ਸਿੱਖਿਆ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਕਾਰਜਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਿੱਤ, ਫੋਰੈਂਸਿਕਸ, ਕੰਪਿਊਟਰ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਜੀਵਨ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਨਾ ਜੋ ਇੱਕ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਸਮਾਂ, ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਮੀਕਰਨ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਕਾਫ਼ੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਅਸੀਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਦੀਆਂ ਤਸਵੀਰੀ ਪੇਸ਼ਕਾਰੀਆਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਬਾਰੇ ਬਹੁਤ ਕੁਝ ਸਿੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹੀ ਕਾਰਨ ਹੈ ਕਿ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਭਵਿੱਖ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਸੂਝ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪੱਧਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਨਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। f(x) = b^x ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ f(x) = 2^x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 1 ਵਿੱਚ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਤੋਂ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਤਰ: f(x)= 2 x | 1/8 | 1/4 | 1/2 | 1 | 2 | 4 | 8
ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਅਤੇ ਆਧਾਰ, 2 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਆਧਾਰ 2 ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਦਰਅਸਲ, f(x) = a b^x ਰੂਪ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, b ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਤੋਂ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ, a ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਪਿਛਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਹੋਵੇਗਾ।
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ;
ਜਿਵੇਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬੇਅੰਤ ਵਧਦੇ ਹਨ; ਅਤੇ
ਜਿਵੇਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 1 ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਵਾਧੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = 2^x ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਕਦੇ ਵੀ ਇਸਨੂੰ ਛੂੰਹਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
f(x) = 2^x ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰ ਹਨ, ਰੇਂਜ (0, ∞) ਹੈ, ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ y=0 ਹੈ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਘਾਟ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ f(x) = b^x ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ ਜ਼ੀਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ g(x) = (1/2)^x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਦੇਖੋ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 2 ਵਿੱਚ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਤੋਂ ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਸਤਰ: x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਤਰ: g ( x ) = ( 1 2 ) x | 8 | 4 | 2 | 1 | 1/2 | 1/4 | 1/8
ਦੁਬਾਰਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਨਪੁੱਟ 1 ਤੋਂ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਹਰੇਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਪਿਛਲੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਅਤੇ ਆਧਾਰ, ਜਾਂ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ 1/2 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ।
ਸਾਰਣੀ ਤੋਂ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹਨ;
ਜਿਵੇਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਘੱਟਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ; ਅਤੇ
ਜਿਵੇਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲ ਬੇਅੰਤ ਵਧਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 2 ਘਾਤੀ ਘਾਟੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ, g(x) = (1/2)ˣ, ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। g(x) = (1/2)ˣ।
g(x) = (1/2)ˣ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅੰਕ ਹਨ, ਰੇਂਜ (0,∞) ਹੈ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ y=0 ਹੈ। y=0।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = bˣ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ f(x) = bˣ
f(x) = bˣ, b>0, b≠1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ:
ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ: y=0 y=0
ਡੋਮੇਨ: (–∞, ∞) (–∞, ∞)
ਰੇਂਜ: (0,∞) (0,∞)
x-ਅੰਤਰਖੰਡ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ
y-ਅੰਤਰਖੰਡ: (0,1) (0,1)
ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ b>1 b>1
ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ b<1 b<1
ਚਿੱਤਰ 3 ਘਾਤੀ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਘਾਤੀ ਘਾਟੇ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ
f(x) = bˣ, f(x) = bˣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚੋਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 3 ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ y-ਅੰਤਰਖੰਡ (0,1) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। (0,1)।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਡੋਮੇਨ, (–∞,∞), (–∞,∞), ਰੇਂਜ, (0,∞), (0,∞), ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਟੋਟ, y=0, ਦੱਸੋ। y=0।
ਉਦਾਹਰਨ 1
f(x) = bˣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ
f(x) = 0.25ˣ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। f(x) = 0.25ˣ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਵਿਵਹਾਰ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਲਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ।
ਕਿਉਂਕਿ b=0.25, ਜੋ ਕਿ ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਘਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਬੇਅੰਤ ਵਧੇਗਾ, ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ y=0 ਦੀ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੇਗਾ।
Table 3 ਵਾਂਗ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ। x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 f(x)= 0.25 x | 64 | 16 | 4 | 1 | 0.25 | 0.0625 | 0.015625 Table 3
y-intercept, (0,1), ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ (−1,4) ਅਤੇ (1,0.25) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
Figure 4 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ।
ਡੋਮੇਨ (−∞,∞) ਹੈ; ਰੇਂਜ (0,∞) ਹੈ; ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾ y=0 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
f(x)= 4^x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾ ਦੱਸੋ।
