Learning Objectives
In this section, you will:
Evaluate exponential functions.
Find the equation of an exponential function.
Use compound interest formulas.
Evaluate exponential functions with base ee .
India is the second most populous country in the world with a population of about 1.39 1.39 billion people in 2021. The population is growing at a rate of about 1.2% 1.2% each year2. If this rate continues, the population of India will exceed China’s population by the year 2027. 2027. When populations grow rapidly, we often say that the growth is “exponential,” meaning that something is growing very rapidly. To a mathematician, however, the term exponential growth has a very specific meaning. In this section, we will take a look at exponential functions, which model this kind of rapid growth.
Identifying Exponential Functions
When exploring linear growth, we observed a constant rate of change—a constant number by which the output increased for each unit increase in input. For example, in the equation f(x)=3x+4, f(x)=3x+4, the slope tells us the output increases by 3 each time the input increases by 1. The scenario in the India population example is different because we have a percent change per unit time (rather than a constant change) in the number of people.
Defining an Exponential Function
A study found that the percent of the population who are vegans in the United States doubled from 2009 to 2011. In 2011, 2.5% of the population was vegan, adhering to a diet that does not include any animal products—no meat, poultry, fish, dairy, or eggs. If this rate continues, vegans will make up 10% of the U.S. population in 2015, 40% in 2019, and 80% in 2021.
What exactly does it mean to grow exponentially? What does the word double have in common with percent increase? People toss these words around errantly. Are these words used correctly? The words certainly appear frequently in the media.
Percent change refers to a change based on a percent of the original amount.
Exponential growth refers to an increase based on a constant multiplicative rate of change over equal increments of time, that is, a percent increase of the original amount over time.
Exponential decay refers to a decrease based on a constant multiplicative rate of change over equal increments of time, that is, a percent decrease of the original amount over time.
For us to gain a clear understanding of exponential growth, let us contrast exponential growth with linear growth. We will construct two functions. The first function is exponential. We will start with an input of 0, and increase each input by 1. We will double the corresponding consecutive outputs. The second function is linear. We will start with an input of 0, and increase each input by 1. We will add 2 to the corresponding consecutive outputs. See Table 1.
row: x x | f(x)= 2 x f(x)= 2 x | g(x)=2x g(x)=2x
row: 0 | 1 | 0
row: 1 | 2 | 2
row: 2 | 4 | 4
row: 3 | 8 | 6
row: 4 | 16 | 8
row: 5 | 32 | 10
row: 6 | 64 | 12
1. ਟੇਬਲ 1 ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਰੇਖੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਪਿੱਛੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
2. ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਰੇਂਜ ਦੇ ਮੂਲ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਬਰਾਬਰ ਵਾਧਿਆਂ ਦੌਰਾਨ ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦੁਆਰਾ ਵਧਦਾ ਹੈ।
3. ਰੇਖੀ ਵਾਧਾ ਰੇਂਜ ਦੇ ਮੂਲ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਪਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਬਰਾਬਰ ਵਾਧਿਆਂ ਦੌਰਾਨ ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ ਦੁਆਰਾ ਵਧਦਾ ਹੈ।
4. ਜ਼ਾਹਰ ਹੈ, "ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ" ਅਤੇ "ਇੱਕੋ ਮਾਤਰਾ" ਵਿਚਕਾਰ ਦਾ ਅੰਤਰ ਕਾਫ਼ੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਲਈ, ਬਰਾਬਰ ਵਾਧਿਆਂ ਦੌਰਾਨ, ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਸਥਿਰ ਗੁਣਾਤਮਕ ਦਰ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੁੱਗਣੀ ਹੋ ਗਈ ਜਦੋਂ ਵੀ ਇਨਪੁੱਟ ਇੱਕ ਨਾਲ ਵਧਿਆ। ਰੇਖੀ ਵਾਧੇ ਲਈ, ਬਰਾਬਰ ਵਾਧਿਆਂ ਦੌਰਾਨ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਸਥਿਰ ਜੋੜੀ ਦਰ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵਿੱਚ 2 ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਜਦੋਂ ਵੀ ਇਨਪੁੱਟ ਇੱਕ ਨਾਲ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ।
5. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਮ ਰੂਪ f(x)=a b x ਹੈ, ਜਿੱਥੇ a ਕੋਈ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, b ਇੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।
6. ਜੇਕਰ b>1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ।
7. ਜੇਕਰ 0<b<1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਪਣੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ।
8. ਆਓ ਆਪਣੇ ਉਦਾਹਰਨ ਤੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਅਸੀਂ -3 ਤੋਂ 3 ਤੱਕ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਸੰਗਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ (ਟੇਬਲ 2) ਬਣਾਵਾਂਗੇ।
9. ਕਤਾਰ: x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
10. ਕਤਾਰ: f(x)= 2 x | 2 −3 = 1/8 | 2 −2 = 1/4 | 2 −1 = 1/2 | 2 0 =1 | 2 1 =2 | 2 2 =4 | 2 3 =8
11. ਆਓ ਫੰਕਸ਼ਨ f ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ Figure 1 ਵਿੱਚ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦੇਖੇ ਗਏ ਆਰਡਰਡ ਜੋੜਿਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਕੇ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕੁਝ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੀਏ।
12. ਆਓ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ ਅਤੇ ਇਸਦੀਆਂ ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰੀਏ।
13. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ਹੈ,
14. ਰੇਂਜ ( 0,∞ ) ਹੈ,
15. ਜਿਵੇਂ x→∞, f(x)→∞,
16. ਜਿਵੇਂ x→−∞, f(x)→0,
17. f(x) ਹਮੇਸ਼ਾ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ,
18. f(x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਦੇ ਵੀ x-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਛੂਹੇਗਾ ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਦੇ ਅਧਾਰ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਉਣ ਨਾਲ ਕਦੇ ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਮਿਲਦਾ।
19. y=0 ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਹੈ।
20. y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ 1 ਹੈ।
21. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ
22. ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x ਲਈ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਸ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
23. ਜਿੱਥੇ
24. a ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ
1. ਬੀ ਕੋਈ ਵੀ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ ਬੀ≠1। ਬੀ≠1।
2. f ਦਾ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
3. ਜੇਕਰ a>0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ f ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਸਾਰੀਆਂ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
4. ਜੇਕਰ a<0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ f ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਸਾਰੀਆਂ ਰਿਣ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
5. y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,a) ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ y=0 ਹੈ।
6. ਉਦਾਹਰਨ 1
7. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ
8. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਨਹੀਂ ਹਨ?
9. f(x)= 4 3( x−2 )
10. g(x)= x 3
11. h(x)= ( 1 3 ) x
12. j(x)= ( −2 ) x
13. ਹੱਲ
14. ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਦਾ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਚੱਲ ਘਾਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, g(x)= x 3 ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਚੱਲ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, g(x)= x 3 ਇੱਕ ਘਾਤ ਫਲਨ ਹੈ।
15. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਦਾ ਆਧਾਰ ਬੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਧਨ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬੀ≠1। ਇਸ ਲਈ, j(x)= ( −2 ) x ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਆਧਾਰ, −2, 0 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
17. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ?
18. f(x)=2 x 2 −3x+1
19. g(x)= 0.875 x
20. h(x)=1.75x+2
21. j(x)= 1095.6 −2x
22. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
23. ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਦਾ ਆਧਾਰ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਇੱਕ ਧਨ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਆਧਾਰ ਬੀ ਨੂੰ ਧਨ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਕਿਉਂ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਨਤੀਜੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋਣ। ਦੇਖੋ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਆਧਾਰ ਧਨ ਨਾ ਹੋਵੇ:
24. ਮੰਨ ਲਓ ਬੀ=−9 ਅਤੇ x= 1 2 । ਫਿਰ f(x)=f( 1 2 )= ( −9 ) 1 2 = −9 , ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਬੇਸ ਨੂੰ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਕਿਉਂ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? 1? ਕਿਉਂਕਿ ਬੇਸ 1 1 ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਜੇ ਬੇਸ 1 ਹੈ ਤਾਂ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: 1:
ਮੰਨ ਲਓ b=1। b=1। ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ x ਦੇ ਮੁੱਲ ਲਈ f(x)= 1 x =1 f(x)= 1 x =1। x।
f(x)= b x , f(x)= b x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ x x ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੀ ਸ਼ਕਤੀ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
ਮੰਨ ਲਓ f(x)= 2 x । f(x)= 2 x । f(3) ਕੀ ਹੈ? f(3)?
ਬੁਨਿਆਦੀ ਰੂਪ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ:
ਮੰਨ ਲਓ f(x)=30 ( 2 ) x । f(x)=30 ( 2 ) x । f(3) ਕੀ ਹੈ? f(3)?
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਨਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ ਗਲਤ ਹੁੰਦਾ:
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ f( x )=5 ( 3 ) x+1 । f( x )=5 ( 3 ) x+1 । ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ f( 2 ) f( 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਬਰੈਕਟਾਂ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਮੰਨ ਲਓ f( x )=8 ( 1.2 ) x−5 । f( x )=8 ( 1.2 ) x−5 । ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ f( 3 ) f( 3 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਚਾਰ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ
ਕਿਉਂਕਿ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ, "ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ" ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਮ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਵਾਧੇ ਦੀ ਦਰ ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ
ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜੋ ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਮੌਜੂਦ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਦਰ ਨਾਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ x x ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a a ਅਤੇ b b ਲਈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ b≠1, b≠1, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a a ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਜਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਹੈ।
b b ਪ੍ਰਤੀ ਯੂਨਿਟ x x ਵਾਧਾ ਗੁਣਕ ਜਾਂ ਵਾਧਾ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਹੋਰ ਆਮ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬੇਸ ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਘਾਤ ਤੱਕ ਵਧਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਓ ਦੋ ਕੰਪਨੀਆਂ, A ਅਤੇ B 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਕੰਪਨੀ A ਕੋਲ 100 ਸਟੋਰ ਹਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 50 ਨਵੇਂ ਸਟੋਰ ਖੋਲ੍ਹ ਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ A( x )=100+50x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। A( x )=100+50x। ਕੰਪਨੀ B ਕੋਲ 100 ਸਟੋਰ ਹਨ ਅਤੇ ਹਰ ਸਾਲ 50% ਦੁਆਰਾ ਸਟੋਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧਾ ਕੇ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ B(x)=100 ( 1+0.5 ) x ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। B(x)=100 ( 1+0.5 ) x।
ਇਹਨਾਂ ਕੰਪਨੀਆਂ ਲਈ ਕੁਝ ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਵਾਧਾ ਸਾਰਣੀ 3 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਸਾਲ, x x | ਸਟੋਰ, ਕੰਪਨੀ A | ਸਟੋਰ, ਕੰਪਨੀ B
row: 0 0 | 100+50( 0 )=100 100+50( 0 )=100 | 100 ( 1+0.5 ) 0 =100 100 ( 1+0.5 ) 0 =100
row: 1 1 | 100+50( 1 )=150 100+50( 1 )=150 | 100 ( 1+0.5 ) 1 =150 100 ( 1+0.5 ) 1 =150
row: 2 2 | 100+50( 2 )=200 100+50( 2 )=200 | 100 ( 1+0.5 ) 2 =225 100 ( 1+0.5 ) 2 =225
row: 3 3 | 100+50( 3 )=250 100+50( 3 )=250 | 100 ( 1+0.5 ) 3 =337.5 100 ( 1+0.5 ) 3 =337.5
row: x x | A( x )=100+50x A( x )=100+50x | B(x)=100 ( 1+0.5 ) x B(x)=100 ( 1+0.5 ) x
The graphs comparing the number of stores for each company over a five-year period are shown in Figure 2. We can see that, with exponential growth, the number of stores increases much more rapidly than with linear growth.
Figure 2: The graph shows the numbers of stores Companies A and B opened over a five-year period.
