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵਿੱਚ h(t) ਦਾ ਮੁੱਲ ਭਰੋ। h(t) = −16t² + 64t + 80 = 80
1. ਸਤਰ: ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ 80 ਘਟਾਓ। | −16t2+64t=0−16t2+64t=0
1. ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ ਸਾਂਝਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਗੁਣਕ, −16t। −16t(t−4)=0
1. ਸੂਤ੍ਰ: ਸਿਫ਼ਰ ਗੁਣਨਫਲ ਗੁਣ ਧਰਮ ਵਰਤੋ। ਹੱਲ ਕਰੋ। | −16t=0t−4=0t=0t=4
1. ਪੰਡ: ਜਿਸ ਪਲ ਡੈਨਿਸ ਗੇਂਦ ਸੁੱਟੇਗਾ, ਉਸੇ ਪਲ ਗੇਂਦ 80 ਫੁੱਟ ਉੱਤੇ ਹੋਵੇਗੀ, ਅਤੇ ਫਿਰ 4 ਸੈਕਿੰਡ ਬਾਅਦ, ਜਦੋਂ ਗੇਂਦ ਹੇਠਾਂ ਡਿੱਗ ਰਹੀ ਹੋਵੇਗੀ।
1. ੨ ਸੈਕਿੰਡਾਂ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ h(2) ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਹ(ਟ) = −16ਟ² + 64ਟ + 80
1. ਕਤਾਰ: h(2)h(2) ਲੱਭਣ ਲਈ, t.t. ਦੀ ਥਾਂ 2 ਲਿਖੋ। | h(2)=−16(2)2+64·2+80
1. ਕਤਾਰ: ਸਰਲ ਕਰੋ। | h(2)=144h(2)=144
2 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਗੇਂਦ 144 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗੀ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ 6.109
1. ਜਿਨੀਵੀਵ ਸਮੁੰਦਰ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ਇੱਕ ਪਗਡੰਡੀ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਇੱਕ ਪੱਥਰ ਸੁੱਟਣ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ ਸਮੁੰਦਰ ਤੋਂ 160 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਪੱਥਰ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−16t^2+48t+160 ਪੱਥਰ ਦੀ ਉਚਾਈ, h, ਨੂੰ ਸਮੇਂ, t, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਪਤਾ ਕਰੋ:
੧. ⓐ ਇਸ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਚੱਟਾਨ ਕਦੋਂ ਸਮੁੰਦਰ ਨਾਲ ਟਕਰਾਏਗੀ, ⓑ ਜਦੋਂ ਚੱਟਾਨ ਸਮੁੰਦਰ ਤੋਂ 160 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇਗੀ, ⓒ t=1.5 ਸਕਿੰਟਾਂ 'ਤੇ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਉਚਾਈ।
1. ਇਹ ਵੀ ਵੇਖੋ 6.110
ਕੈਲਿਬ ਆਪਣੀ ਬਾਲਕੋਨੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਕਰੂਜ਼ ਜਹਾਜ਼ ਉੱਪਰ ਆਪਣਾ ਕਿਸਮਤ ਵਾਲਾ ਸਿੱਕਾ ਸੁੱਟਣ ਜਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 128 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰੋਂ ਸਿੱਕਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−16t^2+32t+128 ਸਮੇਂ, t, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸਮੁੰਦਰ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਸਿੱਕੇ ਦੀ ਉਚਾਈ, h, ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਤਾ ਕਰੋ:
੧. ⓐ ਇਸ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਜੋ ਕਿ ਉਹ ਸਮਾਂ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪੈਸਾ ਸਮੁੰਦਰ ਵਿੱਚ ਡਿੱਗੇਗਾ, ⓑ ਉਹ ਸਮਾਂ ਜਦੋਂ ਪੈਸਾ ਸਮੁੰਦਰ ਤੋਂ ੧੨੮ ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇਗਾ, ⓒ ਟੀ=੧ ਸਕਿੰਟ 'ਤੇ ਪੈਸੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਜੋ ਕਿ ਉਹ ਸਮਾਂ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪੈਸਾ ਆਪਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਵਰਗਾਤਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਲਜਬਰਾ ਅਤੇ ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਵਰਗਾਤਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਅਭਿਆਸ ਨਾਲ ਪਰਪੱਕਤਾ ਆਉਂਦੀ ਹੈ
ਸਿਫਰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
( 3 a − 10 ) ( 2 a − 7 ) = 0
( 5 b + 1 ) ( 6 b + 1 ) = 0
6 m ( 12 m − 5 ) = 0
2 x ( 6 x − 3 ) = 0
( 2 x − 1 ) 2 = 0
( 3 y + 5 ) 2 = 0
ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਰਗਾਤਮਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
5 a 2 − 26 a = 24
4 b 2 + 7 b = −3
4 m 2 = 17 m − 15
n 2 = 5 n − 6
7 a 2 + 14 a = 7 a
12 b 2 − 15 b = −9 b
49 m 2 = 144
625 = x 2
16 y 2 = 81
64 p 2 = 225
121 ਗੁਣਾ 2 = 36 121 ਗੁਣਾ 2 = 36
100 y 2 = 9 100 y 2 = 9
( x + 6 ) ( x − 3 ) = −8 ( x + 6 ) ( x − 3 ) = −8
( p − 5 ) ( p + 3 ) = −7 ( p − 5 ) ( p + 3 ) = −7
( 2 x + 1 ) ( x − 3 ) = −4 x ( 2 x + 1 ) ( x − 3 ) = −4 x
( y − 3 ) ( y + 2 ) = 4 y ( y − 3 ) ( y + 2 ) = 4 y
( 3 x − 2 ) ( x + 4 ) = 12 x ( 3 x − 2 ) ( x + 4 ) = 12 x
( 2 y − 3 ) ( 3 y − 1 ) = 8 y ( 2 y − 3 ) ( 3 y − 1 ) = 8 y
20 x 2 − 60 x = −45 20 x 2 − 60 x = −45
3 y 2 − 18 y = −27 3 y 2 − 18 y = −27
15 x 2 − 10 x = 40 15 x 2 − 10 x = 40
14 y 2 − 77 y = −35 14 y 2 − 77 y = −35
18 x 2 − 9 = −21 x 18 x 2 − 9 = −21 x
16 y 2 + 12 = −32 y 16 y 2 + 12 = −32 y
16 p 3 = 24 p 2 – 9 p 16 p 3 = 24 p 2 – 9 p
m 3 − 2 m 2 = − m m 3 − 2 m 2 = − m
2 x 3 + 72 x = 24 x 2 2 x 3 + 72 x = 24 x 2
3 y 3 + 48 y = 24 y 2 3 y 3 + 48 y = 24 y 2
36 x 3 + 24 x 2 = −4 x 36 x 3 + 24 x 2 = −4 x
2 y 3 + 2 y 2 = 12 y 2 y 3 + 2 y 2 = 12 y
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, f(x)=x2−8x+8,f(x)=x2−8x+8, ⓐ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ f(x)=−4f(x)=−4 ਕਦੋਂ ਹੈ ⓑ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, f(x)=x2+11x+20,f(x)=x2+11x+20, ⓐ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ f(x)=−8f(x)=−8 ਕਦੋਂ ਹੈ ⓑ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਫਲਨ f(x)=8x2−18x+5, ਲਈ, ⓐ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ f(x)=−4 ਕਦੋਂ ਹੈ ⓑ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਫਲਨ f(x)=18x2+15x−10, ਲਈ, ⓐ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ f(x)=15 ਕਦੋਂ ਹੈ ⓑ ਇਸ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭੋ ਜੋ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਫਲਨ ਲਈ, ਪਤਾ ਕਰੋ: ⓐ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫਰ ⓑ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ⓒ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y-ਅੰਤਰਖੰਡ।
f ( x ) = 9 x 2 − 4
f ( x ) = 25 x 2 − 49
f ( x ) = 6 x 2 − 7 x − 5
f ( x ) = 12 x 2 − 11 x + 2
ਦੁਬਾਰਾ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 143 ਹੈ। ਸੰਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭੋ।
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਕ ਸੰਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 195 ਹੈ। ਸੰਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭੋ।
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਜਿਸ ਸੰਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 168 ਹੈ। ਸੰਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭੋ।
ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਜਿਸ ਸੰਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 288 ਹੈ। ਸੰਪੂਰਨ ਅੰਕ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕਾਰਪੇਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 28 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ ਤਿੰਨ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਕਾਰਪੇਟ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਰਿਟੇਨਿੰਗ ਕੰਧ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 15 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਕੰਧ ਦੀ ਉਚਾਈ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲੋਂ ਦੋ ਫੁੱਟ ਘੱਟ ਹੈ। ਕੰਧ ਦੀ ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਬੁਲੇਟਿਨ ਬੋਰਡ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 55 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਲੰਬਾਈ ਚੌੜਾਈ ਦੇ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾਂ ਨਾਲੋਂ ਚਾਰ ਫੁੱਟ ਘੱਟ ਹੈ। ਬੁਲੇਟਿਨ ਬੋਰਡ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਕਾਰਪੋਰਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 150 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਹੈ। ਕਾਰਪੋਰਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਦੋ ਗੁਣਾਂ ਨਾਲੋਂ ਪੰਜ ਫੁੱਟ ਘੱਟ ਹੈ। ਕਾਰਪੋਰਟ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਪੈਨੰਟ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਕਾਰਨ 10 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪੈਨੰਟ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦੂਜੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲੋਂ ਦੋ ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਪੈਨੰਟ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਸਟੇਂਡ ਗਲਾਸ ਵਿੰਡੋ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਹੈ। ਕਾਰਨ 15 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਇੱਕ ਲੱਤ ਦੂਜੀ ਨਾਲੋਂ ਤਿੰਨ ਵੱਧ ਹੈ। ਲੱਤਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਪੂਲ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਇੱਕ ਲੱਤ ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਕੰਧ ਦੇ ਨਾਲ ਹੈ। ਕਾਰਨ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਨਾਲੋਂ 9 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾ ਹੈ। ਤੀਜੀ ਭੁਜਾ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਨਾਲੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਲੰਬੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਪੂਲ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨੋਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਬੱਕਰੀ ਦਾ ਘੇਰਾ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਘੇਰੇ ਦੀ ਇੱਕ ਲੱਤ ਬਾਰਨ ਦੀ ਕੰਧ ਦੇ ਨਾਲ ਬਣਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਲੱਤ ਬਾਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਲੱਤ ਨਾਲੋਂ 4 ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਕਾਰਨ ਬਾਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਲੱਤ ਨਾਲੋਂ 8 ਫੁੱਟ ਵੱਧ ਹੈ। ਬੱਕਰੀ ਦੇ ਘੇਰੇ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨੋਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਲੱਭੋ।
ਜੂਲੀ ਆਪਣੇ ਪਿਛਲੇ ਵਿਹੜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਰਾਕੇਟ ਲਾਂਚ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ ਰਾਕੇਟ ਲਾਂਚ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ h(t)=−16t2+32th(t)=−16t2+32t ਸਮੇਂ, t ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਰਾਕੇਟ ਦੀ ਉਚਾਈ, h, ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਲੱਭੋ:
ⓐ ਇਸ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫਰ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਰਾਕੇਟ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਕਦੋਂ ਹੋਵੇਗਾ। ⓑ ਉਹ ਸਮਾਂ ਜਦੋਂ ਰਾਕੇਟ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 16 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇਗਾ।
ਗਿਆਨਾ ਆਪਣੇ ਮਿਡਲ ਸਕੂਲ ਦੀ ਸਿਖਰਲੀ ਮੰਜ਼ਿਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਸੁੱਟਣ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਉਹ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 48 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰੋਂ ਗੇਂਦ ਸੁੱਟਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ h(t)=−16t2+32t+48h(t)=−16t2+32t+48 ਸਮੇਂ, t ਦੇ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ, h, ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਲੱਭੋ:
੧. ⓐ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਜੋ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਕਿ ਗੇਂਦ ਕਦੋਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗੇਗੀ। ⓑ ਉਹ ਸਮਾਂ/ਸਮੇਂ ਜਦੋਂ ਗੇਂਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 48 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੋਵੇਗੀ। ⓒ t=1 ਸਕਿੰਟ 'ਤੇ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ, ਜੋ ਕਿ ਉਹ ਸਮਾਂ ਹੈ ਜਦੋਂ ਗੇਂਦ ਆਪਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗੀ।
੨. ਲਿਖਣ ਅਭਿਆਸ
੩. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਕਿੰਨੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹੋ?
੪. ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ GCF ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾ ਹੋਵੇ।
੫. ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
੬. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
੭. ⓑ ਕੁੱਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਚੈਕਲਿਸਟ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਲੱਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਿਆਰ ਹੋ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?