ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਘਟਾਓ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਅੱਧੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਉੱਨਤ ਰਾਈਡਰਾਂ ਲਈ ਸਾਈਕਲ ਅਤੇ ਸਕੈਟਬੋਰਡ ਰੈਂਪ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨ ਵਾਲਿਆਂ ਲਈ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਰੈਂਪਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਢਲਾਣ ਵਾਲੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਪ੍ਰਤੀਯੋਗਤਾ (ਚਿੱਤਰ 1 ਵੇਖੋ) ਲਈ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਸਾਈਕਲ ਅਤੇ ਸਕੈਟਬੋਰਡ ਰੈਂਪਾਂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਪ੍ਰਤੀਯੋਗੀ ਦੇ ਹੁਨਰ ਪੱਧਰ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਵੱਖਰੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਉੱਨਤ ਪ੍ਰਤੀਯੋਗੀਆਂ ਲਈ, ਰੈਂਪ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਦੁਆਰਾ ਬਣਿਆ ਕੋਣ θ ਅਜਿਹਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ tanθ = 5/3। ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨ ਵਾਲਿਆਂ ਲਈ ਕੋਣ ਅੱਧਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਨ ਵਾਲਿਆਂ ਲਈ ਰੈਂਪ ਦੀ ਢਲਾਣ ਕਿੰਨੀ ਹੈ? ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਵਾਧੂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਉੱਤਰ ਦੇਣ ਲਈ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂੇ ਹੀ ਸੂਤਰਾਂ 'ਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਦੇ ਹਾਂ। ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰ ਜੋੜ ਸੂਤਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲਾ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ α = β। ਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ,
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ α = β = θ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਸਾਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਿਕਲਪ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਜੋੜ ਸੂਤਰ, cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ, ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ α = β = θ ਲੈ ਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਇਸ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਦੋ ਹੋਰ ਭਿੰਨਤਾਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੀ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ:
ਦੂਜੀ ਭਿੰਨਤਾ ਹੈ:
ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਉਤਪਤੀ ਕਰਨ ਲਈ, ਜੋੜ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ α = β = θ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰ
ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦਾ ਸਾਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ:
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦੇ ਟੈਂਜੈਂਟ ਅਤੇ ਜਿਸ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਇਹ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਸਹੀ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਟੈਂਜੈਂਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋਹਰੇ-ਕੋਣੀ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਜੇਕਰ tanθ = − 3/4 ਅਤੇ θ ਦੂਜੀ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਪਤਾ ਕਰੋ:
ⓐ sin(2θ)
ⓑ cos(2θ)
ⓒ tan(2θ)
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾਈਏ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸਾਨੂੰ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ tanθ = − 3/4 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ θ ਦੂਜੀ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦਾ ਟੈਂਜੈਂਟ, ਸਨਮੁਖ ਭੁਜਾ ਬਟੇ ਸੰਲਗਨ ਭੁਜਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਉਂਕਿ θ ਦੂਜੀ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਸੰਲਗਨ ਭੁਜਾ x-ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਹਾਈਪੋਟੇਨਿਊਜ਼ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇ ਸਮਾਨ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ⓐ ਆਓ ਸਾਈਨ ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। sin(2θ) = 2sinθcosθ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ sinθ ਅਤੇ cosθ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 2 ਦੇ ਅਧਾਰ 'ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਾਈਪੋਟੇਨਿਊਜ਼ 5 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ sinθ = 3/5, ਅਤੇ cosθ = − 4/5। ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, sin(2θ) = 2(3/5)(−4/5) = − 24/25
ⓑ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ। cos(2θ) = cos²θ − sin²θ ਦੁਬਾਰਾ, ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। cos(2θ) = (−4/5)² − (3/5)² = 16/25 − 9/25 = 7/25
ⓒ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਲਿਖੋ। tan(2θ) = 2tanθ / (1 − tan²θ) ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਨੂੰ tanθ = − 3/4 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰੋ। tan(2θ) = 2(−3/4) / (1 − (−3/4)²) = (−3/2) / (1 − 9/16) = (−3/2) * (16/7) = − 24/7
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
ਜੇਕਰ sinα = 5/8, ਜਿਸ ਵਿੱਚ α ਪਹਿਲੀ ਚਤੁਰਥਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ cos(2α) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਬਿਨਾਂ ਸਹੀ ਮੁੱਲਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ cos(6x) ਨੂੰ cos(3x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਉਦਾਹਰਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਹੀ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਜ਼ੋਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪੈਟਰਨ ਉਹ ਹੈ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਅਤੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਪਛਾਣਾਂ ਸੱਚੀਆਂ ਹਨ।
ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਛਾਣਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨਾ, ਉਹੀ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪਾਸੇ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਇਹ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਾ ਖਾਵੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪਛਾਣ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਵੇ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਜਿੰਨਾ ਚਿਰ ਅਸੀਂ ਅਲਜਬਰਾ ਤੋਂ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਫਾਰਮੂਲਾ ਯਾਦ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ:
ਜਿੱਥੇ a=sinθ ਅਤੇ b=cosθ ਹੈ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸਫਲ ਹੋਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਪੈਟਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪਛਾਣਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿ ਸ਼ਬਦ ਜਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਲਜਬਰਾ ਇਕਸਾਰ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ: cos 4 θ− sin 4 θ=cos( 2θ )।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਟੈਨਜੈਂਟ ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ
ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ:
ਹੱਲ
ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨਾਲ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਵਾਂਗੇ ਜਾਂ ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ ਕਿ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋ ਜਾਵੇ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਪਾਸਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੱਤਾ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਚੋਣ ਕੀਤੀ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨਤਾ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਲਈ ਪਿੱਛੇ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ
ਆਓ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਕੰਮ ਕਰੀਏ।
ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਜਾਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਲੋੜੀਂਦੇ ਨਤੀਜੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਣ ਦੇ ਕਈ ਰਸਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਗੱਲ ਦਾ ਕੋਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਿਯਮ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਕਿਹੜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਹੇਰਫੇਰ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਦੱਸੇ ਗਏ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਪਛਾਣ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ: cos(2θ)cosθ= cos 3 θ−cosθ sin 2 θ।
ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਓ
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲੇ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀਆਂ ਸਮ ਪਾਵਰਾਂ ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਪਾਵਰ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਹ ਸਾਨੂੰ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀਆਂ ਸਮ ਪਾਵਰਾਂ ਨੂੰ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਪਾਵਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਫਾਰਮੂਲੇ ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਗਣਿਤ ਕੋਰਸਾਂ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਕੈਲਕੂਲਸ ਵਿੱਚ, ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ। ਪਾਵਰ-ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਿੰਨ ਪਛਾਣਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਅਤੇ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਤੋਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਤਿੰਨ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ cos( 2θ )=1−2 sin 2 θ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ। sin 2 θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਫਾਰਮੂਲਾ cos( 2θ )=2 cos 2 θ−1 ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। cos 2 θ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ:
ਆਖਰੀ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਾ ਟੈਨਜੈਂਟ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸੰਖੇਪ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ:
1. ਮਿਸਾਲ 5
2. ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਵਿਅੰਜਨ ਲਿਖਣਾ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਾਤ ਨਾ ਹੋਵੇ
3. cos 4 x cos 4 x ਲਈ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਦਾ ਵਿਅੰਜਨ ਲਿਖੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਾਈਨ ਜਾਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਘਾਤ 1 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਾ ਹੋਵੇ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ।
6. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
7. ਹੱਲ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਵਰਤ ਕੇ ਅਤੇ ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਸੰਪੂਰਨ ਵਰਗ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
8. ਮਿਸਾਲ 6
9. ਘਾਤ-ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪਛਾਣ ਸਾਬਤ ਕਰਨੀ
10. ਘਾਤ-ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਾਬਤ ਕਰੋ
11. ਹੱਲ
12. ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ 'ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਾਂਗੇ:
13. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
14. ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਇਸ ਮਿਸਾਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ
15. sin 2 ( 2x ). sin 2 ( 2x ) ਲਈ ਬਦਲਿਆ। ਫਾਰਮੂਲਾ ਦੱਸਦਾ ਹੈ
16. ਅਸੀਂ θ=2x, θ=2x ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ 2θ=4x। 2θ=4x।
17. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
18. ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ 10 cos 4 x= 15 4 +5cos( 2x )+ 5 4 cos( 4x ) ਲਈ ਘਾਤ-ਘਟਾਉਣ ਵਾਲੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। 10 cos 4 x= 15 4 +5cos( 2x )+ 5 4 cos( 4x )।
19. ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣੇ
20. ਪਛਾਣਾਂ ਦਾ ਅਗਲਾ ਸਮੂਹ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਜੋ ਘਟਾਓ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਉਦੋਂ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੋਣ ਦਾ ਅੱਧਾ ਕੋਣ ਹੋਵੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ θ θ ਨੂੰ α 2 , α 2 ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਈਨ ਲਈ ਅੱਧਾ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਕੇ ਅਤੇ sin( α 2 ) ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। sin( α 2 )। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ± ± ਨਿਸ਼ਾਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਿਅੰਜਨ ਵੈਧ ਹਨ। ਬਲਕਿ, ਇਹ ਉਸ ਚਤੁਰਭੁਜ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ α 2 α 2 ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
21. ਸਾਈਨ ਲਈ ਅੱਧਾ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:
22. ਕੋਸਾਈਨ ਲਈ ਅੱਧਾ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
23. ਟੈਂਜੈਂਟ ਪਛਾਣ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
24. ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ
ਅਰਧ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹਨ:
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਰਧ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਅਰਧ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ sin(15°) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ 15° = 30°/2, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਲਈ ਅਰਧ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਨਾਲ ਜਵਾਬ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਧਨ ਵਰਗਮੂਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ sin(15°) ਧਨ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਕੋਣ ਦਾ ਟੈਨਜੈਂਟ ਅਤੇ ਜਿਸ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਕੋਣ ਪਿਆ ਹੈ, ਉਸ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਅਰਧ-ਕੋਣ ਦੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਬਣਾਓ।
ਸਹੀ ਅਰਧ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰੋ।
ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ ਸੂਤਰ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਸਰਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਅਰਧ-ਕੋਣ ਸਰਬਸਮਤਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣਾ
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ tanα = 8/15 ਅਤੇ α ਚਤੁਰਭੁਜ III ਵਿੱਚ ਪਿਆ ਹੈ, ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ:
ⓐ sin(α/2)
ⓑ cos(α/2)
ⓒ tan(α/2)
ਹੱਲ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਨੂੰ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਕਰਣ ਨੂੰ 17 ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ sinα = -8/17 ਅਤੇ cosα = -15/17 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ⓐ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ α ਚਤੁਰਭੁਜ III ਵਿੱਚ ਹੈ, ਤਾਂ 180° < α < 270°, ਇਸ ਲਈ 180°/2 < α/2 < 270°/2। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ α/2 ਦਾ ਅੰਤਿਮ ਪਾਸਾ ਚਤੁਰਭੁਜ II ਵਿੱਚ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 90° < α/2 < 135°। sin(α/2) ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਲਈ ਅਰਧ-ਕੋਣ ਸੂਤਰ ਲਿਖ ਕੇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤੋਂ ਲੱਭੇ ਗਏ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। sin(α/2) = ±√(1-cosα)/2 = ±√(1-(-15/17))/2 = ±√(32/17)/2 = ±√(32/17) * (1/2) = ±√16/17 = ±4√17/17। ਅਸੀਂ sin(α/2) ਦੇ ਧਨ ਮੁੱਲ ਦੀ ਚੋਣ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਣ ਚਤੁਰਭੁਜ II ਵਿੱਚ ਸਮਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਚਤੁਰਭੁਜ II ਵਿੱਚ ਧਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
cos α 2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਿਖਾਂਗੇ, ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤੋਂ ਪਤਾ ਕੀਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਦਲਾਂਗੇ, ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਾਂਗੇ। cos α 2 = ± 1+cosα 2 = ± 1+( − 15 17 ) 2 = ± 2 17 2 = ± 2 17 ⋅ 1 2 = ± 1 17 = − 17 17 ਅਸੀਂ cos α 2 ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਣ ਦੂਜੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ ਕੋਸਾਈਨ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
tan α 2 ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਦੇ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਤੋਂ ਪਤਾ ਕੀਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। tan α 2 = ± 1−cosα 1+cosα = ± 1−(− 15 17 ) 1+(− 15 17 ) = ± 32 17 2 17 = ± 32 2 = − 16 = −4 ਅਸੀਂ tan α 2 ਦਾ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ α 2 ਦੂਜੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ ਟੈਂਜੈਂਟ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਪ੍ਰਯੋਗ ਕਰੋ #5
ਇਹ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ sinα=− 4 5 ਅਤੇ α ਚੌਥਾਈ IV ਵਿੱਚ ਪੈਂਦਾ ਹੈ, cos( α 2 ) ਦਾ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਅੱਧੇ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਸਮੱਸਿਆ ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਵਾਂਗੇ ਜੋ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਇੱਕ ਸਾਈਕਲ ਰੈਂਪ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੈਂਪ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਵਿਚਕਾਰ ਬਣਿਆ ਕੋਣ θ ਹੈ। ਨਵੇਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਅੱਧੀ ਢਲਾਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੈਂਪ ਬਣਾਇਆ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ tanθ= 5 3 ਹੈ, ਤਾਂ ਨਵੇਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਕੀ ਹੈ?
ਹੱਲ
ਕਿਉਂਕਿ ਨਵੇਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਕੋਣ ਉੱਚ-ਪੱਧਰੀ ਮੁਕਾਬਲੇ ਦੇ ਕੋਣ ਦੀ ਅੱਧੀ ਢਲਾਣ ਨੂੰ ਮਾਪਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉੱਚ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ tanθ= 5 3 ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸੱਜੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣ ਅਤੇ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਤੋਂ cosθ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਦੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਚਿੱਤਰ 4 ਦੇਖੋ।
ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ cosθ= 3 34 ਹੈ। ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲਈ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: tan θ 2 = 1−cosθ 1+cosθ । ਕਿਉਂਕਿ tanθ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ tan θ 2 ਵੀ ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਕੋਣ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਉਲਟ ਟੈਂਜੈਂਟ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: tan −1 (0.57)≈29.7°। ਇਸ ਲਈ ਨਵੇਂ ਮੁਕਾਬਲੇ ਲਈ ਰੈਂਪ ਦਾ ਕੋਣ ≈29.7° ਹੈ।
ਮੀਡੀਆ
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ, ਹਾਫ-ਐਂਗਲ, ਅਤੇ ਰਿਡਕਸ਼ਨ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਸਿੱਖਿਆ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਪਛਾਣਾਂ
ਹਾਫ-ਐਂਗਲ ਪਛਾਣਾਂ
ਮੌਖਿਕ
ਸਮਝਾਓ ਕਿ cos( 2x )= cos 2 x− sin 2 x ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਪਛਾਣ ਤੋਂ ਰਿਡਕਸ਼ਨ ਪਛਾਣਾਂ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀਆਂ ਹਨ।
ਸਮਝਾਓ ਕਿ cos(2x) ਅਤੇ sin(2x) ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ tan(2x) ਲਈ ਡਬਲ-ਐਂਗਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਵੇਂ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ tan( x 2 )= 1−cosx 1+cosx ਲਈ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨੂੰ sin( x 2 ) ਨੂੰ cos( x 2 ) ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। tan( x 2 ) ਲਈ ਦੋ ਫਾਰਮੂਲੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵਰਗਮੂਲ ਸ਼ਾਮਲ ਨਾ ਹੋਵੇ।
ਪਿਛਲੇ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ tan( x 2 ) ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਈ, ਸਮਝਾਓ ਕਿ 0 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਕੋਈ ਚਿੰਤਾ ਦਾ ਵਿਸ਼ਾ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਹੈ। (ਸੰਕੇਤ: ਡਿਨੋਮੀਨੇਟਰ ਨੂੰ 0 ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ cosx ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।)
ਬੀਜਗਣਿਤ
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, x ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ a) sin( 2x ), b) cos( 2x ), ਅਤੇ c) tan( 2x ) ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਜੇ sinx= 1 8 , ਅਤੇ x ਚੌਥਾਈ I ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਜੇ cosx= 2 3 , ਅਤੇ x ਚੌਥਾਈ I ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਜੇਕਰ cosx=− 1 2 , ਅਤੇ x ਤੀਜੇ ਚੌਥਾਈ (quadrant III) ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਜੇਕਰ tanx=−8, ਅਤੇ x ਚੌਥੀ ਚੌਥਾਈ (quadrant IV) ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਛੇ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (trigonometric functions) ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਪੂਰੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
cos(2θ)= 3 5 ਅਤੇ 90°≤θ≤180°
cos(2θ)= 1 2 ਅਤੇ 180°≤θ≤270°
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਇੱਕ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ (trigonometric expression) ਵਿੱਚ ਸਰਲ ਕਰੋ।
2sin( π 4 )cos( π 4 )
4sin( π 8 )cos( π 8 )
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅੱਧੇ-ਕੋਣ ਸੂਤਰਾਂ (half-angle formulas) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।
sin( π 8 )
cos( − 11π 12 )
sin( 11π 12 )
cos( 7π 8 )
tan( 5π 12 )
tan( − 3π 12 )
tan( − 3π 8 )
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, x ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ, a) sin( x 2 ), b) cos( x 2 ), ਅਤੇ c) tan( x 2 ) ਦੇ ਸਹੀ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਦੋਂ 0 ≤ x < 2 π ਹੋਵੇ।
ਜੇਕਰ tanx=− 4 3 , ਅਤੇ x ਚੌਥੀ ਚੌਥਾਈ (quadrant IV) ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਜੇਕਰ sinx=− 12 13 , ਅਤੇ x ਤੀਜੀ ਚੌਥਾਈ (quadrant III) ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਜੇਕਰ cscx=7, ਅਤੇ x ਦੂਜੀ ਚੌਥਾਈ (quadrant II) ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਜੇਕਰ secx=−4, ਅਤੇ x ਦੂਜੀ ਚੌਥਾਈ (quadrant II) ਵਿੱਚ ਹੈ।
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਅਨੁਸਾਰੀ ਅੱਧੇ ਅਤੇ ਦੋਹਰੇ ਕੋਣਾਂ (half and double angles) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 5 (Figure 5) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
sin( 2θ ),cos(2θ), ਅਤੇ tan(2θ) ਪਤਾ ਕਰੋ।
sin(2α),cos(2α), ਅਤੇ tan(2α) ਪਤਾ ਕਰੋ।
Find sin( θ 2 ),cos( θ 2 ), sin( θ 2 ),cos( θ 2 ), and tan( θ 2 ). tan( θ 2 ).
Find sin( α 2 ),cos( α 2 ), sin( α 2 ),cos( α 2 ), and tan( α 2 ). tan( α 2 ).
For the following exercises, simplify each expression. Do not evaluate.
cos 2 (28°)− sin 2 (28°) cos 2 (28°)− sin 2 (28°)
2 cos 2 (37°)−1 2 cos 2 (37°)−1
1−2 sin 2 (17°) 1−2 sin 2 (17°)
cos 2 (9x)− sin 2 (9x) cos 2 (9x)− sin 2 (9x)
4sin(8x)cos(8x) 4sin(8x)cos(8x)
6sin(5x)cos(5x) 6sin(5x)cos(5x)
For the following exercises, prove the given identity.
( sint−cost ) 2 =1−sin( 2t ) ( sint−cost ) 2 =1−sin( 2t )
sin( 2x )=−2sin( −x )cos( −x ) sin( 2x )=−2sin( −x )cos( −x )
cotx−tanx=2cot( 2x ) cotx−tanx=2cot( 2x )
sin( 2θ ) 1+cos( 2θ ) tan 2 θ= tan3 θ sin( 2θ ) 1+cos( 2θ ) tan 2 θ= tan3 θ
For the following exercises, rewrite the expression with an exponent no higher than 1.
cos 2 (5x) cos 2 (5x)
cos 2 (6x) cos 2 (6x)
sin 4 (8x) sin 4 (8x)
sin 4 (3x) sin 4 (3x)
cos 2 x sin 4 x cos 2 x sin 4 x
cos 4 x sin 2 x cos 4 x sin 2 x
tan 2 x sin 2 x tan 2 x sin 2 x
Technology
For the following exercises, reduce the equations to powers of one, and then check the answer graphically.
ਤਨ 4 x ਤਨ 4 x
ਸਾਈਨ ਵਰਗ (2x) ਸਾਈਨ ਵਰਗ (2x)
ਸਾਈਨ ਵਰਗ x ਕੋਸ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ ਵਰਗ x ਕੋਸ ਵਰਗ x
ਤਨ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ x ਤਨ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ x
ਤਨ 4 x ਕੋਸ ਵਰਗ x ਤਨ 4 x ਕੋਸ ਵਰਗ x
ਕੋਸ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ(2x) ਕੋਸ ਵਰਗ x ਸਾਈਨ(2x)
ਕੋਸ ਵਰਗ (2x) ਸਾਈਨ x ਕੋਸ ਵਰਗ (2x) ਸਾਈਨ x
ਤਨ ਵਰਗ (x/2) ਸਾਈਨ x ਤਨ ਵਰਗ (x/2) ਸਾਈਨ x
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭੋ, ਕੇਵਲ ਸਾਈਨ x ਅਤੇ/ਹਾਂ ਕੋਸ x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੋਵੇਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਕੇ ਉੱਤਰ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਸਾਈਨ(4x) ਸਾਈਨ(4x)
ਕੋਸ(4x) ਕੋਸ(4x)
ਵਿਸਥਾਰ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਪਛਾਣ ਸਿੱਧ ਕਰੋ।
ਸਾਈਨ(2x) = 2ਤਨx / (1 + ਤਨ ਵਰਗ x) ਸਾਈਨ(2x) = 2ਤਨx / (1 + ਤਨ ਵਰਗ x)
ਕੋਸ(2α) = (1 - ਤਨ ਵਰਗ α) / (1 + ਤਨ ਵਰਗ α) ਕੋਸ(2α) = (1 - ਤਨ ਵਰਗ α) / (1 + ਤਨ ਵਰਗ α)
ਤਨ(2x) = 2ਸਾਈਨxਕੋਸx / (2 ਕੋਸ ਵਰਗ x - 1) ਤਨ(2x) = 2ਸਾਈਨxਕੋਸx / (2 ਕੋਸ ਵਰਗ x - 1)
(ਸਾਈਨ ਵਰਗ x - 1) ਵਰਗ = ਕੋਸ(2x) + ਸਾਈਨ 4 x (ਸਾਈਨ ਵਰਗ x - 1) ਵਰਗ = ਕੋਸ(2x) + ਸਾਈਨ 4 x
ਸਾਈਨ(3x) = 3ਸਾਈਨx ਕੋਸ ਵਰਗ x - ਸਾਈਨ ਘਣ x ਸਾਈਨ(3x) = 3ਸਾਈਨx ਕੋਸ ਵਰਗ x - ਸਾਈਨ ਘਣ x
ਕੋਸ(3x) = ਕੋਸ ਘਣ x - 3 ਸਾਈਨ ਵਰਗ x ਕੋਸ x ਕੋਸ(3x) = ਕੋਸ ਘਣ x - 3 ਸਾਈਨ ਵਰਗ x ਕੋਸ x
(1 + ਕੋਸ(2t)) / (ਸਾਈਨ(2t) - ਕੋਸ t) = 2ਕੋਸ t / (2ਸਾਈਨ t - 1) (1 + ਕੋਸ(2t)) / (ਸਾਈਨ(2t) - ਕੋਸ t) = 2ਕੋਸ t / (2ਸਾਈਨ t - 1)
ਸਾਈਨ(16x) = 16ਸਾਈਨxਕੋਸxਕੋਸ(2x)ਕੋਸ(4x)ਕੋਸ(8x) ਸਾਈਨ(16x) = 16ਸਾਈਨxਕੋਸxਕੋਸ(2x)ਕੋਸ(4x)ਕੋਸ(8x)
ਕੋਸ(16x) = (ਕੋਸ ਵਰਗ(4x) - ਸਾਈਨ ਵਰਗ(4x) - ਸਾਈਨ(8x)) (ਕੋਸ ਵਰਗ(4x) - ਸਾਈਨ ਵਰਗ(4x) + ਸਾਈਨ(8x)) ਕੋਸ(16x) = (ਕੋਸ ਵਰਗ(4x) - ਸਾਈਨ ਵਰਗ(4x) - ਸਾਈਨ(8x)) (ਕੋਸ ਵਰਗ(4x) - ਸਾਈਨ ਵਰਗ(4x) + ਸਾਈਨ(8x))