ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: (ਸਿਹਰਾ: ਜੇਸਨ ਬੇ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪੰਛੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਖਾਸ ਪ੍ਰਜਾਤੀ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਟਾਪੂ 'ਤੇ ਖੁਸ਼ਹਾਲ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਕੁਝ ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ ਇਸਦੀ ਆਬਾਦੀ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਸਾਲ | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013
ਸਤਰ: ਪੰਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ | 800 | 897 | 992 | 1,083 | 1,169
ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਫੰਕਸ਼ਨ P(t)=−0.3 t 3 +97t+800, P(t)=−0.3 t 3 +97t+800 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲਗਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ P(t) P(t) 2009 ਤੋਂ t t ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਟਾਪੂ 'ਤੇ ਪੰਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪੰਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੇ ਸਮੇਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਮਾਡਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੰਛੀਆਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਟਾਪੂ ਤੋਂ ਕਦੋਂ ਅਲੋਪ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਅਤੇ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਪੰਛੀਆਂ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਕਿਸਮ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਟਰਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ, ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦਾ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਖੇਤਰਫਲ ਜਾਂ ਆਇਤਨ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਰਧ ਵਿਆਸ r r ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ
ਅਤੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ r r ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦੇ ਆਇਤਨ ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ
ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ, π π ਜਾਂ 4 3 π, 4 3 π, ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ r r ਜੋ ਇੱਕ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਬਣੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ k k ਅਤੇ p p ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ k k ਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
Q&A
ਕੀ f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ?
ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਬੇਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬੇਸ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ?
f(x) = 1 Constant function f(x) = x Identity function f(x) = x2 Quadratic function f(x) = x3 Cubic function f(x) = 1x Reciprocal function f(x) = 1x2 Reciprocal squared function f(x) = x Square root function f(x) = x3 Cube root function f(x) = 1 Constant function f(x) = x Identity function f(x) = x2 Quadratic function f(x) = x3 Cubic function f(x) = 1x Reciprocal function f(x) = 1x2 Reciprocal squared function f(x) = x Square root function f(x) = x3 Cube root function
Solution
All of the listed functions are power functions.
The constant and identity functions are power functions because they can be written as f(x)= x 0 f(x)= x 0 and f(x)= x 1 f(x)= x 1 respectively.
The quadratic and cubic functions are power functions with whole number powers f(x)= x 2 f(x)= x 2 and f(x)= x 3 . f(x)= x 3 .
The reciprocal and reciprocal squared functions are power functions with negative whole number powers because they can be written as f(x)= x −1 f(x)= x −1 and f(x)= x −2 . f(x)= x −2 .
The square and cube root functions are power functions with fractional powers because they can be written as f(x)= x 1 2 f(x)= x 1 2 or f(x)= x 1 3 . f(x)= x 1 3 .
Try It #1
Which functions are power functions?
f(x) = 2x⋅4 x 3 g(x) = − x 5 +5 x 3 h(x) = 2 x 5 −1 3 x 2 +4 f(x) = 2x⋅4 x 3 g(x) = − x 5 +5 x 3 h(x) = 2 x 5 −1 3 x 2 +4
Identifying End Behavior of Power Functions
Figure 2 shows the graphs of f(x)= x 2 ,g(x)= x 4 f(x)= x 2 ,g(x)= x 4 and h(x)= x 6 , h(x)= x 6 , which are all power functions with even, positive integer powers. Notice that these graphs have similar shapes, very much like that of the quadratic function in the toolkit. However, as the power increases, the graphs flatten somewhat near the origin and become steeper away from the origin.
Figure 2: Even-power functions
To describe the behavior as numbers become larger and larger, we use the idea of infinity. We use the symbol ∞ ∞ for positive infinity and −∞ −∞ for negative infinity. When we say that “ x x approaches infinity,” which can be symbolically written as x→∞, x→∞, we are describing a behavior; we are saying that x x is increasing without bound.
With the positive even-power function, as the input increases or decreases without bound, the output values become very large, positive numbers. Equivalently, we could describe this behavior by saying that as x x approaches positive or negative infinity, the f( x ) f( x ) values increase without bound. In symbolic form, we could write
Figure 3 shows the graphs of f(x)= x 3 ,g(x)= x 5 , f(x)= x 3 ,g(x)= x 5 , and h(x)= x 7 , h(x)= x 7 , which are all power functions with odd, whole-number powers. Notice that these graphs look similar to the cubic function in the toolkit. Again, as the power increases, the graphs flatten near the origin and become steeper away from the origin.