Notice that the domain for both functions is [0,∞), [0,∞), and the range for both functions is [100,∞). [100,∞). After year 1, Company B always has more stores than Company A.
Now we will turn our attention to the function representing the number of stores for Company B, B(x)=100 ( 1+0.5 ) x . B(x)=100 ( 1+0.5 ) x . In this exponential function, 100 represents the initial number of stores, 0.50 represents the growth rate, and 1+0.5=1.5 1+0.5=1.5 represents the growth factor. Generalizing further, we can write this function as B(x)=100 ( 1.5 ) x , B(x)=100 ( 1.5 ) x , where 100 is the initial value, 1.5 1.5 is called the base, and x x is called the exponent.
Example 3
Evaluating a Real-World Exponential Model
At the beginning of this section, we learned that the population of India was about 1.25 1.25 billion in the year 2013, with an annual growth rate of about 1.2%. 1.2%. This situation is represented by the growth function P(t)=1.25 ( 1.012 ) t , P(t)=1.25 ( 1.012 ) t , where t t is the number of years since 2013. 2013. To the nearest thousandth, what will the population of India be in 2031? 2031?
Solution
To estimate the population in 2031, we evaluate the models for t=18, t=18, because 2031 is 18 18 years after 2013. Rounding to the nearest thousandth,
There will be about 1.549 billion people in India in the year 2031.
Try It #3
The population of China was about 1.39 billion in the year 2013, with an annual growth rate of about 0.6%. 0.6%. This situation is represented by the growth function P(t)=1.39 ( 1.006 ) t , P(t)=1.39 ( 1.006 ) t , where t t is the number of years since 2013. 2013. To the nearest thousandth, what will the population of China be for the year 2031? How does this compare to the population prediction we made for India in Example 3?
Finding Equations of Exponential Functions
In the previous examples, we were given an exponential function, which we then evaluated for a given input. Sometimes we are given information about an exponential function without knowing the function explicitly. We must use the information to first write the form of the function, then determine the constants a a and b, b, and evaluate the function.
How To
Given two data points, write an exponential model.
If one of the data points has the form ( 0,a ), ( 0,a ), then a a is the initial value. Using a, a, substitute the second point into the equation f(x)=a ( b ) x , f(x)=a ( b ) x , and solve for b. b.
If neither of the data points have the form ( 0,a ), ( 0,a ), substitute both points into two equations with the form f(x)=a ( b ) x . f(x)=a ( b ) x . Solve the resulting system of two equations in two unknowns to find a a and b. b.
Using the a a and b b found in the steps above, write the exponential function in the form f(x)=a ( b ) x . f(x)=a ( b ) x .
4. ਉਦਾਹਰਨ 4
2. ਜਦੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖਣਾ
3. 2006 ਵਿੱਚ, 80 ਹਿਰਨ ਇੱਕ ਜੰਗਲੀ ਜੀਵ ਅਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਛੱਡੇ ਗਏ। 2012 ਤੱਕ, ਆਬਾਦੀ ਵਧ ਕੇ 180 ਹਿਰਨ ਹੋ ਗਈ ਸੀ। ਆਬਾਦੀ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧ ਰਹੀ ਸੀ। ਸਮੇਂ t ਦੇ ਨਾਲ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ (N) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ N(t) ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ t ਨੂੰ 2006 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਇਨਪੁਟ-ਆਊਟਪੁੱਟ ਜੋੜਿਆਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: (0, 80) ਅਤੇ (6, 180)। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਡੇ ਇਨਪੁਟ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ 2006 ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਲਾਂ ਵਜੋਂ ਮਾਪਣਾ ਚੁਣ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ, a=80, ਦਿੱਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ b ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ N(t)=80 b^t ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
6. ਨੋਟ: ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗੋਲ ਨਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇਸ ਭਾਗ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਲਈ ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰ ਨੂੰ ਚਾਰ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
7. ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦਾ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ N(t)=80 (1.1447)^t ਹੈ। (ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਹ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਥੋੜ੍ਹੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਵਾਧੇ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁਟ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਆਊਟਪੁੱਟ ਵੱਧਦਾ ਜਾਵੇਗਾ, ਇੰਨਾ ਜ਼ਿਆਦਾ ਕਿ ਮਾਡਲ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਲਈ ਲਾਭਦਾਇਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ।)
8. ਅਸੀਂ ਅਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਵੇਖਣ ਲਈ ਆਪਣੇ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂਆਂ, (0,80) ਅਤੇ (6,180) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਡੋਮੇਨ [0,∞) ਹੈ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਰੇਂਜ [80,∞) ਹੈ।
9. ਚਿੱਤਰ 3: ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹਿਰਨਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, N(t)=80 (1.1447)^t, 2006 ਤੋਂ ਬਾਅਦ t ਸਾਲ
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
11. ਇੱਕ ਬਘਿਆੜ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧ ਰਹੀ ਹੈ। 2011 ਵਿੱਚ, 129 ਬਘਿਆੜ ਗਿਣੇ ਗਏ। 2013 ਤੱਕ, ਆਬਾਦੀ 236 ਬਘਿਆੜਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਗਈ ਸੀ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਸਮੇਂ t ਦੇ ਨਾਲ ਬਘਿਆੜਾਂ ਦੀ ਆਬਾਦੀ N ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 5
13. ਜਦੋਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਨਾ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਘਾਤੀ ਮਾਡਲ ਲਿਖਣਾ
14. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (−2,6) ਅਤੇ (2,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
15. ਹੱਲ
16. ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ f(x)=a b^x ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਦੋਵਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ a ਅਤੇ b ਲਈ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
17. (−2,6) ਨੂੰ ਬਦਲਣ 'ਤੇ 6=a b^{-2} ਮਿਲਦਾ ਹੈ
18. (2,1) ਨੂੰ ਬਦਲਣ 'ਤੇ 1=a b^2 ਮਿਲਦਾ ਹੈ
19. b ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
20. ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ a ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
21. a ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ b ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
22. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ f(x)=2.4492 (0.6389)^x ਹੈ।
23. ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਕੰਮ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਲਈ ਆਪਣੇ ਮਾਡਲ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 4 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂਆਂ, (−2,6) ਅਤੇ (2,1) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਘਾਤੀ ਕਮੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ।
24. ਚਿੱਤਰ 4: f(x)=2.4492 (0.6389)^x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਘਾਤੀ ਕਮੀ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #5
2. ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (1,3) ਅਤੇ (2,4.5) ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
Q&A
3. ਕੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਨ?
