ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਓ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਸੰਘਟਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਗਾੜੋ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਦਿਨ ਘਰ ਨੂੰ ਗਰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਘਰ ਨੂੰ ਗਰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰੇਗੀ, ਅਤੇ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ, ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਸਾਲ ਦੇ ਖਾਸ ਦਿਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰੇਗਾ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ: ਲਾਗਤ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਤਾਪਮਾਨ ਦਿਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਵਰਣਨਾਤਮਕ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫੰਕਸ਼ਨ C(T) ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ T ਡਿਗਰੀ ਸੈਲਸੀਅਸ 'ਤੇ ਘਰ ਨੂੰ ਗਰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ C ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ T(d) ਸਾਲ ਦੇ ਦਿਨ d 'ਤੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਦਿਨ ਲਈ, ਲਾਗਤ = C(T(d)) ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਲਾਗਤ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਸਾਲ ਦੇ ਦਿਨ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਤਾਪਮਾਨ T(d) 'ਤੇ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਦੇ 5ਵੇਂ ਦਿਨ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਔਸਤ ਤਾਪਮਾਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ T(5) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਤਾਪਮਾਨ 'ਤੇ ਲਾਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ C(T(5)) ਲਿਖਾਂਗੇ।
ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਭਾਗ ਦਾ ਫੋਕਸ ਹੈ।
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਮੌਜੂਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦਾ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਤਰੀਕਾ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਆਮ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨਾਲ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਸਾਡੇ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਮਿਆਦ ਵਿੱਚ ਪਤੀ ਅਤੇ ਪਤਨੀ ਦੀਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸਾਲਾਨਾ ਆਮਦਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਦੋ ਕਾਲਮ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜਿਸ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਘਰੇਲੂ ਆਮਦਨ ਹੋਵੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਹਰ ਸਾਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਸਿਰਫ਼ ਉਸ ਸਾਲ ਦੀ ਆਮਦਨ ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਾਰਾ ਡਾਟਾ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਇਕੱਠਾ ਕਰਕੇ। ਜੇ w(y) ਪਤਨੀ ਦੀ ਆਮਦਨ ਹੈ ਅਤੇ h(y) ਸਾਲ y ਵਿੱਚ ਪਤੀ ਦੀ ਆਮਦਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ T ਨੂੰ ਕੁੱਲ ਆਮਦਨ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇ ਇਹ ਹਰ ਸਾਲ ਸੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇਸ ਜੋੜ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋੜੇ ਲਈ ਅੰਤਰ, ਗੁਣਨਫਲ, ਅਤੇ ਅਨੁਪਾਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ) ਅਤੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਆਮ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋ ਸਕਣ, ਅਤੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਇਕਾਈਆਂ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਕੋਈ ਇਕਾਈ ਨਹੀਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ)। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ, ਘਟਾਉਣ, ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f(x) ਅਤੇ g(x) ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f+g, f−g, fg, ਅਤੇ f/g ਨੂੰ ਸਬੰਧਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਕਰਨਾ
f(x)=x−1 ਅਤੇ g(x)=x^2−1 ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ (g−f)(x) ਅਤੇ (g f)(x) ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ। ਕੀ ਉਹ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਆਮ ਰੂਪ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਨਹੀਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ ਹਨ।
ਨੋਟ: (g f)(x) ਲਈ, ਸ਼ਰਤ x≠1 ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ x=1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
1. ( fg )( x ) ਅਤੇ ( f−g )( x ) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
2. ਕੀ ਉਹ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ?
3. ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਓ
4. ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਕਾਰਜ ਕਰਨ ਨਾਲ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦੁਆਰਾ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਲ ਦੇ ਇੱਕ ਦਿਨ ਤੋਂ ਹੀਟਿੰਗ ਲਾਗਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਇਆ ਜੋ ਇੱਕ ਦਿਨ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਵਜੋਂ ਲਾਗਤ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਬਣਨ ਦੇਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਯੋਜਨ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:
5. ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ "f "f composed with g g at x," x," ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ "f "f of g g of x." x." ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਇੱਕੋ ਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥ ਹਨ ਅਤੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ∘ ∘ ਰਚਨਾ ਆਪਰੇਟਰ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਆਪਰੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਉਦੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੱਤੇ ਬਿਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ 'ਤੇ ਜ਼ੋਰ ਦੇਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਰਚਨਾ ਇੱਕ ਬਾਈਨਰੀ ਆਪਰੇਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੋੜ ਜਾਂ ਗੁਣਾ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਸੰਖਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਰਚਨਾ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਨਾਲ ਗਲਤ ਨਾ ਸਮਝਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ, ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ f(g(x))≠f(x)g(x)।
6. ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਵੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਪੈਰੇਨਥੀਸਿਸ ਨਾਲ ਆਮ ਪਰੰਪਰਾ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਸਭ ਤੋਂ ਅੰਦਰਲੇ ਪੈਰੇਨਥੀਸਿਸ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ g g ਪਹਿਲਾਂ ਇਨਪੁਟ x x ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ g( x ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f f g( x ) g( x ) ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁਟ f( g( x ) ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
7. ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, f∘g f∘g ਅਤੇ g∘f g∘f ਵੱਖਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਈ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ f( g( x ) )≠g( f( x ) ) f( g( x ) )≠g( f( x ) ) ਸਾਰੇ x ਲਈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਕਈ ਵਾਰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹੀ ਜੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
8. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ f( x )= x 2 f( x )= x 2 ਅਤੇ g( x )=x+2, g( x )=x+2, ਤਾਂ
9. ਪਰ
10. ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਹ ਅਪ੍ਰਸੰਗਿਕ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ x=− 1 2 ਦੇ ਇੱਕਲੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ।
11. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅੰਦਰਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਪਹਿਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਹੈ) ਦੀ ਰੇਂਜ ਬਾਹਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਘੱਟ ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਰਚਨਾ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ ਅਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਮਝ ਆਉਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।
12. ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ
13. ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਪੂਰੀ ਕਾਰਵਾਈ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਇਨਪੁਟ x x ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ f f ਅਤੇ g, g ਲਈ, ਇਹ ਕਾਰਵਾਈ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ f∘g f∘g ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:
14. ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ f∘g f∘g ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ x x ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x x g g ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ g( x ) g( x ) f f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ।
15. ਇਹ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ fg fg ਫੰਕਸ਼ਨ ਰਚਨਾ f( g( x ) ), f( g( x ) ) ਦੇ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, f( x )g( x )≠f( g( x ) )।
16. ਉਦਾਹਰਨ 2
17. ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਦੇ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨਾ
18. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, f( g( x ) ) f( g( x ) ) ਅਤੇ g( f( x ) ) g( f( x ) ) ਲੱਭੋ। ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਹੈ।
19. ਹੱਲ
20. ਆਓ f( x ) f( x ) ਵਿੱਚ g( x ) g( x ) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
21. ਹੁਣ ਅਸੀਂ g( x ) g( x ) ਵਿੱਚ f( x ) f( x ) ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
22. ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g(f(x))≠f(g(x)), g(f(x))≠f(g(x)), ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਰਚਨਾ ਦਾ ਕਾਰਜ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ।
23. ਉਦਾਹਰਨ 3
24. ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨਾ
The function c(s) c(s) gives the number of calories burned completing s s sit-ups, and s(t) s(t) gives the number of sit-ups a person can complete in t t minutes. Interpret c(s(3)). c(s(3)).
Solution
The inside expression in the composition is s(3). s(3). Because the input to the s-function is time, t=3 t=3 represents 3 minutes, and s(3) s(3) is the number of sit-ups completed in 3 minutes.
Using s(3) s(3) as the input to the function c(s) c(s) gives us the number of calories burned during the number of sit-ups that can be completed in 3 minutes, or simply the number of calories burned in 3 minutes (by doing sit-ups).
Example 4
Investigating the Order of Function Composition
Suppose f(x) f(x) gives miles that can be driven in x x hours and g(y) g(y) gives the gallons of gas used in driving y y miles. Which of these expressions is meaningful: f( g(y) ) f( g(y) ) or g( f(x) )? g( f(x) )?
Solution
The function y=f( x ) y=f( x ) is a function whose output is the number of miles driven corresponding to the number of hours driven.
The function g( y ) g( y ) is a function whose output is the number of gallons used corresponding to the number of miles driven. This means:
The expression g(y) g(y) takes miles as the input and a number of gallons as the output. The function f(x) f(x) requires a number of hours as the input. Trying to input a number of gallons does not make sense. The expression f( g(y) ) f( g(y) ) is meaningless.
The expression f(x) f(x) takes hours as input and a number of miles driven as the output. The function g(y) g(y) requires a number of miles as the input. Using f(x) f(x) (miles driven) as an input value for g(y), g(y), where gallons of gas depends on miles driven, does make sense. The expression g( f(x) ) g( f(x) ) makes sense, and will yield the number of gallons of gas used, g, g, driving a certain number of miles, f(x), f(x), in x x hours.
Q&A
Are there any situations where f(g(y)) f(g(y)) and g(f(x)) g(f(x)) would both be meaningful or useful expressions?
Yes. For many pure mathematical functions, both compositions make sense, even though they usually produce different new functions. In real-world problems, functions whose inputs and outputs have the same units also may give compositions that are meaningful in either order.
Try It #2
The gravitational force on a planet a distance r from the sun is given by the function G(r). G(r). The acceleration of a planet subjected to any force F F is given by the function a(F). a(F). Form a meaningful composition of these two functions, and explain what it means.
Evaluating Composite Functions
Once we compose a new function from two existing functions, we need to be able to evaluate it for any input in its domain. We will do this with specific numerical inputs for functions expressed as tables, graphs, and formulas and with variables as inputs to functions expressed as formulas. In each case, we evaluate the inner function using the starting input and then use the inner function’s output as the input for the outer function.
Evaluating Composite Functions Using Tables
When working with functions given as tables, we read input and output values from the table entries and always work from the inside to the outside. We evaluate the inside function first and then use the output of the inside function as the input to the outside function.
Example 5
Using a Table to Evaluate a Composite Function
Using Table 1, evaluate f(g(3)) f(g(3)) and g(f(3)). g(f(3)).
row: x x | f(x) f(x) | g(x) g(x)
row: 1 | 6 | 3
row: 2 | 8 | 5
row: 3 | 3 | 2
row: 4 | 1 | 7
Solution
To evaluate f(g(3)), f(g(3)), we start from the inside with the input value 3. We then evaluate the inside expression g(3) g(3) using the table that defines the function g: g: g(3)=2. g(3)=2. We can then use that result as the input to the function f, f, so g(3) g(3) is replaced by 2 and we get f(2). f(2). Then, using the table that defines the function f, f, we find that f(2)=8. f(2)=8.
To evaluate g(f(3)), g(f(3)), we first evaluate the inside expression f(3) f(3) using the first table: f(3)=3. f(3)=3. Then, using the table for g, g, we can evaluate
Table 2 shows the composite functions f∘g f∘g and g∘f g∘f as tables.
row: x x | g( x ) g( x ) | f( g( x ) ) f( g( x ) ) | f( x ) f( x ) | g( f( x ) ) g( f( x ) )
row: 3 | 2 | 8 | 3 | 2
Try It #3
Using Table 1, evaluate f(g(1)) f(g(1)) and g(f(4)). g(f(4)).
Evaluating Composite Functions Using Graphs
When we are given individual functions as graphs, the procedure for evaluating composite functions is similar to the process we use for evaluating tables. We read the input and output values, but this time, from the x- x- and y- y- axes of the graphs.
How To
Given a composite function and graphs of its individual functions, evaluate it using the information provided by the graphs.
Locate the given input to the inner function on the x- x- axis of its graph.
Read off the output of the inner function from the y- y- axis of its graph.
Locate the inner function output on the x- x- axis of the graph of the outer function.
Read the output of the outer function from the y- y- axis of its graph. This is the output of the composite function.
Example 6
Using a Graph to Evaluate a Composite Function
Using Figure 1, evaluate f(g(1)). f(g(1)).
Solution
f(g(1)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
g(1) ਦਾ ਮੁੱਲ, g(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ 1 ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਲੱਭ ਕੇ ਅਤੇ ਉਸ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਕੇ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ, g(1)=3। ਅਸੀਂ ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ f ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ, x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ 3 ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਲੱਭ ਕੇ ਅਤੇ ਇਸ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਪੜ੍ਹ ਕੇ ਕੰਪੋਜ਼ਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ, f(3)=6, ਇਸ ਲਈ f(g(1))=6।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 3 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਪਾਥ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰਨ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਤੀਰਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਨਿਸ਼ਾਨਬੱਧ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰੈਕਟਿਸ ਕਰੋ #4
ਚਿੱਤਰ 1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, g(f(2)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੰਪੋਜ਼ਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੰਪੋਜ਼ਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਬਣਾਇਆ ਹੈ ਜਾਂ ਸਾਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਤਾਂ ਅੰਦਰੋਂ ਬਾਹਰ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਬਾਹਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁਟ ਹੋਵੇਗਾ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ, ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨਾਮ, ਜਾਂ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਕੰਪੋਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਕਈ ਵਾਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ f(g(x)) ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਗਿਣਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਵਧਾਵਾਂਗੇ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ f(t)=t^2−t ਵਰਗੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕੋਠੇ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਜਿੱਥੇ ਵੀ ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਉੱਥੇ ਬਦਲ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕੰਪੋਜ਼ਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਟਪੁਟ ਨੂੰ ਬਾਹਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਜੋਂ ਵਰਤੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਇਨਪੁਟ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ f(t)=t^2−t ਅਤੇ h(x)=3x+2, f(h(1)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਦਰੂਨੀ ਸਮੀਕਰਨ h(1) ਹੈ, ਅਸੀਂ 1 'ਤੇ h(x) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ f(h(1))=f(5), ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ 5 ਦੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ f(t) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ t ਅਤੇ x ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਾਮ ਨਾਲ ਬੁਲਾਇਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰੈਕਟਿਸ ਕਰੋ #5
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ f(t)=t^2−t ਅਤੇ h(x)=3x+2,
ⓐ h(f(2)) h(f(2))
ⓑ h(f(−2)) h(f(−2))
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f∘g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਜਾਨਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਦੋਂ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕਦੋਂ ਨਹੀਂ, ਭਾਵ, f∘g ਵਰਗੇ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਜਾਨਣਾ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਫਲਨ f ਅਤੇ g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਇਨਪੁਟ x ਲਈ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਨੂੰ f( g( x ) ) ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਤੁਰੰਤ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x, g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਾ ਮੈਂਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਸਮੀਕਰਨ ਅਰਥਪੂਰਨ ਹੋਵੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਾ ਮੈਂਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ f( g( x ) ) ਵਿੱਚ ਦੂਜੀ ਫਲਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ, ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਅਜੇ ਵੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ f∘g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਿਰਫ਼ g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ g ਤੋਂ f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ g ਨਾਲ ਸੰਯੁਕਤ f ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੇ x ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ x, g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ f( g( x ) ) ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਾਂ x ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹਨ ਜਿਸ ਲਈ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਫਲਨ ਸੰਯੋਜਨ f(g(x)) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭੋ।
f ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭੋ।
g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਾਂ x ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਭਾਵ, g ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚੋਂ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟਾਂ x ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢੋ ਜਿਸ ਲਈ g( x ), f ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਸਮੂਹ f∘g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭਣਾ
ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭੋ
ਹੱਲ
g( x ) ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ x= 2/3 , ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਸਾਨੂੰ 0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦਾ ਕਾਰਨ ਬਣੇਗਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, f ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ 1 ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ g( x ) ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚੋਂ ਉਹ x ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕੱਢਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ g( x )=1।
ਇਸ ਲਈ f∘g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ 2/3 ਅਤੇ 2 ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ
ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਅੰਤਰਾਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭਣਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੈਡੀਕਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ
ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਲੱਭੋ
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਨਹੀਂ ਲੈ ਸਕਦੇ, g ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ( −∞,3 ] ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
( f∘g )(x)= 3−x+2 , 3−x+2 ≥0, ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮੂਲ ਦਾ ਰੈਡੀਕੈਂਡ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮੂਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, 3−x ≥0 , ਜਾਂ, 3−x ≥0, ਜੋ ਕਿ (-∞,3] ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਉਦਾਹਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਾਰਜਾਂ (ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਕਾਰਜ) ਦੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਗਿਆਨ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਵੀ ਸਹਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਹ ਵੀ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ f∘g ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਜਿਹੇ ਮੁੱਲ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ f ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਉਹ g ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #6
ਡੋਮੇਨ ਲੱਭੋ
ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ
ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵੰਡਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਸਰਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰੀਕੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਹ ਵੰਡ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਭ ਤੋਂ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਲੱਗਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵੰਡਣਾ
f(x)= 5− x 2 ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ, g ਅਤੇ h, ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ f(x)=g(h(x)) ਹੋਵੇ। ਅਜਿਹਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x) ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ 5− x 2 ਵਰਗਮੂਲ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹਿੱਸਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਜੋੜ ਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #7
f(x)= 4 3− 4+ x 2 ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵੰਡੋ
ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ
ਮੌਖਿਕ
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, f g ਦੇ ਭਾਗਫਲ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, f∘g ਦੀ ਰਚਨਾ ਕੀ ਹੈ?
1. ਜੇਕਰ ਦੋ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਕ੍ਰਮ ਉਲਟਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਕੀ ਨਤੀਜਾ ਕਦੇ ਵੀ ਮੂਲ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਜਵਾਬ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਜੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ। ਜੇ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਦੱਸੋ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ।
2. ਦੋ ਫਲਨਾਂ, f∘g, ਦੀ ਰਚਨਾ ਲਈ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਦੇ ਹਨ? f∘g?
3. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
4. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ (domain) ਅੰਤਰਾਲ ਸੰਕੇਤ (interval notation) ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
5. ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)= x 2 +2x ਅਤੇ g(x)=6− x 2 , f+g,f−g,fg, ਅਤੇ f g ਲੱਭੋ।
6. ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)=−3 x 2 +x ਅਤੇ g(x)=5, f+g,f−g,fg, ਅਤੇ f g ਲੱਭੋ।
7. ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)=2 x 2 +4x ਅਤੇ g(x)= 1 2x , f+g,f−g,fg, ਅਤੇ f g ਲੱਭੋ।
8. ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)= 1 x−4 ਅਤੇ g(x)= 1 6−x , f+g,f−g,fg, ਅਤੇ f g ਲੱਭੋ।
9. ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)=3 x 2 ਅਤੇ g(x)= x−5 , f+g,f−g,fg, ਅਤੇ f g ਲੱਭੋ।
10. ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)= x ਅਤੇ g(x)=|x−3|, g f ਲੱਭੋ।
11. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)=2 x 2 +1 ਅਤੇ g(x)=3x−5 ਤੋਂ ਸੂਚਿਤ ਫਲਨ ਲੱਭੋ।
12. ⓐ f(g(2))
13. ⓑ f(g(x))
14. ⓒ g(f(x))
15. ⓓ ( g∘g )( x )
16. ⓔ ( f∘f )( −2 )
17. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਜੋੜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f( g( x ) ) ਅਤੇ g( f( x ) ) ਲੱਭੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
18. f(x)= x 2 +1,g(x)= x+2
19. f(x)= x +2,g(x)= x 2 +3
20. f(x)=| x |,g(x)=5x+1
21. f(x)= x 3 ,g(x)= x+1 x 3
22. f(x)= 1 x−6 ,g(x)= 7 x +6
23. f(x)= 1 x−4 ,g(x)= 2 x +4
24. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f( g( h(x) ) ) ਲੱਭੋ। ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
f(x)= x 4 +6, f(x)= x 4 +6, g(x)=x−6, g(x)=x−6, and h(x)= x h(x)= x
f(x)= x 2 +1, f(x)= x 2 +1, g(x)= 1 x , g(x)= 1 x , and h(x)=x+3 h(x)=x+3
Given f(x)= 1 x f(x)= 1 x and g(x)=x−3, g(x)=x−3, find the following:
ⓐ (f∘g)(x) (f∘g)(x)
ⓑthe domain of (f∘g)(x) (f∘g)(x) in interval notation
ⓒ (g∘f)(x) (g∘f)(x)
ⓓthe domain of (g∘f)(x) (g∘f)(x)
ⓔ ( f g )(x) ( f g )(x)
Given f(x)= 2−4x f(x)= 2−4x and g(x)=− 3 x , g(x)=− 3 x , find the following:
ⓐ (g∘f)(x) (g∘f)(x)
ⓑ the domain of (g∘f)(x) (g∘f)(x) in interval notation
Given the functions f(x)= 1−x x andg(x)= 1 1+ x 2 , f(x)= 1−x x andg(x)= 1 1+ x 2 , find the following:
ⓐ (g∘f)(x) (g∘f)(x)
ⓑ (g∘f)(2) (g∘f)(2)
Given functions p(x)= 1 x p(x)= 1 x and m(x)= x 2 −4, m(x)= x 2 −4, state the domain of each of the following functions using interval notation:
ⓐ p(x) m(x) p(x) m(x)
ⓑ p(m(x)) p(m(x))
ⓒ m(p(x)) m(p(x))
Given functions q(x)= 1 x q(x)= 1 x and h(x)= x 2 −9, h(x)= x 2 −9, state the domain of each of the following functions using interval notation.
ⓐ q(x) h(x) q(x) h(x)
ⓑ q( h(x) ) q( h(x) )
ⓒ h( q(x) ) h( q(x) )
For f(x)= 1 x f(x)= 1 x and g(x)= x−1 , g(x)= x−1 , write the domain of (f∘g)(x) (f∘g)(x) in interval notation.
For the following exercises, find functions f(x) f(x) and g(x) g(x) so the given function can be expressed as h(x)=f( g(x) ). h(x)=f( g(x) ).
h(x) = (x+2)^2
h(x) = (x−5)^3
h(x) = 3x−5
h(x) = 4(x+2)^2
h(x) = 4+x^3
h(x) = 1/(2x−3)^3
h(x) = 1/(3x^2−4)^3
h(x) = (3x−2)/(x+5)^4
h(x) = ((8+x^3)/(8−x^3))^4
h(x) = 2x+6
h(x) = (5x−1)^3
h(x) = (x−1)/3
h(x) = |x^2+7|
h(x) = 1/(x−2)^3
h(x) = (1/(2x−3))^2
h(x) = (2x−1)/(3x+4)
ਗਰਾਫੀਕਲ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ f, f, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ g, g, ਦੇ ਗਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f( g(3) )
f( g(1) )
g( f(1) )
g( f(0) )
f( f(5) )
f( f(4) )
g( g(2) ) g( g(2) )
g( g(0) ) g( g(0) )
For the following exercises, use graphs of f(x), f(x), shown in Figure 6, g(x), g(x), shown in Figure 7, and h(x), h(x), shown in Figure 8, to evaluate the expressions.
g( f( 1 ) ) g( f( 1 ) )
g( f( 2 ) ) g( f( 2 ) )
f( g( 4 ) ) f( g( 4 ) )
f( g( 1 ) ) f( g( 1 ) )
f( h( 2 ) ) f( h( 2 ) )
h( f( 2 ) ) h( f( 2 ) )
f( g( h( 4 ) ) ) f( g( h( 4 ) ) )
f( g( f( −2 ) ) ) f( g( f( −2 ) ) )
Numeric
For the following exercises, use the function values for fand g fand g shown in Table 3 to evaluate each expression.
row: x x | f(x) f(x) | g(x) g(x)
row: 0 | 7 | 9
row: 1 | 6 | 5
row: 2 | 5 | 6
row: 3 | 8 | 2
row: 4 | 4 | 1
row: 5 | 0 | 8
row: 6 | 2 | 7
row: 7 | 1 | 3
row: 8 | 9 | 4
row: 9 | 3 | 0
f( g( 8 ) ) f( g( 8 ) )
f( g( 5 ) ) f( g( 5 ) )
g( f( 5 ) ) g( f( 5 ) )
g( f( 3 ) ) g( f( 3 ) )
f( f( 4 ) ) f( f( 4 ) )
f( f( 1 ) ) f( f( 1 ) )
g( g( 2 ) ) g( g( 2 ) )
g( g( 6 ) ) g( g( 6 ) )
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਿਅਕਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਰਣੀ 4 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ f ਅਤੇ g ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸਾਰਣੀ: x | f(x) | g(x)
ਸਾਰਣੀ: −3 | 11 | −8
ਸਾਰਣੀ: −2 | 9 | −3
ਸਾਰਣੀ: −1 | 7 | 0
ਸਾਰਣੀ: 0 | 5 | 1
ਸਾਰਣੀ: 1 | 3 | 0
ਸਾਰਣੀ: 2 | 1 | −3
ਸਾਰਣੀ: 3 | −1 | −8
(f∘g)(1)
(f∘g)(2)
(g∘f)(2)
(g∘f)(3)
(g∘g)(1)
(f∘f)(3)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f( g( 0 ) ) ਅਤੇ g( f(0) ) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f(x)=4x+8,g(x)=7− x 2
f(x)=5x+7,g(x)=4−2 x 2
f(x)= x+4 ,g(x)=12− x 3
f(x)= 1 x+2 ,g(x)=4x+3
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸੰਯੋਜਿਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ f(x)=2 x 2 +1 ਅਤੇ g(x)=3x+5 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
f( g(2) )
f( g(x) )
g( f(−3) )
(g∘g)(x)
ਵਿਸਥਾਰ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f(x)= x 3 +1 ਅਤੇ g(x)= x−1 3 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
(f∘g)(x) ਅਤੇ (g∘f)(x) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। ਦੋਵਾਂ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰੋ।
(f∘g)(2) ਅਤੇ (g∘f)(2) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
(g∘f)(x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ?
(f∘g)(x) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੀ ਹੈ?
ਮੰਨ ਲਓ f(x)= 1 x .
ⓐ(f∘f)(x) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ⓑਕੀ (f∘f)(x) ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਲਈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਭਾਗ (a) ਦੇ ਜਵਾਬ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, F(x)= (x+1) 5 , f(x)= x 5 , ਅਤੇ g(x)=x+1 ਮੰਨ ਲਓ।
ਸੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਝੂਠ: (g∘f)(x)=F(x)।
ਸੱਚ ਹੈ ਜਾਂ ਝੂਠ: (f∘g)(x)=F(x)।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਦੋਂ f(x)= x 2 +2 ਸਾਰੇ x≥0 ਲਈ ਅਤੇ g(x)= x−2 ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
(f∘g)(6);(g∘f)(6)
(g∘f)(a);(f∘g)(a)
(f∘g)(11);(g∘f)(11)
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਦੁਨਿਆਵੀ ਉਪਯੋਗ
ਫੰਕਸ਼ਨ D(p) D(p) ਉਹਨਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਮੰਗ ਕੀਮਤ p p ਹੋਣ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗੀ। ਉਤਪਾਦਨ ਲਾਗਤ C(x) C(x) x x ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਹੈ। $6 ਦੀ ਕੀਮਤ 'ਤੇ ਉਤਪਾਦਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਕਰੋਗੇ?
ⓐ D( C(6) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। D( C(6) ).
ⓑ C( D(6) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। C( D(6) ).
ⓒ D( C(x) )=6 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। D( C(x) )=6.
ⓓ C( D(p) )=6 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। C( D(p) )=6.
ਫੰਕਸ਼ਨ A(d) A(d) ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਦਰਦ-ਨਿਵਾਰਕ ਦਵਾਈ ਦੀ d d ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਵਿੱਚ ਅਨੁਭਵ ਕੀਤੇ ਗਏ 0 ਤੋਂ 10 ਦੇ ਪੈਮਾਨੇ 'ਤੇ ਦਰਦ ਦੇ ਪੱਧਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। t t ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਮਰੀਜ਼ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਦਵਾਈ ਦੀ ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ m(t) m(t) ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਮਰੀਜ਼ 4 ਦੇ ਦਰਦ ਦੇ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਕਦੋਂ ਹੋਵੇਗਾ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜਾ ਕਰੋਗੇ?
ⓐ A( m(4) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। A( m(4) ).
ⓑ m( A(4) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। m( A(4) ).
ⓒ A( m(t) )=4 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। A( m(t) )=4.
ⓓ m( A(d) )=4 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। m( A(d) )=4.
ਇੱਕ ਸਟੋਰ ਗਾਹਕਾਂ ਨੂੰ ਚੁਣੀਆਂ ਗਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਕੀਮਤ x x 'ਤੇ 30% ਦੀ ਛੋਟ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਸਟੋਰ ਕੈਸ਼ ਰਜਿਸਟਰ 'ਤੇ ਵਾਧੂ 15% ਦੀ ਛੋਟ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੀਮਤ ਫੰਕਸ਼ਨ P(x) P(x) ਲਿਖੋ ਜੋ ਅਸਲ ਕੀਮਤ x x ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂ ਦੀ ਅੰਤਿਮ ਕੀਮਤ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। (ਸੰਕੇਤ: ਆਪਣਾ ਜਵਾਬ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕੰਪੋਜੀਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।)
ਝੀਲ 'ਤੇ ਡਿੱਗਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਬੂੰਦ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਲਹਿਰ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ, ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ r(t)=25 t+2 , r(t)=25 t+2 ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਲਹਿਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। t=2 'ਤੇ ਲਹਿਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। t=2.
ਇੱਕ ਜੰਗਲ ਦੀ ਅੱਗ ਘਾਹ ਦੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੈਲਦੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਪੈਟਰਨ ਵਿੱਚ ਸਾੜ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸੜ ਰਹੇ ਘਾਹ ਦੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ r(t)=2t+1, r(t)=2t+1 ਫਾਰਮੂਲੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੇਂ, t t (ਮਿੰਟਾਂ) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਨੂੰ ਮਿਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਕੁੱਲ ਸੜੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਗੁਬਾਰੇ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r, r, ਇੰਚਾਂ ਵਿੱਚ, ਆਇਤਨ, V, V, ਨਾਲ r(V)= 3V 4π 3 , r(V)= 3V 4π 3 ਦੁਆਰਾ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਗੁਬਾਰੇ ਵਿੱਚ ਹਵਾ ਭਰੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ t t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਆਇਤਨ V(t)=10+20t, V(t)=10+20t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ r( V(t) ) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। r( V(t) ).
ⓑ ਉਹ ਸਹੀ ਸਮਾਂ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 10 ਇੰਚ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।
ਠੰਢੇ ਕੀਤੇ ਗਏ ਭੋਜਨ ਉਤਪਾਦ ਵਿੱਚ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਸੰਖਿਆ N(T)=23 T 2 −56T+1, N(T)=23 T 2 −56T+1, 3<T<33, 3<T<33 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ T T ਭੋਜਨ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਭੋਜਨ ਨੂੰ ਫਰਿੱਜ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਾਪਮਾਨ T(t)=5t+1.5, T(t)=5t+1.5 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ t t ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ।
ⓐ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨ N( T(t) ) ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। N( T(t) ).
ⓑ ਉਹ ਸਮਾਂ ਲੱਭੋ (ਦੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ) ਜਦੋਂ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 6752 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।