Figure 3: Odd-power functions
These examples illustrate that functions of the form f( x )= x n f( x )= x n reveal symmetry of one kind or another. First, in Figure 2 we see that even functions of the form f( x )= x n , n f( x )= x n , n even, are symmetric about the y- y- axis. In Figure 3 we see that odd functions of the form f( x )= x n , n f( x )= x n , n odd, are symmetric about the origin.
For these odd power functions, as x x approaches negative infinity, f( x ) f( x ) decreases without bound. As x x approaches positive infinity, f( x ) f( x ) increases without bound. In symbolic form we write
The behavior of the graph of a function as the input values get very small ( x→−∞ x→−∞ ) and get very large ( x→∞ x→∞ ) is referred to as the end behavior of the function. We can use words or symbols to describe end behavior.
Figure 4 shows the end behavior of power functions in the form f(x)=k x n f(x)=k x n where n n is a non-negative integer depending on the power and the constant.
How To
Given a power function f(x)=k x n f(x)=k x n where n n is a positive integer, identify the end behavior.
Determine whether the power is even or odd.
1. ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਅਚੱਲ (constant) ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ।
2. ਅੰਤਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 4 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 2
4. ਸ਼ਕਤੀ ਫਲਨ (power function) ਦੇ ਅੰਤਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ
5. f(x) = x^8 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਅੰਤਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ। f(x) = x^8।
6. ਹੱਲ
7. ਗੁਣਾਂਕ 1 (ਸਕਾਰਾਤਮਕ) ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ਕਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ 8 (ਇੱਕ ਸਮ ਸੰਖਿਆ) ਹੈ। ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ x ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ (f(x) ਦਾ ਮੁੱਲ) ਬੇਰੋਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ: ਜਿਉਂ x → ∞, f(x) → ∞। ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ x ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਬੇਰੋਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਾਂਗੇ: ਜਿਉਂ x → −∞, f(x) → ∞। ਅਸੀਂ ਫਲਨ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
8. ਉਦਾਹਰਨ 3
9. ਸ਼ਕਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਅੰਤਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ।
10. f(x) = −x^9 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਅੰਤਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ। f(x) = −x^9।
11. ਹੱਲ
12. ਸ਼ਕਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਘਾਤ ਅੰਕ 9 (ਇੱਕ ਅਸਮ ਸੰਖਿਆ) ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਗੁਣਾਂਕ –1 (ਨਕਾਰਾਤਮਕ) ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ f(x) = x^9 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ x ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਬੇਰੋਕ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜਿਉਂ-ਜਿਉਂ x ਨੈਗੇਟਿਵ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਨਤੀਜਾ ਬੇਰੋਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਾਂਗੇ:
13. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
14. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਯੂਟਿਲਿਟੀ 'ਤੇ ਟੇਬਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
15. ਕਤਾਰ: x | f(x)
16. ਕਤਾਰ: –10 | 1,000,000,000
17. ਕਤਾਰ: –5 | 1,953,125
18. ਕਤਾਰ: 0 | 0
19. ਕਤਾਰ: 5 | –1,953,125
20. ਕਤਾਰ: 10 | –1,000,000,000
21. ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 2 ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਬਹੁਤ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ x ਲਈ ਬਹੁਤ ਵੱਡੇ ਮੁੱਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਵੱਡਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੈ)।
22. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
23. f(x) = −5x^4 ਦੇ ਅੰਤਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਸ਼ਬਦਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਣਨ ਕਰੋ। f(x) = −5x^4।
24. ਬਹੁਪਦੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਮੈਕਸੀਕੋ ਦੀ ਖਾੜੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੇਲ ਪਾਈਪਲਾਈਨ ਫਟ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਗੋਲਾਕਾਰ ਆਕਾਰ ਦਾ ਤੇਲ ਫੈਲ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤੇਲ ਦੇ ਫੈਲਾਅ ਦਾ ਘੇਰਾ ਇਸ ਵੇਲੇ 24 ਮੀਲ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਹਰ ਹਫ਼ਤੇ 8 ਮੀਲ ਪ੍ਰਤੀ ਹਫ਼ਤਾ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਤੇਲ ਦੇ ਫੈਲਾਅ ਦੁਆਰਾ ਕਵਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਖੇਤਰ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਫੈਲਾਅ ਦਾ ਘੇਰਾ r r, ਬੀਤੇ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ w w 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਬੰਧ ਰੇਖੀ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ A A ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਾਲ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਹਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਹਫ਼ਤਿਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ (polynomial function) ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਸਿਫ਼ਰ ਜਾਂ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਪਦਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੀਮਤ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ, ਜਿਸਨੂੰ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ (coefficient) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ (variable) ਜੋ ਇੱਕ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਦੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਮੰਨ ਲਓ n ਇੱਕ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:
