ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਵਰਗ ਮੂਲ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋਗੇ।
ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋਗੇ।
ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ ਘਟਾਓ।
ਹਰ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਬਣਾਓ।
ਪਰਿਮੇਯ ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਹਾਰਡਵੇਅਰ ਸਟੋਰ 16-ਫੁੱਟ ਅਤੇ 24-ਫੁੱਟ ਦੀਆਂ ਪੌੜੀਆਂ ਵੇਚਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 12 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਖਿੜਕੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਪੌੜੀ ਖਰੀਦਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਇਮਾਰਤ ਤੋਂ 5 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਖਿੜਕੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਸਕੇ। ਲੋੜੀਂਦੀ ਪੌੜੀ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ, ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰਨ 'ਤੇ 169 ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਚੁਣ ਸਕੀਏ ਕਿ ਕਿਹੜੀ ਪੌੜੀ ਲੈਣੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੂਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ।
ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗ ਮੂਲ ਦਾ ਵਰਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਮੂਲ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ 4² = 16, 16 ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ 4 ਹੈ। ਵਰਗ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋੜ ਦੇ ਉਲਟ ਘਟਾਓ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵਰਗ ਕਰਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਵਰਗ ਕਰਨ ਨੂੰ ਅਨਡੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਮੂਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।
ਆਮ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ 'a' ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ 'a' ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਜਦੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 'a' ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਵਰਗ ਮੂਲ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਵਰਗ ਮੂਲ ਉਹ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਜਦੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 'a' ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਵਰਗ ਮੂਲ ਮੁੱਖ ਵਰਗ ਮੂਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
'a' ਦੇ ਮੁੱਖ ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ √a ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਚਿੰਨ੍ਹ ਰੈਡੀਕਲ (radical) ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਪਦ ਰੈਡੀਕੈਂਡ (radicand) ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੂਰਾ ਸਮੀਕਰਨ ਰੈਡੀਕਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ (radical expression) ਅਖਵਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਮੁੱਖ ਵਰਗ ਮੂਲ
'a' ਦਾ ਮੁੱਖ ਵਰਗ ਮੂਲ ਉਹ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਜਦੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 'a' ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕਲ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨਾਮਕ ਪਦ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: √a।
Q&A
ਕੀ √25 = ±5?
ਨਹੀਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ 5² ਅਤੇ (−5)² ਦੋਵੇਂ 25 ਹਨ, ਰੈਡੀਕਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰਿਣਾਤਮਕ ਮੂਲ, ਮੁੱਖ ਵਰਗ ਮੂਲ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। 25 ਦਾ ਮੁੱਖ ਵਰਗ ਮੂਲ √25 = 5 ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ⓐ √100
ⓑ √16
ⓒ √25+√144
49 − 81
ਹੱਲ
ⓐ 100 = 10 ਕਿਉਂਕਿ 10² = 100
ⓑ 16 = 4 = 2 ਕਿਉਂਕਿ 4² = 16 ਅਤੇ 2² = 4
ⓒ 25 + 144 = 169 = 13 ਕਿਉਂਕਿ 13² = 169
ⓓ 49 − 81 = 7 − 9 = −2 ਕਿਉਂਕਿ 7² = 49 ਅਤੇ 9² = 81
Q&A
25 + 144 ਲਈ, ਕੀ ਅਸੀਂ ਜੋੜਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਗਮੂਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਨਹੀਂ। √25 + √144 = 5 + 12 = 17। ਇਹ √25 + 144 = √169 = 13 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਅਨੁਸਾਰ ਵਰਗਮੂਲ ਲੱਭਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #1
ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ⓐ 225
ⓑ 81
ⓒ 25 − 9
ⓓ 36 + 121
ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਕਈ ਗੁਣ ਹਨ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਪਹਿਲਾ ਨਿਯਮ ਜੋ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਉਹ ਹੈ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਤਰਕਸੰਗਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ ਵੱਖ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ 15 ਨੂੰ √3 ⋅ √5 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ
ਜੇਕਰ a ਅਤੇ b ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਹਨ, ਤਾਂ ਗੁਣਨਫਲ ab ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਵਰਗਮੂਲ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨੂੰ ਫੈਕਟਰ ਕਰੋ।
ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ⓐ 300
ⓑ 162 a 5 b 4
ਹੱਲ
ⓐ 100⋅3 ਕਰਨੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। 100 ⋅ 3 ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 10 3 ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 100⋅3 ਕਰਨੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। 100 ⋅ 3 ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 10 3 ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ⓑ 81 a 4 b 4 ⋅2a ਕਰਨੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। 81 a 4 b 4 ⋅ 2a ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 9 a 2 b 2 2a ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 81 a 4 b 4 ⋅2a ਕਰਨੀ ਦੇ ਅੰਦਰ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ। 81 a 4 b 4 ⋅ 2a ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 9 a 2 b 2 2a ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #2
50 x 2 y 3 z ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 50 x 2 y 3 z .
