PunjabiUni

ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣੋਗੇ।

ਸਮਝੋਗੇ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇਸਦੇ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓਗੇ।

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।

ਚਿੱਤਰ 1: ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਡਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕਤਾਰ। (ਸਿਹਰਾ: ਮੈਥਿਊ ਕੋਲਵਿਨ ਡੀ ਵਾਲੇ, ਫਲਿੱਕਰ)

ਵਕਰ ਐਂਟੀਨਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਾਈਕ੍ਰੋਵੇਵ ਅਤੇ ਰੇਡੀਓ ਤਰੰਗਾਂ ਨੂੰ ਟੈਲੀਵਿਜ਼ਨ ਅਤੇ ਟੈਲੀਫੋਨ ਸਿਗਨਲਾਂ, ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਸੈਟੇਲਾਈਟ ਅਤੇ ਪੁਲਾੜੀ ਜਹਾਜ਼ ਸੰਚਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਐਂਟੀਨਾ ਦਾ ਕਰਾਸ-ਸੈਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਅਕਸਰ ਖੇਤਰ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਉੱਚ ਡਿਗਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿਵਹਾਰ ਦੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਧੀਆ ਮੌਕਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨਾ

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ U-ਆਕਾਰ ਦਾ ਵਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤਿਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਵਰਟੈਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਵਾਲਾ ਬਿੰਦੂ, ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਮਰੂਪ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਰਟੈਕਸ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉਹ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਤਾਂ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਜ਼ੀਰੋ, ਜਾਂ ਰੂਟਸ, x ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ 'ਤੇ y=0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ

ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਵਰਟੈਕਸ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।

ਹੱਲ

ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਰਟੈਕਸ (3,1) 'ਤੇ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਉਹ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਨੂੰ ਵਰਟੈਕਸ 'ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=3 ਹੈ। ਇਹ ਪੈਰਾਬੋਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਕੋਈ ਜ਼ੀਰੋ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਹ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (0,7) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।

ਸਮਝਣਾ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ

ਜਿੱਥੇ a, b, ਅਤੇ c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a≠0। ਜੇ a>0, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਜੇ a<0, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=−b/2a ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ, x=−b±√b²−4ac/2a, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ax²+bx+c=0 ਨੂੰ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਜਾਂ ਜ਼ੀਰੋ, ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧੇ 'ਤੇ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਹਮੇਸ਼ਾ x=−b/2a ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 4 ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y=x²+4x+3 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, a=1, b=4, ਅਤੇ c=3। ਕਿਉਂਕਿ a>0, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ x=−4/2(1)=−2 ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਸਮਝ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ x=−2 ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਅੱਧਾ ਵੰਡਦੀ ਹੈ। ਵਰਟੈਕਸ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਣ ਵਾਲੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਲਈ, ਵਰਟੈਕਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, (−2,−1)। x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜਿੱਥੇ ਪੈਰਾਬੋਲਾ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, (−3,0) ਅਤੇ (−1,0) 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ

ਜਿੱਥੇ (h,k) ਵਰਟੈਕਸ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਟੈਕਸ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਰੂਪ ਨੂੰ ਕੁਆਡ੍ਰੈਟਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਟੈਕਸ ਰੂਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਆਮ ਰੂਪ ਨਾਲ, ਜੇਕਰ a>0, a>0, ਤਾਂ ਪਰਬਲਯ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਇੱਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a<0, a<0, ਤਾਂ ਪਰਬਲਯ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ y=−3 ( x+2 ) 2 +4 ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। y=−3 ( x+2 ) 2 +4। ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ x–h=x+2 x–h=x+2 ਹੈ, h=–2। h=–2। ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, a=−3,h=−2, a=−3,h=−2, ਅਤੇ k=4। k=4। ਕਿਉਂਕਿ a<0, a<0, ਪਰਬਲਯ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ( −2,4 ) 'ਤੇ ਹੈ। ( −2,4 )।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਉਪਯੋਗੀ ਹੈ ਕਿ y= x 2 y= x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6 ਇਸ ਬੁਨਿਆਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ।

