ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਤੱਕ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਵੋਗੇ:
ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ
ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ
ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਭਾਗ ਕਰੋ
ਤਰਕਹੀਣ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰੋ
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.1
ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇਹ ਤਿਆਰੀ ਕਵਿਜ਼ ਲਓ।
ਸਰਲ ਕਰੋ: 90y15y2.90y15y2. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 5.13 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.2
ਗੁਣਾ ਕਰੋ: 1415·635.1415·635. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.25 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਤਿਆਰ ਰਹੋ 7.3
ਭਾਗ ਕਰੋ: 1210÷825.1210÷825. ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਗੁਆ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਦਾਹਰਨ 1.26 ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਤਰਕਹੀਣ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ, ਜੋ ਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਭਿੰਨਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ
ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ pq,pq, ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ p ਅਤੇ q ਬਹੁਪਦ ਹਨ ਅਤੇ q≠0.q≠0.
ਇੱਥੇ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ:
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਉੱਪਰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਪਹਿਲਾ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ, −2456−2456, ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਸਿਫ਼ਰ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲਾ ਬਹੁਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਦੋ ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਹਰ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਅਸੀਂ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਉਹੀ ਕਾਰਜ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਅਸੀਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤੇ ਸਨ। ਅਸੀਂ ਸਰਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ, ਜੋੜਾਂਗੇ, ਘਟਾਵਾਂਗੇ, ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ, ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਾਂਗੇ।
ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ
ਜੇਕਰ ਹਰ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ 0 ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ—ਪਰ ਹਰ ਨਹੀਂ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਭਿੰਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਚਣਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਨਹੀਂ ਦੇਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਣਗੇ।
ਇਸ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਕੋਈ ਵੀ ਕਾਰਜ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਜਾਂਚਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕੀਏ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਣਗੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋਵਾਂਗੇ ਕਿ ਅਸੀਂ ਜੋ ਵੀ ਬੀਜਗਣਿਤ ਹੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
How To
Determine the values for which a rational expression is undefined.
Step 1. Set the denominator equal to zero.
Step 2. Solve the equation.
Example 7.1
Determine the value for which each rational expression is undefined:
ⓐ 8a2b3c8a2b3c ⓑ 4b−32b+54b−32b+5 ⓒ x+4x2+5x+6.x+4x2+5x+6.
Solution
The expression will be undefined when the denominator is zero.
ⓐ
row: 8a2b3c8a2b3c
row: Set the denominator equal to zero and solvefor the variable. | 3c=03c=0
row: c=0c=0
row: 8a2b3cis undefined forc=0.8a2b3cis undefined forc=0.
ⓑ
row: 4b−32b+54b−32b+5
row: Set the denominator equal to zero and solvefor the variable. | 2b+5=02b=−5b=−522b+5=02b=−5b=−52
row: 4b−32b+5is undefined forb=−52.4b−32b+5is undefined forb=−52.
ⓒ
row: x+4x2+5x+6x+4x2+5x+6
row: Set the denominator equal to zero and solvefor the variable. | x2+5x+6=0(x+2)(x+3)=0x+2=0orx+3=0x=−2orx=−3x2+5x+6=0(x+2)(x+3)=0x+2=0orx+3=0x=−2orx=−3
row: x+4x2+5x+6is undefined forx=−2orx=−3.x+4x2+5x+6is undefined forx=−2orx=−3.
Try It 7.1
Determine the value for which each rational expression is undefined.
ⓐ 3y28x3y28x ⓑ 8n−53n+18n−53n+1 ⓒ a+10a2+4a+3a+10a2+4a+3
Try It 7.2
Determine the value for which each rational expression is undefined.
ⓐ 4p5q4p5q ⓑ y−13y+2y−13y+2 ⓒ m−5m2+m−6m−5m2+m−6
Simplify Rational Expressions
A fraction is considered simplified if there are no common factors, other than 1, in its numerator and denominator. Similarly, a simplified rational expression has no common factors, other than 1, in its numerator and denominator.
Simplified Rational Expression
A rational expression is considered simplified if there are no common factors in its numerator and denominator.
For example,
We use the Equivalent Fractions Property to simplify numerical fractions. We restate it here as we will also use it to simplify rational expressions.
