Learning Objectives
In this section, you will:
Graph variations of y=sin(x)y=sin(x) and y=cos(x)y=cos(x) .
Use phase shifts of sine and cosine curves.
Figure 1: Light can be separated into colors because of its wavelike properties. (credit: "wonderferret"/ Flickr)
White light, such as the light from the sun, is not actually white at all. Instead, it is a composition of all the colors of the rainbow in the form of waves. The individual colors can be seen only when white light passes through an optical prism that separates the waves according to their wavelengths to form a rainbow.
Light waves can be represented graphically by the sine function. In the chapter on Trigonometric Functions, we examined trigonometric functions such as the sine function. In this section, we will interpret and create graphs of sine and cosine functions.
Graphing Sine and Cosine Functions
Recall that the sine and cosine functions relate real number values to the x- and y-coordinates of a point on the unit circle. So what do they look like on a graph on a coordinate plane? Let’s start with the sine function. We can create a table of values and use them to sketch a graph. Table 1 lists some of the values for the sine function on a unit circle.
row: x x | 0 0 | π 6 π 6 | π 4 π 4 | π 3 π 3 | π 2 π 2 | 2π 3 2π 3 | 3π 4 3π 4 | 5π 6 5π 6 | π π
row: sin( x ) sin( x ) | 0 0 | 1 2 1 2 | 2 2 2 2 | 3 2 3 2 | 1 1 | 3 2 3 2 | 2 2 2 2 | 1 2 1 2 | 0 0
Plotting the points from the table and continuing along the x-axis gives the shape of the sine function. See Figure 2.
Figure 2: The sine function
Notice how the sine values are positive between 0 and π, π, which correspond to the values of the sine function in quadrants I and II on the unit circle, and the sine values are negative between π π and 2π, 2π, which correspond to the values of the sine function in quadrants III and IV on the unit circle. See Figure 3.
Figure 3: Plotting values of the sine function
Now let’s take a similar look at the cosine function. Again, we can create a table of values and use them to sketch a graph. Table 2 lists some of the values for the cosine function on a unit circle.
row: x x | 0 0 | π 6 π 6 | π 4 π 4 | π 3 π 3 | π 2 π 2 | 2π 3 2π 3 | 3π 4 3π 4 | 5π 6 5π 6 | π π
row: cos( x ) cos( x ) | 1 1 | 3 2 3 2 | 2 2 2 2 | 1 2 1 2 | 0 0 | − 1 2 − 1 2 | − 2 2 − 2 2 | − 3 2 − 3 2 | −1 −1
As with the sine function, we can plots points to create a graph of the cosine function as in Figure 4.
Figure 4: The cosine function
Because we can evaluate the sine and cosine of any real number, both of these functions are defined for all real numbers. By thinking of the sine and cosine values as coordinates of points on a unit circle, it becomes clear that the range of both functions must be the interval [ −1,1 ]. [ −1,1 ].
In both graphs, the shape of the graph repeats after 2π, 2π, which means the functions are periodic with a period of 2π. 2π. A periodic function is a function for which a specific horizontal shift, P, results in a function equal to the original function: f( x+P )=f( x ) f( x+P )=f( x ) for all values of x x in the domain of f. f. When this occurs, we call the smallest such horizontal shift with P>0 P>0 the period of the function. Figure 5 shows several periods of the sine and cosine functions.
Looking again at the sine and cosine functions on a domain centered at the y-axis helps reveal symmetries. As we can see in Figure 6, the sine function is symmetric about the origin. Recall from The Other Trigonometric Functions that we determined from the unit circle that the sine function is an odd function because sin(−x)=−sinx. sin(−x)=−sinx. Now we can clearly see this property from the graph.
Figure 6: Odd symmetry of the sine function
ਚਿੱਤਰ 7 ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ। ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cos(−x)=cosx। cos(−x)=cosx।
ਚਿੱਤਰ 7: ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਮਮਿਤੀ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ:
ਇਹ 2π ਦੇ ਪੀਰੀਅਡ ਵਾਲੇ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। 2π।
ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ( −∞,∞ ) ( −∞,∞ ) ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਂਜ [ −1,1 ] ਹੈ। [ −1,1 ]।
y=sinx y=sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
y=cosx y=cosx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਯਮਤ ਪੀਰੀਅਡ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਅਸੀਂ ਸਮੁੰਦਰੀ ਲਹਿਰਾਂ ਜਾਂ ਤਲਾਅ ਵਿੱਚ ਛੱਪੜਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਉਹ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਰਗੇ ਦਿਖਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਉਹ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਕੁਝ ਦੂਜਿਆਂ ਨਾਲੋਂ ਉੱਚੇ ਜਾਂ ਲੰਬੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਦਾ ਆਮ ਆਕਾਰ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਹਨ
ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪੀਰੀਅਡ ਦਾ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪਰਿਵਰਤਨ ਬਾਰੇ ਜੋ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਆਮ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ, B B ਪੀਰੀਅਡ ਨਾਲ P= 2π | B | ਦੁਆਰਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। P= 2π | B |। ਜੇ | B |>1, | B |>1, ਤਾਂ ਪੀਰੀਅਡ 2π 2π ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਸੰਕੁਚਨ ਤੋਂ ਗੁਜ਼ਰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਜੇ | B |<1, | B |<1, ਤਾਂ ਪੀਰੀਅਡ 2π 2π ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਤੋਂ ਗੁਜ਼ਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=sin( x ), f(x)=sin( x ), B=1, B=1, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ 2π, 2π ਹੈ, ਜੋ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਸੀ। ਜੇ f(x)=sin( 2x ), f(x)=sin( 2x ), ਤਾਂ B=2, B=2, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ π π ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇ f(x)=sin( x 2 ), f(x)=sin( x 2 ), ਤਾਂ B= 1 2 , B= 1 2 , ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ 4π 4π ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪੀਰੀਅਡ | B | ਨਾਲ ਅਸਿੱਧੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। | B |।
ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ
ਜੇ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ C=0 C=0 ਅਤੇ D=0 D=0 ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਰੂਪ ਮਿਲਦੇ ਹਨ
ਪੀਰੀਅਡ 2π | B | ਹੈ। 2π | B |।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪੀਰੀਅਡ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f( x )=sin( π 6 x ) ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। f( x )=sin( π 6 x )।
ਹੱਲ
ਆਓ ਆਮ ਰੂਪ y=Asin(Bx) ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। y=Asin(Bx)।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, B= π 6 , B= π 6 , ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ ਹੋਵੇਗਾ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=cos( x 3 ) ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। g(x)=cos( x 3 )।
ਤਰੰਗ-ਮਾਪ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲੇ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕੀਤਾ ਹੈ ਕਿ ਵੇਰੀਏਬਲ B B ਪੀਰੀਅਡ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ A A ਵੱਲ ਮੁੜਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਸਕੀਏ ਕਿ ਇਹ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਜਾਂ ਆਰਾਮ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਦੂਰੀ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ। A A ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਦੇ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ | A | | A | ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਹੈ। ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ, ਜੋ ਕਿ y=D; y=D ਰੇਖਾ ਹੈ, ਤੋਂ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਦੂਰੀ | A | | A | ਹੋਵੇਗੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ D=0 D=0 ਹੈ, ਮੱਧ-ਰੇਖਾ x-ਧੁਰਾ ਹੈ। ਸਥਾਨਕ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਉਸੇ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੋਣਗੇ। ਜੇਕਰ | A |>1, | A |>1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, f(x)=4sinx f(x)=4sinx ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ f(x)=2sinx. f(x)=2sinx ਦੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦਾ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ | A |<1, | A |<1, ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਕੁਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 9 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਵਾਲੇ ਕਈ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ C=0 C=0 ਅਤੇ D=0 D=0 ਮੰਨ ਲਈਏ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ |A|, |A| ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਉਚਾਈ ਹੈ। . . ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=−4sin(x)? f(x)=−4sin(x) ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਕੀ ਹੈ? ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਆਓ ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ y=Asin(Bx). y=Asin(Bx) ਦੇ ਸਰਲ ਰੂਪ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੀਏ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, A=−4, A=−4, ਇਸ ਲਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ | A |=| −4 |=4. | A |=| −4 |=4 ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
A A ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪਾਰ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)= 1 2 sin(x)? f(x)= 1 2 sin(x) ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਕੀ ਹੈ? ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ?