ਇਸਨੂੰ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ (general form) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ aᵢ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ (real number) ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ aₙ ≠ 0 ਹੈ। ਹਰੇਕ ਪਦ aᵢxⁱ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪਦ (term) ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ f(x) = aₙxⁿ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਘਾਤਾਂ ਗੈਰ-ऋਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
f(x) ਨੂੰ f(x) = 6x⁴ + 4 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
g(x) ਨੂੰ g(x) = −x³ + 4x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
h(x) ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ (degree) ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ (leading coefficient) ਦੀ ਪਛਾਣ
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਕਾਰਨ, ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਘਾਤ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਭਿੰਨਤਾ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ ਪਦਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਘਾਤ ਦੇ ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ, ਜਾਂ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਬਹੁਪਦੀ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਹੈ ਜੋ ਬਹੁਪਦੀ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀ ਹੈ; ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਪਹਿਲੇ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਘਾਤ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ (leading term) ਉਹ ਪਦ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵੇਰੀਏਬਲ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲਾ ਪਦ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਪਦ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਹੈ।
ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ
ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਬਹੁਪਦੀਆਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ-ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਾਤਾਂ ਘਟਦੀਆਂ ਹੋਣ।
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ x ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਘਾਤ ਲੱਭੋ।
Identify the term containing the highest power of x x to find the leading term.
Identify the coefficient of the leading term.
Example 5
Identifying the Degree and Leading Coefficient of a Polynomial Function
Identify the degree, leading term, and leading coefficient of the following polynomial functions.
Solution
For the function f( x ), f( x ), the highest power of x x is 3, so the degree is 3. The leading term is the term containing that degree, −4 x 3 . −4 x 3 . The leading coefficient is the coefficient of that term, −4. −4.
For the function g( t ), g( t ), the highest power of t t is 5, 5, so the degree is 5. 5. The leading term is the term containing that degree, 5 t 5 . 5 t 5 . The leading coefficient is the coefficient of that term, 5. 5.
For the function h( p ), h( p ), the highest power of p p is 3, 3, so the degree is 3. 3. The leading term is the term containing that degree, −p 3 . −p 3 . The leading coefficient is the coefficient of that term, −1. −1.
Try It #3
Identify the degree, leading term, and leading coefficient of the polynomial f(x)=4 x 2 − x 6 +2x−6. f(x)=4 x 2 − x 6 +2x−6.
Identifying End Behavior of Polynomial Functions
Knowing the degree of a polynomial function is useful in helping us predict its end behavior. To determine its end behavior, look at the leading term of the polynomial function. Because the power of the leading term is the highest, that term will grow significantly faster than the other terms as x x gets very large or very small, so its behavior will dominate the graph. For any polynomial, the end behavior of the polynomial will match the end behavior of the power function consisting of the leading term. See Table 3.
row: Polynomial Function | Leading Term | Graph of Polynomial Function
row: f(x)=5 x 4 +2 x 3 −x−4 f(x)=5 x 4 +2 x 3 −x−4 | 5 x 4 5 x 4
row: f(x)=−2 x 6 − x 5 +3 x 4 + x 3 f(x)=−2 x 6 − x 5 +3 x 4 + x 3 | −2 x 6 −2 x 6
row: f(x)=3 x 5 −4 x 4 +2 x 2 +1 f(x)=3 x 5 −4 x 4 +2 x 2 +1 | 3 x 5 3 x 5
row: f(x)=−6 x 3 +7 x 2 +3x+1 f(x)=−6 x 3 +7 x 2 +3x+1 | −6 x 3 −6 x 3
Example 6
Identifying End Behavior and Degree of a Polynomial Function
Describe the end behavior and determine a possible degree of the polynomial function in Figure 7.
Solution
As the input values x x get very large, the output values f(x) f(x) increase without bound. As the input values x x get very small, the output values f(x) f(x) decrease without bound. We can describe the end behavior symbolically by writing
In words, we could say that as x x values approach infinity, the function values approach infinity, and as x x values approach negative infinity, the function values approach negative infinity.
ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਨੋਖੀ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਵਜੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅਨੋਖੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #4
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵੀ ਡਿਗਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−3 x 2 (x−1)(x+4) ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਖ ਪਦ, ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
f(x) ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਸਥਾਰ ਨੂੰ ਫੈਲਾ ਕੇ ਆਮ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
ਆਮ ਰੂਪ f(x)=−3 x 4 −9 x 3 +12 x 2 ਹੈ। ਮੁੱਖ ਪਦ −3 x 4 ਹੈ; ਇਸ ਲਈ, ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਦੀ ਡਿਗਰੀ 4 ਹੈ। ਡਿਗਰੀ ਸਮ (4) ਹੈ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਨਕਾਰਾਤਮਕ (–3) ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਹੈ
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #5
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5) ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਖ ਪਦ, ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ "ਮੱਧ" ਵਿੱਚ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਸਥਾਨਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਵਿਵਹਾਰ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ ਜਾਂ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਰੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ, y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲੰਬਵਤ ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਉਸ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਜੋੜੀ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਲਈ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਸਿਰਫ ਇੱਕ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0, a 0 ) ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਹਨਾਂ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹੋਣਾ ਸੰਭਵ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 9 ਦੇਖੋ।
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ
ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਧਣ ਤੋਂ ਘਟਣ ਜਾਂ ਘਟਣ ਤੋਂ ਵਧਣ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਬਦਲਦਾ ਹੈ। y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
x=0 ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਜ਼ੀਰੋ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=(x−2)(x+1)(x−4) ਲਈ, ਤੁਹਾਡੀ ਸਹੂਲਤ ਲਈ ਫੈਕਟਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, y- ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
The y-intercept occurs when the input is zero so substitute 0 for x. x.
The y-intercept is (0, 8).
The x-intercepts occur when the output is zero.
The x-intercepts are (2,0),(–1,0), (2,0),(–1,0), and (4,0). (4,0).
We can see these intercepts on the graph of the function shown in Figure 10.
Example 9
Determining the Intercepts of a Polynomial Function with Factoring
Given the polynomial function f(x)= x 4 −4 x 2 −45, f(x)= x 4 −4 x 2 −45, determine the y- and x-intercepts.
Solution
The y-intercept occurs when the input is zero.
The y-intercept is (0,−45). (0,−45).
The x-intercepts occur when the output is zero. To determine when the output is zero, we will need to factor the polynomial.
The x-intercepts are (3,0) (3,0) and (–3,0). (–3,0).
We can see these intercepts on the graph of the function shown in Figure 11. We can see that the function is even because f( x )=f( −x ). f( x )=f( −x ).
Try It #6
Given the polynomial function f(x)=2 x 3 −6 x 2 −20x, f(x)=2 x 3 −6 x 2 −20x, determine the y- and x-intercepts.
Comparing Smooth and Continuous Graphs
The degree of a polynomial function helps us to determine the number of x-intercepts and the number of turning points. A polynomial function of nth nth degree is the product of n n factors, so it will have at most n n roots or zeros, or x-intercepts. The graph of the polynomial function of degree n n must have at most n–1 n–1 turning points. This means the graph has at most one fewer turning point than the degree of the polynomial or one fewer than the number of factors.
A continuous function has no breaks in its graph: the graph can be drawn without lifting the pen from the paper. A smooth curve is a graph that has no sharp corners. The turning points of a smooth graph must always occur at rounded curves. The graphs of polynomial functions are both continuous and smooth.
Intercepts and Turning Points of Polynomials
A polynomial of degree n n will have, at most, n n x-intercepts and n−1 n−1 turning points.
Example 10
Determining the Number of Intercepts and Turning Points of a Polynomial
Without graphing the function, determine the local behavior of the function by finding the maximum number of x-intercepts and turning points for f(x)=−3 x 10 +4 x 7 − x 4 +2 x 3 . f(x)=−3 x 10 +4 x 7 − x 4 +2 x 3 .
ਹੱਲ
ਬਹੁਪਦੀ ਦੀ ਡਿਗਰੀ 10 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 10 x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 9 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #7
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਏ ਬਿਨਾਂ, f(x)=108−13 x 9 −8 x 4 +14 x 12 +2 x 3 ਲਈ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। f(x)=108−13 x 9 −8 x 4 +14 x 12 +2 x 3 ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਾਰੇ ਸਿੱਟੇ ਕੱਢਣਾ
ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਬਹੁਪਦੀ ਬਾਰੇ, ਇਸਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮ-ਡਿਗਰੀ ਬਹੁਪਦੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ।
ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ 2 x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਹਨ, ਜੋ 2 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ 3 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਜੋ 4 ਜਾਂ ਇਸ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢਣਾ ਵਾਜਬ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਡਿਗਰੀ ਸਮ ਹੈ ਅਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 4 ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #8
ਚਿੱਤਰ 14 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਬਹੁਪਦੀ ਬਾਰੇ, ਇਸਦੇ ਅੰਤਰ-ਖੰਡਾਂ ਅਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਅਸੀਂ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ?
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਾਰੇ ਸਿੱਟੇ ਕੱਢਣਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−4x( x+3 )( x−4 ), f(x)=−4x( x+3 )( x−4 ), ਲਈ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ f(0) ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। f(0)।
y-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,0) ਹੈ। (0,0)।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਪਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।
x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ (0,0),(–3,0), (0,0),(–3,0), ਅਤੇ (4,0) ਹਨ। (4,0)।
ਡਿਗਰੀ 3 ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 2 ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #9
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5), f(x)=0.2(x−2)(x+1)(x−5), ਲਈ ਸਥਾਨਕ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਹਨਾਂ ਸ਼ਕਤੀ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸ਼ਕਤੀ ਅਤੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਬਾਰੇ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਾਰੇ ਮੁੱਖ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲੱਭੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ।
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ x-ਅੰਤਰ-ਖੰਡ।
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਭਵ ਡਿਗਰੀ।
ਸ਼ਬਦਿਕ।
ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਡਿਗਰੀ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ ਦੱਸੋ।
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਗੁਣਨਖੰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਜੇਕਰ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇੱਕ ਅਜੀਬ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੇ ਬਹੁਪਦ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਖਿਆ ਵਿਚਕਾਰ ਕੀ ਸਬੰਧ ਹੈ?
ਜੇਕਰ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕੀ ਸਿੱਟਾ ਕੱਢ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਜਿਵੇਂ x→−∞,f(x)→−∞ ਅਤੇ ਜਿਵੇਂ x→∞,f(x)→−∞।
ਬੀਜਗਣਿਤ।
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸ਼ਕਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਜਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਨਹੀਂ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ।
f(x)= x 5
f(x)= ( x 2 ) 3
f(x)=x− x 4
f(x)= x 2 x 2 −1
f(x)=2x( x+2 ) ( x−1 ) 2
f(x)= 3 x+1
ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ ਲੱਭੋ।
−3x 4
7−2 x 2
−2 x 2 −3 x 5 +x−6
x( 4− x 2 )(2x+1)
x 2 ( 2x−3 ) 2 x 2 ( 2x−3 ) 2
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅੰਤਲੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
f( x )= x 4
f( x )= x 3
f( x )=− x 4
f( x )=− x 9
f(x)=−2 x 4 −3 x 2 +x−1
f(x)=3 x 2 +x−2
f(x)= x 2 ( 2 x 3 −x+1 )
f(x)= (2−x) 7
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਪਟਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
f( t )=2( t−1 )( t+2 )(t−3)
g( n )=−2( 3n−1 )(2n+1)
f(x)= x 4 −16
f(x)= x 3 +27
f(x)=x( x 2 −2x−8 )
f(x)=(x+3)( 4 x 2 −1 )
ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਭਵ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ।
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜੇਕਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਟਰਨਿੰਗ ਪੁਆਇੰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਸੰਭਵ ਡਿਗਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਸੰਖਿਆਤਮਕ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਤਲੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਬਣਾਓ।
f(x)=− x 3
f(x)= x 4 −5 x 2
f(x)= x 2 ( 1−x ) 2
f(x)=(x−1)(x−2)(3−x)
f(x)= x 5 10 − x 4
ਤਕਨਾਲੋਜੀ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
f(x)= x 3 (x−2)
f(x)=x(x−3)(x+3)
f(x)=x(14−2x)(10−2x)
f(x)=x(14−2x) (10−2x) 2
f(x)= x 3 −16x
f(x)= x 3 −27
f(x)= x 4 −81
f(x)=− x 3 + x 2 +2x
f(x)= x 3 −2 x 2 −15x
f(x)= x 3 −0.01x
ਵਿਸਤਾਰ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਾਂਕ 1 ਜਾਂ –1 ਹੈ। ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਹੀ ਜਵਾਬ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
y- ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,−4) ਹੈ। x- ਇੰਟਰਸੈਪਟ (−2,0), (2,0) ਹਨ। ਡਿਗਰੀ 2 ਹੈ।
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ: ਜਿਵੇਂ x→−∞, f(x)→∞; ਜਿਵੇਂ x→∞, f(x)→∞।
y- ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,9) ਹੈ। x- ਇੰਟਰਸੈਪਟ (−3,0), (3,0) ਹਨ। ਡਿਗਰੀ 2 ਹੈ।
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ: ਜਿਵੇਂ x→−∞, f(x)→−∞, ਜਿਵੇਂ x→∞, f(x)→−∞।
y- ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,0) ਹੈ। x- ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,0), (2,0) ਹਨ। ਡਿਗਰੀ 3 ਹੈ।
ਅੰਤਿਮ ਵਿਵਹਾਰ: ਜਿਵੇਂ x→−∞, f(x)→−∞, ਜਿਵੇਂ x→∞, f(x)→∞।
y- ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,1) ਹੈ। x- ਇੰਟਰਸੈਪਟ (1,0) ਹੈ। ਡਿਗਰੀ 3 ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→−∞, f(x)→∞, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞, f(x)→−∞.
y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,1) ਹੈ। ਕੋਈ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਡਿਗਰੀ 4 ਹੈ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→−∞, f(x)→∞, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x→∞, f(x)→∞.
ਵਾਸਤਵਿਕ-ਸੰਸਾਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲਿਖਤੀ ਬਿਆਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਤੇਲ ਦਾ ਛਿੱਟਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਵਜੋਂ ਫੈਲ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪ੍ਰਤੀ ਦਿਨ 20 ਮੀਟਰ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ d, ਬੀਤੇ ਦਿਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਘਣ ਦਾ ਕਿਨਾਰਾ 3 ਫੁੱਟ ਹੈ। ਕਿਨਾਰਾ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ 2 ਫੁੱਟ ਦੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਘਣ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ m, ਬੀਤੇ ਮਿੰਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 10 ਇੰਚ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ 6 ਇੰਚ ਹੈ। ਜੇ ਲੰਬਾਈ x ਇੰਚ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਉਸ ਦੁੱਗਣੀ ਰਕਮ ਨਾਲ ਵਧਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਬਾਕਸ 8 ਇੰਚ ਬਾਈ 8 ਇੰਚ ਦੇ ਕਾਰਡਬੋਰਡ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਤੋਂ x-ਇੰਚ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਕੋਨਿਆਂ ਨੂੰ ਕੱਟ ਕੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਫੋਲਡ ਕਰਕੇ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਬਾਕਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਆਇਤ ਆਪਣੀ ਚੌੜਾਈ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਲੰਬੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਕੋਨੇ ਤੋਂ 2 ਫੁੱਟ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਵਾਲੇ ਵਰਗ ਕੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਫਿਰ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਬਾਕਸ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਫੋਲਡ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਬਾਕਸ ਦੇ ਆਇਤਨ ਨੂੰ ਚੌੜਾਈ (x) ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।