Equivalent Fractions Property
If a, b, and c are numbers where b≠0,c≠0,b≠0,c≠0,
Notice that in the Equivalent Fractions Property, the values that would make the denominators zero are specifically disallowed. We see b≠0,c≠0b≠0,c≠0 clearly stated.
To simplify rational expressions, we first write the numerator and denominator in factored form. Then we remove the common factors using the Equivalent Fractions Property.
Be very careful as you remove common factors. Factors are multiplied to make a product. You can remove a factor from a product. You cannot remove a term from a sum.
Removing the x’s from x+5xx+5x would be like cancelling the 2’s in the fraction 2+52!2+52!
Example 7.2
How to Simplify a Rational Expression
Simplify: x2+5x+6x2+8x+12x2+5x+6x2+8x+12.
Solution
Try It 7.3
Simplify: x2−x−2x2−3x+2.x2−x−2x2−3x+2.
Try It 7.4
Simplify: x2−3x−10x2+x−2.x2−3x−10x2+x−2.
We now summarize the steps you should follow to simplify rational expressions.
How To
Simplify a rational expression.
Step 1. Factor the numerator and denominator completely.
Step 2. Simplify by dividing out common factors.
Usually, we leave the simplified rational expression in factored form. This way, it is easy to check that we have removed all the common factors.
We’ll use the methods we have learned to factor the polynomials in the numerators and denominators in the following examples.
Every time we write a rational expression, we should make a statement disallowing values that would make a denominator zero. However, to let us focus on the work at hand, we will omit writing it in the examples.
Example 7.3
Simplify: 3a2−12ab+12b26a2−24b23a2−12ab+12b26a2−24b2.
Solution
row: 3a2−12ab+12b26a2−24b23a2−12ab+12b26a2−24b2
row: Factor the numerator and denominator,first factoring out the GCF. | 3(a2−4ab+4b2)6(a2−4b2)3(a2−4ab+4b2)6(a2−4b2)
row: 3(a−2b)(a−2b)6(a+2b)(a−2b)3(a−2b)(a−2b)6(a+2b)(a−2b)
row: Remove the common factors of a−2band3.a−2band3. | 3(a−2b)(a−2b)3·2(a+2b)(a−2b)3(a−2b)(a−2b)3·2(a+2b)(a−2b)
row: a−2b2(a+2b)a−2b2(a+2b)
Try It 7.5
Simplify: 2x2−12xy+18y23x2−27y22x2−12xy+18y23x2−27y2.
Try It 7.6
Simplify: 5x2−30xy+25y22x2−50y25x2−30xy+25y22x2−50y2.
Now we will see how to simplify a rational expression whose numerator and denominator have opposite factors. We previously introduced opposite notation: the opposite of a is −a−a and −a=−1·a.−a=−1·a.
The numerical fraction, say 7−77−7 simplifies to −1−1. We also recognize that the numerator and denominator are opposites.
The fraction a−aa−a, whose numerator and denominator are opposites also simplifies to −1−1.
This tells us that b−ab−a is the opposite of a−b.a−b.
In general, we could write the opposite of a−ba−b as b−a.b−a. So the rational expression a−bb−aa−bb−a simplifies to −1.−1.
Opposites in a Rational Expression
The opposite of a−ba−b is b−a.b−a.
An expression and its opposite divide to −1.−1.
We will use this property to simplify rational expressions that contain opposites in their numerators and denominators. Be careful not to treat a+ba+b and b+ab+a as opposites. Recall that in addition, order doesn’t matter so a+b=b+aa+b=b+a. So if a≠−ba≠−b, then a+bb+a=1.a+bb+a=1.
Example 7.4
Simplify: x2−4x−3264−x2.x2−4x−3264−x2.
Solution
row: Factor the numerator and the denominator.
row: Recognize the factors that are opposites.
row: Simplify.
Try It 7.7
Simplify: x2−4x−525−x2.x2−4x−525−x2.
Try It 7.8
Simplify: x2+x−21−x2.x2+x−21−x2.
Multiply Rational Expressions
To multiply rational expressions, we do just what we did with numerical fractions. We multiply the numerators and multiply the denominators. Then, if there are any common factors, we remove them to simplify the result.
Multiplication of Rational Expressions
If p, q, r, and s are polynomials where q≠0,s≠0,q≠0,s≠0, then
To multiply rational expressions, multiply the numerators and multiply the denominators.
Remember, throughout this chapter, we will assume that all numerical values that would make the denominator be zero are excluded. We will not write the restrictions for each rational expression, but keep in mind that the denominator can never be zero. So in this next example, x≠0,x≠0,x≠3,x≠3, and x≠4.x≠4.
Example 7.5
How to Multiply Rational Expressions
Simplify: 2xx2−7x+12·x2−96x2.2xx2−7x+12·x2−96x2.
Solution
Try It 7.9
Simplify: 5xx2+5x+6·x2−410x.5xx2+5x+6·x2−410x.
Try It 7.10
Simplify: 9x2x2+11x+30·x2−363x2.9x2x2+11x+30·x2−363x2.
How To
Multiply rational expressions.
Step 1. Factor each numerator and denominator completely.
Step 2. Multiply the numerators and denominators.
Step 3. Simplify by dividing out common factors.
Example 7.6
Multiply: 3a2−8a−3a2−25·a2+10a+253a2−14a−5.3a2−8a−3a2−25·a2+10a+253a2−14a−5.
Solution
row: 3a2−8a−3a2−25·a2+10a+253a2−14a−53a2−8a−3a2−25·a2+10a+253a2−14a−5
row: Factor the numerators and denominatorsand then multiply. | (3a+1)(a−3)(a+5)(a+5)(a−5)(a+5)(3a+1)(a−5)(3a+1)(a−3)(a+5)(a+5)(a−5)(a+5)(3a+1)(a−5)
row: Simplify by dividing outcommon factors. | (3a+1)(a−3)(a+5)(a+5)(a−5)(a+5)(3a+1)(a−5)(3a+1)(a−3)(a+5)(a+5)(a−5)(a+5)(3a+1)(a−5)
row: Simplify. | (a−3)(a+5)(a−5)(a−5)(a−3)(a+5)(a−5)(a−5)
row: Rewrite (a−5)(a−5)(a−5)(a−5) using an exponent. | (a−3)(a+5)(a−5)2(a−3)(a+5)(a−5)2
Try It 7.11
Simplify: 2x2+5x−12x2−16·x2−8x+162x2−13x+15.2x2+5x−12x2−16·x2−8x+162x2−13x+15.
Try It 7.12
Simplify: 4b2+7b−21−b2·b2−2b+14b2+15b−4.4b2+7b−21−b2·b2−2b+14b2+15b−4.
Divide Rational Expressions
Just like we did for numerical fractions, to divide rational expressions, we multiply the first fraction by the reciprocal of the second.
Division of Rational Expressions
If p, q, r, and s are polynomials where q≠0,r≠0,s≠0,q≠0,r≠0,s≠0, then
To divide rational expressions, multiply the first fraction by the reciprocal of the second.
Once we rewrite the division as multiplication of the first expression by the reciprocal of the second, we then factor everything and look for common factors.
Example 7.7
How to Divide Rational Expressions
Divide: p3+q32p2+2pq+2q2÷p2−q26.p3+q32p2+2pq+2q2÷p2−q26.
Solution
Try It 7.13
Simplify: x3+83x2−6x+12÷x2−46.x3+83x2−6x+12÷x2−46.
Try It 7.14
Simplify: 2z2z2−1÷z3−z2+zz3+1.2z2z2−1÷z3−z2+zz3+1.
How To
Divide rational expressions.
Step 1. Rewrite the division as the product of the first rational expression and the reciprocal of the second.
Step 2. Factor the numerators and denominators completely.
Step 3. Multiply the numerators and denominators together.
Step 4. Simplify by dividing out common factors.
Recall from Use the Language of Algebra that a complex fraction is a fraction that contains a fraction in the numerator, the denominator or both. Also, remember a fraction bar means division. A complex fraction is another way of writing division of two fractions.
Example 7.8
Divide: 6x2−7x+24x−82x2−7x+3x2−5x+6.6x2−7x+24x−82x2−7x+3x2−5x+6.
Solution
row: 6x2−7x+24x−82x2−7x+3x2−5x+66x2−7x+24x−82x2−7x+3x2−5x+6
row: Rewrite with a division sign. | 6x2−7x+24x−8÷2x2−7x+3x2−5x+66x2−7x+24x−8÷2x2−7x+3x2−5x+6
row: Rewrite as product of first times reciprocalof second. | 6x2−7x+24x−8·x2−5x+62x2−7x+36x2−7x+24x−8·x2−5x+62x2−7x+3
row: Factor the numerators and thedenominators, and then multiply. | (2x−1)(3x−2)(x−2)(x−3)4(x−2)(2x−1)(x−3)(2x−1)(3x−2)(x−2)(x−3)4(x−2)(2x−1)(x−3)
row: Simplify by dividing out common factors. | (2x−1)(3x−2)(x−2)(x−3)4(x−2)(2x−1)(x−3)(2x−1)(3x−2)(x−2)(x−3)4(x−2)(2x−1)(x−3)
row: Simplify. | 3x−243x−24
Try It 7.15
Simplify: 3x2+7x+24x+243x2−14x−5x2+x−30.3x2+7x+24x+243x2−14x−5x2+x−30.
Try It 7.16
Simplify: y2−362y2+11y−62y2−2y−608y−4.y2−362y2+11y−62y2−2y−608y−4.
If we have more than two rational expressions to work with, we still follow the same procedure. The first step will be to rewrite any division as multiplication by the reciprocal. Then, we factor and multiply.
Example 7.9
Perform the indicated operations: 3x−64x−4·x2+2x−3x2−3x−10÷2x+128x+16.3x−64x−4·x2+2x−3x2−3x−10÷2x+128x+16.
Solution
row: Rewrite the division as multiplicationby the reciprocal.
row: Factor the numerators and the denominators.
row: Multiply the fractions. Bringing the constants tothe front will help when removing common factors.
row: Simplify by dividing out common factors.
row: Simplify.
Try It 7.17
Perform the indicated operations: 4m+43m−15·m2−3m−10m2−4m−32÷12m−366m−48.4m+43m−15·m2−3m−10m2−4m−32÷12m−366m−48.
Try It 7.18
Perform the indicated operations: 2n2+10nn−1÷n2+10n+24n2+8n−9·n+48n2+12n.2n2+10nn−1÷n2+10n+24n2+8n−9·n+48n2+12n.
Multiply and Divide Rational Functions
We started this section stating that a rational expression is an expression of the form pq,pq, where p and q are polynomials and q≠0.q≠0. Similarly, we define a rational function as a function of the form R(x)=p(x)q(x)R(x)=p(x)q(x) where p(x)p(x) and q(x)q(x) are polynomial functions and q(x)q(x) is not zero.
Rational Function
ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ (rational function) ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ
ਜਿੱਥੇ p(x)p(x) ਅਤੇ q(x)q(x) ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ (polynomial functions) ਹਨ ਅਤੇ q(x)q(x) ਸਿਫ਼ਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਿਵਾਏ ਉਨ੍ਹਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਜੋ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣਨ। ਸਾਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੋ q(x)=0 ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਹਰ (denominator) ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ।
ਕਦਮ 2. ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 3. ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕਦਮ 2 ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.10
R(x)=2x2−14x4x2−16x−48.R(x)=2x2−14x4x2−16x−48. ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਵੇਗਾ, ਸਿਵਾਏ ਉਨ੍ਹਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਾਂਗੇ, ਉਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਰੱਖਾਂਗੇ।
ਸਤਰ: ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। | 4x2−16x−48=04x2−16x−48=0
ਸਤਰ: ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ, ਪਹਿਲਾਂ GCF (ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ) ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ। | 4(x2−4x−12)=04(x2−4x−12)=0
4(x−6)(x+2)=04(x−6)(x+2)=0
ਸਤਰ: ਜ਼ੀਰੋ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ (Zero Product Property) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। | 4≠0x−6=0x+2=04≠0x−6=0x+2=0
ਸਤਰ: ਹੱਲ ਕਰੋ। | x=6x=−2x=6x=−2
ਸਤਰ: R(x)R(x) ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ x≠6x≠6 ਅਤੇ x≠−2.x≠−2.
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.19
R(x)=2x2−10x4x2−16x−20.R(x)=2x2−10x4x2−16x−20. ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ 7.20
R(x)=4x2−16x8x2−16x−64.R(x)=4x2−16x8x2−16x−64. ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਵਿਅੰਜਨਾਂ (rational expressions) ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਸਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 7.11
Find R(x)=f(x)·g(x)R(x)=f(x)·g(x) where f(x)=2x−6x2−8x+15f(x)=2x−6x2−8x+15 and g(x)=x2−252x+10.g(x)=x2−252x+10.