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਈ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਈ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਕਈ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 12 ⋅ 3 12 ⋅ 3
ਹੱਲ
12⋅3 ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। 36 ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 6 12⋅3 ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਪਦ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। 36 ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 6
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #3
50x ⋅ 2x ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ x>0। x>0.
ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਨੂੰ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਇੱਕ ਕਰਨੀ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲੈ ਸਕੀਏ। ਅਸੀਂ 5 2 ਨੂੰ 5 2 ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। 5 2 .
ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ
a b ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ, a ਦੇ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ b, b, ਜਿੱਥੇ b≠0। b≠0.
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦੋ ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
5√36
ਹੱਲ
5√36 ਦੋ ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। 5√6 ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 5√36 ਦੋ ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। 5√6 ਹਰ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
√2x² / √9y⁴ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਦੋ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
√234x¹¹y / √26x⁷y
ਹੱਲ
√234x¹¹y / √26x⁷y ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਮਿਲਾਓ। √9x⁴ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 3√x² ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। √234x¹¹y / √26x⁷y ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿੱਚ ਮਿਲਾਓ। √9x⁴ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। 3√x² ਵਰਗ ਮੂਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
√9a⁵b¹⁴ / √3a⁴b⁵ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਕੇਵਲ ਤਾਂ ਹੀ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਰੈਡੀਕੈਂਡ (radicand) ਅਤੇ ਰੈਡੀਕਲ ਦੀ ਕਿਸਮ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗ ਮੂਲ, ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, 2√2 ਅਤੇ 3√2 ਦਾ ਜੋੜ 5√2 ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ ਅਕਸਰ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨ √18 ਨੂੰ √2 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 3√2, ਇਸ ਲਈ 2 + √18 = 2 + 3√2 = 5√2।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੂਲਕੀ ਵਿਅੰਜਨ ਲਈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਮੂਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਉ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
Simplify each radical expression.
Add or subtract expressions with equal radicands.
Example 6
Adding Square Roots
Add 5 12 +2 3 . 5 12 +2 3 .
Solution
We can rewrite 5 12 5 12 as 5 4·3 . 5 4·3 . According the product rule, this becomes 5 4 3 . 5 4 3 . The square root of 4 4 is 2, so the expression becomes 5( 2 ) 3 , 5( 2 ) 3 , which is 10 3 . 10 3 . Now the terms have the same radicand so we can add.
10 3 +2 3 =12 3 10 3 +2 3 =12 3
Try It #6
Add 5 +6 20 . 5 +6 20 .
Example 7
Subtracting Square Roots
Subtract 20 72 a 3 b 4 c −14 8 a 3 b 4 c . 20 72 a 3 b 4 c −14 8 a 3 b 4 c .
Solution
Factor 9 out of the first term so that both terms have equal radicands.
So
Try It #7
Subtract 3 80x −4 45x . 3 80x −4 45x .
Rationalizing Denominators
When an expression involving square root radicals is written in simplest form, it will not contain a radical in the denominator. We can remove radicals from the denominators of fractions using a process called rationalizing the denominator.
We know that multiplying by 1 does not change the value of an expression. We use this property of multiplication to change expressions that contain radicals in the denominator. To remove radicals from the denominators of fractions, multiply by the form of 1 that will eliminate the radical.
For a denominator containing a single term, multiply by the radical in the denominator over itself. In other words, if the denominator is b c , b c , multiply by c c . c c .
For a denominator containing the sum or difference of a rational and an irrational term, multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator, which is found by changing the sign of the radical portion of the denominator. If the denominator is a+b c , a+b c , then the conjugate is a−b c . a−b c .
How To
ਕਿਸੇ ਭਿੰਨ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਵਰਗਮੂਲ ਵਾਲੇ ਪਦ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਹਰ ਵਿੱਚਲੇ ਵਰਗਮੂਲ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਇੱਕ ਪਦ ਵਾਲੇ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ
2√3/√10 ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਹਰ ਵਿੱਚ ਵਰਗਮੂਲ ਵਾਲਾ ਪਦ √10 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਭਿੰਨ ਨੂੰ √10/√10 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #8
12/√2 ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਜਦੋਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਵਰਗਮੂਲ ਵਾਲਾ ਪਦ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਚੱਲ ਪਦ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ ਕਰੋ।
ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗੀ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਸੰਯੁਗੀ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਵਿਤਰੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਦੋ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਹਰ ਦਾ ਪਰਿਮੇਯੀਕਰਨ
4/(1+√5) ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਹਰ ਦੇ ਸੰਯੁਗੀ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ, ਹਰ ਨੂੰ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਬਦਲ ਕੇ। ਇਸ ਲਈ 1+√5 ਦਾ ਸੰਯੁਗੀ 1-√5 ਹੈ। ਫਿਰ ਭਿੰਨ ਨੂੰ (1-√5)/(1-√5) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #9
7/(2+√3) ਨੂੰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਪਰਿਮੇਯ ਮੂਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹਾਲਾਂਕਿ ਵਰਗ ਮੂਲ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਮੂਲ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਘਣ ਮੂਲ, ਚੌਥੇ ਮੂਲ, ਪੰਜਵੇਂ ਮੂਲ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਵੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਵਰਗ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗੀਕਰਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਇਹ ਮੂਲ ਆਪਣੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਦੋਂ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
nਵੇਂ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a³ = 8। ਅਸੀਂ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਤੀਜੀ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ 8 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਕਿਉਂਕਿ 2³ = 8, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 2, 8 ਦਾ ਘਣ ਮੂਲ ਹੈ।
a ਦਾ nਵਾਂ ਮੂਲ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ nਵੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ, a ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, -3, -243 ਦਾ 5ਵਾਂ ਮੂਲ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ (-3)⁵ = -243। ਜੇਕਰ a ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ nਵਾਂ ਮੂਲ ਹੈ, ਤਾਂ a ਦਾ ਮੁੱਖ nਵਾਂ ਮੂਲ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ a ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ nਵੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ, a ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
a ਦਾ ਮੁੱਖ nਵਾਂ ਮੂਲ aⁿ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ n ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਜੋ 2 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, n ਨੂੰ ਰੈਡੀਕਲ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਮੁੱਖ nਵਾਂ ਮੂਲ
ਜੇਕਰ a ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ nਵਾਂ ਮੂਲ ਹੈ, ਤਾਂ a ਦਾ ਮੁੱਖ nਵਾਂ ਮੂਲ, ਜੋ aⁿ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ a ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ nਵੀਂ ਸ਼ਕਤੀ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ 'ਤੇ, a ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਰੈਡੀਕਲ ਦਾ ਸੂਚਕਾਂਕ n ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
nਵੇਂ ਮੂਲਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ:
ⓐ ⁵−32
ⓑ ⁴4 ⋅ ⁴1,024
ⓒ ³− 8 x⁶ / 125
ⓓ ³8 ⁴4 − ⁴48
ਹੱਲ
ⓐ ⁵−32 = −2 ਕਿਉਂਕਿ (−2)⁵ = −32
ⓑ ਪਹਿਲਾਂ, ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। ⁴4,096 = 8 ਕਿਉਂਕਿ 8⁴ = 4,096
ⓒ ³− 8 x⁶ / 125 ³− 8 x⁶ / 125 ਦੋ ਰੈਡੀਕਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਭਾਗ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। −2 x² / 5 ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ⓓ ³8 ⁴4 − ⁴2 ⁴4 ਸਮਾਨ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ⁶ ⁴4 ਜੋੜੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ⓐ ³−216
ⓑ ⁴ ⁵4 ⁴80
ⓒ ³6 9,000 +7 ³576
ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ
ਕਰਨੀ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕ (ਭਿੰਨ) ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸੂਚਕਾਂਕ ਇੱਕ ਧਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਸੂਚਕਾਂਕ n ਧਨ ਹੈ, ਤਾਂ a ਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਅੰਸ਼ਾਂ ਵਾਲੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਘਾਤ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਆਧਾਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ n-ਵੀਂ ਜੜ੍ਹ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਅੰਸ਼ ਸਾਨੂੰ ਘਾਤ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਸਾਨੂੰ ਜੜ੍ਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗੁਣ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਸਿੱਖੇ ਹਨ, ਉਹ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤਾਂ
ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤਾਂ ਕਰਨੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਮੁੱਖ n-ਵੀਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹਨ। ਕਰਨੀ ਚਿੰਨ੍ਹ ਵਾਲੇ ਕਰਨੀ ਵਿਅੰਜਨ ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਵਿਚਕਾਰ ਬਦਲਣ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਘਾਤ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਜੜ੍ਹ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਘਾਤ ਦੇ ਹਰ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਆਧਾਰ ਨੂੰ ਕਰਨੀਗਤ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਕਰਨੀਗਤ ਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਓ ਅਤੇ ਜੜ੍ਹ ਨੂੰ ਸੂਚਕਾਂਕ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨੀਆਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
343 2/3 ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
2 ਸਾਨੂੰ ਘਾਤ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 3 ਸਾਨੂੰ ਜੜ੍ਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ।
343 2/3 = (343^(1/3))^2 = 343^(2/3)
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 343^(1/3) = 7 ਕਿਉਂਕਿ 7^3 = 343। ਕਿਉਂਕਿ ਘਣ ਜੜ੍ਹ ਲੱਭਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਲਈ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਘਣ ਜੜ੍ਹ ਲੱਭਣਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਪਹਿਲਾਂ ਜੜ੍ਹ ਲੱਭਣਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣਾ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
343 2/3 = (343^(1/3))^2 = 7^2 = 49
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
9 5/2 ਨੂੰ ਕਰਨੀ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ। ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਕਰਨੀਆਂ ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਣਾ
4a^(2/7) ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘਾਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਸ਼ਕਤੀ 2 ਹੈ ਅਤੇ ਮੂਲ 7 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਅੰਕ 2/7 ਹੋਵੇਗਾ। 2^{2/7}। ਸਾਨੂੰ 4a^{2/7} ਮਿਲਦਾ ਹੈ। 4a^{2/7}। ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ 4a^{2/7} = 4a^{-2/7} ਮਿਲਦਾ ਹੈ। 4a^{2/7} = 4a^{-2/7}।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #12
x(5y)^9 ਨੂੰ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਅੰਕ ਨਾਲ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਾ
ਸਰਲ ਕਰੋ:
ⓐ 5(2x^{3/4})(3x^{1/5}) 5(2x^{3/4})(3x^{1/5})
ⓑ (16/9)^{-1/2} (16/9)^{-1/2}
ਹੱਲ
ⓐ 30x^{3/4}x^{1/5} ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 30x^{3/4 + 1/5} ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 30x^{19/20} ਸਰਲ ਕਰੋ। 30x^{3/4}x^{1/5} ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 30x^{3/4 + 1/5} ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 30x^{19/20} ਸਰਲ ਕਰੋ।
ⓑ (9/16)^{1/2} ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 9/16 ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 9/16 ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 3/4 ਸਰਲ ਕਰੋ। (9/16)^{1/2} ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 9/16 ਨੂੰ ਇੱਕ ਰੈਡੀਕਲ ਵਜੋਂ ਮੁੜ ਲਿਖੋ। 9/16 ਭਾਗਫਲ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 3/4 ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #13
(8x)^{1/3}(14x^{6/5}) ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ। (8x)^{1/3}(14x^{6/5})।
ਮੀਡੀਆ
ਰੈਡੀਕਲ ਅਤੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਰੈਡੀਕਲ
ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਅੰਕ
ਰੈਡੀਕਲ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰੋ
ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਦਾ ਰੈਡੀਕਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਕਰੋ
ਮੌਖਿਕ
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਰੈਡੀਕਲ ਦਾ ਕੋਈ ਸੂਚਕਾਂਕ ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ? ਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕਲ ਕਿੱਥੇ ਆਉਣਗੇ? ਸਮਝਾਓ ਕਿਉਂ।
ਹਰ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਦੋ ਵਰਗ ਮੂਲ ਹੋਣਗੇ। ਮੁੱਖ ਵਰਗ ਮੂਲ ਕੀ ਹੈ?
ਕੀ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਰੇਡਿਕੈਂਡ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਰੈਡੀਕਲ ਅਸਲੀ ਵਰਗਮੂਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ?
ਸੰਖਿਆਤਮਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
256 256
256 256
4( 9+16 ) 4( 9+16 )
289 − 121 289 − 121
196 196
1 1
98 98
27 64 27 64
81 5 81 5
800 800
169 + 144 169 + 144
8 50 8 50
18 162 18 162
192 192
14 6 −6 24 14 6 −6 24
15 5 +7 45 15 5 +7 45
150 150
96 100 96 100
( 42 )( 30 ) ( 42 )( 30 )
12 3 −4 75 12 3 −4 75
4 225 4 225
405 324 405 324
360 361 360 361
5 1+ 3 5 1+ 3
8 1− 17 8 1− 17
16 4 16 4
1. ੧੨੮ ੩ +੩ ੨ ੩ ੧੨੮ ੩ +੩ ੨ ੩
−32 243 5 −32 243 5
1. ਪੰਦਰਾਂ ਬਾਰਾਂ ਪੰਜ ਚਾਰ ਪੰਜ ਚਾਰ ਪੰਦਰਾਂ ਬਾਰਾਂ ਪੰਜ ਚਾਰ ਪੰਜ ਚਾਰ
3 −432 3 + 16 3 3 −432 3 + 16 3
1. ਬੀਜਗਣਿਤ
1. ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
400 x 4 400 x 4
4 y 2 4 y 2
49p 49p
1. ( ੧੪੪ ਪ ੨ ਞ ੬ ) ੧ ੨ ( ੧੪੪ ਪ ੨ ਞ ੬ ) ੧ ੨
1. ਮੈਂ 5 2 289 ਮੈਂ 5 2 289
93m2 + 2793m2 + 27
3 ਅ ਬ 2 −ਬ ਅ 3 ਅ ਬ 2 −ਬ ਅ
4 2n 16 n 4 4 2n 16 n 4
225 x 3 49x 225 x 3 49x
3 44z + 99z 3 44z + 99z
50 y 8 50 y 8
490b c 2
32 14d 32 14d
3263p 3263p
81-3x 81-3x
20121d4 20121d4
w32-w350 w32-w350
108x4+27x4 108x4+27x4
12x2+23 12x2+23
147k3 147k3
125n10 125n10
42q36q3 42q36q3
81m361m2 81m361m2
72c-22c 72c-22c
144324d2 144324d2
24x63+81x63 24x63+81x63
162x6-16x44 162x6-16x44
64y3 64y3
128z33--16z33 128z33--16z33
1024c105 1024c105
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਦੁਨਿਆਵੀ ਉਪਯੋਗ
ਇੱਕ ਸਸਪੈਂਸ਼ਨ ਬ੍ਰਿਜ ਲਈ ਗਾਈ ਵਾਇਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਤਿਰਛੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦੇ ਪਾਇਲਨ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਬਣ ਸਕੇ। ਲੋੜੀਂਦੀ ਗਾਈ ਵਾਇਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਤਾਰ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਪਾਇਲਨ ਵਿਚਕਾਰਲੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਵਰਗ 90,000 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਪਾਇਲਨ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਵਰਗ 160,000 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਗਾਈ ਵਾਇਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 90,000+160,000 ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। 90,000+160,000। ਗਾਈ ਵਾਇਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?
ਇੱਕ ਕਾਰ 6−4t m/s² ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਤੇਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ t ਕਾਰ ਦੇ ਰੈਸਟ ਤੋਂ ਹਿੱਲਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਵਿਸਥਾਰ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
8−164−2−212 8−164−2−212
432−1632813 432−1632813
m n 3 a 2 c −3 ⋅ a −7 n −2 m 2 c 4 m n 3 a 2 c −3 ⋅ a −7 n −2 m 2 c 4
a a− c a a− c
x 64y +4 y 128y x 64y +4 y 128y
( 250 x 2 100 b 3 )( 7 b 125x ) ( 250 x 2 100 b 3 )( 7 b 125x )
64 3 + 256 4 64 + 256 64 3 + 256 4 64 + 256