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ, ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਵਿਵਹਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੋਰ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਚਾਰ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ—ਖਿੱਚ, ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ, ਖਿੱਚ, ਅਤੇ ਸੰਕੋਚ—ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^x ਉੱਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਬਿਨਾਂ ਆਕਾਰ ਗੁਆਏ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵਰਗਾਤਮਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚੇ, ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ, ਖਿੱਚੇ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੋਣ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਪੈਰਾਬੋਲਿਕ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਆਪਣੇ ਆਮ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਬਰਕਰਾਰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਪਹਿਲਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^x ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ d ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ d ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)= 2^x, ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, d=3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ: ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਖਿੱਚ, g(x)= 2^x +3, ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਖਿੱਚ, h(x)= 2^x -3। ਦੋਵੇਂ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚਾਂ Figure 5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
f(x)= 2^x ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ:
ਡੋਮੇਨ, (−∞,∞), ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।
ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ g(x)= 2^x +3 ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: y-intercept 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ (0,4) ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾ y=3 ਤੱਕ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿੱਚੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਰੇਂਜ (3,∞) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ h(x)= 2^x -3 ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: y-intercept 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ (0,−2) ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾ ਵੀ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ y=−3 ਤੱਕ ਖਿੱਚੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਰੇਂਜ (−3,∞) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।
ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਗਲਾ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^x ਦੇ ਇਨਪੁਟ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ c ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ c ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2^x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਦੋ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, c=3 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ: ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿੱਚ, g(x)= 2^(x+3), ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿੱਚ, h(x)= 2^(x-3)। ਦੋਵੇਂ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚਾਂ Figure 6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।
f(x)= 2^x ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਣ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ:
ਡੋਮੇਨ, (−∞,∞), ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦਾ।
ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾ, y=0, ਬਦਲੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿੰਦੀ।
y-intercept ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ g(x)= 2^(x+3) ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y-intercept (0,8) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹਾ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ 2^(x+3)=(8)2^x, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ 8 ਹੈ। ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ h(x)= 2^(x-3) ਤੱਕ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ y-intercept (0, 1/8) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, ਦੇਖੋ ਕਿ 2^(x-3)=(1/8)2^x, ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ 1/8 ਹੈ।
ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = b^x ਦੀਆਂ ਖਿੱਚਾਂ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਥਿਰਾਂਕ c ਅਤੇ d ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^(x+c) +d ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b^x ਨੂੰ
ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ d ਇਕਾਈਆਂ, d ਦੇ ਸਾਈਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ।
c c ਇਕਾਈਆਂ, c c ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ। c c।
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ( 0, b c +d ) ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ( 0, b c +d )।
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ y=d ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। y=d।
ਰੇਂਜ ( d,∞ ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ( d,∞ )।
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਅਟੁੱਟ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x)= b x+c +d, f(x)= b x+c +d ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਟ੍ਰਾਂਸਲੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ y=d ਬਣਾਓ। y=d।
ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ( −c,d ) ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ। ( −c,d )। f(x)= b x f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ ਜੇਕਰ c c ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਤੇ c c ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ ਜੇਕਰ c c ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
f(x)= b x f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ d d ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ ਜੇਕਰ d d ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਤੇ d d ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ ਜੇਕਰ d d ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ, ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਰੇਂਜ, ( d,∞ ), ( d,∞ ), ਅਤੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ y=d ਦੱਸੋ। y=d।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
f(x)= 2 x+1 −3. f(x)= 2 x+1 −3. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸਿੰਪਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ f(x)= b x+c +d, f(x)= b x+c +d ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ b=2, b=2, c=1, c=1, ਅਤੇ d=−3। d=−3।
ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ y=d y=d ਬਣਾਓ, ਇਸ ਲਈ y=−3 ਬਣਾਓ। y=−3।
ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ( −c,d ), ( −c,d ) ਵਜੋਂ ਪਛਾਣੋ, ਇਸ ਲਈ ਸ਼ਿਫਟ ( −1,−3 ) ਹੈ। ( −1,−3 )।
f(x)= b x f(x)= b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 1 ਇਕਾਈ ਖੱਬੇ ਅਤੇ 3 ਇਕਾਈ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ।
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( −3,∞ ); ( −3,∞ ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ y=−3 ਹੈ। y=−3।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
f(x)= 2 x−1 +3. f(x)= 2 x−1 +3. ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ਅਸਿੰਪਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
x, x ਲਈ f(x)= b x+c +d f(x)= b x+c +d ਦੇ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1. [Y=] ਦਬਾਓ। "Y1=" ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰੋ।
Enter the given value for f(x) f(x) in the line headed “Y2=”.