Solution
row: R(x)=f(x)·g(x)R(x)=f(x)·g(x)
row: R(x)=2x−6x2−8x+15·x2−252x+10R(x)=2x−6x2−8x+15·x2−252x+10
row: Factor each numerator and denominator. | R(x)=2(x−3)(x−3)(x−5)·(x−5)(x+5)2(x+5)R(x)=2(x−3)(x−3)(x−5)·(x−5)(x+5)2(x+5)
row: Multiply the numerators and denominators. | R(x)=2(x−3)(x−5)(x+5)2(x−3)(x−5)(x+5)R(x)=2(x−3)(x−5)(x+5)2(x−3)(x−5)(x+5)
row: Remove common factors. | R(x)=2(x−3)(x−5)(x+5)2(x−3)(x−5)(x+5)R(x)=2(x−3)(x−5)(x+5)2(x−3)(x−5)(x+5)
row: Simplify. | R(x)=1R(x)=1
Try It 7.21
Find R(x)=f(x)·g(x)R(x)=f(x)·g(x) where f(x)=3x−21x2−9x+14f(x)=3x−21x2−9x+14 and g(x)=2x2−83x+6.g(x)=2x2−83x+6.
Try It 7.22
Find R(x)=f(x)·g(x)R(x)=f(x)·g(x) where f(x)=x2−x3x2+27x−30f(x)=x2−x3x2+27x−30 and g(x)=x2−100x2−10x.g(x)=x2−100x2−10x.
To divide rational functions, we divide the resulting rational expressions on the right side of the equation using the same techniques we used to divide rational expressions.
Example 7.12
Find R(x)=f(x)g(x)R(x)=f(x)g(x) where f(x)=3x2x2−4xf(x)=3x2x2−4x and g(x)=9x2−45xx2−7x+10.g(x)=9x2−45xx2−7x+10.
Solution
row: R(x)=f(x)g(x)R(x)=f(x)g(x)
row: Substitute in the functions f(x),g(x).f(x),g(x). | R(x)=3x2x2−4x9x2−45xx2−7x+10R(x)=3x2x2−4x9x2−45xx2−7x+10
row: Rewrite the division as the product off(x)f(x) and the reciprocal of g(x).g(x). | R(x)=3x2x2−4x·x2−7x+109x2−45xR(x)=3x2x2−4x·x2−7x+109x2−45x
row: Factor the numerators and denominatorsand then multiply. | R(x)=3·x·x·(x−5)(x−2)x(x−4)·3·3·x·(x−5)R(x)=3·x·x·(x−5)(x−2)x(x−4)·3·3·x·(x−5)
row: Simplify by dividing out common factors. | R(x)=3·x·x(x−5)(x−2)x(x−4)·3·3·x(x−5)R(x)=3·x·x(x−5)(x−2)x(x−4)·3·3·x(x−5)
row: R(x)=x−23(x−4)R(x)=x−23(x−4)
Try It 7.23
Find R(x)=f(x)g(x)R(x)=f(x)g(x) where f(x)=2x2x2−8xf(x)=2x2x2−8x and g(x)=8x2+24xx2+x−6.g(x)=8x2+24xx2+x−6.
Try It 7.24
Find R(x)=f(x)g(x)R(x)=f(x)g(x) where f(x)=15x23x2+33xf(x)=15x23x2+33x and g(x)=5x−5x2+9x−22.g(x)=5x−5x2+9x−22.
Practice Makes Perfect
Determine the Values for Which a Rational Expression is Undefined
In the following exercises, determine the values for which the rational expression is undefined.
ⓐ 2x2z2x2z, ⓑ 4p−16p−54p−16p−5, ⓒ n−3n2+2n−8n−3n2+2n−8
ⓐ 10m11n10m11n, ⓑ 6y+134y−96y+134y−9, ⓒ b−8b2−36b−8b2−36
ⓐ 4x2y3y4x2y3y, ⓑ 3x−22x+13x−22x+1, ⓒ u−1u2−3u−28u−1u2−3u−28
ⓐ 5pq29q5pq29q, ⓑ 7a−43a+57a−43a+5, ⓒ 1x2−41x2−4
Simplify Rational Expressions
In the following exercises, simplify each rational expression.