y = sin x ਅਤੇ y = cos x ਦੇ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ ਕਿ A A ਅਤੇ B B ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹਨ, ਅਸੀਂ C C ਅਤੇ D D ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਮ ਰੂਪ ਯਾਦ ਕਰੋ:
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ C B C B ਦਾ ਮੁੱਲ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ, ਜਾਂ ਬੇਸਿਕ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਖਿਤਿਜੀ ਵਿਸਥਾਪਨ, ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ C>0, C>0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ C<0, C<0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। | C | | C | ਦਾ ਮੁੱਲ ਜਿੰਨਾ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਗ੍ਰਾਫ ਓਨਾ ਹੀ ਜ਼ਿਆਦਾ ਖਿਸਕ ਜਾਵੇਗਾ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ f(x)=sin( x−π ) f(x)=sin( x−π ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ π π ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ f(x)=sin( x− π 4 ), f(x)=sin( x− π 4 ) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ π 4 π 4 ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਖਿਸਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਕਿ C C ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, D D ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 12 ਦੇਖੋ। ਫੰਕਸ਼ਨ y=cos( x )+D y=cos( x )+D ਦੀ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ y=D. y=D 'ਤੇ ਹੈ।
ਸਿਫਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਵੀ D D ਮੁੱਲ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 13 f(x)=sin(x) f(x)=sin(x) ਦੀ ਤੁਲਨਾ f(x)=sin(x)+2, f(x)=sin(x)+2 ਨਾਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਭਿੰਨ
f( x )=Asin( Bx−C )+D f( x )=Asin( Bx−C )+D ਜਾਂ f( x )=Acos( Bx−C )+D, f( x )=Acos( Bx−C )+D ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, C B C B ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ ਅਤੇ D D ਲੰਬਕਾਰੀ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
f(x)=sin( x+ π 6 )−2 ਦਾ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਆਮ ਰੂਪ y=Asin(Bx−C)+D ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ B=1 ਅਤੇ C=− π 6 । ਇਸ ਲਈ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਹੈ
ਜਾਂ π 6 ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਯੂਨਿਟ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨੋਸਾਈਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਾਨ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ C ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਘਟਾਓ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ f(x)=sin( x+ π 6 )−2 ਨੂੰ f(x)=sin( x−( − π 6 ) )−2 ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇ C ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਸ਼ਿਫਟ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
f(x)=3cos( x− π 2 ) ਦਾ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
f(x)=cos( x )−3 ਲਈ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਆਮ ਰੂਪ y=Acos(Bx−C)+D ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ, D=−3 ਹੈ ਇਸ ਲਈ ਸ਼ਿਫਟ 3 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
f(x)=3sin( x )+2 ਲਈ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਮਾਤਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਾਈਨੋਸਾਈਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ f( x )=Asin( Bx−C )+D ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਮਿਡਲਾਈਨ, ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨੂੰ | A | ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਪੀਰੀਅਡ ਨੂੰ P= 2π | B | ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨੂੰ C B ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਮਿਡਲਾਈਨ ਨੂੰ y=D ਵਜੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ
ਮਿਡਲਾਈਨ, ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ, ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਫੰਕਸ਼ਨ y=3sin(2x)+1 ਦਾ। y=3sin(2x)+1।
ਹੱਲ
ਆਓ ਆਮ ਰੂਪ y=Asin(Bx−C)+D ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। y=Asin(Bx−C)+D।
A=3, A=3, ਇਸ ਲਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ | A |=3 ਹੈ। | A |=3।
ਅੱਗੇ, B=2, B=2, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ P= 2π | B | = 2π 2 =π ਹੈ। P= 2π | B | = 2π 2 =π।
ਬ੍ਰੈਕਟਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਜੋੜਿਆ ਗਿਆ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ C=0 C=0 ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ C B = 0 2 =0 ਹੈ। C B = 0 2 =0।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, D=1, D=1, ਇਸ ਲਈ ਮਿਡਲਾਈਨ y=1 ਹੈ। y=1।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪੀਰੀਅਡ π, π, ਮਿਡਲਾਈਨ y=1, y=1, ਅਤੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ 3 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 14 ਦੇਖੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਮਿਡਲਾਈਨ, ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ, ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ ਫੰਕਸ਼ਨ y= 1 2 cos( x 3 − π 3 ) ਦਾ। y= 1 2 cos( x 3 − π 3 )।
ਉਦਾਹਰਣ 6
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ
ਚਿੱਤਰ 15 ਵਿੱਚ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਦੋਂ x=0, x=0, ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਇੱਕ ਅਤਿਅੰਤ ਬਿੰਦੂ (0,0) ਹੈ। (0,0)। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ x=0 ਲਈ ਇੱਕ ਅਤਿਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, x=0, ਆਓ ਆਪਾਂ ਆਪਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀਏ।
ਆਓ ਮਿਡਲਾਈਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ y=0.5 ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਉੱਠਦਾ ਅਤੇ ਡਿੱਗਦਾ ਹੈ। y=0.5। ਇਹ ਮੁੱਲ, ਜੋ ਮਿਡਲਾਈਨ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ D ਹੈ, ਇਸ ਲਈ D=0.5। D=0.5।
ਮਿਡਲਾਈਨ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਦੂਰੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਹੈ। ਮੈਕਸਿਮਾ ਮਿਡਲਾਈਨ ਤੋਂ 0.5 ਯੂਨਿਟ ਉੱਪਰ ਹਨ ਅਤੇ ਮਿਨੀਮਾ ਮਿਡਲਾਈਨ ਤੋਂ 0.5 ਯੂਨਿਟ ਹੇਠਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ | A |=0.5। | A |=0.5। ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਦਾ ਇਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਪਛਾਣਨਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਥਾਨਕ ਮੈਕਸਿਮਾ ਅਤੇ ਮਿਨੀਮਾ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ 1 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ | A |= 1 2 =0.5। | A |= 1 2 =0.5। ਨਾਲ ਹੀ, ਗ੍ਰਾਫ x-ਐਕਸਿਸ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ A=−0.5। A=−0.5।
ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ B=1; B=1; ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ C=0। C=0।
ਇਸ ਸਭ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖ ਕੇ,
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਚਿੱਤਰ 16 ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
7. ਉਦਾਹਰਨ 7
2. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਛਾਣਨਾ
3. ਚਿੱਤਰ 17 ਵਿੱਚ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ 1 ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ −5 ਹੋਣ ਕਰਕੇ, ਮੱਧ-ਰੇਖਾ −2 'ਤੇ ਅੱਧੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸ ਲਈ D=−2।
6. ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ 3 ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। | A |=3।
7. ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ 6 ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ x=1 'ਤੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਅਗਲੇ ਸਿਖਰ x=7 ਤੱਕ, ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਮਾਪਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, P= 2π | B | =6। B ਲਈ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
8. ਹੁਣ ਤੱਕ, ਸਾਡਾ ਸਮੀਕਰਨ y=3sin( π 3 x−C )−2 ਜਾਂ y=3cos( π 3 x−C )−2 ਹੈ। ਆਕਾਰ ਅਤੇ ਸ਼ਿਫਟ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵਿਕਲਪ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
9. ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਕੋਸਾਈਨ
10. ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਕੋਸਾਈਨ
11. ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਾਈਨ
12. ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਸਾਈਨ
13. ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਿਖਰ, ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ x=0 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ, x=1 'ਤੇ ਹੈ, ਅਤੇ π3 ਦੇ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਕੰਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਫੈਕਟਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ C=1·π3=π3 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।
14. ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸਹੀ ਹੋਵੇਗਾ, ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਕੋਸਾਈਨ ਸ਼ਿਫਟ ਸਾਈਨ ਸ਼ਿਫਟਾਂ ਨਾਲੋਂ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਡਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ
15. ਦੁਬਾਰਾ, ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਇੱਕੋ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
16. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
17. ਚਿੱਤਰ 18 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ।
18. y = sin x ਅਤੇ y = cos x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ
19. ਇਸ ਭਾਗ ਦੌਰਾਨ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਕਾਰਾਂ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਉਸੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
20. ਆਮ ਰੂਪ ਸਮੀਕਰਨਾਂ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ
21. ਅਸੀਂ C=0 ਅਤੇ D=0 ਮੰਨਾਂਗੇ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਰਲ ਰੂਪ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ।
22. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
23. ਫੰਕਸ਼ਨ y=Asin( Bx ) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
24. ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, | A |, ਪਛਾਣੋ।
1. ਪੀ = 2π √ (ਲ / ਜੀ)
1. ਮੂਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ A A ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵੱਧਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਜੇਕਰ A A ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ ਤਾਂ ਘਟਦਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ x = π/2, ਤਾਂ A>0 ਲਈ A ਦਾ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ ਜਾਂ A<0 ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ y=A।
x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ x = π | B | 'ਤੇ ਵਕਰ ਮੁੜਦਾ ਹੈ। x = π | B | ।
ਕਿ x = 3π/2|B| ਵਿਖੇ A>0 ਲਈ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ (ਅਤੇ A<0 ਲਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ) ਹੈ, ਜਿਸਦਾ y-ਮੁੱਲ –A ਹੈ।
ਵਕਰ ਮੁੜ ਕੇ x-ਧੁਰੇ ਉੱਤੇ x= 2π | B | ਉੱਤੇ ਆ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। x= 2π | B | ।
1. ਮਿਸਾਲ ੮
ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ ਅਤੇ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
1. f(x) = −2sin(πx²) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਆਓ, ਆਪਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ y=Asin(Bx) ਰੂਪ ਨਾਲ ਕਰੀਏ। y=Asin(Bx)।
1. ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ A=−2, A=−2, ਇਸ ਲਈ ਆਵਰਤੀ ਮਾਪ 2 ਹੈ। | A |=2 | A |=2
2. ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ B= π 2 , B= π 2 , ਇਸ ਲਈ ਅਵਧੀ P= 2π π 2 =2π⋅ 2 π =4 ਹੈ।
3. ਕਦਮ 3. ਕਿਉਂਕਿ A A ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਹੇਠਾਂ ਉਤਰਦਾ ਹੈ।
1. ਪੜਾਅ 4–7। x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਇੱਕ ਅਵਧੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ 'ਤੇ ਹਨ, x=0, x=0, ਖਿਤਿਜੀ ਮੱਧਬਿੰਦੂ x=2 x=2 'ਤੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਵਧੀ ਦੇ ਅੰਤ 'ਤੇ x=4 'ਤੇ ਹਨ। x=4।
1. ਚੌਥਾਈ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ x=1 'ਤੇ ਅਤੇ ਵੱਧੋ-ਘੱਟ x=3 'ਤੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। x=3। ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਹੇਠਾਂ, x=1, x=1 'ਤੇ ਵਾਪਰੇਗਾ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਕ ਵੱਧੋ-ਘੱਟ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ 2 ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ, x=3 'ਤੇ ਵਾਪਰੇਗਾ। x=3। ਚਿੱਤਰ 19 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਇੱਥੇ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #8
1. g( x )=−0.8cos( 2x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। g( x )=−0.8cos( 2x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਮੱਧ-ਰੇਖਾ, ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
1. ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨਾਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
1. y=Asin(Bx−C)+D ਜਾਂ y=Acos(Bx−C)+D ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
1. ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ, | A |, | A |, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
1. ਪੀ = 2π √ (ਲ / ਜੀ) । ਪੀ = 2π √ (ਲ / ਜੀ) ।
1. ਪੜਾਅ ਤਬਦੀਲੀ, C B . C B . ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
f(x) = Asin(Bx) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ, ਜਿਸਨੂੰ C ਇਕਾਈਆਂ ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ D ਇਕਾਈਆਂ ਉੱਪਰ ਜਾਂ ਹੇਠਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਬਦਲਵੇਂ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
f(x) = 3sin(π/4 x - π/4) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1. ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ: f(x) = 3sin(π/4 x - π/4)। ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਆਕਾਰ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗਾ ਹੋਵੇਗਾ, ਜੋ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋ ਕੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਧੇਗਾ।
ਕਦਮ 2. |A| = |3| = 3। ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ 3 ਹੈ।
ਕਦਮ 3. ਕਿਉਂਕਿ |B| = |π/4| = π/4, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪੀਰੀਅਡ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। P = 2π/|B| = 2π/(π/4) = 2π ⋅ 4/π = 8। ਪੀਰੀਅਡ 8 ਹੈ।
ਕਦਮ 4. ਕਿਉਂਕਿ C = π/4, ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ C/B = (π/4)/(π/4) = 1 ਹੈ। ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ 1 ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਕਦਮ 5. ਚਿੱਤਰ 20 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 20 ਇੱਕ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੰਕੁਚਿਤ, ਲੰਬਕਾਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿੱਚਿਆ ਹੋਇਆ, ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖਿਸਕਾਇਆ ਹੋਇਆ ਸਾਈਨੋਸੌਇਡ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
g(x) = -2cos(π/3 x + π/6) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਮੱਧ-ਰੇਖਾ, ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਸਾਈਨੋਸੌਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ y = -2cos(π/2 x + π) + 3, ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਪੀਰੀਅਡ, ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਆਮ ਰੂਪ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵਿੱਚ ਦੱਸੇ ਗਏ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 1. ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਦਮ 2. ਕਿਉਂਕਿ A = -2, ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ |A| = 2 ਹੈ।
ਕਦਮ 3. |B| = π/2, ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ P = 2π/|B| = 2π/(π/2) = 2π ⋅ 2/π = 4 ਹੈ। ਪੀਰੀਅਡ 4 ਹੈ।
ਕਦਮ 4. C = -π, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਦੀ ਗਣਨਾ C/B = -π/(π/2) = -π ⋅ 2/π = -2 ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ -2 ਹੈ।
ਕਦਮ 5. D = 3, ਇਸ ਲਈ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ y = 3 ਹੈ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਸ਼ਿਫਟ 3 ਉੱਪਰ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ A ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ x-ਧੁਰੇ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 21 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਅਣਗਿਣਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਧਿਆਇ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਮਾਡਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਭਾਗ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਮੂਲ 'ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ 3 ਦੀ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਬਿੰਦੂ ਦੇ y-ਸੰਸਥਾਪਕ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ r ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, ਬਿੰਦੂ ਦਾ y-ਸੰਸਥਾਪਕ y=rsin(x) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ y(x)=3sin(x) ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਸਥਿਰ 3 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ y-ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ 3 ਦੇ ਗੁਣਕ ਨਾਲ ਲੰਬਵਤ ਖਿਚਾਅ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 22 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਮਾਂ-ਕਾਲ ਅਜੇ ਵੀ 2π ਹੈ; ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਚੱਕਰ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ x=2π,4π,6π,... ਲਈ ਬਿੰਦੂ (3,0) 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੁਣ –3 ਅਤੇ 3 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਘੁੰਮਣਗੇ, ਸਾਈਨ ਤਰੰਗ ਦਾ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ 3 ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #10
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x)=7cos(x) ਦਾ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਕੀ ਹੈ? ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 12
ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਭਾਗ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
3 ਫੁੱਟ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 4 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਕੇਂਦਰਿਤ ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜੇ ਦਾ ਬਿੰਦੂ P ਵਜੋਂ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 23 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਨਾਲ ਬਿੰਦੂ P ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉਚਾਈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ; ਫਿਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਹੱਲ
ਉਚਾਈ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 1 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇਗਾ, ਫਿਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 7 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਵਧੇਗਾ, ਅਤੇ 4 ਫੁੱਟ ਦੇ ਕੇਂਦਰੀ ਮੁੱਲ ਤੋਂ 3 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਘੁੰਮਦਾ ਰਹੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 24 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਨਾਲੋਂ ਵਰਤਣ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ ਇੱਕ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਜਾਂ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੱਧ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਟੈਂਡਰਡ ਕੋਸਾਈਨ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੇ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਗ੍ਰਾਫ ਸਭ ਤੋਂ ਨੀਵੇਂ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।
ਦੂਜਾ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 3 ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 3 ਦੁਆਰਾ ਲੰਬਵਤ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਿਛਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨੂੰ 4 ਦੀ ਉਚਾਈ ਤੱਕ ਲਿਜਾਣ ਲਈ, ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ 4 ਤੱਕ ਲੰਬਵਤ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਰੂਪਾਂਤਰਣਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #11
ਇੱਕ ਵਜ਼ਨ ਇੱਕ ਸਪਰਿੰਗ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ ਜੋ ਫਿਰ ਇੱਕ ਬੋਰਡ ਤੋਂ ਲਟਕਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 25 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਸਪਰਿੰਗ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਬੋਰਡ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਵਜ਼ਨ ਦੀ ਸਥਿਤੀ y ਬੋਰਡ ਤੋਂ –1 ਇੰਚ (ਸਮਾਂ x=0 'ਤੇ) ਤੋਂ –7 ਇੰਚ (ਸਮਾਂ x=π 'ਤੇ) ਤੱਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ y ਦੀ ਸਥਿਤੀ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ ਜੋ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ y ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 13
ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ 'ਤੇ ਸਵਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਲੰਡਨ ਆਈ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਾਲ ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਵਿਆਸ 135 ਮੀਟਰ (443 ਫੁੱਟ) ਹੈ। ਇਹ ਹਰ 30 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਸਵਾਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 2 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਤੋਂ ਸਵਾਰੀ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਸਵਾਰ ਦੀ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. 135 ਮੀਟਰ ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 67.5 ਮੀਟਰ ਹੈ। ਉਚਾਈ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ 67.5 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ 67.5 ਮੀਟਰ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਰਹੇਗੀ।
3. ਯਾਤਰੀ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 2 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਚੜ੍ਹਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 67.5+2=69.5 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਸਥਿਤ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਬਦਲਾਅ ਦਾ ਮੱਧ-ਰੇਖਾ 69.5 ਮੀਟਰ 'ਤੇ ਹੋਵੇਗੀ।
4. ਚੱਕਰ ਨੂੰ 1 ਚੱਕਰ ਪੂਰਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ 30 ਮਿੰਟ ਲੱਗਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉਚਾਈ 30 ਮਿੰਟਾਂ ਦੇ ਸਮੇਂ-ਅੰਤਰਾਲ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਰਹੇਗੀ।
5. ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਵਾਰ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਬਿੰਦੂ 'ਤੇ ਚੜ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਉਚਾਈ ਸਭ ਤੋਂ ਛੋਟੇ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਵਧੇਗੀ, ਜੋ ਕਿ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਿਤ ਕੋਸਾਈਨ ਵਕਰ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰੇਗੀ।
6. ਅੰਤਰਾਲ: 67.5, 67.5, ਇਸ ਲਈ A=67.5
7. ਮੱਧ-ਰੇਖਾ: 69.5, 69.5, ਇਸ ਲਈ D=69.5
8. ਸਮਾਂ-ਅੰਤਰਾਲ: 30, 30, ਇਸ ਲਈ B= 2π/30 = π/15
9. ਆਕਾਰ: −cos(t)
10. ਸਵਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇਗਾ
11. ਜਿੱਥੇ t ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ y ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
12. ਮੀਡੀਆ
13. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
14. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਅੰਤਰਾਲ ਅਤੇ ਸਮਾਂ-ਅੰਤਰਾਲ
15. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ
16. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
17. ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
18. ਮੌਖਿਕ
19. ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਆਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਉਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ?
20. y=sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ y=cosx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਤੁਸੀਂ y=cosx ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ y=sinx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?
21. Acos(Bx+C)+D ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਕਿਹੜੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ?
22. ਇੱਕ ਸਥਾਨਾਂਤਰਿਤ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ y=Asin(Bx+C)+D ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ?
23. f(t)=sint ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ?
24. ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ
For the following exercises, graph two full periods of each function and state the amplitude, period, and midline. State the maximum and minimum y-values and their corresponding x-values on one period for x>0. x>0. Round answers to two decimal places if necessary.
f(x)=2sinx f(x)=2sinx
f(x)= 2 3 cosx f(x)= 2 3 cosx
f(x)=−3sin x f(x)=−3sin x
f(x)=4sinx f(x)=4sinx
f(x)=2cosx f(x)=2cosx
f( x )=cos( 2x ) f( x )=cos( 2x )
f(x)=2sin( 1 2 x ) f(x)=2sin( 1 2 x )
f(x)=4cos(πx) f(x)=4cos(πx)
f(x)=3cos( 6 5 x ) f(x)=3cos( 6 5 x )
y=3sin(8(x+4))+5 y=3sin(8(x+4))+5
y=2sin(3x−21)+4 y=2sin(3x−21)+4
y=5sin(5x+20)−2 y=5sin(5x+20)−2
For the following exercises, graph one full period of each function, starting at x=0. x=0. For each function, state the amplitude, period, and midline. State the maximum and minimum y-values and their corresponding x-values on one period for x>0. x>0. State the phase shift and vertical translation, if applicable. Round answers to two decimal places if necessary.
f( t )=2sin( t− 5π 6 ) f( t )=2sin( t− 5π 6 )
f(t)=−cos( t+ π 3 )+1 f(t)=−cos( t+ π 3 )+1
f( t )=4cos( 2( t+ π 4 ) )−3 f( t )=4cos( 2( t+ π 4 ) )−3
f( t )=−sin( 1 2 t+ 5π 3 ) f( t )=−sin( 1 2 t+ 5π 3 )
f( x )=4sin( π 2 ( x−3 ) )+7 f( x )=4sin( π 2 ( x−3 ) )+7
Determine the amplitude, midline, period, and an equation involving the sine function for the graph shown in Figure 26.
Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 27.
Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 28.
Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving sine for the graph shown in Figure 29.