4. ਹਾਂ, ਬਸ਼ਰਤੇ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂ ਤਾਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਹੋਣ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਹੋਣ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ x-ਸੰਯੋਜਕ ਵੱਖਰੇ ਹੋਣ। ਪਰ ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਹਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਜੋ ਘਾਤੀ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਘਾਤੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਮਾਡਲ 'ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ ਜੋ x ਦੇ ਹਰੇਕ ਇਕਾਈ ਵਾਧੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਵਾਧਾ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਵਿਸ਼ਵ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ।
5. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
6. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
7. ਪਹਿਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਜੋਂ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਚੁਣੋ। ਗੋਲ-ਆਫ ਗਲਤੀ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਜਿੰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋ ਸਕੇ ਦੂਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚੁਣਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ।
8. ਜੇਕਰ ਡਾਟਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ (0,a) ਹੈ, ਤਾਂ a ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ ਹੈ। a ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਦੂਜੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=a(b)^x ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
9. ਜੇਕਰ ਡਾਟਾ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ (0,a) ਰੂਪ ਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੋਵੇਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ f(x)=a(b)^x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। a ਅਤੇ b ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਅਣਜਾਣਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਨਤੀਜਤੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
10. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=a(b)^x ਲਿਖੋ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 6
12. ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣਾ
13. ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
14. ਹੱਲ
15. ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, (0,3), ਨੂੰ ਸਾਡੇ ਪਹਿਲੇ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਮੁੱਲ, a=3 ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਅੱਗੇ, (0,3) ਤੋਂ ਕੁਝ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣੋ ਜਿਸਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸੰਯੋਜਕ ਹੋਣ। ਅਜਿਹਾ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ (2,12) ਹੈ।
16. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ b ਦੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਤੱਕ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ b=2 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਰੂਪ ਵਿੱਚ a ਅਤੇ b ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨ f(x)=3(2)^x ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #6
18. ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
19. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
20. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਕਰ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ, ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
Press [STAT].
21. ਕਾਲਮ L1 ਜਾਂ L2 ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮੌਜੂਦਾ ਐਂਟਰੀਆਂ ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ।
22. L1 ਵਿੱਚ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ x-ਸੰਯੋਜਕਾਂ ਨੂੰ ਦਾਖਲ ਕਰੋ।
23. L2 ਵਿੱਚ, ਸੰਬੰਧਿਤ y-ਸੰਯੋਜਕਾਂ ਨੂੰ ਦਾਖਲ ਕਰੋ।
24. [STAT] ਦੁਬਾਰਾ ਦਬਾਓ। CALC ਵੱਲ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕਰਸਰ ਕਰੋ, ExpReg (Exponential Regression) ਤੱਕ ਹੇਠਾਂ ਸਕ੍ਰੋਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ [ENTER] ਦਬਾਓ।
ਸਕਰੀਨ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y=a⋅ b x ਦੇ 'a' ਅਤੇ 'b' ਦੇ ਮੁੱਲ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (2,24.8) ਅਤੇ (5,198.4) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਉਪਰੋਕਤ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ [STAT], [EDIT], [1: Edit…] ਦਬਾਓ, ਅਤੇ ਸੂਚੀਆਂ L1 ਅਤੇ L2 ਨੂੰ ਸਾਫ਼ ਕਰੋ। ਅੱਗੇ, L1 ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ, 2 ਅਤੇ 5 ਦਰਜ ਕਰੋ। L2 ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਸ, 24.8 ਅਤੇ 198.4 ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਕਰੋ।
ਹੁਣ [STAT], [CALC], [0: ExpReg] ਦਬਾਓ ਅਤੇ [ENTER] ਦਬਾਓ। a=6.2 ਅਤੇ b=2 ਦੇ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਹੋਣਗੇ। ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ y=6.2⋅ 2 x ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ (3, 75.98) ਅਤੇ (6, 481.07) ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਬੱਚਤ ਯੰਤਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕਮਾਈਆਂ ਲਗਾਤਾਰ ਮੁੜ-ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਮਿਊਚਲ ਫੰਡ ਅਤੇ ਰਿਟਾਇਰਮੈਂਟ ਖਾਤੇ, ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਸ਼ਬਦ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਮੂਲ ਮੁੱਲ 'ਤੇ, ਸਗੋਂ ਖਾਤੇ ਦੇ ਜਮ੍ਹਾਂ ਹੋਏ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਵੀ ਕਮਾਏ ਗਏ ਵਿਆਜ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਖਾਤੇ ਦੀ ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਰ (APR), ਜਿਸਨੂੰ ਨਾਮਾਤਰ ਦਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਦੁਆਰਾ ਕਮਾਈ ਗਈ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ ਦਰ ਹੈ। ਨਾਮਾਤਰ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਦੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਾਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਵਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਵਿਆਜ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਭਾਵੀ ਵਿਆਜ ਦਰ ਨਾਮਾਤਰ ਦਰ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ! ਇਹ ਨਿਵੇਸ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸਮਾਂ t, ਮੂਲ P, APR r, ਅਤੇ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਮਿਆਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ n ਦਾ ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ:
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਾਰਣੀ 4 ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ $1,000 ਨੂੰ 10% 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਾਲ ਲਈ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਧਣ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | 1 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਮੁੱਲ
ਸਤਰ: ਸਾਲਾਨਾ | $1100
ਸਤਰ: ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ | $1102.50
ਸਤਰ: ਤਿਮਾਹੀ | $1103.81
ਸਤਰ: ਮਾਸਿਕ | $1104.71
ਸਤਰ: ਰੋਜ਼ਾਨਾ | $1105.16
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ-ਵਿਆਜ ਦੀ ਗਣਨਾ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
A(t) ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ,
ਸਮਾਂ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,
P P ਖਾਤੇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਰਕਮ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਅਕਸਰ ਮੂਲਧਨ, ਜਾਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੌਜੂਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,
r r ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਰ (APR) ਹੈ ਜੋ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਅਤੇ
n n ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਸਮੇਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 3% ਵਿਆਜ ਵਾਲੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $3,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਤਿਮਾਹੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ $3,000 ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, P=3000। P=3000। ਸਾਡੀ ਵਿਆਜ ਦਰ 3% ਹੈ, ਇਸ ਲਈ r=0.03। r=0.03। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਤਿਮਾਹੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ 4 ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ n=4। n=4। ਅਸੀਂ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ A(10), A(10) ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਜਦੋਂ t=10। t=10।
ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ 10 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ $4,045.05 ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
12% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $100,000 ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼ ਹਫਤਾਵਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਇੱਕ ਸਾਲ ਵਿੱਚ 52 ਹਫ਼ਤੇ ਵਰਤੋ)। 30 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿੰਨਾ ਹੋਵੇਗਾ?
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਮੂਲਧਨ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
529 ਯੋਜਨਾ ਇੱਕ ਕਾਲਜ-ਬੱਚਤ ਯੋਜਨਾ ਹੈ ਜੋ ਰਿਸ਼ਤੇਦਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬੱਚੇ ਦੀ ਭਵਿੱਖੀ ਕਾਲਜ ਟਿਊਸ਼ਨ ਦਾ ਭੁਗਤਾਨ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਸੇ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ; ਖਾਤਾ ਟੈਕਸ-ਮੁਕਤ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਲਿਲੀ ਆਪਣੀ ਨਵੀਂ ਪੋਤੀ ਲਈ 529 ਖਾਤਾ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਖਾਤਾ 18 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ $40,000 ਤੱਕ ਵਧ ਜਾਵੇ। ਉਸਨੂੰ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਹੈ ਕਿ ਖਾਤਾ ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ (ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਾਰ) ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ 6% ਕਮਾਏਗਾ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਾਲਰ ਤੱਕ, ਲਿਲੀ ਨੂੰ ਹੁਣ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ?
ਹੱਲ
ਨਾਮਾਤਰ ਵਿਆਜ ਦਰ 6% ਹੈ, ਇਸ ਲਈ r=0.06। r=0.06। ਵਿਆਜ ਸਾਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਵਾਰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ n=2। n=2।
ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼, P, P, ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ 18 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ $40,000 ਹੋਵੇ। ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ P ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ। P।
18 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ $40,000 ਹੋਣ ਲਈ ਲਿਲੀ ਨੂੰ $13,801 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
ਉਦਾਹਰਨ 9 ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿਓ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਡਾਲਰ ਤੱਕ, ਲਿਲੀ ਨੂੰ ਕਿੰਨਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ ਜੇਕਰ ਖਾਤਾ ਤਿਮਾਹੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?
ਬੇਸ e ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਖਾਤੇ 'ਤੇ ਕਮਾਈ ਗਈ ਰਕਮ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ ਵਧਣ ਨਾਲ ਵਧਦੀ ਹੈ। ਸਾਰਣੀ 5 ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਾਲਾਨਾ ਤੋਂ ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਤੱਕ ਵਾਧਾ ਮਹੀਨਾਵਾਰ ਤੋਂ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਤੱਕ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨਾਲੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪੁੱਛਣ ਲਈ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਜਾਰੀ ਰਹੇਗਾ।
1 ਸਾਲ ਲਈ 100% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $1 ਦੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਾਰੰਬਾਰਤਾਵਾਂ 'ਤੇ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 5 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹੈ।
ਪ੍ਰਤੀ ਕਤਾਰ: ਬਾਰੰਬਾਰਤਾ | A(n)= ( 1+ 1 n ) n A(n)= ( 1+ 1 n ) n | ਮੁੱਲ
ਸਾਲਾਨਾ | ( 1+ 1 1 ) 1 ( 1+ 1 1 ) 1 | $2
ਅਰਧ-ਸਾਲਾਨਾ | ( 1+ 1 2 ) 2 ( 1+ 1 2 ) 2 | $2.25
ਤਿਮਾਹੀ | ( 1+ 1 4 ) 4 ( 1+ 1 4 ) 4 | $2.441406
ਮਹੀਨਾਵਾਰ | ( 1+ 1 12 ) 12 ( 1+ 1 12 ) 12 | $2.613035
ਰੋਜ਼ਾਨਾ | ( 1+ 1 365 ) 365 ( 1+ 1 365 ) 365 | $2.714567
ਘੰਟੇਵਾਰ | ( 1+ 1 8760 ) 8760 ( 1+ 1 8760 ) 8760 | $2.718127
ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਇੱਕ ਵਾਰ | ( 1+ 1 525600 ) 525600 ( 1+ 1 525600 ) 525600 | $2.718279
ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਇੱਕ ਵਾਰ | ( 1+131536000 ) 31536000 ( 1+131536000 ) 31536000 | $2.718282
ਇਹ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਵੱਲ ਵਧਦੇ ਜਾਪਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ n n ਅਸੀਮਤ ਤੱਕ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ n n ਵੱਡਾ ਅਤੇ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ( 1+ 1 n ) n ( 1+ 1 n ) n ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਨੰਬਰ ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜੋ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੰਨਾ ਅਕਸਰ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਆਪਣਾ ਨਾਮ ਹੈ: ਅੱਖਰ e। e। ਇਹ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਦਸ਼ਮਲਵ ਵਿਸਥਾਰ ਬਿਨਾਂ ਦੁਹਰਾਏ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਚਲਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਛੇ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਇਸਦਾ ਲਗਭਗ ਮੁੱਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਅੰਕ e e
ਅੱਖਰ e ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ
ਅੱਖਰ e ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਮਾਡਲਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਅਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਧਾਰ e ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਗਭਗ ਮੁੱਲ, e≈2.718282 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। e≈2.718282। ਇਸ ਸਥਿਰਾਂਕ ਦਾ ਨਾਮ ਸਵਿਸ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਲਿਓਨਹਾਰਡ ਯੂਲਰ (1707–1783) ਨੇ ਰੱਖਿਆ ਸੀ, ਜਿਸਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਖੋਜ ਕੀਤੀ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
e ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
e 3.14 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। e 3.14। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ, [ e x ] ਲੇਬਲ ਵਾਲਾ ਬਟਨ ਦਬਾਓ। [ e x ]। ਵਿੰਡੋ [ e^( ] ਦਿਖਾਉਂਦੀ ਹੈ। [ e^( ]। 3.14 ਟਾਈਪ ਕਰੋ 3.14 ਅਤੇ ਫਿਰ ਬੰਦ ਬਰੈਕਟ, [ ) ]। [ ) ]। [ENTER] ਦਬਾਓ। 5 ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰਨ 'ਤੇ, e 3.14 ≈23.10387। e 3.14 ≈23.10387। ਸਾਵਧਾਨੀ: ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਗਿਆਨਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ "Exp" ਬਟਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਵਿਗਿਆਨਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾਖਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ e ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਹੀਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। e।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
e −0.5 ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। e −0.5। ਪੰਜ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦੀ ਜਾਂਚ
ਹੁਣ ਤੱਕ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪਰਿਮੇਯ ਅਧਾਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਵਰਤਾਰਿਆਂ ਲਈ, e ਨੂੰ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਅਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। e ਨੂੰ ਅਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਣ ਵਾਲੇ ਘਾਤ ਅਨੁਸਾਰੀ ਮਾਡਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਕਮੀ ਮਾਡਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮਾਡਲਾਂ ਨੂੰ ਵਿੱਤ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਿਗਿਆਨਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਭੌਤਿਕੀ, ਜ਼ਹਿਰੀਲੇਪਣ, ਅਤੇ ਤਰਲ ਗਤੀ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧਾ/ਕਮੀ ਫਾਰਮੂਲਾ
ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ t, t, ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਧਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ a a ਅਤੇ r, r ਲਈ, ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਕਮੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
a a ਮੁੱਢਲਾ ਮੁੱਲ ਹੈ,
r r ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮੇਂ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧਾ ਦਰ ਹੈ,
ਅਤੇ t t ਬੀਤਿਆ ਹੋਇਆ ਸਮਾਂ ਹੈ।
ਜੇ r>0 r>0 , ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇ r<0 r<0 , ਤਾਂ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰੰਤਰ ਘਾਟੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਵਪਾਰਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ, ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ
P P ਮੁੱਢਲੀ ਰਕਮ ਜਾਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼ ਹੈ,
r r ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਸਮੇਂ ਲਈ ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਵਿਆਜ ਦਰ ਹੈ,
ਅਤੇ t t ਨਿਵੇਸ਼ ਦੀ ਮਿਆਦ ਜਾਂ ਅਰਸਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਮੁੱਢਲਾ ਮੁੱਲ, ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਘਾਟਾ ਦਰ, ਅਤੇ ਸਮਾਂ t t ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧਾ ਜਾਂ ਘਾਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਢਲੇ ਮੁੱਲ, a a , ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਵਾਧਾ ਦਰ r r ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ r>0 r>0 । ਜੇ ਸਮੱਸਿਆ ਨਿਰੰਤਰ ਘਾਟੇ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ r<0 r<0 ।
ਸਮਾਂ t t ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ ਅਤੇ A(t) A(t) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਨਿਰੰਤਰ ਵਾਧੇ ਦੀ ਗਣਨਾ
ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਨੇ ਇੱਕ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ $1,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜੋ ਨਾਮਾਤਰ 10% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਦਰ ਨਾਲ ਕਮਾ ਰਿਹਾ ਸੀ। ਇੱਕ ਸਾਲ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਖਾਤੇ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਸੀ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਇਹ ਵਾਧਾ ਦਰ r=0.10 r=0.10 ਨਾਲ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਨਿਵੇਸ਼ $1,000 ਸੀ, ਇਸ ਲਈ P=1000 P=1000 । ਅਸੀਂ t=1 t=1 ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਖਾਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ $1,105.17 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ $100,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ 12% ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਲ ਨਾਮਾਤਰ ਵਿਆਜ ਦਰ ਨਾਲ ਨਿਰੰਤਰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 30 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?
1. ਉਦਾਹਰਨ 12
2. ਲਗਾਤਾਰ ਘਾਟ ਦੀ ਗਣਨਾ
3. ਰੇਡਾਨ-222 ਰੋਜ਼ਾਨਾ 17.3% ਦੀ ਲਗਾਤਾਰ ਦਰ ਨਾਲ ਘਟਦਾ ਹੈ। 100 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡਾਨ-222 3 ਦਿਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਘਟ ਜਾਵੇਗਾ?
4. ਹੱਲ
5. ਕਿਉਂਕਿ ਪਦਾਰਥ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਦਰ, 17.3% , ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, r=−0.173। ਰੇਡਾਨ-222 ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮਾਤਰਾ 100 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਸੀ, ਇਸ ਲਈ a=100। ਅਸੀਂ t=3 ਦਿਨਾਂ ਬਾਅਦ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਲਗਾਤਾਰ ਘਾਟ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
6. ਇਸ ਲਈ 59.5115 ਮਿਲੀਗ੍ਰਾਮ ਰੇਡਾਨ-222 ਬਾਕੀ ਰਹੇਗਾ।
7. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #12
8. ਉਦਾਹਰਨ 12 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੰਕੜਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ ਕਿੰਨਾ ਰੇਡਾਨ-222 ਬਾਕੀ ਰਹੇਗਾ?
9. ਮੀਡੀਆ
10. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
11. ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ ਫੰਕਸ਼ਨ
12. ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਵਿਆਜ
13. ਜ਼ੁਬਾਨੀ
14. ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਵਧ ਰਹੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਆਖਰਕਾਰ ਵਧ ਰਹੇ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਕਿਉਂ ਪਾਰ ਕਰ ਜਾਣਗੇ।
15. ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਕੀ ਸਿਰਫ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਾਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਧਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ।
16. ਆਕਸਫੋਰਡ ਡਿਕਸ਼ਨਰੀ ਸ਼ਬਦ ਨਾਮਾਤਰ (nominal) ਨੂੰ "ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਜਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਪਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਬਿਲਕੁਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੋਵੇ" ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 3 ਇੱਕ ਨਿਵੇਸ਼ ਖਾਤੇ ਦੀ ਸਲਾਨਾ ਪ੍ਰਤੀਸ਼ਤ ਦਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਨਾਮਾਤਰ ਦਰ (nominal rate) ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਉਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਜਬ ਦਲੀਲ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰੋ ਜੋ ਵਿਆਜ ਨੂੰ ਚੱਕਰਵਿਰਤੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।
17. ਅਲਜਬ੍ਰਾਇਕ
18. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਛਾਣੋ ਕਿ ਕੀ ਕਥਨ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਝਾਓ।
19. ਬਘਿਆੜਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਝੁੰਡ ਦੀ ਔਸਤ ਸਲਾਨਾ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧਾ 25 ਹੈ।
20. ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਇੱਕ ਆਬਾਦੀ ਹਰ 24 ਘੰਟਿਆਂ ਵਿੱਚ 1/8 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਘਟਦੀ ਹੈ।
21. ਸਿੱਕਿਆਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ 20 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਲਾਨਾ 3.25% ਵਧਿਆ ਹੈ।
22. ਹਰੇਕ ਸਿਖਲਾਈ ਸੈਸ਼ਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਿੱਜੀ ਟ੍ਰੇਨਰ ਆਪਣੇ ਗਾਹਕਾਂ ਤੋਂ ਪਿਛਲੇ ਸਿਖਲਾਈ ਸੈਸ਼ਨ ਨਾਲੋਂ $5 ਘੱਟ ਚਾਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ।
23. ਸਮਾਂ t 'ਤੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਦੀ ਉਚਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t)=−4.9 t^2 +18t+40 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ।
24. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ: ਹਰੇਕ ਸਾਲ t ਲਈ, ਦਰਖਤਾਂ ਦੇ ਜੰਗਲ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ A(t)=115 (1.025)^t ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਇੱਕ ਗੁਆਂਢੀ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ, ਉਸੇ ਕਿਸਮ ਦੇ ਦਰਖਤ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਫੰਕਸ਼ਨ B(t)=82 (1.029)^t ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਗਈ ਹੈ। (ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।)
1. ਕਿਹੜੇ ਜੰਗਲ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ?
2. ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਕਿਸ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਰੁੱਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਸੀ? ਕਿੰਨੀ?
3. ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਜੰਗਲਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਰਹਿਣਗੇ, 20 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿਸ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਰੁੱਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਹੋਵੇਗੀ? ਕਿੰਨੀ?
4. ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਜੰਗਲਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਰਹਿਣਗੇ, 100 ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਕਿਸ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਰੁੱਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਹੋਵੇਗੀ? ਕਿੰਨੀ?
5. ਪਿਛਲੀਆਂ ਚਾਰ ਕਸਰਤਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਆਬਾਦੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਜੰਗਲਾਂ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਰਹਿਣਗੇ, ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸ ਜੰਗਲ ਵਿੱਚ ਰੁੱਖਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਧੇਰੇ ਹੋਵੇਗੀ? ਕਿਉਂ? ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਮਾਡਲ ਦੀ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਵੈਧਤਾ ਨੂੰ ਕਿਹੜੇ ਕਾਰਕ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ?
6. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਸਮੀਕਰਨ ਘਾਤੀ ਵਾਧਾ, ਘਾਤੀ ਪਤਨ, ਜਾਂ ਕੁਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
7. y=300 ( 1−t ) 5
8. y=220 ( 1.06 ) x
9. y=16.5 ( 1.025 ) 1 x
10. y=11,701 ( 0.97 ) t
11. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸੂਤਰ ਲੱਭੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
12. ( 0,6 ) ਅਤੇ (3,750)
13. ( 0,2000 ) ਅਤੇ (2,20)
14. ( −1, 3 2 ) ਅਤੇ ( 3,24 )
15. ( −2,6 ) ਅਤੇ ( 3,1 )
16. ( 3,1 ) ਅਤੇ (5,4)
17. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਸਾਰਣੀ ਇੱਕ ਰੇਖੀ, ਘਾਤੀ, ਜਾਂ ਕੁਝ ਵੀ ਨਹੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਘਾਤੀ ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ।
18. ਕਤਾਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4
19. ਕਤਾਰ: f(x) | 70 | 40 | 10 | -20
20. ਕਤਾਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4
21. ਕਤਾਰ: h(x) | 70 | 49 | 34.3 | 24.01
22. ਕਤਾਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4
23. ਕਤਾਰ: m(x) | 80 | 61 | 42.9 | 25.61
24. ਕਤਾਰ: x | 1 | 2 | 3 | 4
row: f(x) f(x) | 10 | 20 | 40 | 80
row: x x | 1 | 2 | 3 | 4
row: g(x) g(x) | -3.25 | 2 | 7.25 | 12.5
For the following exercises, use the compound interest formula, A(t)=P ( 1+ r n ) nt . A(t)=P ( 1+ r n ) nt .
After a certain number of years, the value of an investment account is represented by the equation A= 10,250 ( 1+ 0.04 12 ) 120 . A= 10,250 ( 1+ 0.04 12 ) 120 . What is the value of the account?
What was the initial deposit made to the account in the previous exercise?
How many years had the account from the previous exercise been accumulating interest?
An account is opened with an initial deposit of $6,500 and earns 3.6% 3.6% interest compounded semi-annually. What will the account be worth in 20 20 years?
How much more would the account in the previous exercise have been worth if the interest were compounding weekly?
Solve the compound interest formula for the principal, P P .
Use the formula found in the previous exercise to calculate the initial deposit of an account that is worth $14,472.74 $14,472.74 after earning 5.5% 5.5% interest compounded monthly for 5 5 years. (Round to the nearest dollar.)
How much more would the account in the previous two exercises be worth if it were earning interest for 5 5 more years?
Use properties of rational exponents to solve the compound interest formula for the interest rate, r. r.
Use the formula found in the previous exercise to calculate the interest rate for an account that was compounded semi-annually, had an initial deposit of $9,000 and was worth $13,373.53 after 10 years.
Use the formula found in the previous exercise to calculate the interest rate for an account that was compounded monthly, had an initial deposit of $5,500, and was worth $38,455 after 30 years.
For the following exercises, determine whether the equation represents continuous growth, continuous decay, or neither. Explain.
y=3742 ( e ) 0.75t y=3742 ( e ) 0.75t
y=150 ( e ) 3.25 t y=150 ( e ) 3.25 t
y=2.25 ( e ) −2t y=2.25 ( e ) −2t
Suppose an investment account is opened with an initial deposit of $12,000 $12,000 earning 7.2% 7.2% interest compounded continuously. How much will the account be worth after 30 30 years?
How much less would the account from Exercise 42 be worth after 30 30 years if it were compounded monthly instead?
Numeric
For the following exercises, evaluate each function. Round answers to four decimal places, if necessary.
f(x)=2 ( 5 ) x , f(x)=2 ( 5 ) x , for f( −3 ) f( −3 )
f(x)=− 4 2x+3 , f(x)=− 4 2x+3 , for f( −1 ) f( −1 )
f(x)= e x , f(x)= e x , for f( 3 ) f( 3 )
f(x)=−2 e x−1 , f(x)=−2 e x−1 , for f( −1 ) f( −1 )
f(x)=2.7 ( 4 ) −x+1 +1.5, f(x)=2.7 ( 4 ) −x+1 +1.5, for f( −2 ) f( −2 )
f(x)=1.2 e 2x −0.3, f(x)=1.2 e 2x −0.3, for f( 3 ) f( 3 )
f(x)=− 3 2 ( 3 ) −x + 3 2 , f(x)=− 3 2 ( 3 ) −x + 3 2 , for f( 2 ) f( 2 )
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to find the equation of an exponential function given the points on the curve.
(0,3) (0,3) and (3,375) (3,375)
(3,222.62) (3,222.62) and (10,77.456) (10,77.456)
(20,29.495) (20,29.495) and (150,730.89) (150,730.89)
(5,2.909) (5,2.909) and (13,0.005) (13,0.005)
(11,310.035) (11,310.035) and (25,356365.2) (25,356365.2)
Extensions
The annual percentage yield (APY) of an investment account is a representation of the actual interest rate earned on a compounding account. It is based on a compounding period of one year. Show that the APY of an account that compounds monthly can be found with the formula APY= ( 1+ r 12 ) 12 −1. APY= ( 1+ r 12 ) 12 −1.
Repeat the previous exercise to find the formula for the APY of an account that compounds daily. Use the results from this and the previous exercise to develop a function I(n) I(n) for the APY of any account that compounds n n times per year.
Recall that an exponential function is any equation written in the form f(x)=a⋅ b x f(x)=a⋅ b x such that a a and b b are positive numbers and b≠1. b≠1. Any positive number b b can be written as b= e n b= e n for some value of n n . Use this fact to rewrite the formula for an exponential function that uses the number e e as a base.
In an exponential decay function, the base of the exponent is a value between 0 and 1. Thus, for some number b>1, b>1, the exponential decay function can be written as f(x)=a⋅ ( 1 b ) x . f(x)=a⋅ ( 1 b ) x . Use this formula, along with the fact that b= e n , b= e n , to show that an exponential decay function takes the form f(x)=a ( e ) −nx f(x)=a ( e ) −nx for some positive number n n .
The formula for the amount A A in an investment account with a nominal interest rate r r at any time t t is given by A(t)=a ( e ) rt , A(t)=a ( e ) rt , where a a is the amount of principal initially deposited into an account that compounds continuously. Prove that the percentage of interest earned to principal at any time t t can be calculated with the formula I(t)= e rt −1. I(t)= e rt −1.
Real-World Applications
The fox population in a certain region has an annual growth rate of 9% per year. In the year 2012, there were 23,900 fox counted in the area. What is the fox population predicted to be in the year 2020?
A scientist begins with 100 milligrams of a radioactive substance that decays exponentially. After 35 hours, 50mg of the substance remains. How many milligrams will remain after 54 hours?
In the year 1985, a house was valued at $110,000. By the year 2005, the value had appreciated to $145,000. What was the annual growth rate between 1985 and 2005? Assume that the value continued to grow by the same percentage. What was the value of the house in the year 2010?
A car was valued at $38,000 in the year 2007. By 2013, the value had depreciated to $11,000 If the car’s value continues to drop by the same percentage, what will it be worth by 2017?
Jaylen wants to save $54,000 for a down payment on a home. How much will he need to invest in an account with 8.2% APR, compounding daily, in order to reach his goal in 5 years?
Kyoko has $10,000 that she wants to invest. Her bank has several investment accounts to choose from, all compounding daily. Her goal is to have $15,000 by the time she finishes graduate school in 6 years. To the nearest hundredth of a percent, what should her minimum annual interest rate be in order to reach her goal? (Hint: solve the compound interest formula for the interest rate.)
Alyssa opened a retirement account with 7.25% APR in the year 2000. Her initial deposit was $13,500. How much will the account be worth in 2025 if interest compounds monthly? How much more would she make if interest compounded continuously?
An investment account with an annual interest rate of 7% was opened with an initial deposit of $4,000 Compare the values of the account after 9 years when the interest is compounded annually, quarterly, monthly, and continuously.