− 44 55 − 44 55
56 63 56 63
8 m 3 n 12 m n 2 8 m 3 n 12 m n 2
36 v 3 w 2 27 v w 3 36 v 3 w 2 27 v w 3
8 n − 96 3 n − 36 8 n − 96 3 n − 36
12 p − 240 5 p − 100 12 p − 240 5 p − 100
x 2 + 4 x − 5 x 2 − 2 x + 1 x 2 + 4 x − 5 x 2 − 2 x + 1
y 2 + 3 y − 4 y 2 − 6 y + 5 y 2 + 3 y − 4 y 2 − 6 y + 5
a 2 − 4 a 2 + 6 a − 16 a 2 − 4 a 2 + 6 a − 16
y 2 − 2 y − 3 y 2 − 9 y 2 − 2 y − 3 y 2 − 9
p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p − 6 p 3 + 3 p 2 + 4 p + 12 p 2 + p − 6
x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25 x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25
8 b 2 − 32 b 2 b 2 − 6 b − 80 8 b 2 − 32 b 2 b 2 − 6 b − 80
−5 c 2 − 10 c −10 c 2 + 30 c + 100 −5 c 2 − 10 c −10 c 2 + 30 c + 100
3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2 − 100 n 2 3 m 2 + 30 m n + 75 n 2 4 m 2 − 100 n 2
5 r 2 + 30 r s − 35 s 2 r 2 − 49 s 2 5 r 2 + 30 r s − 35 s 2 r 2 − 49 s 2
a − 5 5 − a a − 5 5 − a
5 − d d − 5 5 − d d − 5
20 − 5 y y 2 − 16 20 − 5 y y 2 − 16
4 v − 32 64 − v 2 4 v − 32 64 − v 2
w 3 + 216 w 2 − 36 w 3 + 216 w 2 − 36
v 3 + 125 v 2 − 25 v 3 + 125 v 2 − 25
z 2 − 9 z + 20 16 − z 2 z 2 − 9 z + 20 16 − z 2
a 2 − 5 a − 36 81 − a 2 a 2 − 5 a − 36 81 − a 2
Multiply Rational Expressions
In the following exercises, multiply the rational expressions.
12 16 · 4 10 12 16 · 4 10
32 5 · 16 24 32 5 · 16 24
5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2 5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2
12 a 3 b b 2 · 2 a b 2 9 b 3 12 a 3 b b 2 · 2 a b 2 9 b 3
5 p 2 p 2 − 5 p − 36 · p 2 − 16 10 p 5 p 2 p 2 − 5 p − 36 · p 2 − 16 10 p
3 q 2 q 2 + q − 6 · q 2 − 9 9 q 3 q 2 q 2 + q − 6 · q 2 − 9 9 q
2 y 2 − 10 y y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y 2 y 2 − 10 y y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y
z 2 + 3 z z 2 − 3 z − 4 · z − 4 z 2 z 2 + 3 z z 2 − 3 z − 4 · z − 4 z 2
28 − 4 b 3 b − 3 · b 2 + 8 b − 9 b 2 − 49 28 − 4 b 3 b − 3 · b 2 + 8 b − 9 b 2 − 49
72 m − 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2 − 36 72 m − 12 m 2 8 m + 32 · m 2 + 10 m + 24 m 2 − 36
3 c 2 − 16 c + 5 c 2 − 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 − 14 c − 5 3 c 2 − 16 c + 5 c 2 − 25 · c 2 + 10 c + 25 3 c 2 − 14 c − 5
2 d 2 + d − 3 d 2 − 16 · d 2 − 8 d + 16 2 d 2 − 9 d − 18 2 d 2 + d − 3 d 2 − 16 · d 2 − 8 d + 16 2 d 2 − 9 d − 18
6 m 2 − 13 m + 2 9 − m 2 · m 2 − 6 m + 9 6 m 2 + 23 m − 4 6 m 2 − 13 m + 2 9 − m 2 · m 2 − 6 m + 9 6 m 2 + 23 m − 4
2 n 2 − 3 n − 14 25 − n 2 · n 2 − 10 n + 25 2 n 2 − 13 n + 21 2 n 2 − 3 n − 14 25 − n 2 · n 2 − 10 n + 25 2 n 2 − 13 n + 21
Divide Rational Expressions
In the following exercises, divide the rational expressions.
v − 5 11 − v ÷ v 2 − 25 v − 11 v − 5 11 − v ÷ v 2 − 25 v − 11
10 + w w − 8 ÷ 100 − w 2 8 − w 10 + w w − 8 ÷ 100 − w 2 8 − w
3 s 2 s 2 − 16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3 − 64 3 s 2 s 2 − 16 ÷ s 3 + 4 s 2 + 16 s s 3 − 64
r 2 − 9 15 ÷ r 3 − 27 5 r 2 + 15 r + 45 r 2 − 9 15 ÷ r 3 − 27 5 r 2 + 15 r + 45
p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 − q 2 12 p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 − q 2 12
v 3 − 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 − 4 w 2 4 v 3 − 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 − 4 w 2 4
x 2 + 3 x − 10 4 x ÷ ( 2 x 2 + 20 x + 50 ) x 2 + 3 x − 10 4 x ÷ ( 2 x 2 + 20 x + 50 )
2 y 2 − 10 y z − 48 z 2 2 y − 1 ÷ ( 4 y 2 − 32 y z ) 2 y 2 − 10 y z − 48 z 2 2 y − 1 ÷ ( 4 y 2 − 32 y z )
2 a 2 − a − 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16 2 a 2 − a − 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16
3 b 2 + 2 b − 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b − 8 2 b 2 − 7 b − 15 3 b 2 + 2 b − 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b − 8 2 b 2 − 7 b − 15
12 c 2 − 12 2 c 2 − 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 − 13 c + 5 12 c 2 − 12 2 c 2 − 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 − 13 c + 5
4 d 2 + 7 d − 2 35 d + 10 d 2 − 4 7 d 2 − 12 d − 4 4 d 2 + 7 d − 2 35 d + 10 d 2 − 4 7 d 2 − 12 d − 4
For the following exercises, perform the indicated operations.
10 m 2 + 80 m 3 m − 9 · m 2 + 4 m − 21 m 2 − 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m − 10 10 m 2 + 80 m 3 m − 9 · m 2 + 4 m − 21 m 2 − 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m − 10
4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 − n − 2 n 2 + n − 30 ÷ 108 n 2 − 24 n n + 6 4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 − n − 2 n 2 + n − 30 ÷ 108 n 2 − 24 n n + 6
12 p 2 + 3 p p + 3 ÷ p 2 + 2 p − 63 p 2 − p − 12 · p − 7 9 p 3 − 9 p 2 12 p 2 + 3 p p + 3 ÷ p 2 + 2 p − 63 p 2 − p − 12 · p − 7 9 p 3 − 9 p 2
6 q + 3 9 q 2 − 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q − 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6 6 q + 3 9 q 2 − 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q − 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6
Multiply and Divide Rational Functions
In the following exercises, find the domain of each function.
R ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25 R ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25
R ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 x 2 − 4 R ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 x 2 − 4
R ( x ) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x − 36 R ( x ) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x − 36
R ( x ) = 8 x 2 − 32 x 2 x 2 − 6 x − 80 R ( x ) = 8 x 2 − 32 x 2 x 2 − 6 x − 80
For the following exercises, find R(x)=f(x)·g(x)R(x)=f(x)·g(x) where f(x)f(x) and g(x)g(x) are given.
f ( x ) = 6 x 2 − 12 x x 2 + 7 x − 18 f ( x ) = 6 x 2 − 12 x x 2 + 7 x − 18 g ( x ) = x 2 − 81 3 x 2 − 27 x g ( x ) = x 2 − 81 3 x 2 − 27 x
f ( x ) = x 2 − 2 x x 2 + 6 x − 16 f ( x ) = x 2 − 2 x x 2 + 6 x − 16 g ( x ) = x 2 − 64 x 2 − 8 x g ( x ) = x 2 − 64 x 2 − 8 x
f ( x ) = 4 x x 2 − 3 x − 10 f ( x ) = 4 x x 2 − 3 x − 10 g ( x ) = x 2 − 25 8 x 2 g ( x ) = x 2 − 25 8 x 2
f ( x ) = 2 x 2 + 8 x x 2 − 9 x + 20 f ( x ) = 2 x 2 + 8 x x 2 − 9 x + 20 g ( x ) = x − 5 x 2 g ( x ) = x − 5 x 2
For the following exercises, find R(x)=f(x)g(x)R(x)=f(x)g(x) where f(x)f(x) and g(x)g(x) are given.
f ( x ) = 27 x 2 3 x − 21 f ( x ) = 27 x 2 3 x − 21 g ( x ) = 3 x 2 + 18 x x 2 + 13 x + 42 g ( x ) = 3 x 2 + 18 x x 2 + 13 x + 42
f ( x ) = 24 x 2 2 x − 8 f ( x ) = 24 x 2 2 x − 8 g ( x ) = 4 x 3 + 28 x 2 x 2 + 11 x + 28 g ( x ) = 4 x 3 + 28 x 2 x 2 + 11 x + 28
f ( x ) = 16 x 2 4 x + 36 f ( x ) = 16 x 2 4 x + 36 g ( x ) = 4 x 2 − 24 x x 2 + 4 x − 45 g ( x ) = 4 x 2 − 24 x x 2 + 4 x − 45
f ( x ) = 24 x 2 2 x − 4 f ( x ) = 24 x 2 2 x − 4 g ( x ) = 12 x 2 + 36 x x 2 − 11 x + 18 g ( x ) = 12 x 2 + 36 x x 2 − 11 x + 18
Writing Exercises
Explain how you find the values of x for which the rational expression x2−x−20x2−4x2−x−20x2−4 is undefined.
Explain all the steps you take to simplify the rational expression p2+4p−219−p2.p2+4p−219−p2.
ⓐ Multiply 74·91074·910 and explain all your steps. ⓑ Multiply nn−3·9n+3nn−3·9n+3 and explain all your steps. ⓒ Evaluate your answer to part ⓑ when n=7n=7. Did you get the same answer you got in part ⓐ ? Why or why not?
1. ⓐ 245 ਨੂੰ 6245÷6 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਸਾਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ⓑ x²−1x ਨੂੰ (x+1) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਸਾਰੇ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ। ⓒ ਭਾਗ ⓑ ਦੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦਾ ਮੁੱਲ x=5 'ਤੇ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਹੀ ਜਵਾਬ ਮਿਲਿਆ ਜੋ ਤੁਹਾਨੂੰ ਭਾਗ ⓐ ਵਿੱਚ ਮਿਲਿਆ ਸੀ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
2. ਸਵੈ-ਪੜਤਾਲ
3. ⓐ ਅਭਿਆਸਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਆਪਣੀ ਮੁਹਾਰਤ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਚੈਕਲਿਸਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
4. ⓑ ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਚੈੱਕ ਸਨ:
5. …ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਨਾਲ। ਵਧਾਈਆਂ! ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਟੀਚੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਏ ਹਨ! ਤੁਸੀਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ, ਇਸ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕੋ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਦੀ ਆਪਣੀ ਯੋਗਤਾ ਬਾਰੇ ਆਤਮ-ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕੀਤਾ? ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਬਣੋ!
6. …ਕੁਝ ਮਦਦ ਨਾਲ। ਇਸ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਿਹੜੇ ਵਿਸ਼ੇ ਤੁਸੀਂ ਮਾਸਟਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਉਹ ਤੁਹਾਡੀ ਸਫਲਤਾ ਦੀ ਸੜਕ 'ਤੇ ਟੋਏ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਹੈ - ਹਰ ਵਿਸ਼ਾ ਪਿਛਲੇ ਕੰਮ 'ਤੇ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਨੀਂਹ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਮਦਦ ਲਈ ਕਿਸ ਨੂੰ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਥੀ ਹਾਣੀ ਅਤੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਚੰਗੇ ਸਰੋਤ ਹਨ। ਕੀ ਕੈਂਪਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਜਗ੍ਹਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤ ਟਿਊਟਰ ਉਪਲਬਧ ਹਨ? ਕੀ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਅਧਿਐਨ ਕੌਸ਼ਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
7. …ਨਹੀਂ - ਮੈਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝ ਨਹੀਂ ਆਉਂਦਾ! ਇਹ ਗੰਭੀਰ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਹਾਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਤੁਰੰਤ ਮਦਦ ਲੈਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਜਲਦੀ ਹੀ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੋ ਜਾਵੋਗੇ। ਆਪਣੀ ਸਥਿਤੀ 'ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿੰਨੀ ਜਲਦੀ ਹੋ ਸਕੇ ਆਪਣੇ ਇੰਸਟ੍ਰਕਟਰ ਨੂੰ ਮਿਲੋ। ਇਕੱਠੇ ਤੁਸੀਂ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮਦਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹੋ।