ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
x-ਧੁਰੇ ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਸੰਕੁਚਨ ਅਤੇ ਖਿਚਾਅ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: (ਸਿਹਰਾ: "ਮਿਸਕੋ"/ਫਲਿੱਕਰ)
ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਸ਼ੀਸ਼ਾ ਸਾਨੂੰ ਆਪਣਾ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਪਿੱਛੇ ਜੋ ਕੁਝ ਵੀ ਹੈ ਉਸਦੀ ਸਹੀ ਤਸਵੀਰ ਦੇਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਨੂੰ ਝੁਕਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੀਆਂ ਦੇਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਤਸਵੀਰਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲਚਕਦਾਰ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਨੂੰ ਮੋੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਇੱਕ ਕਾਰਨੀਵਲ ਮਜ਼ਾਕੀਆ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਵਾਂਗ, ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੀ ਵਿਗਾੜੀ ਹੋਈ ਤਸਵੀਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚੀ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਗਣਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਗਾੜ ਜਾਂ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਜਾਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
ਅਕਸਰ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਸਮੱਸਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸ਼ਬਦਾਂ, ਟੇਬਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਹੈ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣਾ ਤਾਂ ਜੋ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਨਵੇਂ ਮਾਡਲ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਣ। ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਲਈ ਢੁਕਵੇਂ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੇ ਵਿਵਸਥਿਤ ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਕਿਸਮ ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੂਰੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ, ਹੇਠਾਂ, ਸੱਜੇ, ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਸਧਾਰਨ ਸ਼ਿਫਟ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ, ਜੋ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਲੈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਸਥਿਰਾਂਕ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x)+k ਲਈ, g(x)=f(x)+k, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ k ਇਕਾਈਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਘਣ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=x³ ਦਾ k=1 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ। f(x)=x³।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਕਿ y=f(x)। ਇਸ ਲਈ, f(x)+k y+k ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। y ਦੇ ਹਰ ਇਕਾਈ ਨੂੰ y+k ਨਾਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, y+k, ਇਸ ਲਈ y-ਮੁੱਲ k ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਵਧਦਾ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, f(x), ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x)+k, g(x)=f(x)+k, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ k ਇਕਾਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਜੇ k ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇ k ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਜੋੜਨਾ
ਇੱਕ ਹਰੀ ਇਮਾਰਤ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਨਿਯੰਤ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਛੱਤ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹਵਾ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਵੈਂਟ ਦਿਨ ਭਰ ਖੁੱਲ੍ਹਦੇ ਅਤੇ ਬੰਦ ਹੁੰਦੇ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 3 ਰਾਤ ਦੇ ਮੱਧ ਤੋਂ ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ, t, ਦਿਨ ਭਰ ਵਿੱਚ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਵੈਂਟਾਂ V (ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਵਿੱਚ) ਦੇ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗਰਮੀਆਂ ਦੌਰਾਨ, ਸੁਵਿਧਾ ਪ੍ਰਬੰਧਕ ਦਿਨ ਅਤੇ ਰਾਤ ਦੌਰਾਨ 20 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਤੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਵੈਂਟਾਂ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਵਧਾ ਕੇ ਤਾਪਮਾਨ ਨੂੰ ਬਿਹਤਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਨਿਯੰਤ੍ਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 20 ਜੋੜ ਕੇ ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ 20 ਵਧ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ S(t) ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਇਹ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ, t ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੁੱਲ ਲਈ, S(t) ਨੂੰ ਉਸੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ V ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਵਿੱਚ 20 ਜੋੜ ਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ S ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ V ਦੇ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ 20 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੇ ਨਾਲ, ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ। ਟੇਬਲ 1 ਦੇਖੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਙ ਙ | 0 | 8 | 10 | 17 | 19 | 24
2. ਕਤਾਰ: V(ਙ) V(ਙ) | 0 | 0 | 220 | 220 | 0 | 0
3. ਕਤਾਰ: S( ਙ ) S( ਙ ) | 20 | 20 | 240 | 240 | 20 | 20
4. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
5. ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕਤਾਰ ਬਣਾਓ।
6. ਆਉਟਪੁੱਟ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
7. ਸ਼ਿਫਟ ਦੇ ਮਾਪ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
8. ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਸੈੱਲ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਜੋੜੋ। ਉੱਪਰ ਲਈ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਜੋੜੋ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 2
10. ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ
11. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x ) f( x ) ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x)−3 ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ। g(x)=f(x)−3।
12. ਕਤਾਰ: x x | 2 | 4 | 6 | 8
13. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
14. ਹੱਲ
15. ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)=f(x)−3 g(x)=f(x)−3 ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਘਟਾ ਕੇ g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। f। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
16. ਹਰੇਕ f( x ) f( x ) ਮੁੱਲ ਵਿੱਚੋਂ 3 ਘਟਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ g( x ) g( x ) ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਪੂਰਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
17. ਕਤਾਰ: x x | 2 | 4 | 6 | 8
18. ਕਤਾਰ: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
19. ਕਤਾਰ: g(x) g(x) | −2 | 0 | 4 | 8
20. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
21. ਪਿਛਲੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਵਾਂਗ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ।
22. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
23. ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−4.9 t 2 +30t h(t)=−4.9 t 2 +30t t ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟੇ ਗਏ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ h h (ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 10-ਮੀਟਰ ਦੀ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਚੋਟੀ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਉਚਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ b(t) b(t) ਨੂੰ h(t) h(t) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ b(t) b(t) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
24. ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ, ਜਾਂ ਬਾਹਰ, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਦਲਾਅ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ, ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਅਤੇ ਅਰਥ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਹਿਲਜੁਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 5: ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ। f(x)= x 3। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ (x+1)(x+1) ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ h=–1 h=–1, ਜੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ, ਯਾਨੀ x ਦੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਵੱਲ, ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ f(x)= x 2 , f(x)= x 2 , ਤਾਂ g(x)= (x−2) 2 g(x)= (x−2) 2 ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ 2 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਨੂੰ f ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਇਨਪੁੱਟ ਨੂੰ 2 ਯੂਨਿਟ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f, f ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g( x )=f( x−h ), g( x )=f( x−h ), ਜਿੱਥੇ h h ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੀ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ। f। ਜੇਕਰ h h ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ। ਜੇਕਰ h h ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨਾ
ਚਿੱਤਰ 3 ਤੋਂ ਸਾਡੇ ਬਿਲਡਿੰਗ ਏਅਰਫਲੋ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪਤਝੜ ਵਿੱਚ ਸੁਵਿਧਾ ਪ੍ਰਬੰਧਕ ਫੈਸਲਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੂਲ ਵੈਂਟਿੰਗ ਯੋਜਨਾ ਬਹੁਤ ਦੇਰ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੂਰੇ ਵੈਂਟਿੰਗ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਨੂੰ 2 ਘੰਟੇ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ V( t ) V( t ) ਨੂੰ ਮੂਲ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਅਤੇ F( t ) F( t ) ਨੂੰ ਸੰਸ਼ੋਧਿਤ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਵਜੋਂ ਸੈੱਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਨਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਸਮੇਂ, ਏਅਰਫਲੋ ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ V V 2 ਘੰਟੇ ਬਾਅਦ ਸੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ V ਵਿੱਚ, V, ਏਅਰਫਲੋ ਸਵੇਰੇ 8 ਵਜੇ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ F, F, ਲਈ ਏਅਰਫਲੋ ਸਵੇਰੇ 6 ਵਜੇ ਬਦਲਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ V(8)=F(6) ਹਨ। V(8)=F(6)। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਮੂਲ ਯੋਜਨਾ ਦੇ ਤਹਿਤ ਸਵੇਰੇ 10 ਵਜੇ ਵੈਂਟ ਪਹਿਲਾਂ 220 ft 2 220 ft 2 ਤੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਸਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਨਵੀਂ ਯੋਜਨਾ ਦੇ ਤਹਿਤ ਵੈਂਟ ਸਵੇਰੇ 8 ਵਜੇ 220 ft 2 220 ft 2 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ V(10)=F(8)। V(10)=F(8)।
ਦੋਵਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ F( t ) F( t ) 2 ਘੰਟੇ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, h=−2। h=−2। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ F(t)=V(t−( −2 ))=V( t+2 )। F(t)=V(t−( −2 ))=V( t+2 )।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ V(t+2) V(t+2) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਜਾਂ "ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ" ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ (ਇਨਪੁੱਟ) ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਨਾ ਕਿ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਅਤੇ ਅਕਸਰ ਉਲਟ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ F( t ) F( t ) V( t ) ਦੇ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, V( t ), ਪਰ ਉਹਨਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਨੂੰ V( t ) ਦੇ ਇਨਪੁੱਟਾਂ ਤੋਂ 2 ਘੰਟੇ ਪਹਿਲਾਂ ਮੇਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। V( t )। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, F ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ V ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ 2 ਘੰਟੇ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ: F(t)=V(t+2)। F:F(t)=V(t+2)।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਕਤਾਰ ਬਣਾਓ।
ਇਨਪੁੱਟ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹਰੇਕ ਇਨਪੁੱਟ ਸੈੱਲ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਜੋੜੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਟੇਬਲ 4 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(x−3) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ। g(x)=f(x−3)।
ਕਤਾਰ: x x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਾਰਣੀ: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
ਹੱਲ
ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)=f(x−3) g(x)=f(x−3) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਤੋਂ 3 ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(2)=1। g ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ 3 ਵੱਡਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ g(x) g(x) ਲਈ 3 ਵੱਡਾ ਮੁੱਲ ਇਨਪੁੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ 3 ਘਟਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਹੋਰ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਸਾਰਣੀ 5 ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।
ਸਾਰਣੀ: x x | 5 | 7 | 9 | 11
ਸਾਰਣੀ: x−3 x−3 | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਾਰਣੀ: f(x–3) f(x–3) | 1 | 3 | 7 | 11
ਸਾਰਣੀ: g(x) g(x) | 1 | 3 | 7 | 11
ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) g(x) ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਖਿਸਕਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। g(x) g(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨੋਟ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ f(x) f(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਪਰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, x, x, ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਖਿਸਕ ਗਏ ਹਨ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, 2, 5 'ਤੇ ਖਿਸਕ ਗਿਆ, 4, 7 'ਤੇ ਖਿਸਕ ਗਿਆ, 6, 9 'ਤੇ ਖਿਸਕ ਗਿਆ, ਅਤੇ 8, 11 'ਤੇ ਖਿਸਕ ਗਿਆ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 7 ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 8 ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) g(x) ਨੂੰ f(x), f(x) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ g(x) g(x) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੈ, ਪਰ x-ਮੁੱਲ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 2 ਯੂਨਿਟ ਖਿਸਕ ਗਏ ਹਨ। ਵਰਟੈਕਸ (0,0) 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਸੀ, ਪਰ ਹੁਣ ਵਰਟੈਕਸ (2,0) 'ਤੇ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਬੇਸਿਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੋ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 2 ਯੂਨਿਟ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ y=0 y=0 ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ x=2 x=2 ਮੁੱਲ ਇਨਪੁੱਟ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ; ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ 2 ਯੂਨਿਟਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋਣ ਕਾਰਨ x-ਮੁੱਲ 2 ਯੂਨਿਟ ਵੱਡੇ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਫਿਰ f(x−2) f(x−2) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ g(x) g(x) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣ ਲਈ f(x) f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਸ਼ਿਫਟ +2 +2 ਹੈ ਜਾਂ −2 −2 , ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਲਈ, ਵਰਟੈਕਸ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਦੇਖਣਾ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੈ। ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, f(0)=0। ਸਾਡੇ ਖਿਸਕੇ ਹੋਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, g(2)=0। ਫੰਕਸ਼ਨ f, f ਤੋਂ 0 ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਫੈਸਲਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ g(2)=f(x−2)=f(0)=0 g(2)=f(x−2)=f(0)=0 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ ਪਲੱਸ ਜਾਂ ਮਾਈਨਸ ਚਿੰਨ੍ਹ ਕੰਮ ਕਰੇਗਾ। ਇਸ ਨੂੰ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਆਪਣੇ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ 2 ਯੂਨਿਟ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਖਿਤਿਜੀ ਬਨਾਮ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ
ਫੰਕਸ਼ਨ G(m) G(m) m m ਮੀਲ ਚਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਗੈਸ ਦੇ ਗੈਲਨ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। G(m)+10 G(m)+10 ਅਤੇ G(m+10) G(m+10) ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
G(m)+10 G(m)+10 ਨੂੰ ਆਉਟਪੁੱਟ, ਗੈਲਨ, ਵਿੱਚ 10 ਜੋੜਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ m m ਮੀਲ ਚਲਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀ ਗੈਸ ਹੈ, ਨਾਲ ਹੀ 10 ਗੈਲਨ ਗੈਸ ਹੋਰ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਰਸਾਏਗਾ।
G(m+10) G(m+10) ਨੂੰ m ਮੀਲਾਂ ਤੋਂ 10 ਮੀਲ ਵੱਧ ਚੱਲਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਗੈਸ ਦੇ ਗੈਲਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਸੰਕੇਤ ਦੇਵੇਗਾ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #2
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x , f(x)= x , ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) f(x) ਅਤੇ ਪਰਿਵਰਤਨ g(x)=f(x+2) g(x)=f(x+2) ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ। ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ? ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਕਿੰਨੀਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ?
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਬਾਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਆਉਟਪੁੱਟ (y-) ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਇਨਪੁੱਟ (x-) ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੋਵਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦੋਵਾਂ ਨਾਲ, ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਲੈ ਜਾਓ।
ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਦੇ ਇਨਪੁੱਟ ਵਿੱਚ ਜੋੜਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਲਈ ਸੱਜੇ ਲੈ ਜਾਓ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸੰਯੁਕਤ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)=| x |, f(x)=| x |, h(x)=f(x+1)−3. h(x)=f(x+1)−3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਫੰਕਸ਼ਨ f ਸਾਡਾ ਟੂਲਕਿੱਟ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ V ਆਕਾਰ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ। h ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f ਨੂੰ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ: f(x+1) f(x+1) ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 1 ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ f(x+1)−3 f(x+1)−3 ਵਿੱਚ 3 ਦੁਆਰਾ ਘਟਾਉ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰ ਇੱਕ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ 3 ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਆਓ f(x)=| x |. f(x)=| x | ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰੀਏ।
ਬਿੰਦੂ (0,0) (0,0) ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ 1 ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਕੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: (0,0)→(−1,0) (0,0)→(−1,0)
ਬਿੰਦੂ (−1,0) (−1,0) ਨੂੰ ਅੱਗੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਕੇ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: (−1,0)→(−1,−3) (−1,0)→(−1,−3)
ਚਿੱਤਰ 10 h. h ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #3
ਦਿੱਤੇ ਗਏ f(x)=| x |, f(x)=| x |, h(x)=f(x−2)+4. h(x)=f(x−2)+4 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਸੰਯੁਕਤ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
1. ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ, ਜੋ ਕਿ ਟੂਲਕਿੱਟ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਹੈ।
2. ਹੱਲ
3. ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1 ਸੱਜੇ ਅਤੇ 2 ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
4. ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
5. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
6. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਨੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਡੋਮੇਨ [1,∞) ਅਤੇ ਰੇਂਜ [2,∞) ਹੈ।
7. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
8. ਟੂਲਕਿੱਟ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 1/x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਉਂਦਾ ਹੈ।
9. ਧੁਰਿਆਂ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
10. ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੂਪਾਂਤਰਨ x- ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
11. ਚਿੱਤਰ 12: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ।
12. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬੇਸ ਜਾਂ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬੇਸ ਜਾਂ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
13. ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
14. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) = -f(x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ (ਜਾਂ ਉੱਪਰ, ਜਾਂ ਰਾਹੀਂ) ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
15. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) = f(-x) ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
17. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਦੋਵਾਂ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ।
18. ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਈ ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
19. ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਈ ਸਾਰੇ ਇਨਪੁੱਟਾਂ ਨੂੰ –1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਨਵਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 9
21. ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨਾ
22. s(t) = √t ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ (a) ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ (b) ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ।
23. ਹੱਲ
24. ⓐ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ t-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਮੂਲ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਅਸੀਂ V(t) = -s(t) ਜਾਂ V(t) = -√t ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ, ਜੋ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ s(t) ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ⓑ Reflecting horizontally means that each input value will be reflected over the vertical axis as shown in Figure 14. Figure 14 Horizontal reflection of the square root function Because each input value is the opposite of the original input value, we can write H(t)=s(−t)or H(t)= −t H(t)=s(−t)or H(t)= −t Notice that this is an inside change or horizontal change that affects the input values, so the negative sign is on the inside of the function. Note that these transformations can affect the domain and range of the functions. While the original square root function has domain [0,∞) [0,∞) and range [0,∞), [0,∞), the vertical reflection gives the V(t) V(t) function the range ( −∞,0 ] ( −∞,0 ] and the horizontal reflection gives the H(t) H(t) function the domain ( −∞,0 ]. ( −∞,0 ].
Try It #5
Reflect the graph of f(x)=|x−1| f(x)=|x−1| (a) vertically and (b) horizontally.
Example 10
Reflecting a Tabular Function Horizontally and Vertically
A function f(x) f(x) is given as Table 6. Create a table for the functions below.
ⓐ g(x)=−f(x) g(x)=−f(x)
ⓑ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x)
row: x x | 2 | 4 | 6 | 8
row: f(x) f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
Solution
ⓐ For g(x), g(x), the negative sign outside the function indicates a vertical reflection, so the x-values stay the same and each output value will be the opposite of the original output value. See Table 7. x x 2 4 6 8 g(x) g(x) –1 –3 –7 –11 Table 7
ⓑFor h(x), h(x), the negative sign inside the function indicates a horizontal reflection, so each input value will be the opposite of the original input value and the h(x) h(x) values stay the same as the f(x) f(x) values. See Table 8. x x −2 −4 −6 −8 h(x) h(x) 1 3 7 11 Table 8
Try It #6
A function f(x) f(x) is given as Table 9. Create a table for the functions below.
ⓐ g(x)=−f(x) g(x)=−f(x)
ⓑ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x)
row: x x | −2 | 0 | 2 | 4
row: f(x) f(x) | 5 | 10 | 15 | 20
Example 11
Applying a Learning Model Equation
A common model for learning has an equation similar to k(t)=− 2 −t +1, k(t)=− 2 −t +1, where k k is the percentage of mastery that can be achieved after t t practice sessions. This is a transformation of the function f(t)= 2 t f(t)= 2 t shown in Figure 15. Sketch a graph of k(t). k(t).
Solution
This equation combines three transformations into one equation.
ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ: f(−t)= 2 −t f(−t)= 2 −t
ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ: −f(−t)=− 2 −t −f(−t)=− 2 −t
ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ: −f(−t)+1=− 2 −t +1 −f(−t)+1=− 2 −t +1
ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਇਹਨਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਤਿੰਨ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਦੇਈਏ। ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ (0, 1) ਅਤੇ (1, 2) ਚੁਣਾਂਗੇ।
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (0, 1) (–1, 2)।
ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (0, -1) (-1, –2)
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ: (0, 0) (-1, -1)।
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ, (0,1) ਅਤੇ (1,2) ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ (0,0) ਅਤੇ (-1,-1) ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਦੂਜਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਤੀਜਾ 1 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਸਿੱਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਵਜੋਂ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ t≥0, t≥0 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਰੇਂਜ [0,1) ਹੋਵੇਗੀ। [0,1)।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 , f(x)= x 2 ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, g(x)=−f(x) g(x)=−f(x) ਅਤੇ h(x)=f(−x) h(x)=f(−x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ।
ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਜਿਹੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਜਾਂ f(x)=| x | f(x)=| x | ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦੇਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜੇਕਰ f(x)= x 3 f(x)= x 3 ਜਾਂ f(x)= 1 x f(x)= 1 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੋਵੇਂ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਮੂਲ ਗ੍ਰਾਫ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 17 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 17: (a) ਘਣ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ (b) ਘਣ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ (c) ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮੂਲ ਘਣ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਮੂਲ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਗ੍ਰਾਫ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਨੋਟ: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਸ਼ਮ ਜੇਕਰ ਇਹ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਸ਼ਮ। ਨਾਲ ਹੀ, ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਦੋਵੇਂ ਹੈ, ਉਹ ਸਥਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=0 ਹੈ। f(x)=0।
ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰ ਇਨਪੁਟ x ਲਈ
ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y- y- ਧੁਰੇ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਹਰ ਇਨਪੁਟ x ਲਈ
ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਦੇ ਬਾਰੇ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=f(−x) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮ ਹੈ।
ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−f(−x) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਵਿਖਮ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਵਿਖਮ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੋਣ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 +2x ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖੇ ਬਿਨਾਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲੱਭ ਕੇ ਅਤੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਕਿ ਕੀ ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ ਹੈ ਜਾਂ ਵਿਖਮ। ਆਓ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਨਹੀਂ ਲਿਆਉਂਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਨਿਯਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ −f(−x)=f(x), ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਖਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਲਈ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ (−x,−y) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, (1, 3) f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ (−1,−3) ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(s)= s 4 +3 s 2 +7 ਸਮ, ਵਿਖਮ, ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਸਟ੍ਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟਸ ਜਾਂ ਆਉਟਪੁਟਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਬਦਲ ਗਈ, ਪਰ ਇਸਨੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕੁਝ ਮਾਤਰਾ ਦੁਆਰਾ ਇਨਪੁਟਸ ਜਾਂ ਆਉਟਪੁਟਸ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ (ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ) ਨੂੰ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਾਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰ (ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ) ਨੂੰ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਰ ਬਦਲਾਅ ਦਾ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵਰਟੀਕਲੀ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਥਿਰ 1 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਮਿਲਦਾ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਸਥਿਰ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 19 ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਕਾਰਕਾਂ 2 ਅਤੇ 0.5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 19: ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ
ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਅਤੇ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ
ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=af(x), ਜਿੱਥੇ a ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਸਟ੍ਰੈਚ ਜਾਂ ਵਰਟੀਕਲ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਹੈ।
ਜੇ a>1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
ਜੇ 0<a<1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸੰਕੋਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
ਜੇ a<0, ਤਾਂ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨ ਅਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੋਵੇਗਾ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਇਸਦੇ ਲੰਬੇ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
a ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਛਾਣੋ।
ਸਾਰੇ ਰੇਂਜ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਜੇ a>1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ 0<a<1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਕੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ a<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਜਾਂ ਤਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਲੰਬੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ P(t) ਫਲਾਈ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਚਿੱਤਰ 20 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਇਸ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਦੂਜੀ ਆਬਾਦੀ, Q, ਨਾਲ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਵਿਕਾਸ ਉਸੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਦੁਗਣਾ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਇਸ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਆਬਾਦੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਦੁਗਣੀ ਵੱਡੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਵੀਂ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਦੁਗਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ, ਇਹ ਚਿੱਤਰ 21 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਜੇ ਅਸੀਂ ਚਾਰ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂਆਂ, (0, 1), (3, 3), (6, 2) ਅਤੇ (7, 0) ਨੂੰ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਨਵੇਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਨਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਕਿੱਥੇ ਸਥਿਤ ਹੋਣਗੇ।
ਚਿੰਨ੍ਹਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਬੰਧ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਇਨਪੁੱਟ t ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ Q ਦਾ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ P ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਖਿੱਚ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦੂਰੀ ਦੁਗਣੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, t, ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪਹਿਲਾਂ ਨਾਲੋਂ ਦੁਗਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨ ਹੈ, ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਸੰਕੋਚਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
a ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ a ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 14
ਇੱਕ ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਲੰਬੀ ਸੰਕੋਚਨ ਲੱਭਣਾ
1. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਨੂੰ ਟੇਬਲ 10 ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)= 1 2 f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
2. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
3. ਕਤਾਰ: f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
4. ਹੱਲ
5. ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)= 1 2 f(x) ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, ਉਸੇ ਇਨਪੁਟਸ ਨਾਲ, f f ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਅੱਧੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ f(4)=3।
6. ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 11 ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹੋਰ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
7. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
8. ਕਤਾਰ: g(x) | 1 2 | 3 2 | 7 2 | 11 2
9. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
10. ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 1 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਉਚਾਈ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
11. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #9
12. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f f ਨੂੰ ਟੇਬਲ 12 ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)= 3 4 f(x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
13. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
14. ਕਤਾਰ: f(x) | 12 | 16 | 20 | 0
15. ਉਦਾਹਰਨ 15
16. ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
17. ਚਿੱਤਰ 22 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= x 3 ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰ ਹੈ। ਇਸ ਨਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ f(x) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ g(x) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
18. ਹੱਲ
19. ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਮੁਕਾਬਲਤਨ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ g(2)=2। ਉਸੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਬੇਸਿਕ ਕਿਊਬਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ, f(2)= 2 3 =8। ਇਸ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ f ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟਾਂ ਦਾ 1 4 ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ g(2)= 1 4 f(2)। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਕਾਫ਼ੀ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g(x)= 1 4 f(x)।
20. ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ g ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
21. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #10
22. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
23. ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨ
24. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਬਦਲਾਵਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਖਿਤਿਜੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਸਥਿਰਾਂਕ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਮਿਲਦੀ ਹੈ; ਜੇ ਸਥਿਰਾਂਕ 1 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
1. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ y=f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ y=f(bx) ਦਾ ਰੂਪ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=x^2 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 23 ਦੇਖੋ। y=(0.5x)^2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਫੰਕਸ਼ਨ y=x^2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਹੈ। y=(2x)^2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਫੰਕਸ਼ਨ y=x^2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਹੈ।
2. ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ
3. ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(bx), ਜਿੱਥੇ b ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਹੈ।
4. ਜੇਕਰ b>1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ 1/b ਦੁਆਰਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
5. ਜੇਕਰ 0<b<1, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ 1/b ਦੁਆਰਾ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
6. ਜੇਕਰ b<0, ਤਾਂ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੋਵੇਗਾ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
8. ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਣਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਜਾਂ ਖਿੱਚ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
9. ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
10. ਸੰਕੋਚਨ ਲਈ b>1 ਜਾਂ ਖਿੱਚ ਲਈ 0<b<1 ਨਾਲ g(x)=f(bx) ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 16
12. ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
13. ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਫਲ ਮੱਖੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੋ ਆਪਣੀ ਜੀਵਨ-ਅਵਧੀ ਨੂੰ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪੂਰੀ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਨਵੀਂ ਆਬਾਦੀ, R, 1 ਘੰਟੇ ਵਿੱਚ ਉਹੀ ਮਾਤਰਾ ਪੂਰੀ ਕਰੇਗੀ ਜੋ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ 2 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ 2 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਉਨੀ ਹੀ ਮਾਤਰਾ ਪੂਰੀ ਕਰੇਗੀ ਜਿੰਨੀ ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ 4 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
16. ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਆਬਾਦੀ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਤੁਲਨਾ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 24 ਦੇਖੋ।
17. ਚਿੱਤਰ 24: (a) ਅਸਲ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ (b) ਸੰਕੁਚਿਤ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ
18. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
19. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲੰਬਕਾਰੀ ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਦੂਰੀ ਦੇ ਅੱਧੇ ਹਨ।
20. ਉਦਾਹਰਨ 17
21. ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਲੱਭਣਾ
22. ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਨੂੰ ਟੇਬਲ 13 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=f(1/2 x) ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
23. ਕਤਾਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
24. ਕਤਾਰ: f(x) | 1 | 3 | 7 | 11
1. ਹੱਲ
2. ਫਾਰਮੂਲਾ g(x)=f( 1 2 x ) ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ g ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਅੱਧੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਇਨਪੁਟ 'ਤੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ g(2) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ g(2)=f( 1 2 ⋅2 )=f(1), ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਾਡੀ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ f(1) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। g ਲਈ ਸਾਡੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਵੱਡਾ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਤਾਂ ਜੋ f ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ g(4) ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 14 ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਦੂਜੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
4. ਕਤਾਰ: x | 4 | 8 | 12 | 16
5. ਕਤਾਰ: g(x) | 1 | 3 | 7 | 11
6. ਚਿੱਤਰ 25 ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
7. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
8. ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦੁੱਗਣਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 18
10. ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ
11. ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 26 ਵਿੱਚ f(x) ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲ
13. g(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਾਂਗ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ f(x) (6,4) 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ g(x) (2,4) 'ਤੇ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ x-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ 1/3 ਦੁਆਰਾ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 6(1/3)=2। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g(2)=f(6) ਅਤੇ g(1)=f(3)। ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ g(x)=f(3x) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ 1/3 ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੈ।
14. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
15. ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਗੁਣਕ, ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਨ ਦਾ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ 4 ਦੇ ਸਕੇਲ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਡੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ 1/4 ਦਾ ਗੁਣਕ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ: f(1/4 x)। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸਮਾਨ ਨਤੀਜਾ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਵੱਡਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ ਵੱਡਾ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
17. ਟੂਲਕਿੱਟ ਵਰਗ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਿਖੋ।
18. ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮ ਕਰਨਾ
19. ਜਦੋਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 3 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ 2 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਣਾ, 2 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਣ ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਗ੍ਰਾਫ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਦੋਵੇਂ ਖਿੱਚੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਸਿਰਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
20. ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ 2f(x)+3 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਿਹੜਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ? ਇੱਥੇ ਜਵਾਬ ਆਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਤੋਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। f(x) ਦੇ ਆਉਟਪੁਟ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 3 ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸ਼ਿਫਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋੜ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਗੁਣਾ।
21. ਖਿਤਿਜੀ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣਾ ਥੋੜਾ ਹੋਰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ g(x)=f(2x+3) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸੋਚਣਾ ਪਵੇਗਾ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ g ਦੇ ਇਨਪੁਟ f ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ f(7)=12 ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। g ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਇਨਪੁਟ ਨਾਲ ਉਹ ਆਉਟਪੁਟ ਪੈਦਾ ਹੋਵੇਗਾ? ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, x ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ g(x)=f(2x+3)=12 ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇਵੇਗਾ? ਸਾਨੂੰ 2x+3=7 ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 3 ਘਟਾਵਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੋਵੇਗਾ, ਅਤੇ ਫਿਰ 2 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੋਵੇਗਾ।
22. ਇਹ ਫਾਰਮੈਟ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਮੁਸ਼ਕਲ ਸਾਬਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣਾ ਬਹੁਤ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਕਰਕੇ ਇਸ ਤੋਂ ਬਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
23. ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰੀਏ।
24. ਅਸੀਂ ਇੱਕ 2 ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਕਟਰਿੰਗ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣ ਅਤੇ ਫਿਰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਬਦੀਲ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।
ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ
ਜਦੋਂ af(x)+k ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਲੰਬਾਤਮਕ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ a ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਫਿਰ k ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਾਤਮਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਬਦੀਲ ਕਰੋ।
ਜਦੋਂ f(bx-h) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ h ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਬਦੀਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ 1/b ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੋ।
ਜਦੋਂ f(b(x-h)) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਹਿਲਾਂ 1/b ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਫਿਰ h ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਬਦੀਲ ਕਰੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਾਤਮਕ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਸੁਤੰਤਰ ਹਨ। ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਜਾਂ ਲੰਬਾਤਮਕ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 19
ਟੇਬੂਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਤੀਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਲੱਭਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਲਈ ਟੇਬਲ 15 ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=2f(3x)+1 ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
ਸਤਰ: x | 6 | 12 | 18 | 24
ਸਤਰ: f(x) | 10 | 14 | 15 | 17
ਹੱਲ
ਇਸ ਤਬਦੀਲੀ ਦੇ ਤਿੰਨ ਪੜਾਅ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਦਰੋਂ ਬਾਹਰ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ। ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, f(3x) 1/3 ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੋਚਨ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ 1/3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਟੇਬਲ 16 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਤਰ: f(3x) | 10 | 14 | 15 | 17
ਹੁਣ ਲੰਬਾਤਮਕ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਲੰਬਾਤਮਕ ਖਿੱਚ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਪਿਛਲੀ ਤਬਦੀਲੀ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਟੇਬਲ 17 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਤਰ: 2f(3x) | 20 | 28 | 30 | 34
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲੰਬਾਤਮਕ ਤਬਦੀਲੀ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ 1 ਜੋੜੇਗੀ। ਟੇਬਲ 18 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: x | 2 | 4 | 6 | 8
ਸਤਰ: g(x)=2f(3x)+1 | 21 | 29 | 31 | 35
ਉਦਾਹਰਨ 20
ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਤੀਹਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਲੱਭਣਾ
ਚਿੱਤਰ 27 ਵਿੱਚ f(x) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ k(x)=f(1/2 x+1)−3 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਸਰਲਤਾ ਲਈ, ਆਓ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
3. ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ 2 ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਦਰ 1 2 1 2 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ 0 ਦਾ ਦੁਗਣਾ ਅਜੇ ਵੀ 0 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਬਿੰਦੂ (0,2) (0,2) 'ਤੇ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (2,0) (4,0) ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 28 ਦੇਖੋ।
4. ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ x+2 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ 2 ਯੂਨਿਟਾਂ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x+2। ਚਿੱਤਰ 29 ਦੇਖੋ।
5. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸਕੈਚ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਲਈ 3 ਯੂਨਿਟਾਂ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਹਰ -3 -3 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 30 ਦੇਖੋ।
6. ਮੀਡੀਆ
7. ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
8. ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਵਰਤਨ
9. ਜ਼ੁਬਾਨੀ
10. ਜਦੋਂ ਕਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?
11. ਜਦੋਂ ਕਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਖਿੱਚ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?