Determine the amplitude, period, midline, and an equation involving cosine for the graph shown in Figure 30.
1. ਚਿੱਤਰ 31 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਆਇਤਨ, ਅਵਧੀ, ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
2. ਚਿੱਤਰ 32 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਆਇਤਨ, ਅਵਧੀ, ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
3. ਚਿੱਤਰ 33 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲਈ ਆਇਤਨ, ਅਵਧੀ, ਮੱਧ-ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
4. ਅਲਜਬਰਾ
5. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ f(x)=sinx। f(x)=sinx।
6. [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, f( x )=0 ਹੱਲ ਕਰੋ। f( x )=0।
7. [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, f( x )= 1 2 ਹੱਲ ਕਰੋ। f( x )= 1 2 ।
8. f( π 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। f( π 2 )।
9. [0,2π) ਉੱਤੇ, f(x)= 2 2 । [0,2π) ਉੱਤੇ, f(x)= 2 2 । x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। x।
10. [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਕਿਸ x-ਮੁੱਲ(ਮੁੱਲਾਂ) ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ?
11. [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਕਿਸ x-ਮੁੱਲ(ਮੁੱਲਾਂ) ਉੱਤੇ ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ?
12. ਦਿਖਾਓ ਕਿ f(−x)=−f(x)। f(−x)=−f(x)। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ f(x)=sinx f(x)=sinx ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ _______________ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।
13. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ f(x)=cosx। f(x)=cosx।
14. [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ f(x)=cosx=0 ਹੱਲ ਕਰੋ। f(x)=cosx=0।
15. [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, f(x)= 1 2 ਹੱਲ ਕਰੋ। f(x)= 1 2 ।
16. [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, f(x)=cosx ਦੇ x-ਅੰਤਰਖੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ। f(x)=cosx।
17. [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, ਉਹ x-ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
18. [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, [ 0,2π ) ਉੱਤੇ, ਸਮੀਕਰਨ f(x)= 3 2 ਹੱਲ ਕਰੋ। f(x)= 3 2 ।
19. ਟੈਕਨੋਲੋਜੀ
20. [ 0,2π ] ਉੱਤੇ h(x)=x+sinx h(x)=x+sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। [ 0,2π ] ਉੱਤੇ h(x)=x+sinx h(x)=x+sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅਜਿਹਾ ਕਿਉਂ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
21. [ −100,100 ] ਉੱਤੇ h(x)=x+sinx h(x)=x+sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। [ −100,100 ] ਉੱਤੇ h(x)=x+sinx h(x)=x+sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ। ਕੀ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੱਤਾ?
22. [ 0,2π ] ਉੱਤੇ f(x)=xsinx f(x)=xsinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ [ 0,2π ] ਉੱਤੇ f(x)=xsinx f(x)=xsinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਦੱਸੋ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ f(x)=sinx f(x)=sinx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।
23. [ −10,10 ] ਵਿੰਡੋ ਉੱਤੇ f(x)=xsinx f(x)=xsinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ [ −10,10 ] ਵਿੰਡੋ ਉੱਤੇ f(x)=xsinx f(x)=xsinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
24. [ −5π,5π ] ਵਿੰਡੋ ਉੱਤੇ f(x)= sinx x f(x)= sinx x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ [ −5π,5π ] ਵਿੰਡੋ ਉੱਤੇ f(x)= sinx x f(x)= sinx x ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕੀ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
1. ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਈ ਵਰਤੋਂ
2. ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦਾ ਵਿਆਸ 25 ਮੀਟਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ 'ਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 1 ਮੀਟਰ ਉੱਪਰ ਇੱਕ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਤੋਂ ਚੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੈਰਿਸ ਵ੍ਹੀਲ ਦੀ ਛੇ ਵਜੇ ਵਾਲੀ ਸਥਿਤੀ ਲੋਡਿੰਗ ਪਲੇਟਫਾਰਮ ਦੇ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਹੈ। ਇਹ ਚੱਕਰ 10 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ 1 ਪੂਰਾ ਗੇੜਾ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ h(t) ਚੱਕਰ ਦੇ ਘੁੰਮਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ t ਮਿੰਟ ਬਾਅਦ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
3. ⓐ h(t) ਦਾ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਮੱਧ-ਰੇਖਾ, ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4. ⓑ ਉਚਾਈ ਫੰਕਸ਼ਨ h(t) ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
5. ⓒ 5 ਮਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀ ਉੱਚਾ ਹੈ?