ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਸੰਬੰਧ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਫਲਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕਿਸਮ ਦਾ ਸੰਬੰਧ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਡੋਮੇਨ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ ਇਨਪੁਟ, ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਰੇਂਜ ਮੁੱਲ, ਜਾਂ ਆਉਟਪੁਟ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਫਲਨ ਸੰਕੇਤ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁਟ ਨਾਲ $y=f(x)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਸਾਰਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਕਾਲਮਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਗਤ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤ ਰੂਪਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਖਾਸ ਫਲਨ ਮੁੱਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਖਾਸ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤ ਰੂਪ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਗਤ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਕੋਈ ਵੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 14 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ-ਇੱਕ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 15 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਵਾਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਿਫਰ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਲੈਣਾ, ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਨਹੀਂ ਕਰਵਾਉਣਗੇ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਗਏ ਫਲਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਵੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਅੰਤਰਾਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਅਸਮਾਨਤਾ ਸੰਕੇਤ, ਸੈੱਟ-ਬਿਲਡਰ ਸੰਕੇਤ, ਅਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਸੰਕੇਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਫਲਨਾਂ ਲਈ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਸਮਝ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਟੁਕੜੇ ਵਾਲਾ ਫਲਨ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਟੁਕੜੇ ਵਾਲੇ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਉਪ-ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਬੀਜਗਣਿਤ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਦੇਖੋ।
ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਸਿਰਫ਼ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਡਾਟਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਕੇ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਵੀ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਫਲਨ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਔਸਤ ਬਦਲਾਅ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਔਸਤ ਦਰ ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਵਿਅੰਜਨ ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਸਦੀ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਧਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਸਦੀ ਬਦਲਾਵ ਦੀ ਦਰ ਰਿਣ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਹ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਫਲਨ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਦੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵੱਡਾ (ਹੋਰ ਧਨ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਣ) ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਉਹ ਸਥਿਤੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਫਲਨ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ ਵੱਲ ਬਦਲਦਾ ਹੈ (ਜਿਵੇਂ ਨਿਵੇਸ਼ ਵਧਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਨੇੜੇ-ਤੇੜੇ ਦੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਛੋਟਾ (ਹੋਰ ਰਿਣ ਜਾਂ ਘੱਟ ਧਨ) ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨੂੰ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਬਿੰਦੂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਫਲਨਾਂ ਉੱਤੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲੇ (ਅੰਦਰੂਨੀ) ਫਲਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੂਜੇ (ਬਾਹਰੀ) ਫਲਨ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਬਣਿਆ ਫਲਨ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਫਲਨ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਨਿਵੇਸ਼ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ ਨਿਵੇਸ਼ ਵਜੋਂ ਲੈ ਕੇ ਬਾਹਰੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਉਹ ਨਿਵੇਸ਼ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਬਾਹਰੀ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵੇਖੋ।
ਜਿਵੇਂ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਫਲਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜ ਕੇ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿਸਕਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਨੂੰ ਨਿਵੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜ ਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿਸਕਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਖਿਸਕਾਅ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰਨਾ ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਅਕਸਰ ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੋਵੇਂ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅੰਤਿਮ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਕਤਾਰਾਂ ਜਾਂ ਕਾਲਮਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਵੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ y- y- ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਰਤ f(x)=f(−x) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। f(x)=f(−x)।
ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸ਼ਰਤ f(x)=−f(−x) ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। f(x)=−f(−x)।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਮ, ਸਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਆਊਟਪੁਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13, ਉਦਾਹਰਨ 14, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 15 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 16, ਉਦਾਹਰਨ 17, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 18 ਦੇਖੋ।
ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅੰਤਿਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਲੰਬਵਤ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੋਵੇਂ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 19 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 20 ਦੇਖੋ।
ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਸ਼ਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਭਾਵੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀਆਂ ਰੇਂਜਾਂ, ਨੂੰ ਵੀ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਅੱਖਰ V ਵਰਗਾ ਦਿਸਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਅਣਜਾਣ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਧਨ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਣਜਾਣ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਦੋ ਹੱਲ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ g(x) f(x) ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, f(x), ਤਾਂ g(f(x))=f(g(x))=x। g(f(x))=f(g(x))=x। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 2, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਝ ਹੀ ਦਾ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੋਣ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ (ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰਨਾ) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਆਪਣੇ ਪੂਰੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਉਹ ਆਪਣੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਕੁਝ ਹਿੱਸੇ ਉੱਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਉਲਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਊਟਪੁਟ ਕਤਾਰਾਂ ਦਾ ਆਦਾਨ-ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਖਾਸ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ y=f(x) ਨੂੰ x ਲਈ y ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਹੱਲ ਕਰੋ। y। ਫਿਰ ਲੇਬਲ x ਅਤੇ y ਦਾ ਆਦਾਨ-ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰੋ। y। ਉਦਾਹਰਨ 7, ਉਦਾਹਰਨ 8, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। y=x। ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।