12. ਜਦੋਂ ਕਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਨੂੰ ਵਰਟੀਕਲ ਸੰਕੁਚਨ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?
13. ਜਦੋਂ ਕਈ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ?
14. ਤੁਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਸ਼ਮ ਹੈ ਜਾਂ ਸਮ?
15. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
16. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਜਦੋਂ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
17. f(x)= x f(x)= x ਨੂੰ 1 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਅਤੇ 2 ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
18. f(x)=| x | f(x)=| x | ਨੂੰ 3 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ 1 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
19. f(x)= 1 x f(x)= 1 x ਨੂੰ 4 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ 3 ਯੂਨਿਟ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
20. f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 ਨੂੰ 2 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਅਤੇ 4 ਯੂਨਿਟ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
21. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਪਰਿਵਰਤਨ ਕਿਵੇਂ ਹੈ। f.
22. y=f(x−49)
23. y=f(x+43)
24. y=f(x+3)
y=f(x−4)
y=f(x)+5
y=f(x)+8
y=f(x)−2
y=f(x)−7
y=f(x−2)+3
y=f(x+4)−1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।
f(x)=4 (x+1) 2 −5
g(x)=5 (x+3) 2 −2
a(x)= −x+4
k(x)=−3 x −1
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ (ਚਿੱਤਰ 31 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f(x) ਦੇ ਹਰੇਕ ਰੂਪਾਂਤਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
g(x)= 2 x +1
h(x)= 2 x −3
w(x)= 2 x−1
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਟੂਲਕਿੱਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰ ਵਜੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
f(t)= (t+1) 2 −3
h(x)=|x−1|+4
k(x)= (x−2) 3 −1
m(t)=3+ t+2
ਸੰਖਿਆਤਮਕ
f,g, ਅਤੇ h ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਟੇਬੂਲਰ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ। g(x) ਅਤੇ h(x) ਨੂੰ f(x) ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
row: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
row: f(x) f(x) | −2 | −1 | −3 | 1 | 2
row: x x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
row: g(x) g(x) | −2 | −1 | −3 | 1 | 2
row: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
row: h(x) h(x) | −1 | 0 | −2 | 2 | 3
Tabular representations for the functions f,g, f,g, and h h are given below. Write g(x) g(x) and h(x) h(x) as transformations of f(x). f(x).
row: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
row: f(x) f(x) | −1 | −3 | 4 | 2 | 1
row: x x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1
row: g(x) g(x) | −1 | −3 | 4 | 2 | 1
row: x x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2
row: h(x) h(x) | −2 | −4 | 3 | 1 | 0
For the following exercises, write an equation for each graphed function by using transformations of the graphs of one of the toolkit functions.
For the following exercises, use the graphs of transformations of the square root function to find a formula for each of the functions.
For the following exercises, use the graphs of the transformed toolkit functions to write a formula for each of the resulting functions.
For the following exercises, determine whether the function is odd, even, or neither.
f(x)=3 x 4 f(x)=3 x 4
g(x)= x g(x)= x
h(x)= 1 x +3x h(x)= 1 x +3x
f(x)= (x−2) 2 f(x)= (x−2) 2
g(x)=2 x 4 g(x)=2 x 4
h(x)=2x− x 3 h(x)=2x− x 3
For the following exercises, describe how the graph of each function is a transformation of the graph of the original function f. f.
g(x)=−f(x)
g(x)=f(−x)
g(x)=4f(x)
g(x)=6f(x)
g(x)=f(5x)
g(x)=f(2x)
g(x)=f( 1 3 x )
g(x)=f( 1 5 x )
g(x)=3f( −x )
g(x)=−f(3x)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ g g ਦਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ ਜੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
f(x)=|x| f(x)=|x| ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y y-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ 1 4 1 4 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
f(x)= x f(x)= x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
f(x)= 1 x 2 f(x)= 1 x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1 3 , 1 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫਿਰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
f(x)= 1 x f(x)= 1 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 8 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਫਿਰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1 2 , 1 2 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫਿਰ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਅਤੇ 1 ਇਕਾਈ ਉੱਪਰ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 3 ਦੇ ਕਾਰਕ ਨਾਲ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਫਿਰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਰਣਨ ਕਰੋ ਕਿ ਫਾਰਮੂਲਾ ਟੂਲਕਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਕਿਵੇਂ ਹੈ। ਫਿਰ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ।
g(x)=4 (x+1) 2 −5
g(x)=5 (x+3) 2 −2
h(x)=−2|x−4|+3
k(x)=−3 x −1
m(x)= 1 2 x 3
n(x)= 1 3 |x−2|
1. ਪ( x ) = (1/3 x)³ - 3
2. ਕ( x ) = (1/4 x)³ + 1
3. ਏ(x) = -x + 4
4. ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨੂੰ ਉਲੀਕਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 32 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
5. ਜੀ(x) = f(x) - 2
6. ਜੀ(x) = -f(x)
7. ਜੀ(x) = f(x+1)
8. ਜੀ(x) = f(x-2)