ਮੁੱਖ ਸੰਕਲਪ
ਦੋ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਰਵਾਲਾ ਇੱਕ 'U' ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਸਿਖਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਖੜਵੀਂ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਸਿਫ਼ਰ, ਜਾਂ x-ਅੰਤਰਖੰਡ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਪਰਵਾਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। y-ਅੰਤਰਖੰਡ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਪਰਵਾਲਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1, ਉਦਾਹਰਨ 7, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਅਕਸਰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਮਿਆਰੀ ਜਾਂ ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਪਰਵਾਲੇ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਛਾਣਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਰੂਪ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਸਿਖਰ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਪਰਿਸੀਮਾ ਫਲਨ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਸਿਖਰ ਦੇ y-ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਫਲਨ ਦੀ ਪਰਿਸੀਮਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਮਾਲੀਆ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਛਾਣਿਆ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਘਾਤ ਫਲਨ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਅਧਾਰ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਬੇਅੰਤ ਘਟਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬੇਅੰਤ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਹਾਰ ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤ ਸਮ ਜਾਂ ਟਾਂਕ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ, ਸ਼ਬਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਰੂਪਾਂਤਰਿਤ ਘਾਤ ਫਲਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੀ ਘਾਤ, ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਨੂੰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ, ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਘਾਤ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
n ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣਗੇ। ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਉਦਾਹਰਨ 10, ਉਦਾਹਰਨ 11, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 12 ਦੇਖੋ।
2 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਨਿਰਵਿਘਨ, ਨਿਰੰਤਰ ਫਲਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ। ਉਦਾਹਰਨ 2, ਉਦਾਹਰਨ 3, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਬਹੁਲਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਵਿਹਾਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਟਾਂਕ ਬਹੁਲਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟੇਗਾ।
ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਸਮ ਬਹੁਲਤਾ ਵਾਲੇ ਸਿਫ਼ਰ 'ਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਛੂਹੇਗਾ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਤ ਵਿਹਾਰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਆਪਣੇ ਮੁੜਨ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ।
n ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਮੁੜਨ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਲੱਭੋ, ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ ਕਿ ਅੰਤਿਮ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ n−1 ਮੁੜਨ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਸਥਾਨਕ ਅਤੇ ਸੰਸਾਰਕ ਚਰਮਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
ਅੰਤਰ-ਮੂਲਯ ਥਿਊਰਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ f(a) ਅਤੇ f(b) ਦੇ ਉਲਟ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੋਣ, ਤਾਂ a ਅਤੇ b ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਮੁੱਲ c ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ f(c)=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਲੰਮੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਘੱਟ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਹੁਪਦੀ ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਭਾਜ ਨੂੰ ਭਾਜਕ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਦੇ ਗੁਣਫਲ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਬਾਕੀ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸੰਸ਼ਲੇਸ਼ਿਤ ਵੰਡ ਇੱਕ ਸ਼ਾਰਟਕੱਟ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ x−k ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਦੋਪਦੀ ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 3, ਉਦਾਹਰਨ 4, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਇਤਨ ਸਮੇਤ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
f(k) ਲੱਭਣ ਲਈ, ਬਹੁਪਦੀ f(x) ਦਾ ਬਾਕੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਇਸਨੂੰ x−k ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਗੁਣਕ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ, k, f(x) ਦਾ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ (x−k), f(x) ਦਾ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਕਾਂ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਹਰ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਸਥਿਰ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਕ ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
ਜਦੋਂ ਮੁੱਖ ਗੁਣਕ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਾਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸਿਫ਼ਰ ਸਥਿਰ ਪਦ ਦੇ ਗੁਣਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸੰਸ਼ਲੇਸ਼ਿਤ ਵੰਡ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦੇਖੋ।
ਮੂਲ ਥਿਊਰਮ ਅਨੁਸਾਰ, ਹਰ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਦੇਖੋ।
0 ਤੋਂ ਵੱਧ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਹਰ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਕਤਾਵਾਂ ਲਈ ਸਹਾਇਤਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਉਸਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਗੁਣਕ ਹੋਣਗੇ। ਹਰ ਗੁਣਕ (x−c) ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿੱਥੇ c ਇੱਕ ਸੰਕੀਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਧਨ ਸਥਾਨਕ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ ਫਲਨ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨ ਦੇ ਰਿਣ ਸਥਾਨਕ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਤਾਂ f(−x) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਘੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸੰਸ਼ਲੇਸ਼ਿਤ ਵੰਡ ਦੁਆਰਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਟੂਲਕਿੱਟ ਫਲਨਾਂ f(x)=1/x ਅਤੇ f(x)=1/x² ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਤੀਰ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਫਲਨ ਜੋ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਸਥਿਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਉਸਦਾ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਫਲਨ ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਖੜ੍ਹਵੇਂ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਦੇਖੋ।
ਦਰਾਂ ਅਤੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿਣਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੇਖੋ।
ਪਰਿਮੇਯ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਜੋ ਹਰ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
1. ਕਿਸੇ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨ (rational function) ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਅਸੰਤੋਖ (vertical asymptotes) ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਨਗੇ ਜਦੋਂ ਫਲਨ ਦਾ ਹਰ (denominator) ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ (numerator) ਸਿਫ਼ਰ ਨਾ ਹੋਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵੇਖੋ।
ਇੱਕ ਤਰਕਹੀਣ ਫਲਨ (rational function) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹਟਾਉਣਯੋਗ ਅਨਿਰੰਤਰਤਾ (discontinuity) ਆ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਇਨਪੁਟ ਅੰਸ਼ (numerator) ਅਤੇ ਹਰ (denominator) ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਬਣਾ ਦੇਵੇ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਵੇਖੋ।
1. ਕਿਸੇ ਤਰਕ ਸੰਗਤ ਫਲਨ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਹਾਰ, ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਵਿਹਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 7, ਉਦਾਹਰਨ 8, ਉਦਾਹਰਨ 9, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 10 ਵੇਖੋ।
1. ਗ੍ਰਾਫਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ, ਅੰਤਰਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟਾਂ 'ਤੇ ਵਿਵਹਾਰ, ਅਤੇ ਅੰਤਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਦਰਸਾਓ। ਉਦਾਹਰਨ 11 ਦੇਖੋ।
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫਲਨ (rational function) ਦੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ (x-intercepts) x = x₁, x₂, …, xₙ 'ਤੇ ਹੋਣ, ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸਮਤੋਟ (vertical asymptotes) x = v₁, v₂, …, vₘ 'ਤੇ ਹੋਣ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ xᵢ ਕਿਸੇ ਵੀ vⱼ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
1. ਵੇਖੋ ਮਿਸਾਲ 12।
ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟਾ ਵਰਗਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਜੇ f⁻¹ ਕਿਸੇ ਫਲਨ f ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ, ਤਾਂ f, ਫਲਨ f⁻¹ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਦੇਖੋ।
ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਬਹੁਤੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕੁਝ ਮੁੱਢਲੇ ਬਹੁਪਦੀ ਉਲਟਾਉਣਯੋਗ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
1. ਕੁਝ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਉਲਟ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਨਾ ਪਵੇਗਾ ਜਿਸ 'ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਵੇਗੀ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦੇਖੋ।
1. ਜਦੋਂ ਆਪਾਂ ਕਿਸੇ ਰੈਡੀਕਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਜਵਾਬ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਪਾਬੰਦੀ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਮਿਸਾਲ 5 ਅਤੇ ਮਿਸਾਲ 7 ਵੇਖੋ।
1. ਉਲਟ ਅਤੇ ਮੂਲ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 6 ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦੇਖੋ।
ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਸੰਬੰਧ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਦੂਜੀ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਸਿੱਧਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵੇਖੋ।
ਦੋ ਚਲ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਸਿੱਧਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹੋਵੇ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਸਥਿਰ ਰਹੇਗਾ।
1. ਜਿਸ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਦੂਜੀ ਮਾਤਰਾ ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਉਲਟ ਵੇਰੀਏਸ਼ਨ (inverse variation) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 2 ਵੇਖੋ।
ਦੋ ਚਲ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਵਿਪਰੀਤ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੋਣ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਸਥਿਰ ਰਹੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ 3 ਵੇਖੋ।
ਬਹੁਤੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਪਰਿਮਾਣ ਕਈ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਨਾਲ ਸਿੱਧੇ ਜਾਂ ਉਲਟੇ ਤੌਰ ਤੇ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਪਰਿਮਾਣ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੇਖੋ।