ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
y=tan x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
y=tan x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
y=sec x ਅਤੇ y=csc x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
y=sec x ਅਤੇ y=csc x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
y=cot x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।
y=cot x ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਮਾਰਤ, ਪਹਾੜ ਜਾਂ ਝੰਡੇ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਦੀਆਂ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਣਾ ਚਾਹੀਏ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਫਾਇਰ ਟਰੱਕ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਗੋਦਾਮ ਦੇ ਕੋਲ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਟਰੱਕ ਦੀ ਘੁੰਮਦੀ ਰੌਸ਼ਨੀ ਗੋਦਾਮ ਦੀ ਕੰਧ 'ਤੇ ਨਿਯਮਤ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਯਾਤਰਾ ਕਰੇਗੀ। ਜੇਕਰ ਇਨਪੁਟ ਸਮਾਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਉਟਪੁੱਟ ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਦੁਆਰਾ ਯਾਤਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਨਿਯਮਤ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਏਗੀ। ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਸ ਦੂਰੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਰਨ ਕੰਧ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਚੱਲਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਅਸਮਤੋਟਸ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ, ਕਿਉਂਕਿ, ਜਾਪਦਾ ਹੈ, ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਵਧਦੀ ਦਿਖਾਈ ਦੇ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਰਸਾਏਗਾ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਟੈਨਜੈਂਟ ਅਤੇ ਹੋਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
y = tan x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ
ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡ π ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ kπ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ 'ਤੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ − π 2 ਤੋਂ π 2 ਤੱਕ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪੂਰੇ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੱਡੇ ਅੰਤਰਾਲ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਟੈਨਜੈਂਟ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੈਨਜੈਂਟ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਜਾਂ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।
ਇਸ ਲਈ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 1 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫੀਕਲ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: x | − π 2 | − π 3 | − π 4 | − π 6 | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2
ਕਤਾਰ: tan( x ) | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ | −√3 | –1 | −√3/3 | 0 | √3/3 | 1 | √3 | ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ
ਇਹ ਬਿੰਦੂ ਸਾਨੂੰ ਸਾਡਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨਗੇ, ਪਰ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿੱਥੇ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ π 3 <x< π 2 ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਰੁਝਾਨ ਦੇਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ π 3 ≈1.05 ਅਤੇ π 2 ≈1.57, ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ 1.05<x<1.57 'ਤੇ x ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਾਂਗੇ।
ਕਤਾਰ: x | 1.3 | 1.5 | 1.55 | 1.56
ਕਤਾਰ: tanx | 3.6 | 14.1 | 48.1 | 92.6
ਜਿਵੇਂ x, π 2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੱਡੇ ਅਤੇ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ y=tanx ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਟੇਬਲ 3 ਵਿੱਚ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸੰਬੰਧਿਤ ਟੇਬਲ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।
ਕਤਾਰ: x | −1.3 | −1.5 | −1.55 | −1.56
ਕਤਾਰ: tanx | −3.6 | −14.1 | −48.1 | −92.6
ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ, ਜਿਵੇਂ x, − π 2 ਦੇ ਨੇੜੇ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਆਉਟਪੁੱਟ ਛੋਟੇ ਅਤੇ ਛੋਟੇ ਹੁੰਦੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ x ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ cosx=0। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, cos( π 2 )=0 ਅਤੇ cos( 3π 2 )=0। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ y=tanx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ x= π 2 ਅਤੇ 3π 2 'ਤੇ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟਤਾਵਾਂ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ, ਟੈਨਜੈਂਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲੰਬਵਤ ਅਸਮਤੋਟਸ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 1 y=tanx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਟੈਨਜੈਂਟ 0 ਤੋਂ π 2 ਅਤੇ π ਤੋਂ 3π 2 ਤੱਕ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਦੇ ਚੌਥੇ ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼
y = tan x ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ A ਅਤੇ B ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚਾਂ ਅਤੇ ਸੰਕੁਚਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਖਿਤਿਜੀ ਖਿੱਚ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀ ਮਿਆਦ ਤੋਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਟੈਂਜੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਨਾਲ, ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਅਕਸਰ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੋਈ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਇਸ ਲਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ ਸਮਝਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਸਥਿਰ A ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੇ ਸਮੇਂ "ਖਿੱਚਣ/ਸੰਕੁਚਨ ਕਾਰਕ" ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
y = Atan(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਕਾਰਕ | A | ਹੈ।
ਮਿਆਦ P = π / | B | ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ x ਹਨ, ਜਿੱਥੇ x ≠ π / (2|B|) + π / |B| k, ਜਿਸ ਵਿੱਚ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞, ∞) ਹੈ।
ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ x = π / (2|B|) + π / |B| k 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
y = Atan(Bx) ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਖਿੱਚੇ ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਮਿਆਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ
ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਖਿੱਚੇ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਸੰਕੁਚਿਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = Atan(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਜਲਦੀ ਸਕੈਚ ਕਰਨ ਲਈ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਬਾਰੇ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਉਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਸਮੇਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਮਿਆਦ 'ਤੇ ਧਿਆਨ ਕੇਂਦਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਗੁਣ ਸਾਨੂੰ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹੋਣ 'ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਾਕੀ ਡੋਮੇਨ ਤੱਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਡਾ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ ਫਿਰ ਅੰਤਰਾਲ (−P/2, P/2) ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ±P/2 'ਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ P = π/B। (−π/2, π/2) 'ਤੇ, ਗ੍ਰਾਫ਼ x = −π/2 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਤੋਂ ਉੱਪਰ ਆਵੇਗਾ, ਮੂਲ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘੇਗਾ, ਅਤੇ x = π/2 'ਤੇ ਸੱਜੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ 'ਤੇ ਵਧਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖੇਗਾ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਦਰ 'ਤੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਕੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪੈਮਾਨੇ ਨੂੰ ਵੀ ਸੈੱਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚੋਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਲੰਘੇਗਾ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਕਿਉਂਕਿ tan(π/4) = 1।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਫੰਕਸ਼ਨ f(x) = Atan(Bx) ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਮਿਆਦ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਕਾਰਕ, |A|, ਪਛਾਣੋ।
B ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਮਿਆਦ, P = π / |B|, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
x = −P/2 ਅਤੇ x = P/2 'ਤੇ ਲੰਬਕਾਰੀ ਐਸਿੰਪਟੋਟਸ ਬਣਾਓ।
ਜੇ AB > 0, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਖੱਬੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਅਤੇ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਸੱਜੇ ਐਸਿੰਪਟੋਟ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ (AB < 0 ਲਈ ਉਲਟ)।
(P/4, A), (0, 0), ਅਤੇ (−P/4, −A) 'ਤੇ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਸੰਕੁਚਿਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰਨਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ y = 0.5tan(π/2 x) ਦੀ ਇੱਕ ਮਿਆਦ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ A ਅਤੇ B ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ A=0.5 ਅਤੇ B= π 2 , ਅਸੀਂ ਖਿੱਚਣ/ਸੁੰਗੜਨ ਵਾਲੇ ਕਾਰਕ ਅਤੇ ਅਵਧੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਵਧੀ π | B | = π | π 2 | = 2 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਮਟੋਟਸ x=±1 'ਤੇ ਹਨ। ਮੂਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਅਵਧੀ 'ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ
ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਵਕਰ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ( 0.5,0.5 ), ( 0,0 ), ਅਤੇ ( −0.5,−0.5 ) ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਕਲੌਤਾ ਇਨਫਲੈਕਸ਼ਨ ਪੁਆਇੰਟ ਮੂਲ 'ਤੇ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਅਵਧੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯਤਨ ਕਰੋ #1
f(x)=3tan( π 6 x ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਖਿਸਕਾਏ ਹੋਏ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਇੱਕ ਅਵਧੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾਂ ਸੁੰਗੜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਖਿਤਿਜੀ (ਜਾਂ ਫੇਜ਼) ਸ਼ਿਫਟ ਜੋੜਾਂਗੇ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਆਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ C ਅਤੇ D ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ।
ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬੇਸਿਕ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ tanx ਤੋਂ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:
y = Atan(Bx−C)+D ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਕਾਰਕ | A | ਹੈ।
ਅਵਧੀ π | B | ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ x≠ C B + π 2| B | k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞,∞) ਹੈ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਟੋਟਸ x= C B + π 2| B | k 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਕੋਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਫੰਕਸ਼ਨ y=Atan(Bx−C)+D ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇੱਕ ਅਵਧੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y=Atan( Bx−C )+D ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਖਿੱਚਣ/ਸੁੰਗੜਨ ਵਾਲੇ ਕਾਰਕ, | A | ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
B ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਅਵਧੀ, P= π | B | ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
C ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ, C B ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
y=Atan(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ C B ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ D ਉੱਪਰ ਖਿਸਕਾ ਕੇ ਖਿੱਚੋ।
ਲੰਬਕਾਰੀ ਅਸੀਮਟੋਟਸ ਨੂੰ ਖਿੱਚੋ, ਜੋ x= C B + π 2| B | k 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
Plot any three reference points and draw the graph through these points.
Example 2
Graphing One Period of a Shifted Tangent Function
Graph one period of the function y=−2tan(πx+π)−1. y=−2tan(πx+π)−1.
Solution
Step 1. The function is already written in the form y=Atan( Bx−C )+D. y=Atan( Bx−C )+D.
Step 2. A=−2, A=−2, so the stretching factor is | A |=2. | A |=2.
Step 3. B=π, B=π, so the period is P= π | B | = π π =1. P= π | B | = π π =1.
Step 4. C=−π, C=−π, so the phase shift is C B = −π π =−1. C B = −π π =−1.
Step 5-7. The asymptotes are at x=− 3 2 x=− 3 2 and x=− 1 2 x=− 1 2 and the three recommended reference points are ( −1.25,1 ), ( −1.25,1 ), ( −1,−1 ), ( −1,−1 ), and ( −0.75,−3 ). ( −0.75,−3 ). The graph is shown in Figure 3. Figure 3
Analysis
Note that this is a decreasing function because A<0. A<0.
Try It #2
How would the graph in Example 2 look different if we made A=2 A=2 instead of −2? −2?
How To
Given the graph of a tangent function, identify horizontal and vertical stretches.
Find the period P P from the spacing between successive vertical asymptotes or x-intercepts.
Write f(x)=Atan( π P x ). f(x)=Atan( π P x ).
Determine a convenient point (x,f(x)) (x,f(x)) on the given graph and use it to determine A. A.
Example 3
Identifying the Graph of a Stretched Tangent
Find a formula for the function graphed in Figure 4.
Figure 4: A stretched tangent function
Solution
ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਆਕਾਰ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਰਗਾ ਹੈ।
ਕਦਮ 1. ਇੱਕ ਚੱਕਰ –4 ਤੋਂ 4 ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਵਧੀ P=8 ਹੈ। P=8। ਕਿਉਂਕਿ P= π | B | , P= π | B | , ਸਾਡੇ ਕੋਲ B= π P = π 8 ਹੈ। B= π P = π 8 ।
ਕਦਮ 2. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਰੂਪ f(x)=Atan( π 8 x ) ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। f(x)=Atan( π 8 x ) ।
ਕਦਮ 3. ਲੰਬੀ ਖਿੱਚ A ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ ( 2,2 ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ( 2,2 ) । 2=Atan( π 8 ⋅2 )=Atan( π 4 ) 2=Atan( π 8 ⋅2 )=Atan( π 4 )
ਕਿਉਂਕਿ tan( π 4 )=1, tan( π 4 )=1, A=2 ਹੈ। A=2।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ f(x)=2tan( π 8 x ) ਹੋਵੇਗਾ। f(x)=2tan( π 8 x ) ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਚਿੱਤਰ 5 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲੱਭੋ।
y = sec x ਅਤੇ y = cscx ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਸੇਕੈਂਟ ਨੂੰ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ secx= 1 cosx ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। secx= 1 cosx । ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕੋਸਾਈਨ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ π 2 , π 2 , 3π 2 , 3π 2 , ਆਦਿ 'ਤੇ ਲੰਬੀ ਅਨੰਤਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਕਦੇ ਵੀ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਸੇਕੈਂਟ, ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹੋਣ ਕਰਕੇ, ਕਦੇ ਵੀ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ y=secx y=secx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ। ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਇੱਕ ਡੈਸ਼ਡ ਸੰਤਰੀ ਤਰੰਗ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਬੰਧ ਦੇਖ ਸਕੀਏ। ਜਿੱਥੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਘਟਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਸੇਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਸੇਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਘਟਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੇਕੈਂਟ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸੇਕੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ x x ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਲੰਬੀ ਅਨੰਤਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਕੋਸਾਈਨ ਗ੍ਰਾਫ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ ਡੈਸ਼ਡ ਲੰਬੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨਾਲ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਪਰ ਸੇਕੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਸੇਕੈਂਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸਾਰੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ 'ਤੇ ਸਾਰੀਆਂ ਅਨੰਤਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਹੀਂ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਸੇਕੈਂਟ ਵੀ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਹ ਹੈ, sec( −x )=secx। sec( −x )=secx।
ਚਿੱਤਰ 6: ਸੇਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ, f(x)=secx= 1 cosx f(x)=secx= 1 cosx
ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਦੁਬਾਰਾ | A | | A | ਸਥਿਰ ਨੂੰ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੀ ਬਜਾਏ ਸਟਰੈਚਿੰਗ ਫੈਕਟਰ ਵਜੋਂ ਸੰਦਰਭਿਤ ਕਰਾਂਗੇ।
y = Asec(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਸਟਰੈਚਿੰਗ ਫੈਕਟਰ | A | ਹੈ। | A | ।
ਅਵਧੀ 2π | B | ਹੈ। 2π | B | ।
ਡੋਮੇਨ x≠ π 2| B | k ਹੈ, x≠ π 2| B | k, ਜਿੱਥੇ k k ਇੱਕ ਅਨੋਖਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞,−| A |]∪[| A |,∞) ਹੈ। (−∞,−| A |]∪[| A |,∞)।
ਲੰਬੀ ਅਨੰਤਤਾਵਾਂ x= π 2| B | k, x= π 2| B | k 'ਤੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k k ਇੱਕ ਅਨੋਖਾ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਕੋਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।
y=Asec( Bx ) y=Asec( Bx ) ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
ਸੇਕੈਂਟ ਦੇ ਸਮਾਨ, ਕੋਸੇਕੈਂਟ ਨੂੰ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ cscx= 1 sinx ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। cscx= 1 sinx । ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਸਾਈਨ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਵਿੱਚ 0, 0, π, π, ਆਦਿ 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਅਨੰਤਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਕਦੇ ਵੀ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਕੋਸੇਕੈਂਟ, ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹੋਣ ਕਰਕੇ, ਕਦੇ ਵੀ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ ਘੱਟ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ।
ਅਸੀਂ y=cscx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇਖੋ। ਸਾਈਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਇੱਕ ਟੁੱਟੀ ਹੋਈ ਸੰਤਰੀ ਲਹਿਰ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਸਬੰਧ ਦੇਖ ਸਕੀਏ। ਜਿੱਥੇ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘਟਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘਟਦਾ ਹੈ।
ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ x ਦੇ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟਸ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਸਾਈਨ ਗ੍ਰਾਫ਼ x-ਐਕਸਿਸ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ; ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਟੁੱਟੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨਾਂ ਨਾਲ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਭਾਵ, csc( −x )=−cscx।
ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼, ਜੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਸੀਕੈਂਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 7: ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ, f(x)=cscx= 1 sinx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼
y = Acsc(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਕਾਰਕ | A | ਹੈ।
ਅਵਧੀ 2π | B | ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ x≠ π | B | k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ ( −∞,−| A | ]∪[ | A |,∞ ) ਹੈ।
ਅਸਿੰਪਟੋਟਸ x= π | B | k 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
y=Acsc( Bx ) ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
y = sec x ਅਤੇ y= csc x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰ
ਸੀਕੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ, ਸੰਕੁਚਿਤ, ਅਤੇ/ਜਾਂ ਖਿੱਚੇ ਗਏ ਸੰਸਕਰਣਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਵਰਤੇ ਗਏ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਵ, ਅਸੀਂ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟਸ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂਆਂ (ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ) ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਵੀ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਅਵਧੀ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅਵਧੀ ਲਈ ਅੰਤਰਾਲ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸੀਕੈਂਟ ਲਈ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਬਹੁਤ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਹਿ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਛਾਣ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸੀਕੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਅੱਧੀ ਅਵਧੀ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸ਼ਿਫਟ ਕੀਤੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਵਰਟੀਕਲ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ ਸੀਕੈਂਟ ਅਤੇ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਬਣਦੇ ਹਨ।
y = Asec(Bx−C)+D ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਕਾਰਕ | A | ਹੈ।
ਅਵਧੀ 2π | B | ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ x≠ C B + π 2| B | k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞,−| A |+D]∪[| A |+D,∞) ਹੈ।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟਸ x= C B + π 2| B | k 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਕੋਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।
y=Asec( Bx-C )+D ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
y = Acsc(Bx−C)+D ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਕਾਰਕ | A | ਹੈ।
1. ਕਾਲ 2π | B | ਹੈ। 2π | B | ਹੈ।
2. ਪ੍ਰਦੇਸ਼ x≠ C B + π | B | k, x≠ C B + π | B | k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
3. ਪ੍ਰਾਪਤੀ (−∞,−| A |+D]∪[| A |+D,∞) ਹੈ। (−∞,−| A |+D]∪[| A |+D,∞) ਹੈ।
4. ਲੰਬਵਤ ਅਨੰਤਤਾਵਾਂ x= C B + π |B| k, x= C B + π |B| k ਤੇ ਵਾਪਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
5. ਕੋਈ ਅੰਪਲੀਟਿਊਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।
6. y=Acsc( Bx-C )+D ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫਲਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫਲਨ ਹੈ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
8. y=Asec( Bx ) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਫਲਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ ਤੇ, ਇੱਕ ਕਾਲ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
9. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਨੂੰ y=Asec( Bx ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
10. ਖਿੱਚਣ/ਸੰਕੋਚਨ ਕਾਰਕ, | A |, ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ।
11. B ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਾਲ, P= 2π | B |, ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
12. y=Acos( Bx ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
13. y=cosx ਅਤੇ y=secx ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਰਸਪਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ y=Asec( Bx ) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
14. ਅਨੰਤਤਾਵਾਂ ਬਣਾਓ।
15. ਕੋਈ ਦੋ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
16. ਉਦਾਹਰਨ 4
17. ਸੈਕੰਟ ਫਲਨ ਦੇ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
18. f(x)=2.5sec(0.4x) ਦੇ ਇੱਕ ਕਾਲ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
19. ਹੱਲ
20. ਕਦਮ 1. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫਲਨ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਆਮ ਰੂਪ, y=Asec( Bx ) ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
21. ਕਦਮ 2. A=2.5 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਕਾਰਕ 2.5 ਹੈ।
22. ਕਦਮ 3. B=0.4 ਹੈ, ਇਸ ਲਈ P= 2π 0.4 =5π ਹੈ। ਕਾਲ 5π ਇਕਾਈਆਂ ਹੈ।
23. ਕਦਮ 4. g(x)=2.5cos(0.4x) ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
24. ਕਦਮ 5. ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸੈਕੰਟ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਪਰਸਪਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫਲਨ ਬਣਾਓ।
Steps 6–7. Sketch two asymptotes at x=1.25π x=1.25π and x=3.75π. x=3.75π. We can use two reference points, the local minimum at ( 0,2.5 ) ( 0,2.5 ) and the local maximum at ( 2.5π,−2.5 ). ( 2.5π,−2.5 ). Figure 8 shows the graph. Figure 8
Try It #4
Graph one period of f(x)=−2.5sec(0.4x). f(x)=−2.5sec(0.4x).
Q&A
Do the vertical shift and stretch/compression affect the secant’s range?
Yes. The range of f( x )=Asec( Bx−C )+D f( x )=Asec( Bx−C )+D is ( −∞,−| A |+D ]∪[ | A |+D,∞ ). ( −∞,−| A |+D ]∪[ | A |+D,∞ ).
How To
Given a function of the form f( x )=Asec( Bx−C )+D, f( x )=Asec( Bx−C )+D, graph one period.
Express the function given in the form y=Asec(Bx−C)+D. y=Asec(Bx−C)+D.
Identify the stretching/compressing factor, | A |. | A |.
Identify B B and determine the period, 2π | B | . 2π | B | .
Identify C C and determine the phase shift, C B . C B .
Draw the graph of y=Asec(Bx) y=Asec(Bx), but shift it to the right by C B C B and up by D. D.
Sketch the vertical asymptotes, which occur at x= C B + π 2| B | k, x= C B + π 2| B | k, where k k is an odd integer.
Example 5
Graphing a Variation of the Secant Function
Graph one period of y=4sec( π 3 x− π 2 )+1. y=4sec( π 3 x− π 2 )+1.
Solution
Step 1. Express the function given in the form y=4sec( π 3 x− π 2 )+1. y=4sec( π 3 x− π 2 )+1.
Step 2. The stretching/compressing factor is | A |=4. | A |=4.
Step 3. The period is 2π |B| = 2π π 3 = 2π 1 ⋅ 3 π =6 2π |B| = 2π π 3 = 2π 1 ⋅ 3 π =6
Step 4. The phase shift is C B = π 2 π 3 = π 2 ⋅ 3 π =1.5 C B = π 2 π 3 = π 2 ⋅ 3 π =1.5
Step 5. Draw the graph of y=Asec(Bx), y=Asec(Bx), but shift it to the right by C B =1.5 C B =1.5 and up by D=1. D=1.
Step 6. Sketch the vertical asymptotes, which occur at x=0,x=3, x=0,x=3, and x=6. x=6. There is a local minimum at ( 1.5,5 ) ( 1.5,5 ) and a local maximum at ( 4.5,−3 ). ( 4.5,−3 ). Figure 9 shows the graph.
Try It #5
f(x)=−6sec(4x+2)−8 ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਲ-ਅਵਧੀ (period) ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
Q&A
cscx ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ x ਲਈ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਜਿੱਥੇ x≠kπ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ k ਲਈ। ਕੀ y=Acsc(Bx−C)+Db ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਲਈ x≠C+kπB ਹੋਵੇਗਾ?
ਹਾਂ। ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਬੇਦਖਲ ਕੀਤੇ ਬਿੰਦੂ ਲੰਬਵਤ ਐਸੀਮਪਟੋਟ (vertical asymptotes) ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੁਆਰਾ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਗਏ ਖਿਤਿਜੀ ਸ਼ਿਫਟ ਅਤੇ ਸੰਕੋਚਨ ਜਾਂ ਵਿਸਥਾਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇਨਪੁਟ (input) ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
y=Acsc(Bx) ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਕਾਲ-ਅਵਧੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y=Acsc(Bx) ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
| A |
B ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਅਵਧੀ (period), P=2π/|B| ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।
y=Asin(Bx) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
y=Acsc(Bx) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਲਈ y=sinx ਅਤੇ y=cscx ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਰਸਪਰ ਸਬੰਧ (reciprocal relationship) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਐਸੀਮਪਟੋਟ (asymptotes) ਬਣਾਓ।
ਕਿਸੇ ਦੋ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂਆਂ (reference points) ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਕੋਸੇਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ (cosecant function) ਦੇ ਇੱਕ ਰੂਪਾਂਤਰ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
f(x)=−3csc(4x) ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਲ-ਅਵਧੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਆਮ ਰੂਪ, y=Acsc(Bx) ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ।
ਕਦਮ 2. |A|=|−3|=3, ਇਸ ਲਈ ਖਿੱਚਣ ਦਾ ਕਾਰਕ (stretching factor) 3 ਹੈ।
ਕਦਮ 3. B=4, ਇਸ ਲਈ P=2π/4 = π/2। ਅਵਧੀ π/2 ਇਕਾਈ ਹੈ।
ਕਦਮ 4. ਫੰਕਸ਼ਨ g(x)=−3sin(4x) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਕਦਮ 5. ਕੋਸੇਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸੇਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪਰਸਪਰ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਕਦਮ 6–7. x=0, x=π/4, ਅਤੇ x=π/2 'ਤੇ ਤਿੰਨ ਐਸੀਮਪਟੋਟ ਬਣਾਓ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂਆਂ, (π/8,−3) 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਮਹੱਤਮ (local maximum) ਅਤੇ (3π/8,3) 'ਤੇ ਸਥਾਨਕ ਨਿਊਨਤਮ (local minimum) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 10 ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #6
f(x)=0.5csc(2x) ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਲ-ਅਵਧੀ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
f(x)=Acsc(Bx−C)+D ਰੂਪ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y=Acsc(Bx−C)+D ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। y=Acsc(Bx−C)+D।
ਸਟ੍ਰੈਚਿੰਗ/ਕੰਪ੍ਰੈਸਿੰਗ ਫੈਕਟਰ, | A | ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | A |।
B ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ, 2π | B | ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। 2π | B |।
C ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ, C B ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ। C B।
y=Acsc(Bx) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਪਰ ਇਸਨੂੰ C B ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ D ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ। D।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟਸ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ x= C B + π | B | k, 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਵਰਟੀਕਲੀ ਸਟ੍ਰੈਚਡ, ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲੀ ਕੰਪ੍ਰੈਸਡ, ਅਤੇ ਵਰਟੀਕਲੀ ਸ਼ਿਫਟਡ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
y=2csc( π 2 x )+1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ। y=2csc( π 2 x )+1। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਕੀ ਹਨ?
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ y=2csc( π 2 x )+1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ। y=2csc( π 2 x )+1।
ਕਦਮ 2। ਸਟ੍ਰੈਚਿੰਗ/ਕੰਪ੍ਰੈਸਿੰਗ ਫੈਕਟਰ, | A |=2 ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ। | A |=2।
ਕਦਮ 3। ਪੀਰੀਅਡ 2π | B | = 2π π 2 = 2π 1 ⋅ 2 π =4 ਹੈ। 2π | B | = 2π π 2 = 2π 1 ⋅ 2 π =4।
ਕਦਮ 4। ਫੇਜ਼ ਸ਼ਿਫਟ 0 π 2 =0 ਹੈ। 0 π 2 =0।
ਕਦਮ 5। y=Acsc(Bx) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ ਪਰ ਇਸਨੂੰ D=1 ਉੱਪਰ ਸ਼ਿਫਟ ਕਰੋ। D=1।
ਕਦਮ 6। ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟਸ ਨੂੰ ਸਕੈਚ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ x=0, x=2, x=4 'ਤੇ ਵਾਪਰਦੇ ਹਨ। x=0,x=2,x=4।
ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 11 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 11: ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸੈਂਪਟੋਟਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਨੂੰ ਮਾਰਕ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਥਾਨਕ ਐਕਸਟ੍ਰੀਮਾ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਪਰਿਵਰਤਿਤ ਕੋਸੀਕੈਂਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ f(x)=2sin( π 2 x )+1, ਜਿਸਨੂੰ ਸੰਤਰੀ ਡੈਸ਼ਡ ਵੇਵ ਵਜੋਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ f(x)=2cos( π 2 x )+1 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਉਸੇ ਧੁਰੇ 'ਤੇ g(x)=2sec( π 2 x )+1 ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸਕੈਚ ਕਰੋ।
y = cot x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਆਖਰੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਸਨੂੰ ਸਾਨੂੰ ਖੋਜਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਉਹ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਹੈ। ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਨੂੰ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ cotx= 1 tanx ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਗ੍ਰਾਫ਼ 'ਤੇ 0, π, ਆਦਿ 'ਤੇ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਵੀ ਸਾਰੀਆਂ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ y=cotx ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹਨ। ਚਿੱਤਰ 13 ਦੇਖੋ। ਜਿੱਥੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘਟਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਜਿੱਥੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਘਟਦਾ ਹੈ।
ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ x ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ 'ਤੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿੱਥੇ tanx=0; ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਡੈਸ਼ਡ ਲਾਈਨਾਂ ਨਾਲ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਰੈਸੀਪ੍ਰੋਕਲ ਹੈ, cotx ਦਾ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ tanx=0, ਅਤੇ cotx=0 x ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ 'ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ tanx ਦੇ ਆਪਣੇ ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਚਿੱਤਰ 13: ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ
y = Acot(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਸਟ੍ਰੈਚਿੰਗ ਫੈਕਟਰ | A | ਹੈ।
ਪੀਰੀਅਡ P = π / | B | ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ x ≠ (π / | B |) k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞, ∞) ਹੈ।
ਅਸਿੰਪਟੋਟ x = (π / | B |) k 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
y = Acot(Bx) ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।
y = cot x ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵਿੱਚ ਬਦਲਾਅ
ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਨੂੰ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
y = Acot(Bx−C)+D ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ
ਸਟ੍ਰੈਚਿੰਗ ਫੈਕਟਰ | A | ਹੈ।
ਪੀਰੀਅਡ π / | B | ਹੈ।
ਡੋਮੇਨ x ≠ C/B + (π / | B |) k ਹੈ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਰੇਂਜ (−∞, ∞) ਹੈ।
ਵਰਟੀਕਲ ਅਸਿੰਪਟੋਟ x = C/B + (π / | B |) k 'ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।
ਕੋਈ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।
y=Acot(Bx) ਇੱਕ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਮ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਮ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਸਾਈਨ) ਦਾ ਭਾਗ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
f(x) = Acot(Bx) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਇੱਕ ਸੋਧੇ ਹੋਏ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ।
Express the function in the form f( x )=Acot( Bx ). f( x )=Acot( Bx ).
Identify the stretching factor, | A |. | A |.
Identify the period, P= π | B | . P= π | B | .
Draw the graph of y=Atan(Bx). y=Atan(Bx).
Plot any two reference points.
Use the reciprocal relationship between tangent and cotangent to draw the graph of y=Acot( Bx ). y=Acot( Bx ).
Sketch the asymptotes.
Example 8
Graphing Variations of the Cotangent Function
Determine the stretching factor, period, and phase shift of y=3cot(4x), y=3cot(4x), and then sketch a graph.
Solution
Step 1. Expressing the function in the form f( x )=Acot( Bx ) f( x )=Acot( Bx ) gives f( x )=3cot( 4x ). f( x )=3cot( 4x ).
Step 2. The stretching factor is | A |=3. | A |=3.
Step 3. The period is P= π 4 . P= π 4 .
Step 4. Sketch the graph of y=3tan(4x). y=3tan(4x).
Step 5. Plot two reference points. Two such points are ( π 16 ,3 ) ( π 16 ,3 ) and ( 3π 16 ,−3 ). ( 3π 16 ,−3 ).
Step 6. Use the reciprocal relationship to draw y=3cot(4x). y=3cot(4x).
Step 7. Sketch the asymptotes, x=0,x= π 4 . x=0,x= π 4 .
The blue graph in Figure 14 shows y=3tan( 4x ) y=3tan( 4x ) and the green graph shows y=3cot( 4x ). y=3cot( 4x ).
How To
Given a modified cotangent function of the form f( x )=Acot( Bx−C )+D, f( x )=Acot( Bx−C )+D, graph one period.
Express the function in the form f( x )=Acot( Bx−C )+D. f( x )=Acot( Bx−C )+D.
Identify the stretching factor, | A |. | A |.
Identify the period, P= π | B | . P= π | B | .
ਪੜਾਅ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰੋ, C B . C B .
y=Atan(Bx) y=Atan(Bx) ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ C B C B ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ D ਉੱਪਰ ਖਿੱਚੋ। D.
ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ x= C B + π | B | k, x= C B + π | B | k, ਜਿੱਥੇ k k ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਖਿੱਚੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿੰਨ ਸੰਦਰਭ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਰਾਹੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਸੋਧੇ ਹੋਏ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣਾ
ਫੰਕਸ਼ਨ f( x )=4cot( π 8 x− π 2 )−2 f( x )=4cot( π 8 x− π 2 )−2 ਦੇ ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਖਿੱਚੋ।
ਹੱਲ
ਕਦਮ 1. ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਆਮ ਰੂਪ f( x )=Acot( Bx−C )+D f( x )=Acot( Bx−C )+D ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕਦਮ 2. A=4, A=4, ਇਸ ਲਈ ਖਿੱਚਣ ਵਾਲਾ ਕਾਰਕ 4 ਹੈ।
ਕਦਮ 3. B= π 8 , B= π 8 , ਇਸ ਲਈ ਪੀਰੀਅਡ P= π | B | = π π 8 =8 ਹੈ। P= π | B | = π π 8 =8.
ਕਦਮ 4. C= π 2 , C= π 2 , ਇਸ ਲਈ ਪੜਾਅ ਸ਼ਿਫਟ C B = π 2 π 8 =4 ਹੈ। C B = π 2 π 8 =4.
ਕਦਮ 5. ਅਸੀਂ f( x )=4tan( π 8 x− π 2 )−2 f( x )=4tan( π 8 x− π 2 )−2 ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ।
ਕਦਮ 6-7. ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਮਾਰਗਦਰਸ਼ਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਹਨ (6,2),(8,−2), (6,2),(8,−2), ਅਤੇ (10,−6)। (10,−6)। ਅਸੀਂ f( x )=4cot( π 8 x− π 2 )−2 f( x )=4cot( π 8 x− π 2 )−2 ਖਿੱਚਣ ਲਈ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਉਲਟ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਦਮ 8. ਲੰਬਵਤ ਅਨੰਤ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ x=4 x=4 ਅਤੇ x=12 ਹਨ। x=12.
ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 15 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 15: ਇੱਕ ਸੋਧੇ ਹੋਏ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਇੱਕ ਪੀਰੀਅਡ
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਡਲ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਆਓ ਭਾਗ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਤੇ ਵਾਪਸ ਚੱਲੀਏ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਦੇ ਫਾਇਰ ਟਰੱਕ 'ਤੇ ਘੁੰਮਦੀ ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਕਿਰਨ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕੀਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਦੀ ਗਤੀ ਬਾਰੇ ਸੋਚਿਆ ਹੈ ਜੋ ਕੰਧ 'ਤੇ ਪਈ ਹੈ? ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੀ ਚਮਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦਾ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਵਿਵਹਾਰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 10
ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ y=5tan( π 4 t ) y=5tan( π 4 t ) ਪੁਲਿਸ ਕਾਰ ਦੇ ਉੱਪਰ ਤੋਂ ਕੰਧ 'ਤੇ ਪਈ ਰੌਸ਼ਨੀ ਦੀ ਕਿਰਨ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ t t ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂ ਹੈ ਅਤੇ y y ਪੁਲਿਸ ਕਾਰ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਸਾਹਮਣੇ ਕੰਧ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਫੁੱਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦੂਰੀ ਹੈ।
ⓐ ਖਿੱਚਣ ਵਾਲੇ ਕਾਰਕ ਅਤੇ ਪੀਰੀਅਡ ਨੂੰ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ⓑ [ 0,5 ] [ 0,5 ] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
ⓒ Evaluate f( 1 ) f( 1 ) and discuss the function’s value at that input.
Solution
ⓐ We know from the general form of y=Atan( Bt ) y=Atan( Bt ) that | A | | A | is the stretching factor and π B π B is the period. Figure 16 The vertical stretch factor of 5 means that the beam will have moved 5 feet in the one-quarter period before or after the half-period mark. This corresponds to the y-value of the standard tangent function being 1 at one-quarter of the period away from the center of the period, multiplied by the stretching factor of 5. The period is π π 4 = π 1 ⋅ 4 π =4. π π 4 = π 1 ⋅ 4 π =4. This means that every 4 seconds, the beam of light sweeps the wall. The distance from the spot across from the police car grows larger as the police car approaches.
ⓑ To graph the function, we draw an asymptote at t=2 t=2 and use the stretching factor and period. See Figure 17 Figure 17
ⓒ period: f(1)=5tan( π 4 (1) )=5(1)=5; f(1)=5tan( π 4 (1) )=5(1)=5; after 1 second, the beam of has moved 5 ft from the spot across from the police car.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with graphs of other trigonometric functions.
Graphing the Tangent
Graphing Cosecant and Secant
Graphing the Cotangent
Verbal
Explain how the graph of the sine function can be used to graph y=cscx. y=cscx.
How can the graph of y=cosx y=cosx be used to construct the graph of y=secx? y=secx?
Explain why the period of tanx tanx is equal to π. π.
Why are there no intercepts on the graph of y=cscx? y=cscx?
How does the period of y=cscx y=cscx compare with the period of y=sinx? y=sinx?
Algebraic
For the following exercises, match each trigonometric function with one of the following graphs.
f( x )=tanx f( x )=tanx
f( x )=secx f( x )=secx
f( x )=cscx f( x )=cscx
f( x )=cotx f( x )=cotx
For the following exercises, find the period and horizontal shift of each of the functions.
f( x )=2tan( 4x−32 ) f( x )=2tan( 4x−32 )
h( x )=2sec( π 4 ( x+1 ) ) h( x )=2sec( π 4 ( x+1 ) )
m( x )=6csc( π 3 x+π ) m( x )=6csc( π 3 x+π )
For the following exercises, evaluate the transformed functions.
If tanx=−1.5, tanx=−1.5, find tan( −x ). tan( −x ).
If secx=2, secx=2, find sec( −x ). sec( −x ).
If cscx=−5, cscx=−5, find csc( −x ). csc( −x ).
If xsinx=2, xsinx=2, find ( −x )sin( −x ). ( −x )sin( −x ).
For the following exercises, rewrite each expression such that the argument x x is positive.
cot( −x )cos( −x )+sin( −x ) cot( −x )cos( −x )+sin( −x )
cos( −x )+tan( −x )sin( −x ) cos( −x )+tan( −x )sin( −x )
Graphical
For the following exercises, sketch two periods of the graph for each of the following functions. Identify the stretching factor, period, and asymptotes.
f( x )=2tan( 4x−32 ) f( x )=2tan( 4x−32 )
h( x )=2sec( π 4 ( x+1 ) ) h( x )=2sec( π 4 ( x+1 ) )
m( x )=6csc( π 3 x+π ) m( x )=6csc( π 3 x+π )
j( x )=tan( π 2 x ) j( x )=tan( π 2 x )
p(x)=tan( x− π 2 ) p(x)=tan( x− π 2 )
f(x)=4tan(x) f(x)=4tan(x)
f(x)=tan( x+ π 4 ) f(x)=tan( x+ π 4 )
f(x)=πtan( πx−π )−π f(x)=πtan( πx−π )−π
f( x )=2csc( x ) f( x )=2csc( x )
f( x )=− 1 4 csc( x ) f( x )=− 1 4 csc( x )
f(x)=4sec( 3x ) f(x)=4sec( 3x )
f(x)=−3cot( 2x ) f(x)=−3cot( 2x )
f(x)=7sec( 5x ) f(x)=7sec( 5x )
f(x)= 9 10 csc( πx ) f(x)= 9 10 csc( πx )
f(x)=2csc( x+ π 4 )−1 f(x)=2csc( x+ π 4 )−1
f(x)=−sec( x− π 3 )−2 f(x)=−sec( x− π 3 )−2
f(x)= 7 5 csc( x− π 4 ) f(x)= 7 5 csc( x− π 4 )
f(x)=5( cot( x+ π 2 )−3 ) f(x)=5( cot( x+ π 2 )−3 )
For the following exercises, find and graph two periods of the periodic function with the given stretching factor, | A |, | A |, period, and phase shift.
A tangent curve, A=1, A=1, period of π 3 ; π 3 ; and phase shift ( h,k )=( π 4 ,2 ) ( h,k )=( π 4 ,2 )
A tangent curve, A=−2, A=−2, period of π 4 , π 4 , and phase shift ( h,k )=( − π 4 ,−2 ) ( h,k )=( − π 4 ,−2 )
For the following exercises, find an equation for the graph of each function.
Technology
For the following exercises, use a graphing calculator to graph two periods of the given function. Note: most graphing calculators do not have a cosecant button; therefore, you will need to input cscx cscx as 1 sinx . 1 sinx .
f(x)=| csc( x ) | f(x)=| csc( x ) |
f(x)=| cot( x ) | f(x)=| cot( x ) |
f(x)= 2 csc( x ) f(x)= 2 csc( x )
f(x)= csc( x ) sec( x ) f(x)= csc( x ) sec( x )
Graph f(x)=1+ sec 2 ( x )− tan 2 ( x ). f(x)=1+ sec 2 ( x )− tan 2 ( x ). What is the function shown in the graph?
f(x)=sec( 0.001x ) f(x)=sec( 0.001x )
f(x)=cot( 100πx ) f(x)=cot( 100πx )
f(x)= sin 2 x+ cos 2 x f(x)= sin 2 x+ cos 2 x
Real-World Applications
The function f( x )=20tan( π 10 x ) f( x )=20tan( π 10 x ) marks the distance in the movement of a light beam from a police car across a wall for time x, x, in seconds, and distance f( x ), f( x ), in feet.
ⓐ Graph on the interval [ 0,5 ]. [ 0,5 ].
ⓑ Find and interpret the stretching factor, period, and asymptote.
ⓒ Evaluate f( 1 ) f( 1 ) and f( 2.5 ) f( 2.5 ) and discuss the function’s values at those inputs.
Standing on the shore of a lake, a fisherman sights a boat far in the distance to his left. Let x, x, measured in radians, be the angle formed by the line of sight to the ship and a line due north from his position. Assume due north is 0 and x x is measured negative to the left and positive to the right. (See Figure 19.) The boat travels from due west to due east and, ignoring the curvature of the Earth, the distance d( x ), d( x ), in kilometers, from the fisherman to the boat is given by the function d( x )=1.5sec( x ). d( x )=1.5sec( x ).
ⓐWhat is a reasonable domain for d( x )? d( x )?
ⓑGraph d( x ) d( x ) on this domain.
ⓒFind and discuss the meaning of any vertical asymptotes on the graph of d( x ). d( x ).
ⓓCalculate and interpret d( − π 3 ). d( − π 3 ). Round to the second decimal place.
ⓔCalculate and interpret d( π 6 ). d( π 6 ). Round to the second decimal place.
ⓕWhat is the minimum distance between the fisherman and the boat? When does this occur?
A laser rangefinder is locked on a comet approaching Earth. The distance g( x ), g( x ), in kilometers, of the comet after x x days, for x x in the interval 0 to 30 days, is given by g( x )=250,000csc( π 30 x ). g( x )=250,000csc( π 30 x ).
ⓐ Graph g( x ) g( x ) on the interval [ 0,30 ]. [ 0,30 ].
ⓑ Evaluate g( 5 ) g( 5 ) and interpret the information.
ⓒ What is the minimum distance between the comet and Earth? When does this occur? To which constant in the equation does this correspond?
ⓓ Find and discuss the meaning of any vertical asymptotes.
A video camera is focused on a rocket on a launching pad 2 miles from the camera. The angle of elevation from the ground to the rocket after x x seconds is π 120 x. π 120 x.
ⓐWrite a function expressing the altitude h( x ), h( x ), in miles, of the rocket above the ground after x x seconds. Ignore the curvature of the Earth.
ⓑGraph h( x ) h( x ) on the interval ( 0,60 ). ( 0,60 ).
ⓒEvaluate and interpret the values h( 0 ) h( 0 ) and h( 30 ). h( 30 ).
ⓓWhat happens to the values of h( x ) h( x ) as x x approaches 60 seconds? Interpret the meaning of this in terms of the problem.