ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਤੋ।
ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਤੋ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਤੋ।
ਸਹਿ-ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਤੋ।
ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਤੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਮਾਊਂਟ ਮੈਕਕਿਨਲੇ, ਡੇਨਾਲੀ ਨੈਸ਼ਨਲ ਪਾਰਕ, ਅਲਾਸਕਾ ਵਿੱਚ, ਸਮੁੰਦਰ ਤਲ ਤੋਂ 20,310 ਫੁੱਟ (6,190 ਮੀਟਰ) ਉੱਪਰ ਹੈ। ਇਹ ਉੱਤਰੀ ਅਮਰੀਕਾ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਚੀ ਚੋਟੀ ਹੈ। (ਕ੍ਰੈਡਿਟ: ਡੇਨੀਅਲ ਏ. ਲੀਫਹਾਈਟ, ਫਲਿੱਕਰ)
ਪਹਾੜ ਦੀ ਉਚਾਈ ਕਿਵੇਂ ਮਾਪੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਧਰਤੀ ਤੋਂ ਸੂਰਜ ਦੀ ਦੂਰੀ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਕਈ ਅਸੰਭਵ ਲੱਗਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਾਂਗ, ਅਸੀਂ ਜਵਾਬ ਲੱਭਣ ਲਈ ਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ, ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਣਿਤਿਕ ਸਿੱਧਾਂਤਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਸਦੀਆਂ ਤੋਂ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਲੰਬੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਲਗਭਗ 950 ਈਸਵੀ ਵਿੱਚ ਰਹਿਣ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਫਾਰਸੀ ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨੀ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਪਰ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨੀਆਂ ਨੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਪਹਿਲਾਂ ਖੋਜਿਆ ਸੀ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕੋਰਡਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਜਾਂ ਪੋਸਟੂਲੇਟ ਹਨ, ਜੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇਨਪੁੱਟ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਣਗਿਣਤ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਹਨ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਉਪਰੋਕਤ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਉਣਗੀਆਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣਗੇ। ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ, ਇਸ ਭਾਗ ਦੌਰਾਨ, ਫਾਰਮੂਲਾ ਸ਼ਬਦ ਪਛਾਣ ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਸਮਾਨ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦੇ ਸਾਈਨ, ਕੋਸਾਈਨ, ਜਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਅਕਸਰ ਆਸਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕੀਏ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ ਵਿੱਚ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਚਿੱਤਰ 2: ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ
ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕੀਏ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਵਿੱਚ ਤੋੜ ਸਕੀਏ। ਸਾਰਣੀ 1 ਦੇਖੋ।
ਸਤਰ: ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ | cos( α+β )=cosαcosβ−sinαsinβ
ਸਤਰ: ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਾ | cos( α−β )=cosαcosβ+sinαsinβ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਸਿੱਧ ਕਰਾਂਗੇ। ਆਓ ਯੂਨਿਟ ਸਰਕਲ 'ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਚਿੱਤਰ 3 ਦੇਖੋ। ਬਿੰਦੂ P, ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ α ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( cosα,sinα ) ਹਨ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ Q, ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ β ਕੋਣ 'ਤੇ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( cosβ,sinβ ) ਹਨ। ਕੋਣ POQ ਦਾ ਮਾਪ α−β ਹੈ।
ਦੋ ਹੋਰ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ: A, ਧਨਾਤਮਕ x-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ( α−β ) ਕੋਣ 'ਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( cos( α−β ),sin( α−β ) ) ਨਾਲ; ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ B, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ( 1,0 ) ਨਾਲ। ਤ੍ਰਿਭੁਜ POQ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ AOB ਦਾ ਇੱਕ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ P ਤੋਂ Q ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ A ਤੋਂ B ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ P ਤੋਂ Q ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ A ਤੋਂ B ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਨ ਨਾਲ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਮਿਲਦਾ ਹੈ:
ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਦੂਰੀਆਂ ਇੱਕੋ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ 2 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ −2 ਨਾਲ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ, ਸਾਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮਾਨ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ
ਇਹਨਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਕੋਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦਾ ਕੋਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, cos( 5π 4 − π 6 ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। cos( 5π 4 − π 6 )।
ਹੱਲ
ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਰੇਡੀਅਨ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
cos( π 3 − π 4 ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। cos( π 3 − π 4 )।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
cos(75°) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। cos(75°)।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ 75°=45°+30°, 75°=45°+30°, ਅਸੀਂ cos(75°) cos(75°) ਨੂੰ cos(45°+30°) ਵਜੋਂ ਮੁੱਲ ਪਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। cos(45°+30°)।
ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਡਿਗਰੀ ਮੋਡ ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਮੇਸ਼ਾ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ 75°=135°−60° ਤੱਥ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਵੀ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ। 75°=135°−60°।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
2. cos(105°) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। cos(105°)
3. ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
4. ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਸੂਤਰਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਕੋਸਾਈਨ ਸੂਤਰਾਂ ਵਰਗੇ ਹੀ ਹਨ।
5. ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸੂਤਰ
6. ਇਹਨਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਸਾਈਨ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।
7. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
8. ਦੋ ਕੋਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਘਟਾਓ ਦਾ ਸਾਈਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
9. ਸਾਈਨ ਲਈ ਘਟਾਓ ਦਾ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
10. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
11. ਸਰਲ ਕਰੋ।
12. ਉਦਾਹਰਨ 3
13. ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਘਟਾਓ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
14. ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਘਟਾਓ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਭਾਗ 'a' ਭਾਗ 'b' ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
15. ⓐ sin(45°−30°) sin(45°−30°)
16. ⓑ sin(135°−120°) sin(135°−120°)
17. ਹੱਲ
18. ⓐ ਆਓ ਸੂਤਰ ਲਿਖ ਕੇ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। sin(α−β) = sinαcosβ−cosαsinβ sin(45°−30°) = sin(45°)cos(30°)−cos(45°)sin(30°) sin(α−β) = sinαcosβ−cosαsinβ sin(45°−30°) = sin(45°)cos(30°)−cos(45°)sin(30°) ਅੱਗੇ, ਸਾਨੂੰ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। sin(45°)= √2/2 ,cos(30°)= √3/2 ,cos(45°)= √2/2 ,sin(30°)= 1/2 sin(45°)= √2/2 ,cos(30°)= √3/2 ,cos(45°)= √2/2 ,sin(30°)= 1/2 ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। sin(45°−30°) = (√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2) = (√6−√2)/4 sin(45°−30°) = (√2/2)(√3/2)−(√2/2)(1/2) = (√6−√2)/4
19. ⓑ ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਸੂਤਰ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। sin(α−β) = sinαcosβ−cosαsinβ sin(135°−120°) = sin(135°)cos(120°)−cos(135°)sin(120°) sin(α−β) = sinαcosβ−cosαsinβ sin(135°−120°) = sin(135°)cos(120°)−cos(135°)sin(120°) ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। sin(135°)= √2/2 ,cos(120°)=−1/2 ,cos(135°)=−√2/2 ,sin(120°)= √3/2 sin(135°)= √2/2 ,cos(120°)=−1/2 ,cos(135°)=−√2/2 ,sin(120°)= √3/2 ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। sin(135°−120°) = (√2/2)(−1/2)−(−√2/2)(√3/2) = (−√2+√6)/4 = (√6−√2)/4 sin(135°−120°) = (√2/2)(−1/2)−(−√2/2)(√3/2) = (−√2+√6)/4 = (√6−√2)/4
20. ਉਦਾਹਰਨ 4
21. ਉਲਟ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
22. sin( cos −1 1/2 + sin −1 3/5 ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। sin( cos −1 1/2 + sin −1 3/5 )। ਫਿਰ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
23. ਹੱਲ
24. ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਪੈਟਰਨ sin( α+β ) ਹੈ। sin( α+β )। ਮੰਨ ਲਓ α= cos −1 1/2 α= cos −1 1/2 ਅਤੇ β= sin −1 3/5 । β= sin −1 3/5 । ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ
ਅਸੀਂ sinα sinα ਅਤੇ cosβ. cosβ ਲੱਭਣ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ,
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ
ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ ਥੋੜ੍ਹਾ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ, ਪਰ ਫਿਰ ਵੀ, ਇਹ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਦੋ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਸੂਤਰਾਂ ਦਾ ਭਾਗ ਲੈਣਾ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ, tanx= sinx cosx ,cosx≠0. tanx= sinx cosx ,cosx≠0.
ਆਓ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਤਿਆਰ ਕਰੀਏ।
ਅਸੀਂ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ ਤਿਆਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਅੰਤਰ ਸੂਤਰ ਹਨ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਕੋਣ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲੱਭੋ।
ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਲਿਖੋ।
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਟੈਂਜੈਂਟ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
tan( π 6 + π 4 ). tan( π 6 + π 4 ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਲਿਖੀਏ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲੀਏ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸੂਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
tan( 2π 3 + π 4 ). tan( 2π 3 + π 4 ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
Finding Multiple Sums and Differences of Angles
Given sinα= 3 5 ,0<α< π 2 ,cosβ=− 5 13 ,π<β< 3π 2 , sinα= 3 5 ,0<α< π 2 ,cosβ=− 5 13 ,π<β< 3π 2 , find
ⓐ sin( α+β ) sin( α+β )
ⓑ cos( α+β ) cos( α+β )
ⓒ tan( α+β ) tan( α+β )
ⓓ tan( α−β ) tan( α−β )
Solution
We can use the sum and difference formulas to identify the sum or difference of angles when the ratio of sine, cosine, or tangent is provided for each of the individual angles. To do so, we construct what is called a reference triangle to help find each component of the sum and difference formulas.
ⓐ To find sin( α+β ), sin( α+β ), we begin with sinα= 3 5 sinα= 3 5 and 0<α< π 2 . 0<α< π 2 . The side opposite α α has length 3, the hypotenuse has length 5, and α α is in the first quadrant. See Figure 4. Using the Pythagorean Theorem, we can find the length of side a: a: a 2 + 3 2 = 5 2 a 2 = 16 a = 4 a 2 + 3 2 = 5 2 a 2 = 16 a = 4 Figure 4 Since cosβ=− 5 13 cosβ=− 5 13 and π<β< 3π 2 , π<β< 3π 2 , the side adjacent to β β is −5, −5, the hypotenuse is 13, and β β is in the third quadrant. See Figure 5. Again, using the Pythagorean Theorem, we have (−5) 2 + a 2 = 13 2 25+ a 2 = 169 a 2 = 144 a = ±12 (−5) 2 + a 2 = 13 2 25+ a 2 = 169 a 2 = 144 a = ±12 Since β β is in the third quadrant, a=–12. a=–12. Figure 5 The next step is finding the cosine of α α and the sine of β. β. The cosine of α α is the adjacent side over the hypotenuse. We can find it from the triangle in Figure 5: cosα= 4 5 . cosα= 4 5 . We can also find the sine of β β from the triangle in Figure 5, as opposite side over the hypotenuse: sinβ=− 12 13 . sinβ=− 12 13 . Now we are ready to evaluate sin( α+β ). sin( α+β ). sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ = ( 3 5 )( − 5 13 )+( 4 5 )( − 12 13 ) = − 15 65 − 48 65 = − 63 65 sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ = ( 3 5 )( − 5 13 )+( 4 5 )( − 12 13 ) = − 15 65 − 48 65 = − 63 65
ⓑ We can find cos( α+β ) cos( α+β ) in a similar manner. We substitute the values according to the formula. cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = ( 4 5 )( − 5 13 )−( 3 5 )( − 12 13 ) = − 20 65 + 36 65 = 16 65 cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = ( 4 5 )( − 5 13 )−( 3 5 )( − 12 13 ) = − 20 65 + 36 65 = 16 65
ⓒ For tan( α+β ), tan( α+β ), if sinα= 3 5 sinα= 3 5 and cosα= 4 5 , cosα= 4 5 , then tanα= 3 5 4 5 = 3 4 tanα= 3 5 4 5 = 3 4 If sinβ=− 12 13 sinβ=− 12 13 and cosβ=− 5 13 , cosβ=− 5 13 , then tanβ= −12 13 −5 13 = 12 5 tanβ= −12 13 −5 13 = 12 5 Then, tan(α+β) = tanα+tanβ 1−tanαtanβ = 3 4 + 12 5 1− 3 4 ( 12 5 ) = 63 20 − 16 20 = − 63 16 tan(α+β) = tanα+tanβ 1−tanαtanβ = 3 4 + 12 5 1− 3 4 ( 12 5 ) = 63 20 − 16 20 = − 63 16
ⓓ To find tan( α−β ), tan( α−β ), we have the values we need. We can substitute them in and evaluate. tan(α−β) = tanα−tanβ 1+tanαtanβ = 3 4 − 12 5 1+ 3 4 ( 12 5 ) = − 33 20 56 20 = − 33 56 tan(α−β) = tanα−tanβ 1+tanαtanβ = 3 4 − 12 5 1+ 3 4 ( 12 5 ) = − 33 20 56 20 = − 33 56
Analysis
A common mistake when addressing problems such as this one is that we may be tempted to think that α α and β β are angles in the same triangle, which of course, they are not. Also note that
Using Sum and Difference Formulas for Cofunctions
Now that we can find the sine, cosine, and tangent functions for the sums and differences of angles, we can use them to do the same for their cofunctions. You may recall from Right Triangle Trigonometry that, if the sum of two positive angles is π 2 , π 2 , those two angles are complements, and the sum of the two acute angles in a right triangle is π 2 , π 2 , so they are also complements. In Figure 6, notice that if one of the acute angles is labeled as θ, θ, then the other acute angle must be labeled ( π 2 −θ ). ( π 2 −θ ).
Notice also that sinθ=cos( π 2 −θ ), sinθ=cos( π 2 −θ ), which is opposite over hypotenuse. Thus, when two angles are complementary, we can say that the sine of θ θ equals the cofunction of the complement of θ. θ. Similarly, tangent and cotangent are cofunctions, and secant and cosecant are cofunctions.
From these relationships, the cofunction identities are formed. Recall that you first encountered these identities in The Unit Circle: Sine and Cosine Functions.
Cofunction Identities
The cofunction identities are summarized in Table 2.
row: sinθ=cos( π 2 −θ ) sinθ=cos( π 2 −θ ) | cosθ=sin( π 2 −θ ) cosθ=sin( π 2 −θ )
row: tanθ=cot( π 2 −θ ) tanθ=cot( π 2 −θ ) | cotθ=tan( π 2 −θ ) cotθ=tan( π 2 −θ )
row: secθ=csc( π 2 −θ ) secθ=csc( π 2 −θ ) | cscθ=sec( π 2 −θ ) cscθ=sec( π 2 −θ )
Notice that the formulas in the table may also be justified algebraically using the sum and difference formulas. For example, using
we can write
Example 7
Finding a Cofunction with the Same Value as the Given Expression
Write tan π 9 tan π 9 in terms of its cofunction.
Solution
The cofunction of tanθ=cot( π 2 −θ ). tanθ=cot( π 2 −θ ). Thus,
Try It #4
Write sin π 7 sin π 7 in terms of its cofunction.
Using the Sum and Difference Formulas to Verify Identities
Verifying an identity means demonstrating that the equation holds for all values of the variable. It helps to be very familiar with the identities or to have a list of them accessible while working the problems. Reviewing the general rules presented earlier may help simplify the process of verifying an identity.
How To
Given an identity, verify using sum and difference formulas.
Begin with the expression on the side of the equal sign that appears most complex. Rewrite that expression until it matches the other side of the equal sign. Occasionally, we might have to alter both sides, but working on only one side is the most efficient.
Look for opportunities to use the sum and difference formulas.
Rewrite sums or differences of quotients as single quotients.
If the process becomes cumbersome, rewrite the expression in terms of sines and cosines.
Example 8
Verifying an Identity Involving Sine
Verify the identity sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ. sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ.
Solution
We see that the left side of the equation includes the sines of the sum and the difference of angles.
We can rewrite each using the sum and difference formulas.
We see that the identity is verified.
Example 9
Verifying an Identity Involving Tangent
Verify the following identity.
Solution
We can begin by rewriting the numerator on the left side of the equation.
We see that the identity is verified. In many cases, verifying tangent identities can successfully be accomplished by writing the tangent in terms of sine and cosine.
Try It #5
Verify the identity: tan( π−θ )=−tanθ. tan( π−θ )=−tanθ.
Example 10
Using Sum and Difference Formulas to Solve an Application Problem
Let L 1 L 1 and L 2 L 2 denote two non-vertical intersecting lines, and let θ θ denote the acute angle between L 1 L 1 and L 2 . L 2 . See Figure 7. Show that
where m 1 m 1 and m 2 m 2 are the slopes of L 1 L 1 and L 2 L 2 respectively. (Hint: Use the fact that tan θ 1 = m 1 tan θ 1 = m 1 and tan θ 2 = m 2 . tan θ 2 = m 2 . )
Solution
Using the difference formula for tangent, this problem does not seem as daunting as it might.
Example 11
Investigating a Guy-wire Problem
ਇੱਕ ਚੜ੍ਹਾਈ ਵਾਲੀ ਕੰਧ ਲਈ, ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਖੰਭੇ ਉੱਤੇ 47 ਫੁੱਟ ਦੀ ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਇੱਕ ਗਾਈ-ਵਾਇਰ R R ਲਗਾਈ ਗਈ ਹੈ। ਉਸੇ ਖੰਭੇ ਉੱਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 40 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਲੱਗੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਗਾਈ-ਵਾਇਰ S S ਦੁਆਰਾ ਵਾਧੂ ਸਹਾਇਤਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਤਾਰਾਂ ਖੰਭੇ ਤੋਂ 50 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਤਾਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ α α ਪਤਾ ਕਰੋ। ਚਿੱਤਰ 8 ਦੇਖੋ।
ਹੱਲ
ਆਓ ਪਹਿਲਾਂ ਉਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਸਾਰਾਂਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ ਜੋ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਸੱਜੇ ਕੋਣ ਦੇ ਨਾਲ ਲੱਗੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਹੀ ਪਤਾ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਟੈਨਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ tanβ= 47 50 , tanβ= 47 50 , ਅਤੇ tan( β−α )= 40 50 = 4 5 । tan( β−α )= 40 50 = 4 5 । ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਈ ਅੰਤਰ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ, ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਊਟਿਵ ਪ੍ਰਾਪਰਟੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਕਦੇ-ਕਦੇ, ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਅਜਿਹੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੱਜਾ ਤਿਕੋਣ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਇਹ ਅੰਸ਼ਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸੱਚ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੱਸਿਆ ਕੀ ਪੁੱਛ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਪਛਾਣਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਪਛਾਣਾਂ
ਸਾਈਨ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਪਛਾਣਾਂ
ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਪਛਾਣਾਂ
ਮੌਖਿਕ
ਕੋਫੰਕਸ਼ਨ ਪਛਾਣਾਂ ਦਾ ਆਧਾਰ ਸਮਝਾਓ ਅਤੇ ਉਹ ਕਦੋਂ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਕੀ cos( 5π 4 ) ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੀ ਤਰੀਕਾ ਹੈ? cos( 5π 4 )? ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਸਮਝਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਗਣਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਉਹ ਇੱਕੋ ਜਵਾਬ ਦਿੰਦੇ ਹਨ।
ਉਹਨਾਂ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਓ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਸਾਈਨੋਸੋਇਡਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮ-ਵਿਸ਼ਮ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਭੁੱਲ ਗਏ ਹਨ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲੇ f(x)=sin(x) f(x)=sin(x) ਅਤੇ g(x)=cos(x) ਲਈ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ। g(x)=cos(x)। (ਸੰਕੇਤ: 0−x=−x 0−x=−x )
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
cos( 7π 12 ) cos( 7π 12 )
cos( π 12 ) cos( π 12 )
sin( 5π 12 ) sin( 5π 12 )
sin( 11π 12 ) sin( 11π 12 )
tan( − π 12 ) tan( − π 12 )
tan( 19π 12 ) tan( 19π 12 )
For the following exercises, rewrite in terms of sinx sinx and cosx. cosx.
sin( x+ 11π 6 ) sin( x+ 11π 6 )
sin( x− 3π 4 ) sin( x− 3π 4 )
cos( x− 5π 6 ) cos( x− 5π 6 )
cos( x+ 2π 3 ) cos( x+ 2π 3 )
For the following exercises, simplify the given expression.
csc( π 2 −t ) csc( π 2 −t )
sec( π 2 −θ ) sec( π 2 −θ )
cot( π 2 −x ) cot( π 2 −x )
tan( π 2 −x ) tan( π 2 −x )
sin(2x)cos(5x)−sin(5x)cos(2x) sin(2x)cos(5x)−sin(5x)cos(2x)
tan( 3 2 x )−tan( 7 5 x ) 1+tan( 3 2 x )tan( 7 5 x ) tan( 3 2 x )−tan( 7 5 x ) 1+tan( 3 2 x )tan( 7 5 x )
For the following exercises, find the requested information.
Given that sina= 2 3 sina= 2 3 and cosb=− 1 4 , cosb=− 1 4 , with a a and b b both in the interval [ π 2 ,π ), [ π 2 ,π ), find sin(a+b) sin(a+b) and cos(a−b). cos(a−b).
Given that sina= 4 5 , sina= 4 5 , and cosb= 1 3 , cosb= 1 3 , with a a and b b both in the interval [ 0, π 2 ), [ 0, π 2 ), find sin(a−b) sin(a−b) and cos(a+b). cos(a+b).
For the following exercises, find the exact value of each expression.
sin( cos −1 (0)− cos −1 ( 1 2 ) ) sin( cos −1 (0)− cos −1 ( 1 2 ) )
cos( cos −1 ( 2 2 )+ sin −1 ( 3 2 ) ) cos( cos −1 ( 2 2 )+ sin −1 ( 3 2 ) )
tan( sin −1 ( 1 2 )− cos −1 ( 1 2 ) ) tan( sin −1 ( 1 2 )− cos −1 ( 1 2 ) )
Graphical
For the following exercises, simplify the expression, and then graph both expressions as functions to verify the graphs are identical. Confirm your answer using a graphing calculator.
cos( π 2 −x ) cos( π 2 −x )
sin(π−x) sin(π−x)
tan( π 3 +x ) tan( π 3 +x )
sin( π 3 +x ) sin( π 3 +x )
tan( π 4 −x ) tan( π 4 −x )
cos( 7π 6 +x ) cos( 7π 6 +x )
sin( π 4 +x ) sin( π 4 +x )
cos( 5π 4 +x ) cos( 5π 4 +x )
For the following exercises, use a graph to determine whether the functions are the same or different. If they are the same, show why. If they are different, replace the second function with one that is identical to the first. (Hint: think 2x=x+x. 2x=x+x. )
f( x )=sin( 4x )−sin( 3x )cosx,g( x )=sinxcos( 3x ) f( x )=sin( 4x )−sin( 3x )cosx,g( x )=sinxcos( 3x )
f( x )=cos( 4x )+sinxsin( 3x ),g( x )=−cosxcos( 3x ) f( x )=cos( 4x )+sinxsin( 3x ),g( x )=−cosxcos( 3x )
f( x )=sin( 3x )cos( 6x ),g( x )=−sin( 3x )cos( 6x ) f( x )=sin( 3x )cos( 6x ),g( x )=−sin( 3x )cos( 6x )
f(x)=sin(4x),g(x)=sin(5x)cosx−cos(5x)sinx f(x)=sin(4x),g(x)=sin(5x)cosx−cos(5x)sinx
f(x)=sin(2x),g(x)=2sinxcosx f(x)=sin(2x),g(x)=2sinxcosx
f( θ )=cos( 2θ ),g( θ )= cos 2 θ− sin 2 θ f( θ )=cos( 2θ ),g( θ )= cos 2 θ− sin 2 θ
f(θ)=tan(2θ),g(θ)= tanθ 1+ tan 2 θ f(θ)=tan(2θ),g(θ)= tanθ 1+ tan 2 θ
f(x)=sin(3x)sinx,g(x)= sin 2 (2x) cos 2 x− cos 2 (2x) sin 2 x f(x)=sin(3x)sinx,g(x)= sin 2 (2x) cos 2 x− cos 2 (2x) sin 2 x
f(x)=tan(−x),g(x)= tanx−tan(2x) 1−tanxtan(2x) f(x)=tan(−x),g(x)= tanx−tan(2x) 1−tanxtan(2x)
Technology
For the following exercises, find the exact value algebraically, and then confirm the answer with a calculator to the fourth decimal point.
sin(75°) sin(75°)
sin(195°) sin(195°)
cos(165°) cos(165°)
cos(345°) cos(345°)
tan(−15°) tan(−15°)
Extensions
For the following exercises, prove the identities provided.
tan(x+ π 4 )= tanx+1 1−tanx tan(x+ π 4 )= tanx+1 1−tanx
tan(a+b) tan(a−b) = sinacosa+sinbcosb sinacosa−sinbcosb tan(a+b) tan(a−b) = sinacosa+sinbcosb sinacosa−sinbcosb
cos(a+b) cosacosb =1−tanatanb cos(a+b) cosacosb =1−tanatanb
cos( x+y )cos( x−y )= cos 2 x− sin 2 y cos( x+y )cos( x−y )= cos 2 x− sin 2 y
cos(x+h)−cosx h =cosx cosh−1 h −sinx sinh h cos(x+h)−cosx h =cosx cosh−1 h −sinx sinh h
For the following exercises, prove or disprove the statements.
tan(u+v)= tanu+tanv 1−tanutanv tan(u+v)= tanu+tanv 1−tanutanv
tan(u−v)= tanu−tanv 1+tanutanv tan(u−v)= tanu−tanv 1+tanutanv
tan( x+y ) 1+tanxtanx = tanx+tany 1− tan 2 x tan 2 y tan( x+y ) 1+tanxtanx = tanx+tany 1− tan 2 x tan 2 y
If α, β, α, β, and γ γ are angles in the same triangle, then prove or disprove sin( α+β )=sinγ. sin( α+β )=sinγ.
If α,β, α,β, and y y are angles in the same triangle, then prove or disprove tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