2. [WINDOW] ਦਬਾਓ। y-ਧੁਰੇ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ "Y2=" ਲਈ ਦਰਜ ਕੀਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੇ।
3. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਤ f(x) ਮੁੱਲ ਲਈ ਲਾਈਨ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਨ ਲਈ [GRAPH] ਦਬਾਓ। f(x)।
4. x ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। "intersect" ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲ ਲਈ x ਦਾ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 3
6. ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ
7. 42=1.2 ( 5 ) x +2.8 42=1.2 ( 5 ) x +2.8 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
8. ਹੱਲ
9. [Y=] ਦਬਾਓ ਅਤੇ Y1= ਦੇ ਅੱਗੇ 1.2 ( 5 ) x +2.8 1.2 ( 5 ) x +2.8 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਫਿਰ Y2= ਲਈ 42 ਦਰਜ ਕਰੋ। ਇੱਕ ਵਿੰਡੋ ਲਈ, x ਲਈ –3 ਤੋਂ 3 ਅਤੇ y ਲਈ –5 ਤੋਂ 55 ਤੱਕ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। y। [GRAPH] ਦਬਾਓ। ਗ੍ਰਾਫ x=2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਕਿਤੇ ਕੱਟਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। x=2।
10. ਬਿਹਤਰ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ, [2ND] ਫਿਰ [CALC] ਦਬਾਓ। [5: intersect] ਚੁਣੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਵਾਰ [ENTER] ਦਬਾਓ। ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਦਾ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ 2.1661943 ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਵੱਖਰੀ ਵਿੰਡੋ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋ ਜਾਂ ਅਨੁਮਾਨ ਲਈ ਵੱਖਰਾ ਮੁੱਲ ਵਰਤਦੇ ਹੋ ਤਾਂ ਤੁਹਾਡਾ ਜਵਾਬ ਵੱਖਰਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?) ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ, x≈2.166। x≈2.166।
11. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
12. 4=7.85 ( 1.15 ) x −2.27 4=7.85 ( 1.15 ) x −2.27 ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲੀ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
13. ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
14. ਜਦੋਂ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁਟ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰਾਂਕ ਜੋੜਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਖਿੱਚ ਜਾਂ ਸੰਕੋਚਨ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x f(x)= b x ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ |a|>0 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। |a|>0। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x , f(x)= 2 x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ a=3, a=3, ਨਾਲ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ g(x)=3 ( 2 ) x g(x)=3 ( 2 ) x ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ, a= 1 3 , a= 1 3 , ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਜੋ h(x)= 1 3 ( 2 ) x h(x)= 1 3 ( 2 ) x ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
15. ਚਿੱਤਰ 8: (a) g(x)=3 ( 2 ) x g(x)=3 ( 2 ) x f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਦਾ ਹੈ। 3. (b) h(x)= 1 3 ( 2 ) x h(x)= 1 3 ( 2 ) x f(x)= 2 x f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ 1 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। 1 3 .
16. ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x f(x)= b x ਦੀਆਂ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ
17. ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੁਣਕ a>0, a>0 ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=a ( b ) x f(x)=a ( b ) x
18. ਜੇਕਰ |a|>1 ਹੈ ਤਾਂ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। |a|>1।
19. ਜੇਕਰ |a|<1 ਹੈ ਤਾਂ a ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। |a|<1।
20. ( 0,a ) ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ( 0,a )।
21. y=0, y=0, ਤੇ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਅਸੀਮਤ, ( 0,∞ ), ( 0,∞ ), ਦੀ ਇੱਕ ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ( −∞,∞ ), ( −∞,∞ ), ਦਾ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਅਟੱਲ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ।
22. ਉਦਾਹਰਨ 4
23. ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖਿੱਚ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
24. f(x)=4 ( 1 2 ) x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। f(x)=4 ( 1 2 ) x । ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸੀਮਤ ਦੱਸੋ।
ਹੱਲ
ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਉੱਤੇ ਵਿਵਹਾਰ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਕਿਉਂਕਿ b= 1 2 ਸਿਫ਼ਰ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖੱਬੀ ਪੂਛ ਅਸੀਮਤ ਤੱਕ ਵਧੇਗੀ ਜਿਵੇਂ x ਘਟਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੱਜੀ ਪੂਛ x-ਧੁਰੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੇਗੀ ਜਿਵੇਂ x ਵਧਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ a=4, f(x)= ( 1 2 ) x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ 4 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 f(x) =4 ( 1 2 ) x | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 ਸਾਰਣੀ 4
y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, ( 0,4 ), ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ( −1,8 ) ਅਤੇ ( 1,2 ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 0,∞ ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ y=0 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
f(x)= 1 2 ( 4 ) x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਦੱਸੋ।
ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
ਸ਼ਿਫਟਿੰਗ, ਕੰਪ੍ਰੈਸਿੰਗ ਅਤੇ ਸਟ੍ਰੈਚਿੰਗ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਜਾਂ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇਨਪੁਟ ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 2 x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ, g(x)= −2 x , ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ h(x)= 2 −x , ਚਿੱਤਰ 10 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 10: (a) g(x)=− 2 x , f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਰਦਾ ਹੈ। (b) g(x)= 2 −x , f(x)= 2 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=− b x
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਰਦਾ ਹੈ।
( 0,−1 ) ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ ਹੈ।
( −∞,0 ) ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ।
y=0 ਅਤੇ ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ ਹੈ, ਜੋ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਗਿਆ ਹੈ।
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b −x
ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਕਰਦਾ ਹੈ।
( 0,1 ) ਦਾ y-ਇੰਟਰਸੈਪਟ, y=0 ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਾਈਮਟੋਟ, ( 0,∞ ) ਦੀ ਰੇਂਜ, ਅਤੇ ( −∞,∞ ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ, ਜੋ ਪੇਰੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਬਦਲਿਆ ਨਹੀਂ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਨਾ
1. f(x) = (1/4)^x ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ, g(x), ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸੀਮਟੋਟ ਦੱਸੋ। g(x) = - (1/4)^x ਡੋਮੇਨ: (-∞, ∞) ਰੇਂਜ: (-∞, 0) ਅਸੀਮਟੋਟ: y = 0
1. ਨਿਬੇੜਾ
1. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= ( 1 4 ) x f(x)= ( 1 4 ) x ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ f(x) f(x) ਨੂੰ −1 −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ g(x)=− ( 1 4 ) x ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। g(x)=− ( 1 4 ) x । ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 5 ਵਾਂਗ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
1. ਕਤਾਰ: x x | −3 −3 | −2 −2 | −1 −1 | 0 0 | 1 1 | 2 2 | 3 3
1. ਕਤਾਰ: g(x)=−(1/4)x | −64 | −16 | −4 | −1 | −0.25 | −0.0625 | −0.0156
1. y-intercept, (0,−1), (0,−1) ਦਾ ਪਲਾਟ ਬਣਾਓ, ਨਾਲ ਹੀ ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂ। ਅਸੀਂ (−1,−4) (−1,−4) ਅਤੇ (1,−0.25) (1,−0.25) ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਨਿਰਵਿਘਨ ਵਕਰ ਖਿੱਚੋ:
1. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( −∞,0 ); ( −∞,0 ); ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ y=0. y=0.
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ।
1. y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ f(x) = 1.25x ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ g(x) ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ। ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ, ਰੇਂਜ ਅਤੇ ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ। g(x) = -1.25x ਡੋਮੇਨ: ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (-∞, ∞) ਰੇਂਜ: ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (-∞, ∞) ਅਸੀਮਤ ਰੇਖਾ: ਕੋਈ ਨਹੀਂ (ਇਹ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ)
1. ਘਾਤ ਅੰਕੀ ਫਲਨ ਦਾ ਸਾਰੰਸ਼ ਅਨੁਵਾਦ
1. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕ (exponential function) ਦੇ ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ (general equation) ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਰਣੀ 6 ਵਿੱਚ ਸੰਖੇਪ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
1. ਕਤਾਰ: ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= b x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰ f(x)= b x
1. ਰੂਪਾਂਤਰਨ | ਰੂਪ
1. ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ c c ਇਕਾਈਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਤਬਦੀਲੀ ਅਤੇ ਉੱਪਰ d d ਇਕਾਈਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤਬਦੀਲੀ | f(x)= b x+c +d f(x)= b x+c +d
1. ਸਤਰ: ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚੋ ਖਿੱਚੋ ਜੇਕਰ | a |>1 | a |>1 ਸੰਕੋਚਨ ਜੇਕਰ 0<| a |<1 0<| a |<1 | f(x)=a b x f(x)=a b x
1. ਧੁਰਾ-x ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ | f(x)=− b x f(x)=− b x
1. ਕਤਾਰ: y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ | f(x)= b −x = ( 1 b ) x f(x)= b −x = ( 1 b ) x
1. ਸਾਰੀਆਂ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ | f(x)=a b x+c +d
1. ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਅਨੁਵਾਦ
1. ਇੱਕ ਘਾਤ ਅੰਕ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ ਮਾਪੇ ਫੰਕਸ਼ਨ, y= b x , y= b x , b>1, b>1, ਹੈ
ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ 'c' ਇਕਾਈਆਂ ਦੁਆਰਾ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿਸਕਿਆ।
1. ਜੇਕਰ | a | > 0, ਤਾਂ | a | ਨਾਲ ਲੰਬਾਈ ਵਿੱਚ | a | ਗੁਣਾ ਵਧਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
1. | a | ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਜੇ 0<| a |<1. 0<| a |<1.
2. d d ਇਕਾਈਆਂ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ।
3. ਜਦੋਂ a<0 ਹੋਵੇ ਤਾਂ x-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ। a<0.
4. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਖਿਸਕਾਉਣ, ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
5. ਉਦਾਹਰਨ 6
6. ਵਰਣਨ ਤੋਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖਣਾ
7. ਹੇਠਾਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਹਰੀਜੱਟਲ ਅਸਮਤੋਟ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਿਓ।
8. f(x)= e x f(x)= e x ਨੂੰ 2 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ 4 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
9. ਹੱਲ
10. ਅਸੀਂ f(x)=a b x+c +d ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। f(x)=a b x+c +d. ਅਸੀਂ a, a, b, b, c, c, ਅਤੇ d ਲੱਭਣ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਰਣਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। d.
11. ਸਾਨੂੰ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= e x , f(x)= e x ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ b=e. b=e.
12. ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ 2 2 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ a=2. a=2.
13. ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਬਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ x x ਨੂੰ −x −x ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇ: e −x . e −x .
14. ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ d=4. d=4.
15. ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰਨ 'ਤੇ ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ,
16. ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ); ( −∞,∞ ); ਰੇਂਜ ( 4,∞ ); ( 4,∞ ); ਹਰੀਜੱਟਲ ਅਸਮਤੋਟ y=4 ਹੈ। y=4.
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
18. ਹੇਠਾਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ। ਹਰੀਜੱਟਲ ਅਸਮਤੋਟ, ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਿਓ।
19. f(x)= e x f(x)= e x ਨੂੰ 1 3 , 1 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ 2 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
20. ਮੀਡੀਆ
21. ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
22. ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ
23. ਜ਼ੁਬਾਨੀ
24. ਇੱਕ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਹਰੀਜੱਟਲ ਅਸਮਤੋਟ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਅੰਤਲੇ ਵਿਵਹਾਰ ਬਾਰੇ ਦੱਸਣ ਵਿੱਚ ਕੀ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ?
What is the advantage of knowing how to recognize transformations of the graph of a parent function algebraically?
Algebraic
The graph of f(x)= 3 x f(x)= 3 x is reflected about the y-axis and stretched vertically by a factor of 4. 4. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
The graph of f(x)= ( 1 2 ) −x f(x)= ( 1 2 ) −x is reflected about the y-axis and compressed vertically by a factor of 1 5 . 1 5 . What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
The graph of f(x)= 10 x f(x)= 10 x is reflected about the x-axis and shifted upward 7 7 units. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
The graph of f(x)= ( 1.68 ) x f(x)= ( 1.68 ) x is shifted right 3 3 units, stretched vertically by a factor of 2, 2, reflected about the x-axis, and then shifted downward 3 3 units. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept (to the nearest thousandth), domain, and range.
The graph of fx=-12(14)x-2+4fx=-12(14)x-2+4 is shifted downward 4 4 units, and then shifted left 2 2 units, stretched vertically by a factor of 4, 4, and reflected about the x-axis. What is the equation of the new function, g(x)? g(x)? State its y-intercept, domain, and range.
Graphical
For the following exercises, graph the function and its reflection about the y-axis on the same axes, and give the y-intercept.
f(x)=3 ( 1 2 ) x f(x)=3 ( 1 2 ) x
g(x)=−2 ( 0.25 ) x g(x)=−2 ( 0.25 ) x
h(x)=6 ( 1.75 ) −x h(x)=6 ( 1.75 ) −x
For the following exercises, graph each set of functions on the same axes.
f(x)=3 ( 1 4 ) x , f(x)=3 ( 1 4 ) x , g(x)=3 ( 2 ) x , g(x)=3 ( 2 ) x , and h(x)=3 ( 4 ) x h(x)=3 ( 4 ) x
f(x)= 1 4 ( 3 ) x , f(x)= 1 4 ( 3 ) x , g(x)=2 ( 3 ) x , g(x)=2 ( 3 ) x , and h(x)=4 ( 3 ) x h(x)=4 ( 3 ) x
For the following exercises, match each function with one of the graphs in Figure 12.
f( x )=2 ( 0.69 ) x f( x )=2 ( 0.69 ) x
f( x )=2 ( 1.28 ) x f( x )=2 ( 1.28 ) x
f( x )=2 ( 0.81 ) x f( x )=2 ( 0.81 ) x
f( x )=4 ( 1.28 ) x f( x )=4 ( 1.28 ) x
f( x )=2 ( 1.59 ) x f( x )=2 ( 1.59 ) x
f( x )=4 ( 0.69 ) x f( x )=4 ( 0.69 ) x
For the following exercises, use the graphs shown in Figure 13. All have the form f( x )=a b x . f( x )=a b x .
Which graph has the largest value for b? b?
1. ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ b ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ? b?
2. ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਹੈ? a?
3. ਕਿਹੜੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ a ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਹੈ? a?
4. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
5. f(x)= 1 2 ( 4 ) x
6. f(x)=3 ( 0.75 ) x −1
7. f(x)=−4 ( 2 ) x +2
8. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, f(x)= 2 x ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਖਿਤਿਜੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟ, ਡੋਮੇਨ, ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦਿਓ।
9. f( x )= 2 −x
10. h( x )= 2 x +3
11. f( x )= 2 x−2
12. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਅੰਤਲੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰੋ।
13. f( x )=−5 ( 4 ) x −1
14. f( x )=3 ( 1 2 ) x −2
15. f( x )=3 ( 4 ) −x +2
16. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, f( x )= 4 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਿਖੋ ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਰੂਪਾਂਤਰ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
17. f(x) ਨੂੰ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ
18. f(x) ਨੂੰ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ
19. f(x) ਨੂੰ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਖੱਬੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ
20. f(x) ਨੂੰ 5 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ
21. f(x) ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ
22. f(x) ਨੂੰ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕਰੋ
23. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ y= 2 x ਦਾ ਰੂਪਾਂਤਰ ਹੈ। ਰੂਪਾਂਤਰ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ।
24. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਘਾਤਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
1. ਅੰਕ
2. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, x ਦੇ ਦਰਸਾਏ ਮੁੱਲ ਲਈ ਘਾਤ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
3. g(x)= 1 3 ( 7 ) x−2 g(6) ਲਈ।
4. f(x)=4 (2) x−1 −2 f(5) ਲਈ।
5. h(x)=− 1 2 ( 1 2 ) x +6 h(−7) ਲਈ।
6. ਤਕਨਾਲੋਜੀ
7. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਹਜ਼ਾਰਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਤੱਕ ਗੋਲ ਕਰੋ।
8. −50=− ( 1 2 ) −x
9. 116= 1 4 ( 1 8 ) x
10. 12=2 ( 3 ) x +1
11. 5=3 ( 1 2 ) x−1 −2
12. −30=−4 ( 2 ) x+2 +2
13. ਵਿਸਥਾਰ
14. F(x)= ( b ) x ਅਤੇ G(x)= ( 1 b ) x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b>0 ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ b x ਅਤੇ ( 1 b ) x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
15. ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।
16. f(x)= 4 x , g(x)= 4 x−2 , ਅਤੇ h(x)=( 1 16 ) 4 x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ n ਅਤੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ b>0 ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ b x ਅਤੇ ( 1 b n ) b x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਓ।
17. ਪਿਛਲੀ ਕਸਰਤ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ।