ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝੋ ਅਤੇ ਵਰਤੋ।
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਯੁਕਤ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਲਈ, ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੋਵੇ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੇ ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਰ ਜੇ ਸਾਨੂੰ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਣ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਤੋਂ ਕੋਣ ਤੱਕ ਲੈ ਜਾਵੇ। ਇੱਥੇ ਹੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਉਲਟ ਸੰਕਲਪ ਦੀ ਭੂਮਿਕਾ ਆਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪੜਚੋਲ ਕਰਾਂਗੇ।
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣਾ ਅਤੇ ਵਰਤਣਾ
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਸਮਝਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਉਸ ਨੂੰ "ਅਨਡੂ" ਕਰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਅਸਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ "ਕਰਦਾ" ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਰੇਂਜ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਸਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ f(x)=sinx, ਤਾਂ ਅਸੀਂ f −1 (x)= sin −1 x ਲਿਖਾਂਗੇ। ਧਿਆਨ ਰਹੇ ਕਿ sin −1 x ਦਾ ਮਤਲਬ 1 sinx ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ:
ਕਿਉਂਕਿ sin( π 6 )= 1 2 , ਤਾਂ π 6 = sin −1 ( 1 2 )।
ਕਿਉਂਕਿ cos( π )=−1, ਤਾਂ π= cos −1 ( −1 )।
ਕਿਉਂਕਿ tan( π 4 )=1, ਤਾਂ π 4 = tan −1 ( 1 )।
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕੋਣਾਂ 'ਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਪਰ ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਕੋਣ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਮੁੱਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ, ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ, ਜੇ f(a)=b, ਤਾਂ ਇੱਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ f −1 (b)=a ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰੇਗਾ।
ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹਰੀਜ਼ੋਂਟਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ। ਦਰਅਸਲ, ਕੋਈ ਵੀ ਪੀਰੀਅਡਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦੀ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਹਰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹਰ ਪੀਰੀਅਡ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਇਨਪੁੱਟ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਪੀਰੀਅਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਾਂਗ ਜੋ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ ਜੋ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਹੋਵੇ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਡੋਮੇਨ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰ 0 ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ [ − π 2 , π 2 ] ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ [ 0,π ] ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 2: (a) ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ [ − π 2 , π 2 ] 'ਤੇ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ; (b) ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ [ 0,π ] 'ਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਚਿੱਤਰ 3 ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ( − π 2 , π 2 ) ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 3: ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ ( − π 2 , π 2 ) 'ਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ
ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ ਲਈ ਇਹ ਰਵਾਇਤੀ ਚੋਣਾਂ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਨਮਾਨੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ, ਸਹਾਇਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਕੁਝ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ, ਹਰੇਕ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਦਾ ਹੈ ਜੋ ਉਲਟਾਯੋਗ ਹੈ। ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨ ਲਈ ਰਵਾਇਤੀ ਚੋਣ ਵਿੱਚ ਇਹ ਉਪਯੋਗੀ ਗੁਣ ਵੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਅਸਮਤੋਟ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ ਨਾ ਕਿ ਇੱਕ ਅਸਮਤੋਟ ਦੁਆਰਾ ਦੋ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਹਨਾਂ ਸੀਮਤ ਡੋਮੇਨਾਂ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ y= sin −1 x ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ x=siny। ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਆਰਕਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ arcsinx ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। y= sin −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ [−1,1] ਅਤੇ ਰੇਂਜ [ − π 2 , π 2 ] ਹੈ।
ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ y= cos −1 x ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ x=cosy। ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਆਰਕਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ arccosx ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। y= cos −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ [−1,1] ਅਤੇ ਰੇਂਜ [0,π] ਹੈ।
ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ y= tan −1 x ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ x=tany। ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਆਰਕਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ arctanx ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। y= tan −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ (−∞,∞) ਅਤੇ ਰੇਂਜ ( − π 2 , π 2 ) ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4, ਚਿੱਤਰ 5, ਅਤੇ ਚਿੱਤਰ 6 ਵਿੱਚ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਆਉਟਪੁੱਟ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ, ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ sin −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ [ −1,1 ] ਅਤੇ ਰੇਂਜ [ − π 2 , π 2 ] ਹੈ, cos −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ [ −1,1 ] ਅਤੇ ਰੇਂਜ [0,π] ਹੈ, ਅਤੇ tan −1 x ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ( − π 2 , π 2 ) ਹੈ। ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਨੂੰ ਬਦਲੋ। ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਹਰੇਕ ਗ੍ਰਾਫ ਅਸਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ y=x ਰੇਖਾ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਹੈ।
ਚਿੱਤਰ 4: ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਸਾਈਨ (ਜਾਂ ਆਰਕਸਾਈਨ) ਫੰਕਸ਼ਨ
ਚਿੱਤਰ 5: ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ (ਜਾਂ ਆਰਕਕੋਸਾਈਨ) ਫੰਕਸ਼ਨ
ਚਿੱਤਰ 6: ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ (ਜਾਂ ਆਰਕਟੈਂਜੈਂਟ) ਫੰਕਸ਼ਨ
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸੰਬੰਧ
[ − π 2 , π 2 ] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਲਈ, ਜੇ siny=x, ਤਾਂ sin −1 x=y।
[ 0,π ] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਲਈ, ਜੇ cosy=x, ਤਾਂ cos −1 x=y।
( − π 2 , π 2 ) ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕੋਣਾਂ ਲਈ, ਜੇ tany=x, ਤਾਂ tan −1 x=y।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਲਿਖਣਾ
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ sin( 5π 12 )≈0.96593, ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਲਈ ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜੇ siny=x, ਤਾਂ sin −1 x=y।
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ, x=0.96593, ਅਤੇ y= 5π 12 ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ cos(0.5)≈0.8776, ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਲਿਖੋ।
ਉਲਟ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਕਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇੱਕ ਟੇਬਲ ਤੋਂ ਇੰਟਰਪੋਲੇਟ ਕਰਕੇ, ਜਾਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਤਕਨੀਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ π 6 (30°), π 4 (45°), ਅਤੇ π 3 (60°), ਅਤੇ ਹੋਰ ਚਤੁਰਾਂਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ "ਵਿਸ਼ੇਸ਼" ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਉਹ ਕੋਣ x ਲੱਭੋ ਜਿਸਦੇ ਲਈ ਅਸਲ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਇਨਪੁਟ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਹੈ।
ਜੇ x ਉਲਟ ਦੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ y ਲੱਭੋ ਜੋ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਰੇਂਜ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ x ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨਾ
1. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
2. ⓐ sin −1 ( 1 2 ) sin −1 ( 1 2 )
3. ⓑ sin −1 ( − 2 2 ) sin −1 ( − 2 2 )
4. ⓒ cos −1 ( − 3 2 ) cos −1 ( − 3 2 )
5. ⓓ tan −1 ( 1 ) tan −1 ( 1 )
6. ਹੱਲ
7. ⓐ sin −1 ( 1 2 ) sin −1 ( 1 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ, ਉਸ ਕੋਣ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ 1 2 ਹੋਵੇਗਾ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਹੜਾ ਕੋਣ x x ਸਾਈਨ(x)= 1 2 ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰੇਗਾ? ਸਾਈਨ(x)= 1 2 ? ਇੱਥੇ ਕਈ ਮੁੱਲ ਹੋਣਗੇ ਜੋ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ π 6 π 6 ਅਤੇ 5π 6 , 5π 6 , ਪਰ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ [ − π 2 , π 2 ] [ − π 2 , π 2 ] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਜਵਾਬ sin −1 ( 1 2 )= π 6 ਹੋਵੇਗਾ। sin −1 ( 1 2 )= π 6 । ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਨਵਰਸ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹਰੇਕ ਇਨਪੁਟ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਆਉਟਪੁੱਟ ਮਿਲੇਗਾ।
8. ⓑ sin −1 ( − 2 2 ) sin −1 ( − 2 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 5π 4 5π 4 ਅਤੇ 7π 4 7π 4 ਦੋਨਾਂ ਦਾ ਸਾਈਨ ਮੁੱਲ − 2 2 , − 2 2 ਹੈ, ਪਰ ਕੋਈ ਵੀ [ − π 2 , π 2 ] [ − π 2 , π 2 ] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ 7π 4 : 7π 4 ਨਾਲ ਕੋਟਰਮਿਨਲ ਨੈਗੇਟਿਵ ਕੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ: sin −1 (− 2 2 )=− π 4 । sin −1 (− 2 2 )=− π 4 ।
9. ⓒ cos −1 ( − 3 2 ) cos −1 ( − 3 2 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ [ 0,π ] [ 0,π ] ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ − 3 2 ਹੈ। − 3 2 । ਉਹ ਕੋਣ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ cos −1 ( − 3 2 )= 5π 6 ਹੈ। cos −1 ( − 3 2 )= 5π 6 ।
10. ⓓ tan −1 ( 1 ) tan −1 ( 1 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ( − π 2 , π 2 ) ( − π 2 , π 2 ) ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੀ ਭਾਲ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਟੈਨਜੈਂਟ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ। ਸਹੀ ਕੋਣ tan −1 ( 1 )= π 4 ਹੈ। tan −1 ( 1 )= π 4 ।
11. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
12. ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
13. ⓐ sin −1 (−1) sin −1 (−1)
14. ⓑ tan −1 ( −1 ) tan −1 ( −1 )
15. ⓒ cos −1 ( −1 ) cos −1 ( −1 )
16. ⓓ cos −1 ( 1 2 ) cos −1 ( 1 2 )
17. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਨਵਰਸ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
18. ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਸਾਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਜਾਂ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਦੀ ਤਕਨਾਲੋਜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ। ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵਿਗਿਆਨਕ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਅਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ-ਇਮੂਲੇਟਿੰਗ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇਨਵਰਸ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੁੰਜੀਆਂ ਜਾਂ ਬਟਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, SIN −1 −1, ARCSIN, ਜਾਂ ASIN ਵਜੋਂ ਲੇਬਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
19. ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਕੋਣ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ 'ਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕੀਤਾ। ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਪਾਸੇ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਕਈ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨਾਂ ਤੱਕ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
20. ਇਹਨਾਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਕੋਣਾਂ ਵਜੋਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾਵੇਗਾ ਅਤੇ ਅਸੀਂ θ θ ਨੂੰ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਜੋਂ ਵਰਤਾਂਗੇ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਿਤ ਮੁੱਲ ਡਿਗਰੀਆਂ ਜਾਂ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਮੋਡ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਓ।
21. ਉਦਾਹਰਨ 3
22. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ 'ਤੇ ਇਨਵਰਸ ਸਾਈਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
23. ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ sin −1 (0.97) sin −1 (0.97) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
24. ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਉਲਟ ਫਲਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇੱਕ ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਸਾਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਹੋਣ 'ਤੇ ਡਿਗਰੀ ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਹੋਣ 'ਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮੁੱਲ ਦੇਵੇਗਾ। ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਕੋਣਾਂ 'ਤੇ ਉਹੀ ਡੋਮੇਨ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ।
ਰੇਡੀਅਨ ਮੋਡ ਵਿੱਚ, sin −1 (0.97)≈1.3252। ਡਿਗਰੀ ਮੋਡ ਵਿੱਚ, sin −1 (0.97)≈75.93°। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਕੈਲਕੂਲਸ ਅਤੇ ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਅਸੀਂ ਲਗਭਗ ਸਾਰੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਅਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ cos −1 ( −0.4 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 7 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਭੁਜਾ ਲੰਬਾਈ h ਵਾਲੀ ਕਾਰਨ ਹੈ ਅਤੇ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ a ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ θ= cos −1 ( a h ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਭੁਜਾ ਲੰਬਾਈ h ਵਾਲੀ ਕਾਰਨ ਹੈ ਅਤੇ ਲੋੜੀਂਦੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ p ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ θ= sin −1 ( p h ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ ਦੋ ਲੱਤਾਂ (ਸੱਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ) ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ θ= tan −1 ( p a ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ 'ਤੇ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਕੋਣ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਕਾਰਨ ਅਤੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗਦੀ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਸਮਝਦਾਰੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੀਏ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਚਿੱਤਰ 9 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਕੋਣ θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਅਜਿਹੇ ਸਮੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦਾ ਸਹਾਰਾ ਲਏ ਬਿਨਾਂ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਭਾਵੇਂ ਸੰਯੁਕਤ ਫਲਨ ਦਾ ਇਨਪੁਟ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਆਉਟਪੁੱਟ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਾਮਲਿਆਂ ਨੂੰ ਸੁਲਝਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f(x) ਅਤੇ g(x) ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਹਨ ਜੋ ਸਮੂਹ { sin(x),cos(x),tan(x) } ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹਨ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ f −1 (y) ਅਤੇ g −1 (y) ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
f(f−1(y)) ਅਤੇ f−1(f(x)) ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਕਿਸੇ ਵੀ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਲਈ, f( f −1 ( y ) )=y ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ y ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਫਲਨ ਲਈ ਸਹੀ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਉਲਟ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਅਤੇ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ f ਦਾ ਰੇਂਜ f −1 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਣ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ f −1 ( f( x ) ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਥੋੜਾ ਹੋਰ ਸਾਵਧਾਨ ਰਹਿਣਾ ਪਵੇਗਾ।
ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਸੰਯੋਜਨ
Q&A
ਕੀ ਇਹ ਸਹੀ ਹੈ ਕਿ sin −1 (sinx)=x?
ਨਹੀਂ। ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਉਦੋਂ ਸਹੀ ਹੈ ਜੇਕਰ x ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਡੋਮੇਨ [ − π 2 , π 2 ] ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ, ਪਰ ਸਾਈਨ ਸਾਰੇ ਅਸਲ ਇਨਪੁਟ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਅੰਤਰਾਲ ਤੋਂ ਬਾਹਰਲੇ x ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਹਮੇਸ਼ਾ [ − π 2 , π 2 ] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਵਾਪਸ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੋਸਾਈਨ ਅਤੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ ਲਈ ਵੀ ਇਹੀ ਸਥਿਤੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, sin −1 ( sin( 3π 4 ) )= π 4 ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਜੇਕਰ f(θ)=sinθ, cosθ, ਜਾਂ tanθ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f−1(f(θ)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ θ, f ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f−1(f(θ))=θ।
ਜੇਕਰ ਅਜਿਹਾ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ f ਦੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਕੋਣ ϕ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ f(ϕ)=f(θ) ਹੋਵੇ। ਫਿਰ f−1(f(θ))=ϕ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ⓐ sin−1(sin(π/3))
ⓑ sin−1(sin(2π/3))
ⓒ cos−1(cos(2π/3))
ⓓ cos−1(cos(−π/3))
ਹੱਲ
ⓐ π/3, [−π/2, π/2] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ sin−1(sin(π/3))=π/3।
ⓑ 2π/3, [−π/2, π/2] ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ sin(2π/3)=sin(π/3), ਇਸ ਲਈ sin−1(sin(2π/3))=π/3।
ⓒ 2π/3, [0, π] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ cos−1(cos(2π/3))=2π/3।
ⓓ −π/3, [0, π] ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਪਰ cos(−π/3)=cos(π/3) ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਸਾਈਨ ਇੱਕ ਸਮ ਫਲਨ ਹੈ। π/3, [0, π] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ cos−1(cos(−π/3))=π/3।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
tan−1(tan(π/8)) ਅਤੇ tan−1(tan(11π/9)) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
f−1(g(x)) ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਨਾਲ ਸੰਯੋਜਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰਨ ਬਾਰੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ f−1(g(x)) ਦੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ। x ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅੰਦਰੂਨੀ ਫਲਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਬਾਹਰੀ, ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਫਲਨ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਦੋ ਨਿਊਨਤਮ ਕੋਣਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵਧੇਰੇ ਆਮ ਪਹੁੰਚ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ ਇੱਕ θ ਹੈ, ਦੂਜਾ π/2−θ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 10 ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 10: ਸਹਿ-ਫਲਨ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਸੱਜਾ ਤ੍ਰਿਕੋਣ
ਕਿਉਂਕਿ cosθ = b/c = sin(π/2−θ), ਜੇਕਰ 0≤θ≤π ਹੋਵੇ ਤਾਂ sin−1(cosθ) = π/2−θ। ਜੇਕਰ θ ਇਸ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕੋਸਾਈਨ θ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤਿਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ; ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇਸ ਕੋਣ ਨੂੰ π/2 ਤੋਂ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, sinθ = a/c = cos(π/2−θ), ਇਸ ਲਈ ਜੇਕਰ −π/2≤θ≤π/2 ਹੋਵੇ ਤਾਂ cos−1(sinθ) = π/2−θ। ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਫਲਨ-ਸਹਿ-ਫਲਨ ਸਬੰਧ ਹਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
sin−1(cosx) ਅਤੇ cos−1(sinx) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਧਾਰਨ ਕਰੋ।
ਜੇਕਰ x, [0, π] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ sin−1(cosx) = π/2−x।
ਜੇਕਰ x [ 0,π ] ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ [ 0,π ] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ y ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ cos y = cos x। sin⁻¹(cos x) = π/2 - y।
ਜੇਕਰ x [ − π/2, π/2 ] ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ cos⁻¹(sin x) = π/2 - x।
ਜੇਕਰ x [ − π/2, π/2 ] ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ [ − π/2, π/2 ] ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕੋਣ y ਲੱਭੋ ਜਿਸ ਲਈ sin y = sin x। cos⁻¹(sin x) = π/2 - y।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਇੱਕ ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਦੀ ਕੋਸਾਈਨ ਨਾਲ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
sin⁻¹(cos(13π/6)) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ⓐ ਸਿੱਧੇ ਮੁਲਾਂਕਣ ਦੁਆਰਾ।
ⓑ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸੇ ਗਏ ਢੰਗ ਨਾਲ।
ਹੱਲ
ⓐ ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਸੰਯੋਜਨ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਹਿੱਸੇ ਦਾ ਸਿੱਧਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। cos(13π/6) = cos(π/6 + 2π) = cos(π/6) = √3/2। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। sin⁻¹(√3/2) = π/3।
ⓑ ਸਾਡੇ ਕੋਲ x = 13π/6, y = π/6 ਹੈ, ਅਤੇ sin⁻¹(cos(13π/6)) = π/2 - π/6 = π/3।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
cos⁻¹(sin(−11π/4)) ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
f(g⁻¹(x)) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
f(g⁻¹(x)) ਦੇ ਰੂਪ ਦੇ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰਨ ਲਈ, ਜਿੱਥੇ f ਅਤੇ g ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਹਨ ਅਤੇ x, g⁻¹ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਇਨਪੁਟ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸਹੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ sin(cos⁻¹ x) = √(1 - x²)। ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਪੈਂਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕੋਣਾਂ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਸਬੰਧਾਂ, ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਦੇ ਸਬੰਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਦੂਜਾ ਦਿੱਤਾ ਹੋਣ 'ਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ, sin²x + cos²x = 1, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਇੱਕ ਸਾਈਨ ਦੀ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਨਾਲ ਸੰਯੋਜਨ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ
sin(cos⁻¹(4/5)) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਅੰਦਰੂਨੀ ਹਿੱਸੇ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਕੋਣ θ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ θ = cos⁻¹(4/5), ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ cos θ = 4/5, ਅਤੇ ਅਸੀਂ sin θ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕਿਉਂਕਿ θ = cos⁻¹(4/5) ਚੌਥੇ ਚਰਨ ਵਿੱਚ ਹੈ, sin θ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਹੱਲ 3/5 ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 11 ਦੇਖੋ।
ਚਿੱਤਰ 11: ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ cos θ = 4/5, ਤਾਂ sin θ = 3/5।
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਲਟ ਕੋਸਾਈਨ ਹਮੇਸ਼ਾ [0, π] ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ 'ਤੇ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਸ ਕੋਣ ਦਾ ਸਾਈਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ; ਇਸ ਲਈ sin(cos⁻¹(4/5)) = sin θ = 3/5।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #7
1. cos( tan −1 ( 5 12 ) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos( tan −1 ( 5 12 ) ).
2. ਮਿਸਾਲ 8
3. ਸਾਈਨ ਦੀ ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਨਾਲ ਰਚਨਾ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
4. sin( tan −1 ( 7 4 ) ) ਦਾ ਸਟੀਕ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। sin( tan −1 ( 7 4 ) ).
5. ਹੱਲ
6. ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਮਿਸਾਲ 6 ਵਾਂਗ ਹੀ ਤਕਨੀਕ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਤਕਨੀਕ ਦਿਖਾਵਾਂਗੇ। ਅੰਦਰੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ tanθ= 7 4 ਹੈ। tanθ= 7 4 । ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਤਿਕੋਣ ਉੱਤੇ ਸਾਹਮਣੇ ਅਤੇ ਨਾਲ ਲੱਗੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਜੋਂ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 12 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
7. ਚਿੱਤਰ 12: ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ
8. ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਕਾਰਨ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
9. ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲੀ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਕਾਰਨ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਸਾਡੀ ਲੋੜੀਂਦੀ ਰਚਨਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
11. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #8
12. cos( sin −1 ( 7 9 ) ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos( sin −1 ( 7 9 ) ).
13. ਮਿਸਾਲ 9
14. ਇੱਕ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ
15. −3≤x≤3 ਲਈ cos( sin −1 ( x 3 ) ) cos( sin −1 ( x 3 ) ) ਲਈ ਇੱਕ ਸਰਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। −3≤x≤3.
16. ਹੱਲ
17. ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਕੋਣ θ θ ਹੈ ਜਿਸ ਲਈ sinθ= x 3 ਹੈ। sinθ= x 3 ।
18. ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਨੂੰ [ − π 2 , π 2 ] ਅੰਤਰਾਲ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, [ − π 2 , π 2 ] ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਰਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਸ ਕੋਣ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
19. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #9
20. − 1 4 ≤x≤ 1 4 ਲਈ sin( tan −1 ( 4x ) ) sin( tan −1 ( 4x ) ) ਲਈ ਇੱਕ ਸਰਲ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ। − 1 4 ≤x≤ 1 4 ।
21. ਮੀਡੀਆ
22. ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਸ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
23. ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ
24. ਸ਼ਬਦਿਕ
1. ਕਿਉਂ ਕਿ f(x) = sin⁻¹ x ਅਤੇ g(x) = cos⁻¹ x ਦੇ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਿਸੀਮਾਵਾਂ (ranges) ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ?
2. ਕਿਉਂਕਿ y = cos x ਅਤੇ y = cos⁻¹ x ਫਲਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਹਨ, ਇਸ ਲਈ cos⁻¹(cos(−π/6)) = −π/6 ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ?
3. π/6 = arcsin(0.5) ਦੇ ਅਰਥ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
4. ਬਹੁਤੇ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰਾਂ ਉੱਤੇ sec⁻¹(2) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਈ ਬਟਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਇਸਨੂੰ cos ਫਲਨ ਜਾਂ cos⁻¹ ਫਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
5. ਉਲਟ ਸਾਈਨ ਫਲਨ (inverse sine function) ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਲਈ, ਸਾਈਨ ਫਲਨ sinx ਦੀ ਪਰਿਸੀਮਾ (domain) ਨੂੰ [−π/2, π/2] ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰਨਾ ਕਿਉਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ?
6. ਇਸ ਕਥਨ ਦੀ ਗਲਤੀ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰੋ: arccos(cosx) = x, ਸਾਰੇ x ਲਈ।
7. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਥਨ ਦੀ ਸਚਾਈ ਜਾਂ ਝੂਠਾਈ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ ਅਤੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ: arccos(−x) = π − arccos x।
8. ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
9. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਵਿਅੰਜਕਾਂ (expressions) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
10. sin⁻¹(√2/2)
11. sin⁻¹(−1/2)
12. cos⁻¹(1/2)
13. cos⁻¹(−√2/2)
14. tan⁻¹(1)
15. tan⁻¹(−√3)
16. tan⁻¹(−1)
17. tan⁻¹(√3)
18. tan⁻¹(−1/√3)
19. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਵਿਅੰਜਕ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਜਵਾਬਾਂ ਨੂੰ ਸੌਵੇਂ ਹਿੱਸੇ (hundredth) ਤੱਕ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।
20. cos⁻¹(−0.4)
21. arcsin(0.23)
22. arccos(3/5)
23. cos⁻¹(0.8)
24. tan⁻¹(6)
For the following exercises, find the angle θ θ in the given right triangle. Round answers to the nearest hundredth.
For the following exercises, find the exact value, if possible, without a calculator. If it is not possible, explain why.
sin −1 ( cos( π ) ) sin −1 ( cos( π ) )
tan −1 ( sin( π ) ) tan −1 ( sin( π ) )
cos −1 ( sin( π 3 ) ) cos −1 ( sin( π 3 ) )
tan −1 ( sin( π 3 ) ) tan −1 ( sin( π 3 ) )
sin −1 ( cos( −π 2 ) ) sin −1 ( cos( −π 2 ) )
tan −1 ( sin( 4π 3 ) ) tan −1 ( sin( 4π 3 ) )
sin −1 ( sin( 5π 6 ) ) sin −1 ( sin( 5π 6 ) )
tan −1 ( sin( −5π 2 ) ) tan −1 ( sin( −5π 2 ) )
cos( sin −1 ( 4 5 ) ) cos( sin −1 ( 4 5 ) )
sin( cos −1 ( 3 5 ) ) sin( cos −1 ( 3 5 ) )
sin( tan −1 ( 4 3 ) ) sin( tan −1 ( 4 3 ) )
cos( tan −1 ( 12 5 ) ) cos( tan −1 ( 12 5 ) )
cos( sin −1 ( 1 2 ) ) cos( sin −1 ( 1 2 ) )
For the following exercises, find the exact value of the expression in terms of x x with the help of a reference triangle.
tan( sin −1 ( x−1 ) ) tan( sin −1 ( x−1 ) )
sin( cos −1 ( 1−x ) ) sin( cos −1 ( 1−x ) )
cos( sin −1 ( 1 x ) ) cos( sin −1 ( 1 x ) )
cos( tan −1 ( 3x−1 ) ) cos( tan −1 ( 3x−1 ) )
tan( sin −1 ( x+ 1 2 ) ) tan( sin −1 ( x+ 1 2 ) )
Extensions
For the following exercises, evaluate the expression without using a calculator. Give the exact value.
sin −1 ( 1 2 )− cos −1 ( 2 2 )+ sin −1 ( 3 2 )− cos −1 ( 1 ) cos −1 ( 3 2 )− sin −1 ( 2 2 )+ cos −1 ( 1 2 )− sin −1 ( 0 ) sin −1 ( 1 2 )− cos −1 ( 2 2 )+ sin −1 ( 3 2 )− cos −1 ( 1 ) cos −1 ( 3 2 )− sin −1 ( 2 2 )+ cos −1 ( 1 2 )− sin −1 ( 0 )
For the following exercises, find the function if sint= x x+1 . sint= x x+1 .
cost cost
sect sect
cott cott
cos( sin −1 ( x x+1 ) ) cos( sin −1 ( x x+1 ) )
tan −1 ( x 2x+1 ) tan −1 ( x 2x+1 )
Graphical
Graph y= sin −1 x y= sin −1 x and state the domain and range of the function.
Graph y=arccosx y=arccosx and state the domain and range of the function.
Graph one cycle of y= tan −1 x y= tan −1 x and state the domain and range of the function.
For what value of x x does sinx= sin −1 x? sinx= sin −1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer.
For what value of x x does cosx= cos −1 x? cosx= cos −1 x? Use a graphing calculator to approximate the answer.
Real-World Applications
Suppose a 13-foot ladder is leaning against a building, reaching to the bottom of a second-floor window 12 feet above the ground. What angle, in radians, does the ladder make with the building?
Suppose you drive 0.6 miles on a road so that the vertical distance changes from 0 to 150 feet. What is the angle of elevation of the road?
An isosceles triangle has two congruent sides of length 9 inches. The remaining side has a length of 8 inches. Find the angle that a side of 9 inches makes with the 8-inch side.
Without using a calculator, approximate the value of arctan( 10,000 ). arctan( 10,000 ). Explain why your answer is reasonable.
A truss (interior beam structure) for the roof of a house is constructed from two identical right triangles. Each has a base of 12 feet and height of 4 feet. Find the measure of the acute angle adjacent to the 4-foot side.
The line y= 3 5 x y= 3 5 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with the positive x-axis?
The line y= −3 7 x y= −3 7 x passes through the origin in the x,y-plane. What is the measure of the angle that the line makes with the negative x-axis?
What percentage grade should a road have if the angle of elevation of the road is 4 degrees? (The percentage grade is defined as the change in the altitude of the road over a 100-foot horizontal distance. For example a 5% grade means that the road rises 5 feet for every 100 feet of horizontal distance.)
A 20-foot ladder leans up against the side of a building so that the foot of the ladder is 10 feet from the base of the building. If specifications call for the ladder's angle of elevation to be between 35 and 45 degrees, does the placement of this ladder satisfy safety specifications?
Suppose a 15-foot ladder leans against the side of a house so that the angle of elevation of the ladder is 42 degrees. How far is the foot of the ladder from the side of the house?