ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਬਦਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੋਟੇਸ਼ਨ, ਟੇਬੂਲਰ ਰੂਪ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਵਧ ਰਹੀ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਢਲਾਣ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਘਟ ਰਹੀ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਝੁਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਢਲਾਣ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਢਲਾਣ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਰੇਖਾ 'ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ y-ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧਿਤ x-ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇ ਢਲਾਣ m ਅਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ b ਪਤਾ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਾਲ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਜਾਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ ਢਲਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵੇਖੋ।
ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ, ਹੇਠਾਂ, ਖੱਬੇ, ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟਾਂ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਖਿੱਚਣ, ਸੰਕੁਚਨ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੁਆਰਾ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 13 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਕੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 14 ਵੇਖੋ।
x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 15 ਵੇਖੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾਵਾਂ f(x)=b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। f(x)=b। ਉਦਾਹਰਨ 16 ਵੇਖੋ।
ਖੜ੍ਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ x=b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। x=b। ਉਦਾਹਰਨ 17 ਵੇਖੋ।
ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਢਲਾਣ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪਰਸਪਰ ਢਲਾਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਖੜ੍ਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 18 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ, ਦੂਜੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੇਖਾ, ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੇ ਢਲਾਣ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=mx+b ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਣ ਵਾਲੇ b ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਬਿੰਦੂ-ਢਲਾਣ ਰੂਪ ਦੀ ਵੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 19 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ, ਦੂਜੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲੰਬ ਰੇਖਾ, ਨੂੰ ਉਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਸਿਰਫ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪਰਸਪਰ ਢਲਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੇ ਅਪਵਾਦ ਨਾਲ। ਉਦਾਹਰਨ 20 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 21 ਵੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆ ਰਣਨੀਤੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਢਲਾਣ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਜਿੱਥੇ ਢੁਕਵਾਂ ਹੋਵੇ, ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਜਵਾਬ ਦੀ ਵਾਜਬਤਾ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਰੇਖੀ ਮਾਡਲਾਂ ਨੂੰ ਢਲਾਣ ਦੀ ਪਛਾਣ ਜਾਂ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨੂੰ y=0 ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ mx+b ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕਾਟ-ਬਿੰਦੂ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ x- ਅਤੇ y-ਮੁੱਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ। ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਉਹ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੂਜੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ (ਜਾਂ ਉੱਪਰ) ਆਉਂਦੀ ਹੈ।
ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਦੋ ਡਾਟਾ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਸਕੈਟਰ ਪਲਾਟ ਰੇਖੀ ਜਾਂ ਗੈਰ-ਰੇਖੀ ਮਾਡਲਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਸਰਬੋਤਮ ਫਿੱਟ ਦੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਸੌਫਟਵੇਅਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
1. ਅੰਤਰ-ਗਣਨਾ (Interpolation) ਡਾਟਾ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਬਹਿਰ-ਗਣਨਾ (extrapolation) ਡਾਟਾ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੇ ਬਾਹਰਲੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
2. ਸਹਿ-ਸੰਬੰਧ ਗੁਣਾਂਕ (correlation coefficient), r, ਡਾਟਾ ਵਿਚਕਾਰ ਰੇਖੀ ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।
3. ਇੱਕ ਰੇਖਾ-ਗਣਨਾ (regression line) ਡਾਟਾ ਨਾਲ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
4. ਘੱਟ-ਵਰਗ ਰੇਖਾ-ਗਣਨਾ (least squares regression line) ਡਾਟਾ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਫਾਸਲਿਆਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਘੱਟ ਕਰਕੇ ਲੱਭੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੇਰੀਏਬਲ (variable) ਬਾਰੇ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।