ਜੇਕਰ k>0, k>0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜੇਕਰ k<0, k<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, k>0, k>0, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਜੇਕਰ h>0, h>0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ h<0, h<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, h<0, h<0, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। a a ਦਾ ਮਾਪ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਖਿੱਚ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ | a |>1, | a |>1, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ x- x- ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਦੂਰ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਤੰਗ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ | a |<1, | a |<1, ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਖਾਸ x- x- ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਚੌੜਾ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸੰਕੁਚਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ, | a |>1, | a |>1, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਤੰਗ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਅਤੇ ਆਮ ਰੂਪ ਇੱਕੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਰੇਖੀ ਪਦਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਲਈ, ਗੁਣਾਂਕ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

ਇਹ ਸਮਰੂਪਤਾ ਧੁਰਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਸਥਿਰ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ:

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ k ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ h ਹੁੰਦਾ ਹੈ, h, ਇਸ ਲਈ f(h)=k। f(h)=k।

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੋ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਪਰਬਲਯ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ f(x)=a x 2 +bx+c f(x)=a x 2 +bx+c ਹੈ ਜਿੱਥੇ a,b, a,b, ਅਤੇ c c ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ a≠0। a≠0।

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ f(x)=a (x−h) 2 +k f(x)=a (x−h) 2 +k ਹੈ ਜਿੱਥੇ a≠0। a≠0।

ਸਿਖਰ (h,k) (h,k) 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਪਰਬਲਯ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ; ਇਹ ਮੁੱਲ h ਹੈ। h। ਪਰਬਲਯ ਦੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ; ਇਹ ਮੁੱਲ k ਹੈ। k।

ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿਸਕਾਅ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ f(x)=a (x–h) 2 +k f(x)=a (x–h) 2 +k ਵਿੱਚ h h ਅਤੇ k k ਲਈ ਬਦਲੋ।

ਪਰਬਲਯ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ x x ਅਤੇ f(x) f(x) ਲਈ ਬਦਲੋ।

ਖਿੱਚ ਗੁਣਕ, | a | | a | ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।

ਉਦਾਹਰਨ 2

ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣਾ

ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ g g ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।

ਹੱਲ

ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ g ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f(x)= x 2 f(x)= x 2 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ ਜੋ 2 ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ g(x)=a (x−(−2)) 2 −3=a (x+2) 2 –3 ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਦਾ ਹੈ। g(x)=a (x−(−2)) 2 −3=a (x+2) 2 –3।

ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ (0,−1), (0,−1) ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਖਿੱਚ ਦੇ ਗੁਣਕ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ ਮਾਡਲ (g)x= 1 2 (x+2) 2 –3 ਹੈ। (g)x= 1 2 (x+2) 2 –3।

ਇਸਨੂੰ ਆਮ ਬਹੁਪਦੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਵਰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਪਰਬਲਾਈ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦੇ ਸਥਾਨ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ; ਸਿਖਰ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨਾਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ 'ਤੇ ਟੇਬਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ Y1= 1 2 (x+2) 2 −3 ਦਰਜ ਕਰੋ। Y1= 1 2 (x+2) 2 −3। ਅੱਗੇ, TBLSET, TBLSET ਚੁਣੋ, ਫਿਰ TblStart=–6 TblStart=–6 ਅਤੇ ΔTbl = 2, ΔTbl = 2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ TABLE, TABLE ਚੁਣੋ। ਟੇਬਲ 1 ਦੇਖੋ।

ਕਤਾਰ: x x | –6 | –4 | –2 | 0 | 2

ਕਤਾਰ: y y | 5 | –1 | –3 | –1 | 5

ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1

ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਗ੍ਰਿਡ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਦੇ ਵਰਗੀ ਪਾਥ ਉੱਤੇ ਸੁਪਰਇੰਪੋਜ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ (–4, 7) ਬਾਸਕਟਬਾਲ ਦੀ ਟ੍ਰੈਜੈਕਟਰੀ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਗੇਂਦ ਦੇ ਪਾਥ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ। ਕੀ ਨਿਸ਼ਾਨੇਬਾਜ਼ ਟੋਕਰੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ?

ਚਿੱਤਰ 8: (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਡੈਨ ਮੇਅਰ ਦੁਆਰਾ ਕੰਮ ਦਾ ਸੋਧ)

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਰਗੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ, ਪਰਬਲਾਈ ਦਾ ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।

a, b, ਅਤੇ c ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। a, b, ਅਤੇ c।

h, h, ਸਿਖਰ ਦਾ x-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ, a a ਅਤੇ b b ਨੂੰ h=– b 2a ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ। h=– b 2a।

k, k, ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ, k=f( h )=f( − b 2a ) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ। k=f( h )=f( − b 2a )।

ਉਦਾਹਰਨ 3

ਵਰਗੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ

ਵਰਗੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=2 x 2 –6x+7 ਦਾ ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ। f(x)=2 x 2 –6x+7। ਵਰਗੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ (ਸਿਖਰ ਰੂਪ) ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ

ਸਿਖਰ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ h = − b 2a = − −6 2(2) = 6 4 = 3 2 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਿਖਰ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ k = f(h) = f( 32) = 2(32)2−6(32)+7 = 5 2 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਿਖਰ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ h = − b 2a = − −6 2(2) = 6 4 = 3 2 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਿਖਰ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ k = f(h) = f( 32) = 2(32)2−6(32)+7 = 5 2 'ਤੇ ਹੋਵੇਗਾ।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਤੇ, ਖਿੱਚ ਦਾ ਗੁਣਕ ਉਸੇ 'a' ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇਗਾ ਜੋ ਅਸਲ ਵਰਗੀ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਸਿਖਰ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ। ਫਿਰ ਸਿਖਰ ਦਾ ਲੰਬਕਾਰੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਲੱਭੋ। ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਆਮ ਰੂਪ ਤੋਂ "aa" ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।

ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਰਗੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸੇਗਾ ਕਿ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ, k, ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, x। x।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2

ਸਮੀਕਰਨ g(x)=13+ x 2 −6x, g(x)=13+ x 2 −6x ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਫਿਰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।

ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ

ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰਿਸਰ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇਗਾ, ਪਰਿਸਰ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ y-ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ ਜੋ ਟਰਨਿੰਗ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤੋਂ ਵੱਡੇ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ ਜਾਂ ਟਰਨਿੰਗ ਪੁਆਇੰਟ 'ਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ।

ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ

ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਪੇਸ਼ ਨਾ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਣ।

ਆਮ ਰੂਪ f(x)=a x 2 +bx+c f(x)=a x 2 +bx+c ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, f(x)≥f( − b 2a ), f(x)≥f( − b 2a ), ਜਾਂ [ f( − b 2a ),∞ ); [ f( − b 2a ),∞ ); ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, f(x)≤f( − b 2a ), f(x)≤f( − b 2a ), ਜਾਂ ( −∞,f( − b 2a ) ] ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ( −∞,f( − b 2a ) ]।

ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ f(x)=a (x−h) 2 +k f(x)=a (x−h) 2 +k ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, f(x)≥k; f(x)≥k; ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਜਿਸ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, f(x)≤k। f(x)≤k।

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਲੱਭੋ।

ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਨੂੰ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।

ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ a ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ। ਜੇਕਰ a ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ a ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ, k, ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ। k।

ਜੇਕਰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਿਸਰ f(x)≥k, f(x)≥k, ਜਾਂ [ k,∞ ) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। [ k,∞ )। ਜੇਕਰ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਪਰਿਸਰ f(x)≤k, f(x)≤k, ਜਾਂ ( −∞,k ] ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ( −∞,k ]।

ਉਦਾਹਰਨ 4

ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ

f(x)=−5 x 2 +9x−1. f(x)=−5 x 2 +9x−1. ਦੇ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ

ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਂਗ, ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ a ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਬਿੰਦੂ ਦੇ x-ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ f(h) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। f(h)।

ਪਰਿਸਰ f(x)≤ 61 20 , f(x)≤ 61 20 , ਜਾਂ ( −∞, 61 20 ] ਹੈ। ( −∞, 61 20 ]।

1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #3

2. f(x)=2 ( x− 4 7 ) 2 + 8 11 ਦਾ ਪ੍ਰਭੇਦ (ਡੋਮੇਨ) ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ (ਰੇਂਜ) ਪਤਾ ਕਰੋ।

3. ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਅਧਿਕਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ

4. ਸਿਖਰ (ਵਰਟੈਕਸ) 'ਤੇ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ, ਪਰਵਲੈ (ਪੈਰਾਬੋਲਾ) ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਫਲਨ ਦਾ ਅਧਿਕਤਮ ਜਾਂ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਅਧਿਕਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

5. ਅਜਿਹੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਅਧਿਕਤਮ ਜਾਂ ਨਿਊਨਤਮ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਆਮਦਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਅਰਜ਼ੀਆਂ।

6. ਉਦਾਹਰਨ 5

7. ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਅਧਿਕਤਮ ਮੁੱਲ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ

8. ਇੱਕ ਘਰੇਲੂ ਕਿਸਾਨ ਆਪਣੀ ਵਾੜੀ ਵਾਲੀ ਵਿਹੜੇ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਬਾਗ ਲਈ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਜਗ੍ਹਾ ਬੰਦ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸਨੇ ਤਿੰਨ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਬੰਦ ਕਰਨ ਲਈ 80 ਫੁੱਟ ਤਾਰ ਦੀ ਵਾੜ ਖਰੀਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹ ਚੌਥੇ ਪਾਸੇ ਵਜੋਂ ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਵਾੜ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੇਗੀ।

9. ⓐ ਜੇਕਰ ਮੌਜੂਦਾ ਵਾੜ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਵਾੜ ਦੇ ਪਾਸੇ L ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਵਾੜ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਲੱਭੋ। L.

10. ⓑ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਉਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਬਾਗ ਦੇ ਕਿਹੜੇ ਮਾਪ ਬਣਾਉਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ?

11. ਹੱਲ

12. ਆਓ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਰਗਾ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਵਰਤੀਏ। ਬਾਗ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਅਤੇ ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਵਾੜ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਵਾੜ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਅਸਥਾਈ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ, W, ਪੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਵੀ ਮਦਦਗਾਰ ਹੈ।

13. ⓐ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਿਰਫ 80 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਉਪਲਬਧ ਹੈ, ਅਤੇ L+W+L=80, ਜਾਂ ਹੋਰ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, 2L+W=80। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਚੌੜਾਈ, W, ਨੂੰ L ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। W=80−2L ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਵਾੜ ਦੁਆਰਾ ਘੇਰੇ ਗਏ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੰਬਾਈ ਗੁਣਾ ਚੌੜਾਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ A = LW=L(80−2L) A(L) = 80L−2 L 2 ਇਹ ਸੂਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਲੰਬਾਈ L ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਾੜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਫਲਨ, A(L)=−2 L 2 +80L ਹੈ।

14. ⓑ ਦੋਘਾਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖੁੱਲੇਗਾ, ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਖੇਤਰਫਲ ਲਈ ਅਧਿਕਤਮ ਮੁੱਲ ਹੋਵੇਗਾ। ਸਿਖਰ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਘਟਦੇ ਹੋਏ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਮਿਆਰੀ ਬਹੁਪਦੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਫਲਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ a ਵਰਗ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ, a=−2, b=80, ਅਤੇ c=0।

15. ਸਿਖਰ ਲੱਭਣ ਲਈ:

16. ਫਲਨ ਦਾ ਅਧਿਕਤਮ ਮੁੱਲ 800 ਵਰਗ ਫੁੱਟ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ, ਜੋ ਉਦੋਂ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ L=20 ਫੁੱਟ। ਜਦੋਂ ਛੋਟੇ ਪਾਸੇ 20 ਫੁੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਲੰਬੇ ਪਾਸੇ ਲਈ 40 ਫੁੱਟ ਵਾੜ ਬਚ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ, ਉਸਨੂੰ ਬਾਗ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬੰਦ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਛੋਟੇ ਪਾਸੇ 20 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਹੋਣ ਅਤੇ ਵਿਹੜੇ ਦੀ ਵਾੜ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਲੰਬਾ ਪਾਸਾ 40 ਫੁੱਟ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਹੋਵੇ।

17. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

18. ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਵੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਧਿਕਤਮ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿੱਥੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ।

19. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

20. ਆਮਦਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਅਰਜ਼ੀ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਧਿਕਤਮ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

21. ਆਮਦਨ ਫਲਨ ਲਈ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

22. ਦੋਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਿਖਰ ਲੱਭੋ।

23. ਸਿਖਰ ਦਾ y-ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।

24. ਉਦਾਹਰਨ 6

ਮਹੱਤਮ ਆਮਦਨ ਲੱਭਣਾ

ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਕੀਮਤ ਇਸਦੀ ਸਪਲਾਈ ਅਤੇ ਮੰਗ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਭਾਵ, ਜੇ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਕੀਮਤ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਸਤੂ ਦੀ ਮੰਗ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਘੱਟ ਜਾਵੇਗੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਅਖਬਾਰ ਕੋਲ ਇਸ ਸਮੇਂ $30 ਦੀ ਤਿਮਾਹੀ ਫੀਸ 'ਤੇ 84,000 ਗਾਹਕ ਹਨ। ਬਾਜ਼ਾਰ ਖੋਜ ਨੇ ਸੁਝਾਅ ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇ ਮਾਲਕ ਕੀਮਤ $32 ਤੱਕ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ 5,000 ਗਾਹਕ ਗੁਆ ਬੈਠਣਗੇ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਗਾਹਕੀ ਕੀਮਤ ਨਾਲ ਰੇਖੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਅਖਬਾਰ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਆਮਦਨ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਮਾਹੀ ਗਾਹਕੀ ਲਈ ਕਿੰਨੀ ਕੀਮਤ ਲੈਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ?

ਹੱਲ

ਆਮਦਨ ਉਹ ਪੈਸਾ ਹੈ ਜੋ ਕੋਈ ਕੰਪਨੀ ਕਮਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਆਮਦਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀ ਗਾਹਕੀ ਕੀਮਤ ਨੂੰ ਗਾਹਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜਾਂ ਮਾਤਰਾ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਪ੍ਰਤੀ ਗਾਹਕੀ ਕੀਮਤ ਲਈ p ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਲਈ Q ਪੇਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਆਮਦਨ = pQ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ ਗਾਹਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੀਮਤ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਸਮੇਂ p=30 ਅਤੇ Q=84,000 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇ ਕੀਮਤ $32 ਤੱਕ ਵਧਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਖਬਾਰ 5,000 ਗਾਹਕ ਗੁਆ ਬੈਠੇਗਾ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਦੂਜੀ ਜੋੜੀ ਮਿਲੇਗੀ, p=32 ਅਤੇ Q=79,000। ਇਸ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਢਲਾਣ ਹੋਵੇਗੀ

ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਾਗਜ਼ ਹਰ ਡਾਲਰ ਜੋ ਉਹ ਕੀਮਤ ਵਧਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਲਈ 2,500 ਗਾਹਕ ਗੁਆ ਬੈਠੇਗਾ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇਹ ਸਾਨੂੰ Q=−2,500p+159,000 ਦਾ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਲਾਗਤ ਅਤੇ ਗਾਹਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਆਪਣੀ ਆਮਦਨ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ।

