F ਵੰਡ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਰਤੋਂ ਦੋ ਪਰਿਮਾਣਾਂ (variances) ਦੀ ਪਰਖ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਅਕਸਰ ਦੋ ਔਸਤਾਂ (averages) ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ ਦੋ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਇੱਛਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕਾਲਜ ਪ੍ਰਸ਼ਾਸਕ ਚਾਹੁਣਗੇ ਕਿ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਦੋ ਕਾਲਜ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਭਿੰਨਤਾ (variation) ਹੋਵੇ। ਕਿਸੇ ਢੱਕਣ (lid) ਦੇ ਕਿਸੇ ਭਾਂਡੇ (container) ਵਿੱਚ ਫਿੱਟ ਹੋਣ ਲਈ, ਢੱਕਣ ਅਤੇ ਭਾਂਡੇ ਦੀ ਭਿੰਨਤਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸੁਪਰਮਾਰਕੀਟ ਦੋ ਚੈਕਰਾਂ ਲਈ ਚੈੱਕ-ਆਊਟ ਸਮਿਆਂ ਦੀ ਪਰਿਮਾਣਤਾ (variability) ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਦੋ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦੀ F ਪਰਖ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਸੱਚ ਹੋਣ:
ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੋ ਨਮੂਨਿਆਂ (samples) ਨੂੰ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਹ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੰਡੀਆਂ (normally distributed) ਹੋਣ।
ਦੋ ਆਬਾਦੀਆਂ (populations) ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ (independent) ਹੋਣ।
ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਹੋਰ ਪਰਖਾਂ ਦੇ ਉਲਟ, ਦੋ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ (equality) ਲਈ F ਪਰਖ ਆਮਤਾ (normality) ਤੋਂ ਭਟਕਣ (deviations) ਪ੍ਰਤੀ ਬਹੁਤ ਸੰਵੇਦਨਸ਼ੀਲ (sensitive) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਜੇ ਦੋ ਵੰਡਾਂ ਆਮ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਪਰਖ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ p-ਮੁੱਲ (p-values) ਦੇ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿੰਨੇ ਇਸਨੂੰ ਦੇਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ, ਜਾਂ ਘੱਟ, ਅਣਪਛਾਤੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕਾਂ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇਸ ਪਰਖ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਿਲਕੁਲ ਨਾ ਕਰਨ, ਪਰ ਸੰਪੂਰਨਤਾ (completeness) ਦੇ ਹਿੱਤ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਥੇ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸੁਤੰਤਰ ਆਮ ਆਬਾਦੀਆਂ ਤੋਂ ਬੇਤਰਤੀਬੇ (randomly) ਨਮੂਨਾ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ σ 1 2 ਅਤੇ σ 2 2 ਆਬਾਦੀ ਪਰਿਮਾਣ ਹਨ ਅਤੇ s 1 2 ਅਤੇ s 2 2 ਨਮੂਨਾ ਪਰਿਮਾਣ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਨਮੂਨਾ ਆਕਾਰ n1 ਅਤੇ n2 ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਨਮੂਨਾ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ F ਅਨੁਪਾਤ (ratio) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
F= [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ]
F ~ F(n1 – 1, n2 – 1) ਦੀ ਵੰਡ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਜਿੱਥੇ n1 – 1 ਅੰਸ਼ (numerator) ਲਈ ਆਜ਼ਾਦੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ (degrees of freedom) ਹਨ ਅਤੇ n2 – 1 ਹਰ (denominator) ਲਈ ਆਜ਼ਾਦੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਹਨ।
ਜੇ ਸਿਫ਼ਰ ਪਰਿਕਲਪਨਾ (null hypothesis) σ 1 2 = σ 2 2 ਹੈ, ਤਾਂ F ਅਨੁਪਾਤ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ F= [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ] = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2।
NOTE
F ਅਨੁਪਾਤ ( s 2 ) 2 ( s 1 ) 2 ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ Ha ਅਤੇ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਨਮੂਨਾ ਪਰਿਮਾਣ ਵੱਡਾ ਹੈ।
ਜੇ ਦੋ ਆਬਾਦੀਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਪਰਿਮਾਣ ਹਨ, ਤਾਂ s 1 2 ਅਤੇ s 2 2 ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ F= ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 ਇੱਕ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਜੇ ਦੋ ਆਬਾਦੀ ਪਰਿਮਾਣ ਬਹੁਤ ਵੱਖਰੇ ਹਨ, ਤਾਂ s 1 2 ਅਤੇ s 2 2 ਵੀ ਬਹੁਤ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। s 1 2 ਨੂੰ ਵੱਡੇ ਨਮੂਨਾ ਪਰਿਮਾਣ ਵਜੋਂ ਚੁਣਨ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ s 1 2 ਅਤੇ s 2 2 ਦੂਰ ਹਨ, ਤਾਂ F= ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, ਜੇ F ਇੱਕ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਬੂਤ ਸਿਫ਼ਰ ਪਰਿਕਲਪਨਾ (ਦੋ ਆਬਾਦੀ ਪਰਿਮਾਣ ਬਰਾਬਰ ਹਨ) ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਜੇ F ਇੱਕ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਬੂਤ ਸਿਫ਼ਰ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਹੈ। ਦੋ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦੀ ਪਰਖ ਖੱਬੇ, ਸੱਜੇ, ਜਾਂ ਦੋ-ਪੂਛ ਵਾਲੀ (two-tailed) ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13.5
ਸਮੱਸਿਆ
ਦੋ ਕਾਲਜ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਇਸ ਗੱਲ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਨ ਕਿ ਉਹ ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਿਵੇਂ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੇ 30 ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕੋ ਸਮੂਹ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ। ਪਹਿਲੇ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਦੀਆਂ ਗ੍ਰੇਡਾਂ ਵਿੱਚ 52.3 ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਦੀਆਂ ਗ੍ਰੇਡਾਂ ਵਿੱਚ 89.9 ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਹੈ। ਇਸ ਦਾਅਵੇ ਦੀ ਪਰਖ ਕਰੋ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਛੋਟਾ ਹੈ। (ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਕਾਲਜਾਂ ਵਿੱਚ, ਪ੍ਰੋਫੈਸਰਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਗ੍ਰੇਡਾਂ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦਾ ਲਗਭਗ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਣਾ ਇੱਛਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।) ਮਹੱਤਤਾ ਦਾ ਪੱਧਰ (level of significance) 10% ਹੈ।
ਹੱਲ
1 ਅਤੇ 2 ਉਹਨਾਂ ਉਪ-ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ (subscripts) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ।
n1 = n2 = 30।
H0: σ 1 2 = σ 2 2 ਅਤੇ Ha: σ 1 2 < σ 2 2
ਪਰਖ ਅੰਕੜੇ (test statistic) ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ: ਸਿਫ਼ਰ ਪਰਿਕਲਪਨਾ ( σ 1 2 = σ 2 2 ) ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, F ਅੰਕੜਾ ਹੈ:
F= [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ] = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 = 52.3 89.9 =0.5818 F= [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ] = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 = 52.3 89.9 =0.5818
Distribution for the test: F29,29 where n1 – 1 = 29 and n2 – 1 = 29.
Graph: This test is left tailed.
Draw the graph labeling and shading appropriately.
Probability statement: p-value = P(F < 0.5818) = 0.0753
Compare α and the p-value: α = 0.10 α > p-value.
Make a decision: Since α > p-value, reject H0.
Conclusion: With a 10% level of significance, from the data, there is sufficient evidence to conclude that the variance in grades for the first instructor is smaller.
Using the TI-83, 83+, 84, 84+ Calculator
Press STAT and arrow over to TESTS. Arrow down to D:2-SampFTest. Press ENTER. Arrow to Stats and press ENTER. For Sx1, n1, Sx2, and n2, enter (52.3)(52.3), 30, (89.9)(89.9), and 30. Press ENTER after each. Arrow to σ1: and <σ2. Press ENTER. Arrow down to Calculate and press ENTER. F = 0.5818 and p-value = 0.0753. Do the procedure again and try Draw instead of Calculate.
Try It 13.5
The New York Choral Society divides its singers who are men up into four categories from highest voices to lowest: Tenor1, Tenor2, Bass1, Bass2. In the table are heights of the men in the Tenor1 and Bass2 groups. One suspects that taller men will have lower voices, and that the variance of height may go up with the lower voices as well. Do we have good evidence that the variance of the heights of singers in each of these two groups (Tenor1 and Bass2) are different?
row: Tenor1 | Bass2 | Tenor 1 | Bass 2 | Tenor 1 | Bass 2
row: 69 | 72 | 67 | 72 | 68 | 67
row: 72 | 75 | 70 | 74 | 67 | 70
row: 71 | 67 | 65 | 70 | 64 | 70
row: 66 | 75 | 72 | 66 | 69
row: 76 | 74 | 70 | 68 | 72
row: 74 | 72 | 68 | 75 | 71
row: 71 | 72 | 64 | 68 | 74
row: 66 | 74 | 73 | 70 | 75
row: 68 | 72 | 66 | 72