1. ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਅੰਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ, ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਔਸਤ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਹੋਰ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹਾਂ ਵਿੱਚ, ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਔਸਤ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਭਿੰਨਤਾ, ਜਾਂ ਫੈਲਾਅ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਮਾਪ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਮਾਪਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਆਪਣੀ ਔਸਤ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਦੂਰ ਹਨ।
2. ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ
3. ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨਤਾ ਦੀ ਕੁੱਲ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮਾਪ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ
4. ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਖਾਸ ਅੰਕੜਾ ਮੁੱਲ ਔਸਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ ਜਾਂ ਦੂਰ ਹੈ।
5. ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਭਿੰਨਤਾ ਦਾ ਮਾਪ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ
6. ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅੰਕੜੇ ਔਸਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਭਿੰਨਤਾ ਜਾਂ ਫੈਲਾਅ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਔਸਤ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਭਿੰਨਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
7. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A ਅਤੇ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B 'ਤੇ ਚੈੱਕਆਊਟ 'ਤੇ ਗਾਹਕਾਂ ਦੇ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਦੋਵਾਂ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟਾਂ 'ਤੇ ਔਸਤ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਦਾ ਸਮਾਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਹੈ। ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A 'ਤੇ, ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਦੋ ਮਿੰਟ ਹੈ; ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B 'ਤੇ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਦੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਚਾਰ ਮਿੰਟ ਹੈ।
8. ਕਿਉਂਕਿ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਉੱਚਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B 'ਤੇ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਦੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ। ਕੁੱਲ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ B 'ਤੇ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਦੇ ਸਮੇਂ ਔਸਤ ਤੋਂ ਵਧੇਰੇ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹਨ; ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A 'ਤੇ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਦੇ ਸਮੇਂ ਔਸਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਧੇਰੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹਨ।
9. ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਅੰਕੜਾ ਮੁੱਲ ਔਸਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ ਜਾਂ ਦੂਰ ਹੈ।
10. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਰੋਜ਼ਾ ਅਤੇ ਬਿੰਨ ਦੋਵੇਂ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A 'ਤੇ ਖਰੀਦਦਾਰੀ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਰੋਜ਼ਾ ਚੈੱਕਆਊਟ ਕਾਊਂਟਰ 'ਤੇ ਸੱਤ ਮਿੰਟ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਨ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ A 'ਤੇ, ਔਸਤ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਦਾ ਸਮਾਂ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਹੈ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਦੋ ਮਿੰਟ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਅੰਕੜਾ ਮੁੱਲ ਔਸਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ ਜਾਂ ਦੂਰ ਹੈ।
11. ਰੋਜ਼ਾ ਸੱਤ ਮਿੰਟ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ:
12. ਸੱਤ, ਪੰਜ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿੰਟ ਵੱਧ ਹੈ; ਦੋ ਮਿੰਟ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
13. ਰੋਜ਼ਾ ਦਾ ਸੱਤ ਮਿੰਟ ਦਾ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿੰਟ ਵੱਧ ਹੈ।
14. ਰੋਜ਼ਾ ਦਾ ਸੱਤ ਮਿੰਟ ਦਾ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਂ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਉੱਪਰ ਹੈ।
15. ਬਿੰਨ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
16. ਇੱਕ, ਪੰਜ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਂ ਚਾਰ ਮਿੰਟ ਘੱਟ ਹੈ; ਚਾਰ ਮਿੰਟ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
17. ਬਿੰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਦਾ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਂ ਚਾਰ ਮਿੰਟ ਘੱਟ ਹੈ।
18. ਬਿੰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਦਾ ਇੰਤਜ਼ਾਰ ਪੰਜ ਮਿੰਟ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਹੇਠਾਂ ਹੈ।
19. ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਦੂਰ ਇੱਕ ਅੰਕੜਾ ਮੁੱਲ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅੰਕੜਾ-ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੂਰ ਮੰਨੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਕਿਨਾਰੇ 'ਤੇ ਹੈ। ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਤੋਂ ਦੂਰ ਦੇ ਅੰਕੜਿਆਂ ਨੂੰ ਦੂਰ ਮੰਨਣਾ ਇੱਕ ਸਖ਼ਤ ਨਿਯਮ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਲਗਭਗ "ਅੰਗੂਠੇ ਦਾ ਨਿਯਮ" ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੇ ਵੰਡ ਦਾ ਆਕਾਰ ਇਸ ਗੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿੰਨੇ ਅੰਕੜੇ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਤੋਂ ਪਰੇ ਹਨ। (ਤੁਸੀਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਸਿੱਖੋਗੇ।)
20. ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਤੁਹਾਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੰਜ ਅਤੇ ਸੱਤ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਰੱਖੀਏ, ਤਾਂ ਸੱਤ ਪੰਜ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਫਿਰ, ਕਿ ਸੱਤ ਪੰਜ ਤੋਂ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 5 + (1)(2) = 7।
21. ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਅੰਕੜਾ-ਸਮੂਹ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਵੀ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਪੰਜ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਕਿਉਂਕਿ 5 + (–2)(2) = 1।
22. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਮੁੱਲ = ਔਸਤ + (#ਔਫSTDEV)(ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨ)
23. ਜਿੱਥੇ #ਔਫSTDEVs = ਮਿਆਰੀ ਵਿਵਲੰਬਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ
24. #ਔਫSTDEV ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ
One is two standard deviations less than the mean of five because: 1 = 5 + (–2)(2).
The equation value = mean + (#ofSTDEVs)(standard deviation) can be expressed for a sample and for a population.
sample: x = x ¯ + (#ofSTDEV)(s) x = x ¯ + (#ofSTDEV)(s)
Population: x=μ+(#ofSTDEV)(σ) x=μ+(#ofSTDEV)(σ)
The lower case letter s represents the sample standard deviation and the Greek letter σ (sigma, lower case) represents the population standard deviation. The symbol x¯x¯ is the sample mean and the Greek symbol μμ is the population mean.
Calculating the Standard Deviation
If x is a number, then the difference "x – mean" is called its deviation. In a data set, there are as many deviations as there are items in the data set. The deviations are used to calculate the standard deviation. If the numbers belong to a population, in symbols a deviation is x – μ. For sample data, in symbols a deviation is x – x ¯ x ¯.
The procedure to calculate the standard deviation depends on whether the numbers are the entire population or are data from a sample. The calculations are similar, but not identical. Therefore the symbol used to represent the standard deviation depends on whether it is calculated from a population or a sample. The lower case letter s represents the sample standard deviation and the Greek letter σ (sigma, lower case) represents the population standard deviation. If the sample has the same characteristics as the population, then s should be a good estimate of σ.
To calculate the standard deviation, we need to calculate the variance first. The variance is the average of the squares of the deviations (the x – x ¯ x ¯ values for a sample, or the x – μ values for a population). The symbol σ2 represents the population variance; the population standard deviation σ is the square root of the population variance. The symbol s2 represents the sample variance; the sample standard deviation s is the square root of the sample variance. You can think of the standard deviation as a special average of the deviations.
If the numbers come from a census of the entire population and not a sample, when we calculate the average of the squared deviations to find the variance, we divide by N, the number of items in the population. If the data are from a sample rather than a population, when we calculate the average of the squared deviations, we divide by n – 1, one less than the number of items in the sample.
Formulas for the Sample Standard Deviation
s= Σ (x − x ¯ ) 2 n−1 s= Σ (x − x ¯ ) 2 n−1 or s= Σf (x− x ¯ ) 2 n−1 s= Σf (x− x ¯ ) 2 n−1
For the sample standard deviation, the denominator is n - 1, that is the sample size MINUS 1.
Formulas for the Population Standard Deviation
σ = Σ (x−μ) 2 N σ = Σ (x−μ) 2 N or σ = Σf (x–μ) 2 N σ = Σf (x–μ) 2 N
For the population standard deviation, the denominator is N, the number of items in the population.
In these formulas, f represents the frequency with which a value appears. For example, if a value appears once, f is one. If a value appears three times in the data set or population, f is three.
Sampling Variability of a Statistic
The statistic of a sampling distribution was discussed in Descriptive Statistics: Measures of the Center of the Data. How much the statistic varies from one sample to another is known as the sampling variability of a statistic. You typically measure the sampling variability of a statistic by its standard error. The standard error of the mean is an example of a standard error. It is a special standard deviation and is known as the standard deviation of the sampling distribution of the mean. You will cover the standard error of the mean in the chapter The Central Limit Theorem (not now). The notation for the standard error of the mean is σ n σ n where σ is the standard deviation of the population and n is the size of the sample.
NOTE
In practice, USE A CALCULATOR OR COMPUTER SOFTWARE TO CALCULATE THE STANDARD DEVIATION. If you are using a TI-83, 83+, 84+ calculator, you need to select the appropriate standard deviation σx or sx from the summary statistics. We will concentrate on using and interpreting the information that the standard deviation gives us. However you should study the following step-by-step example to help you understand how the standard deviation measures variation from the mean. (The calculator instructions appear at the end of this example.)
Example 2.32
In a fifth grade class, the teacher was interested in the average age and the sample standard deviation of the ages of the students. The following data are the ages for a SAMPLE of n = 20 fifth grade students. The ages are rounded to the nearest half year:
9; 9.5; 9.5; 10; 10; 10; 10; 10.5; 10.5; 10.5; 10.5; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11.5; 11.5; 11.5;
The average age is 10.53 years, rounded to two places.
The variance may be calculated by using a table. Then the standard deviation is calculated by taking the square root of the variance. We will explain the parts of the table after calculating s.
row: Data | Freq. | Deviations | Deviations2 | (Freq.)(Deviations2)
row: x | f | (x – x ¯ x ¯) | (x – x ¯ x ¯)2 | (f)(x – x ¯ x ¯)2
row: 9 | 1 | 9 – 10.525 = –1.525 | (–1.525)2 = 2.325625 | 1 × 2.325625 = 2.325625
row: 9.5 | 2 | 9.5 – 10.525 = –1.025 | (–1.025)2 = 1.050625 | 2 × 1.050625 = 2.101250
row: 10 | 4 | 10 – 10.525 = –0.525 | (–0.525)2 = 0.275625 | 4 × 0.275625 = 1.1025
row: 10.5 | 4 | 10.5 – 10.525 = –0.025 | (–0.025)2 = 0.000625 | 4 × 0.000625 = 0.0025
row: 11 | 6 | 11 – 10.525 = 0.475 | (0.475)2 = 0.225625 | 6 × 0.225625 = 1.35375
row: 11.5 | 3 | 11.5 – 10.525 = 0.975 | (0.975)2 = 0.950625 | 3 × 0.950625 = 2.851875
row: The total is 9.7375
The sample variance, s2, is equal to the sum of the last column (9.7375) divided by the total number of data values minus one (20 – 1):
s 2 = 9.7375 20−1 =0.5125 s 2 = 9.7375 20−1 =0.5125
The sample standard deviation s is equal to the square root of the sample variance:
s= 0.5125 =0.715891, s= 0.5125 =0.715891, which is rounded to two decimal places, s = 0.72.
Typically, you do the calculation for the standard deviation on your calculator or computer. The intermediate results are not rounded. This is done for accuracy.
Problem
For the following problems, recall that value = mean + (#ofSTDEVs)(standard deviation). Verify the mean and standard deviation or a calculator or computer.
For a sample: x = x ¯ x ¯ + (#ofSTDEVs)(s)
For a population: x = μ + (#ofSTDEVs)(σ)
For this example, use x = x ¯ x ¯ + (#ofSTDEVs)(s) because the data is from a sample
Verify the mean and standard deviation on your calculator or computer.
Find the value that is one standard deviation above the mean. Find (x ¯ x ¯ + 1s).
Find the value that is two standard deviations below the mean. Find (x ¯ x ¯ – 2s).
Find the values that are 1.5 standard deviations from (below and above) the mean.
ਹੱਲ
TI-83, 83+, 84, 84+ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੂਚੀਆਂ L1 ਅਤੇ L2 ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ। STAT 4:ClrList ਦਬਾਓ। L1 ਲਈ 2nd 1, ਕਾਮਾ (,), ਅਤੇ L2 ਲਈ 2nd 2 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਸੂਚੀ ਸੰਪਾਦਕ ਵਿੱਚ ਡਾਟਾ ਦਰਜ ਕਰੋ। STAT 1:EDIT ਦਬਾਓ। ਜੇਕਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਨਾਮ ਵਿੱਚ ਐਰੋ ਕਰਕੇ ਸੂਚੀਆਂ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ। CLEAR ਦਬਾਓ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਐਰੋ ਕਰੋ। ਡਾਟਾ ਮੁੱਲਾਂ (9, 9.5, 10, 10.5, 11, 11.5) ਨੂੰ ਸੂਚੀ L1 ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ (1, 2, 4, 4, 6, 3) ਨੂੰ ਸੂਚੀ L2 ਵਿੱਚ ਪਾਓ। ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਜਾਣ ਲਈ ਐਰੋ ਕੁੰਜੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। STAT ਦਬਾਓ ਅਤੇ CALC ਵੱਲ ਐਰੋ ਕਰੋ। 1:1-VarStats ਦਬਾਓ ਅਤੇ L1 (2nd 1), L2 (2nd 2) ਦਰਜ ਕਰੋ। ਕਾਮਾ ਨਾ ਭੁੱਲੋ। ENTER ਦਬਾਓ। x̄ = 10.525 Sx ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਨਮੂਨਾ ਡਾਟਾ ਹੈ (ਆਬਾਦੀ ਨਹੀਂ): Sx=0.715891
(x̄ + 1s) = 10.53 + (1)(0.72) = 11.25
(x̄ – 2s) = 10.53 – (2)(0.72) = 9.09
(x̄ – 1.5s) = 10.53 – (1.5)(0.72) = 9.45 (x̄ + 1.5s) = 10.53 + (1.5)(0.72) = 11.61
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 2.32
ਬੇਸਬਾਲ ਟੀਮ 'ਤੇ, ਹਰ ਖਿਡਾਰੀ ਦੀ ਉਮਰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ:
21; 21; 22; 23; 24; 24; 25; 25; 28; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 35; 36; 36; 36; 36; 38; 38; 38; 40
ਮਾਧਿਅਕ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਲੱਭਣ ਲਈ ਆਪਣੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਉਹ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ ਜੋ ਮਾਧਿਅਕ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਉੱਪਰ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਗਣਨਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਵਿਚਲਨ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਡਾਟਾ ਮਾਧਿਅਕ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਕਿੰਨਾ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ 11.5 ਮਾਧਿਅਕ ਤੋਂ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ 11 ਨਾਲੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਦੂਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਵਿਚਲਨ 0.97 ਅਤੇ 0.47 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਚਲਨ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਅਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਚਲਨ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਅਕ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਨੌਂ ਲਈ ਵਿਚਲਨ –1.525 ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਵਿਚਲਨ ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਜੋੜ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਉਦਾਹਰਨ 2.32 ਲਈ, n = 20 ਵਿਚਲਨ ਹਨ।) ਇਸ ਲਈ ਤੁਸੀਂ ਡਾਟਾ ਦੇ ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਵਿਚਲਨ ਨਹੀਂ ਜੋੜ ਸਕਦੇ। ਵਿਚਲਨਾਂ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਕੇ, ਤੁਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਜੋੜ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ। ਫਿਰ, ਪ੍ਰਸਾਰ, ਔਸਤ ਵਰਗ ਵਿਚਲਨ ਹੈ।
ਪ੍ਰਸਾਰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮਾਪ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਡਾਟਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਇਕਾਈਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਵਰਗ ਮੂਲ ਲੈਣ ਨਾਲ ਸਮੱਸਿਆ ਹੱਲ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਡਾਟਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਇਕਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਫੈਲਾਅ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ n = 20 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਗਣਨਾ ਨੇ n – 1 = 20 – 1 = 19 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਕਿਉਂਕਿ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਪ੍ਰਸਾਰ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ ਘਟਾਓ ਇੱਕ (n – 1) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। n ਨਾਲ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਭਾਗ ਕਰਨਾ? ਜਵਾਬ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਸਾਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਪ੍ਰਸਾਰ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਸਾਰ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਗਣਨਾਵਾਂ ਦੇ ਪਿੱਛੇ ਸਥਿਤ ਸਿਧਾਂਤਕ ਗਣਿਤ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, (n – 1) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਨਾਲ ਆਬਾਦੀ ਪ੍ਰਸਾਰ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
NOTE
ਤੁਹਾਡੀ ਇਕਾਗਰਤਾ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਡਾਟਾ ਬਾਰੇ ਕੀ ਦੱਸਦਾ ਹੈ। ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਮਾਪਦੀ ਹੈ ਕਿ ਡਾਟਾ ਮਾਧਿਅਕ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਗਣਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ, s ਜਾਂ σ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਜਾਂ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਫੈਲਾਅ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਡਾਟਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨਾ "ਵਿਭਿੰਨਤਾ" ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਡਾਟਾ ਵਿੱਚ ਵਿਭਿੰਨਤਾ ਨਤੀਜੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੇ ਢੰਗ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮਾਪਣ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ ਬੇਤਰਤੀਬ ਨਮੂਨਾ ਲੈ ਕੇ। ਜਦੋਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਈ ਫੈਲਾਅ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ; ਭਾਵ, ਸਾਰੇ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਡਾਟਾ ਮਾਧਿਅਕ ਦੇ ਨੇੜੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਅਕ ਤੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਭਿੰਨਤਾ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਮਾਧਿਅਕ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਬਹੁਤ ਫੈਲੇ ਹੋਏ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਆਊਟਲਾਇਰ s ਜਾਂ σ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਜਦੋਂ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਅਸਪਸ਼ਟ ਲੱਗ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਪਣੇ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ, ਤੁਸੀਂ ਵਿਚਲਨਾਂ ਅਤੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਲਈ ਬਿਹਤਰ "ਮਹਿਸੂਸ" ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਤਾ ਲੱਗੇਗਾ ਕਿ ਸਮਮਿਤੀ ਵੰਡਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਬਹੁਤ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਪਰ ਤਿਰਛੀ ਵੰਡਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਬਹੁਤੀ ਮਦਦਗਾਰ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਤਿਰਛੀ ਵੰਡ ਦੇ ਦੋ ਪਾਸੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੈਲਾਅ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਤਿਰਛੀ ਵੰਡ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲੀ ਚਤੁਰਥਕ, ਮਾਧਿਕਾ, ਤੀਜੀ ਚਤੁਰਥਕ, ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ, ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਮੁੱਲ ਦੇਖਣਾ ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਉਲਝਣ ਵਾਲੀਆਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਆਪਣੇ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਡਾਟਾ ਨੂੰ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਜਾਂ ਬਾਕਸ ਪਲਾਟ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2.33
ਸਮੱਸਿਆ
ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਡੀਨ ਦੀ ਬਸੰਤ ਪ੍ਰੀ-ਕੈਲਕੂਲਸ ਕਲਾਸ ਤੋਂ (ਪਹਿਲੀ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਦੇ ਸਕੋਰ) ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100
ਡਾਟਾ, ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ, ਸਾਪੇਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ, ਅਤੇ ਸੰਚਤ ਸਾਪੇਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਚਾਰਟ ਬਣਾਓ।
TI-83+ ਜਾਂ TI-84 ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨ ਤੱਕ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਕ ਨਮੂਨਾ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਪ ਮਾਧਿਕਾ ਪਹਿਲੀ ਚਤੁਰਥਕ ਤੀਜੀ ਚਤੁਰਥਕ IQR
ਇੱਕੋ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਾਕਸ ਪਲਾਟ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਬਣਾਓ। ਬਾਕਸ ਪਲਾਟ, ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਅਤੇ ਚਾਰਟ ਬਾਰੇ ਟਿੱਪਣੀਆਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
2.31 ਤਬੀਲ ਵੇਖੋ।
ਨਮੂਨਾ ਮਾਧਿਅਕ = 73.5 ਨਮੂਨਾ ਮਾਨਕ ਵਿਕਲਨ = 17.9 ਮੱਧਿਕਾ = 73 ਪਹਿਲਾ ਚਤੁਰਥਕ = 61 ਤੀਜਾ ਚਤੁਰਥਕ = 90 IQR = 90 – 61 = 29
X-ਧੁਰੀ 32.5 ਤੋਂ 100.5 ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; ਹਿਸਟੋਗ੍ਰਾਮ ਲਈ Y-ਧੁਰੀ –2.4 ਤੋਂ 15 ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪੰਜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੀ ਚੌੜਾਈ (100.5 – 32.5) ਨੂੰ ਪੰਜ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ, 13.6 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹਨ: ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ 32.5 ਹੈ, 32.5 + 13.6 = 46.1, 46.1 + 13.6 = 59.7, 59.7 + 13.6 = 73.3, 73.3 + 13.6 = 86.9, 86.9 + 13.6 = 100.5 = ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲ; ਕੋਈ ਵੀ ਡਾਟਾ ਮੁੱਲ ਅੰਤਰਾਲ ਸੀਮਾ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ।
ਸਫਾ: ਡਾਟਾ | ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | ਸਾਪੇਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | ਸੰਚਤ ਸਾਪੇਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ
ਸਫਾ: 33 | 1 | 0.032 | 0.032
ਸਫਾ: 42 | 1 | 0.032 | 0.064
ਸਫਾ: 49 | 2 | 0.065 | 0.129
ਸਫਾ: 53 | 1 | 0.032 | 0.161
ਸਫਾ: 55 | 2 | 0.065 | 0.226
ਸਫਾ: 61 | 1 | 0.032 | 0.258
ਸਫਾ: 63 | 1 | 0.032 | 0.29
ਸਫਾ: 67 | 1 | 0.032 | 0.322
ਸਫਾ: 68 | 2 | 0.065 | 0.387
ਸਫਾ: 69 | 2 | 0.065 | 0.452
ਸਫਾ: 72 | 1 | 0.032 | 0.484
ਸਫਾ: 73 | 1 | 0.032 | 0.516
ਸਫਾ: 74 | 1 | 0.032 | 0.548
ਸਫਾ: 78 | 1 | 0.032 | 0.580
ਸਫਾ: 80 | 1 | 0.032 | 0.612
ਸਫਾ: 83 | 1 | 0.032 | 0.644
ਸਫਾ: 88 | 3 | 0.097 | 0.741
ਸਫਾ: 90 | 1 | 0.032 | 0.773
ਸਫਾ: 92 | 1 | 0.032 | 0.805
ਸਫਾ: 94 | 4 | 0.129 | 0.934
row: 96 | 1 | 0.032 | 0.966
row: 100 | 1 | 0.032 | 0.998 (Why isn't this value 1?)
The long left whisker in the box plot is reflected in the left side of the histogram. The spread of the exam scores in the lower 50% is greater (73 – 33 = 40) than the spread in the upper 50% (100 – 73 = 27). The histogram, box plot, and chart all reflect this. There are a substantial number of A and B grades (80s, 90s, and 100). The histogram clearly shows this. The box plot shows us that the middle 50% of the exam scores (IQR = 29) are Ds, Cs, and Bs. The box plot also shows us that the lower 25% of the exam scores are Ds and Fs.
Try It 2.33
The following data show the different types of pet food stores in the area carry. 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12; 12; 12; 12; Calculate the sample mean and the sample standard deviation to one decimal place using a TI-83+ or TI-84 calculator.
Standard deviation of Grouped Frequency Tables
Recall that for grouped data we do not know individual data values, so we cannot describe the typical value of the data with precision. In other words, we cannot find the exact mean, median, or mode. We can, however, determine the best estimate of the measures of center by finding the mean of the grouped data with the formula: Mean of Frequency Table= ∑ fm ∑ f Mean of Frequency Table= ∑ fm ∑ f where f=f= interval frequencies and m = interval midpoints.
Just as we could not find the exact mean, neither can we find the exact standard deviation. Remember that standard deviation describes numerically the expected deviation a data value has from the mean. In simple English, the standard deviation allows us to compare how “unusual” individual data is compared to the mean.
Example 2.34
Find the standard deviation for the data in Table 2.32.
row: Class | Frequency, ff | Midpoint, mm | f⋅mf⋅m | x¯x¯ | m-x¯m-x¯ | (m-x¯)2(m-x¯)2 | f(m-x¯)2f(m-x¯)2
row: 0–2 | 1 | 1 | 1 | 7.58 | -6.58 | 43.2964 | 43.2964
row: 3–5 | 6 | 4 | 24 | 7.58 | -3.58 | 12.8164 | 76.8984
row: 6–8 | 10 | 7 | 70 | 7.58 | -0.58 | 0.3364 | 3.364
row: 9–11 | 7 | 10 | 70 | 7.58 | 2.42 | 5.8564 | 40.9948
row: 12–14 | 0 | 13 | 0 | 7.58 | 5.42 | 29.3764 | 0
row: 15–17 | 2 | 16 | 32 | 7.58 | 8.42 | 70.8964 | 141.7928
row: SUM (ΣΣ) | 26 | 197 | 306.3464
The values in the second, third, and fourth columns of Table 2.32 are used to calculate the mean of the grouped frequency table, the value in the fifth column.
After calculating x¯x¯, find the difference, m-x¯m-x¯, for each midpoint, mm. Next, square each difference. In the final column, calculate the product of the frequency and the squared difference for each class.
The table makes it easy to use the formula for calculating the standard deviation of a grouped frequency table:
Although the formula is not complicated, these calculations are typically performed using technology.
Try It 2.34
Find the standard deviation for the data from the previous example
row: Class | Frequency, f
row: 0–2 | 1
row: 3–5 | 6
row: 6–8 | 10
row: 9–11 | 7
row: 12–14 | 0
row: 15–17 | 2
First, press the STAT key and select 1:Edit
Input the midpoint values into L1 and the frequencies into L2
Select STAT, CALC, and 1: 1-Var Stats
Select 2nd then 1 then , 2nd then 2 Enter
You will see displayed both a population standard deviation, σx, and the sample standard deviation, sx.
Comparing Values from Different Data Sets
The standard deviation is useful when comparing data values that come from different data sets. If the data sets have different means and standard deviations, then comparing the data values directly can be misleading.
For each data value, calculate how many standard deviations away from its mean the value is.
Use the formula: value = mean + (#ofSTDEVs)(standard deviation); solve for #ofSTDEVs.
#ofSTDEVs= value – mean standard deviation #ofSTDEVs= value – mean standard deviation
Compare the results of this calculation.
#ofSTDEVs is often called a "z-score"; we can use the symbol z. In symbols, the formulas become:
row: Sample | xx = x¯x¯ + zs | z= x − x ¯ s z= x − x ¯ s
row: Population | xx = μ μ + zσ | z= x − μ σ z= x − μ σ
Example 2.35
Problem
Two students, John and Ali, from different high schools, wanted to find out who had the highest GPA when compared to his school. Which student had the highest GPA when compared to his school?
ਪੰਨ: ਵਿਦਿਆਰਥੀ | GPA | ਸਕੂਲ ਔਸਤ GPA | ਸਕੂਲ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ
ਪੰਨ: ਜੌਨ | 2.85 | 3.0 | 0.7
ਪੰਨ: ਅਲੀ | 77 | 80 | 10
ਹੱਲ
ਹਰੇਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਉਸਦੇ ਸਕੂਲ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਂ ਉਸਦਾ GPA ਕਿੰਨੇ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ (#ofSTDEVs) ਦੂਰ ਹੈ। ਤੁਲਨਾ ਅਤੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ।
z= # ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ = ਮੁੱਲ – ਔਸਤ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ = x–μ σ
ਜੌਨ ਲਈ, z=#ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ= 2.85–3.0 0.7 =–0.21
ਅਲੀ ਲਈ, z=#ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ= 77−80 10 =−0.3
ਜੌਨ ਦਾ GPA ਉਸਦੇ ਸਕੂਲ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਬਿਹਤਰ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਉਸਦਾ GPA ਉਸਦੇ ਸਕੂਲ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਂ 0.21 ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਹੇਠਾਂ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਲੀ ਦਾ GPA ਉਸਦੇ ਸਕੂਲ ਦੀ ਔਸਤ ਤੋਂ 0.3 ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਹੇਠਾਂ ਹੈ।
ਜੌਨ ਦਾ z-ਸਕੋਰ –0.21, ਅਲੀ ਦੇ z-ਸਕੋਰ –0.3 ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਹੈ। GPA ਲਈ, ਉੱਚੇ ਮੁੱਲ ਬਿਹਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੌਨ ਦਾ GPA ਉਸਦੇ ਸਕੂਲ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਬਿਹਤਰ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ 2.35
ਦੋ ਤੈਰਾਕ, ਐਂਜੀ ਅਤੇ ਬੈਥ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਟੀਮਾਂ ਤੋਂ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਸਨ ਕਿ 50 ਮੀਟਰ ਫ੍ਰੀਸਟਾਈਲ ਲਈ ਉਸਦੀ ਟੀਮ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਕਿਸਦਾ ਸਮਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਸੀ। ਕਿਹੜੀ ਤੈਰਾਕ ਦਾ ਸਮਾਂ ਉਸਦੀ ਟੀਮ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਸਭ ਤੋਂ ਤੇਜ਼ ਸੀ?
ਪੰਨ: ਤੈਰਾਕ | ਸਮਾਂ (ਸੈਕਿੰਡ) | ਟੀਮ ਔਸਤ ਸਮਾਂ | ਟੀਮ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ
ਪੰਨ: ਐਂਜੀ | 26.2 | 27.2 | 0.8
ਪੰਨ: ਬੈਥ | 27.3 | 30.1 | 1.4
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸੂਚੀਆਂ ਕੁਝ ਤੱਥ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਬਾਰੇ ਸਾਨੂੰ ਡਾਟਾ ਦੇ ਵੰਡ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸਮਝ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 75% ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 89% ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 95% ਡਾਟਾ 4.5 ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਚੈਬੀਸ਼ੇਵ ਦਾ ਨਿਯਮ (Chebyshev's Rule) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਲਗਭਗ 68% ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਇੱਕ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਲਗਭਗ 95% ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਦੋ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
99% ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਾਟਾ ਔਸਤ ਤੋਂ ਤਿੰਨ ਮਿਆਰੀ ਵਿਕਲਣਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਨੁਭਵੀ ਨਿਯਮ (Empirical Rule) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਨਿਯਮ ਕੇਵਲ ਤਾਂ ਹੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਆਕਾਰ ਘੰਟੀ-ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਸਮਮਿਤੀ ਵਾਲਾ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਬਾਅਦ ਵਾਲੇ ਅਧਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ "ਸਧਾਰਨ" ਜਾਂ "ਗੌਸੀਅਨ" ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।