ਹੁਣ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਗਾਹਕੀ ਚਾਰਜ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਆਮਦਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਖਬਾਰ ਲਈ ਆਮਦਨ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਕੀਮਤ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਖਰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਮਾਡਲ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਮਦਨ ਉਦੋਂ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਅਖਬਾਰ ਗਾਹਕੀ ਲਈ $31.80 ਲੈਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਮਦਨ ਕਿੰਨੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਆਮਦਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਇਸਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਵਰਗਾਤਮਕ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਵੀ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਮਦਨ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x- ਅਤੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣਾ

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਅਰਜ਼ੀ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਸਾਨੂੰ ਪਰਬੋਲਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵਰਗਾਤਮਕ ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਉਹਨਾਂ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਵੱਖਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 13: ਪਰਬੋਲਾ ਦੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ

ਕਿਵੇਂ

ਇੱਕ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।

y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ f(0) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।

x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵਰਗਾਤਮਕ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=0 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 7

ਇੱਕ ਪਰਬੋਲਾ ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭਣਾ

ਵਰਗਾਤਮਕ f(x)=3x^2+5x−2 ਦੇ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ

ਅਸੀਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ f(0) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਕੇ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਲਈ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,−2) 'ਤੇ ਹੈ।

x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x)=0 ਦੇ ਸਾਰੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਹੱਲ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਵਿਧੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (1/3, 0) ਅਤੇ (-2, 0) 'ਤੇ ਹਨ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (0, -2) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ (1/3, 0) ਅਤੇ (-2, 0) 'ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ।

ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖਣਾ

ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵਿੱਚ, ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਕੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖ ਕੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ

ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖ ਕੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।

a ਅਤੇ b ਨੂੰ h = -b/2a ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।

k ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ x=h ਬਦਲੋ।

h ਅਤੇ k ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖੋ।

x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਵੇਲੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 8

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ

ਦੋ-ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2x² + 4x - 4 ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ

ਅਸੀਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਵੇਲੇ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੋ-ਘਾਤੀ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖ ਕੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ a=2। ਫਿਰ ਅਸੀਂ h ਅਤੇ k ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਇਸ ਲਈ ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੁੜ-ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ ਵੇਲੇ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (-1 - √3, 0) ਅਤੇ (-1 + √3, 0) 'ਤੇ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 15 ਦੇਖੋ।

ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਇਹੀ ਨਤੀਜੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। a=2, b=4 ਅਤੇ c=−4 ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।

ਇਸ ਲਈ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( −1−√3 ,0 ) ਅਤੇ ( −1+√3 ,0 ) ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4

ਇੱਕ ਅਜ਼ਮਾਇਸ਼ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=13+x²−6x ਲਈ ਸਟੈਂਡਰਡ ਅਤੇ ਜਨਰਲ ਰੂਪ ਪਾਇਆ। ਹੁਣ y- ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਵੇ) ਲੱਭੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 9

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਅਤੇ x-ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ

ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 40 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ 80 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਗੇਂਦ ਦੀ ਉਚਾਈ H(t)=−16t²+80t+40 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ⓐ ਗੇਂਦ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?

ⓑ ਗੇਂਦ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?

ਹੱਲ

ⓐ ਗੇਂਦ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ 'ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ। h = −80 / 2(−16) = 80 / 32 = 5 / 2 = 2.5। ਗੇਂਦ 2.5 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।

ⓑ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ ਦੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ। k = H(−b / 2a) = H(2.5) = −16(2.5)² + 80(2.5) + 40 = 140। ਗੇਂਦ 140 ਫੁੱਟ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ।

ⓒ ਜਦੋਂ ਗੇਂਦ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਵੱਜਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, H(t)=0। ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। t = −80 ± √(80² − 4(−16)(40)) / 2(−16) = −80 ± √8960 / −32। ਕਿਉਂਕਿ ਵਰਗਮ ਸੌਖੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਰਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਹੱਲਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। t = −80 − √8960 / −32 ≈ 5.458 ਜਾਂ t = −80 + √8960 / −32 ≈ −0.458। ਦੂਜਾ ਜਵਾਬ ਸਾਡੇ ਮਾਡਲ ਦੇ ਵਾਜਬ ਡੋਮੇਨ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗੇਂਦ ਲਗਭਗ 5.458 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਵੱਜੇਗੀ। ਚਿੱਤਰ 16 ਦੇਖੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਗੇਂਦ ਦੇ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਜਾਣ ਦੇ ਭੌਤਿਕ ਮਾਰਗ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਹਰੇਕ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ।

ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5

ਇੱਕ ਚੱਟਾਨ ਨੂੰ ਸਮੁੰਦਰ ਵੱਲ ਦੇਖ ਰਹੀ 112-ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਚੱਟਾਨ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ 96 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਰਫ਼ਤਾਰ ਨਾਲ ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੁੰਦਰ ਤੋਂ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਉਚਾਈ H(t)=−16t²+96t+112 ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ⓐ ਚੱਟਾਨ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਦੋਂ ਪਹੁੰਚਦੀ ਹੈ?

ⓑ ਚੱਟਾਨ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ?

ਮੀਡੀਆ

ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।

ਜਨਰਲ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ

ਸਟੈਂਡਰਡ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਦੂਜੇ ਘਾਤ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਮੌਖਿਕ

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਦਾ ਫਾਇਦਾ ਦੱਸੋ।

ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਦੇ ਸਿਖਰ (vertex) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?

ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ a≠0 ਦੀ ਸ਼ਰਤ ਕਿਉਂ ਲਗਾਈ ਗਈ ਹੈ।

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਦਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਨਾਮ ਕੀ ਹੈ?

ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (horizontal intercepts) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੀਆਂ ਦੋ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?

ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਰੂਪ (vertex form) ਵਿੱਚ ਮੁੜ ਲਿਖੋ ਅਤੇ ਸਿਖਰ ਦੱਸੋ।

f( x )= x 2 −12x+32

g( x )= x 2 +2x−3

f(x)= x 2 −x

f(x)= x 2 +5x−2

h( x )=2 x 2 +8x−10

k( x )=3 x 2 −6x−9

f(x)=2 x 2 −6x

f(x)=3 x 2 −5x−1

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਹਰੇਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਜਾਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ। ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ (axis of symmetry) ਪਤਾ ਕਰੋ।

y( x )=2 x 2 +10x+12

f( x )=2 x 2 −10x+4

f(x)=− x 2 +4x+3

f(x)=4 x 2 +x−1

h( t )=−4 t 2 +6t−1

f(x) = 1/2 x^2 + 3x + 1

f(x) = -1/3 x^2 - 2x + 3

ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।

f(x) = (x-3)^2 + 2

f(x) = -2(x+3)^2 - 6

f(x) = x^2 + 6x + 4

f(x) = 2x^2 - 4x + 2

k(x) = 3x^2 - 6x - 9

ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਿਖਰ (h,k) ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (x,y) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।

(h,k) = (2,0), (x,y) = (4,4)

(h,k) = (-2,-1), (x,y) = (-4,3)

(h,k) = (0,1), (x,y) = (2,5)

(h,k) = (2,3), (x,y) = (5,12)

(h,k) = (-5,3), (x,y) = (2,9)

(h,k) = (3,2), (x,y) = (10,1)

(h,k) = (0,1), (x,y) = (1,0)

(h,k) = (1,0), (x,y) = (0,1)

ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ

ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਸਿਖਰ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ, ਅਤੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦਿਓ।

f(x) = x^2 - 2x

f(x) = x^2 - 6x - 1

f(x) = x^2 - 5x - 6

f(x) = x^2 - 7x + 3

f(x) = -2x^2 + 5x - 8

f(x)=4 x 2 −12x−3

ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਕੀਤੇ ਗਏ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।

ਅੰਕੀ

ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ, ਦੋਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ ਲੱਭੋ।