Learning Objectives
In this section you will:
Graph plane curves described by parametric equations by plotting points.
Graph parametric equations.
While not every fan (or team manager) appreciates it, baseball and many other sports have become dependent on analytics, which involve complex data recording and quantitative evaluation used to understand and predict behavior. The earliest influence of analytics was mostly statistical; more recently, physics and other sciences have come into play. Foremost among these is the focus on launch angle and exit velocity, which when at certain values can almost guarantee a home run. On the other hand, emphasis on launch angle and focusing on home runs rather than overall hitting results in far more outs. Consider the following situation: it is the bottom of the ninth inning, with two outs and two players on base. The home team is losing by two runs. The batter swings and hits the baseball at 140 feet per second and at an angle of approximately 45° 45° to the horizontal. How far will the ball travel? Will it clear the fence for a game-winning home run? The outcome may depend partly on other factors (for example, the wind), but mathematicians can model the path of a projectile and predict approximately how far it will travel using parametric equations. In this section, we’ll discuss parametric equations and some common applications, such as projectile motion problems.
Figure 1: Parametric equations can model the path of a projectile. (credit: Paul Kreher, Flickr)
Graphing Parametric Equations by Plotting Points
In lieu of a graphing calculator or a computer graphing program, plotting points to represent the graph of an equation is the standard method. As long as we are careful in calculating the values, point-plotting is highly dependable.
How To
Given a pair of parametric equations, sketch a graph by plotting points.
Construct a table with three columns: t,x(t),andy(t). t,x(t),andy(t).
Evaluate x x and y y for values of t t over the interval for which the functions are defined.
Plot the resulting pairs ( x,y ). ( x,y ).
Example 1
Sketching the Graph of a Pair of Parametric Equations by Plotting Points
Sketch the graph of the parametric equations x(t)= t 2 +1, x(t)= t 2 +1, y(t)=2+t. y(t)=2+t.
Solution
Construct a table of values for t,x(t), t,x(t), and y(t), y(t), as in Table 1, and plot the points in a plane.
row: t t | x( t )= t 2 +1 x( t )= t 2 +1 | y( t )=2+t y( t )=2+t
row: −5 −5 | 26 26 | −3 −3
row: −4 −4 | 17 17 | −2 −2
row: −3 −3 | 10 10 | −1 −1
row: −2 −2 | 5 5 | 0 0
row: −1 −1 | 2 2 | 1 1
row: 0 0 | 1 1 | 2 2
row: 1 1 | 2 2 | 3 3
row: 2 2 | 5 5 | 4 4
row: 3 3 | 10 10 | 5 5
row: 4 4 | 17 17 | 6 6
row: 5 5 | 26 26 | 7 7
The graph is a parabola with vertex at the point ( 1,2 ), ( 1,2 ), opening to the right. See Figure 2.
Analysis
As values for t t progress in a positive direction from 0 to 5, the plotted points trace out the top half of the parabola. As values of t t become negative, they trace out the lower half of the parabola. There are no restrictions on the domain. The arrows indicate direction according to increasing values of t. t. The graph does not represent a function, as it will fail the vertical line test. The graph is drawn in two parts: the positive values for t, t, and the negative values for t. t.
Try It #1
Sketch the graph of the parametric equations x= t , x= t , y=2t+3,y=2t+3, 0≤t≤3. 0≤t≤3.
Example 2
Sketching the Graph of Trigonometric Parametric Equations
Construct a table of values for the given parametric equations and sketch the graph:
Solution
Construct a table like that in Table 2 using angle measure in radians as inputs for t, t, and evaluating x x and y. y. Using angles with known sine and cosine values for t t makes calculations easier.
row: t t | x=2cost x=2cost | y=4sint y=4sint
row: 0 | x=2cos(0)=2 x=2cos(0)=2 | y=4sin(0)=0 y=4sin(0)=0
row: π 6 π 6 | x=2cos( π 6 )= 3 x=2cos( π 6 )= 3 | y=4sin( π 6 )=2 y=4sin( π 6 )=2
row: π 3 π 3 | x=2cos( π 3 )=1 x=2cos( π 3 )=1 | y=4sin( π 3 )=2 3 y=4sin( π 3 )=2 3
row: π 2 π 2 | x=2cos( π 2 )=0 x=2cos( π 2 )=0 | y=4sin( π 2 )=4 y=4sin( π 2 )=4
row: 2π 3 2π 3 | x=2cos( 2π 3 )=−1 x=2cos( 2π 3 )=−1 | y=4sin( 2π 3 )=2 3 y=4sin( 2π 3 )=2 3
row: 5π 6 5π 6 | x=2cos( 5π 6 )=− 3 x=2cos( 5π 6 )=− 3 | y=4sin( 5π 6 )=2 y=4sin( 5π 6 )=2
row: π π | x=2cos(π)=−2 x=2cos(π)=−2 | y=4sin( π )=0 y=4sin( π )=0
row: 7π 6 7π 6 | x=2cos( 7π 6 )=− 3 x=2cos( 7π 6 )=− 3 | y=4sin( 7π 6 )=−2 y=4sin( 7π 6 )=−2
row: 4π 3 4π 3 | x=2cos( 4π 3 )=−1 x=2cos( 4π 3 )=−1 | y=4sin( 4π 3 )=−2 3 y=4sin( 4π 3 )=−2 3
row: 3π 2 3π 2 | x=2cos( 3π 2 )=0 x=2cos( 3π 2 )=0 | y=4sin( 3π 2 )=−4 y=4sin( 3π 2 )=−4
row: 5π 3 5π 3 | x=2cos( 5π 3 )=1 x=2cos( 5π 3 )=1 | y=4sin( 5π 3 )=−2 3 y=4sin( 5π 3 )=−2 3
row: 11π 6 11π 6 | x=2cos( 11π 6 )= 3 x=2cos( 11π 6 )= 3 | y=4sin( 11π 6 )=−2 y=4sin( 11π 6 )=−2
row: 2π 2π | x=2cos(2π)=2 x=2cos(2π)=2 | y=4sin( 2π )=0 y=4sin( 2π )=0
Figure 3 shows the graph.
By the symmetry shown in the values of x x and y, y, we see that the parametric equations represent an ellipse. The ellipse is mapped in a counterclockwise direction as shown by the arrows indicating increasing t t values.
Analysis
We have seen that parametric equations can be graphed by plotting points. However, a graphing calculator will save some time and reveal nuances in a graph that may be too tedious to discover using only hand calculations.
Make sure to change the mode on the calculator to parametric (PAR). To confirm, the Y= Y= window should show
instead of Y 1 =. Y 1 =.
Try It #2
Graph the parametric equations: x=5cost, x=5cost, y=3sint. y=3sint.
Example 3
Graphing Parametric Equations and Rectangular Form Together
Graph the parametric equations x=5cost x=5cost and y=2sint. y=2sint. First, construct the graph using data points generated from the parametric form. Then graph the rectangular form of the equation. Compare the two graphs.
Solution
Construct a table of values like that in Table 3.
row: t t | x=5cost x=5cost | y=2sint y=2sint
row: 0 0 | x=5cos(0)=5 x=5cos(0)=5 | y=2sin(0)=0 y=2sin(0)=0
row: 1 1 | x=5cos(1)≈2.7 x=5cos(1)≈2.7 | y=2sin(1)≈1.7 y=2sin(1)≈1.7
row: 2 2 | x=5cos(2)≈−2.1 x=5cos(2)≈−2.1 | y=2sin(2)≈1.8 y=2sin(2)≈1.8
row: 3 3 | x=5cos(3)≈−4.95 x=5cos(3)≈−4.95 | y=2sin(3)≈0.28 y=2sin(3)≈0.28
row: 4 4 | x=5cos(4)≈−3.3 x=5cos(4)≈−3.3 | y=2sin(4)≈−1.5 y=2sin(4)≈−1.5
row: 5 5 | x=5cos(5)≈1.4 x=5cos(5)≈1.4 | y=2sin(5)≈−1.9 y=2sin(5)≈−1.9
row: −1 −1 | x=5cos(−1)≈2.7 x=5cos(−1)≈2.7 | y=2sin(−1)≈−1.7 y=2sin(−1)≈−1.7
row: −2 −2 | x=5cos(−2)≈−2.1 x=5cos(−2)≈−2.1 | y=2sin(−2)≈−1.8 y=2sin(−2)≈−1.8
row: −3 −3 | x=5cos(−3)≈−4.95 x=5cos(−3)≈−4.95 | y=2sin(−3)≈−0.28 y=2sin(−3)≈−0.28
row: −4 −4 | x=5cos(−4)≈−3.3 x=5cos(−4)≈−3.3 | y=2sin(−4)≈1.5 y=2sin(−4)≈1.5
row: −5 −5 | x=5cos(−5)≈1.4 x=5cos(−5)≈1.4 | y=2sin(−5)≈1.9 y=2sin(−5)≈1.9
Plot the ( x,y ) ( x,y ) values from the table. See Figure 4.
Next, translate the parametric equations to rectangular form. To do this, we solve for t t in either x( t ) x( t ) or y( t ), y( t ), and then substitute the expression for t t in the other equation. The result will be a function y( x ) y( x ) if solving for t t as a function of x, x, or x(y) x(y) if solving for t t as a function of y. y.
Then, use the Pythagorean Theorem.
Analysis
In Figure 5, the data from the parametric equations and the rectangular equation are plotted together. The parametric equations are plotted in blue; the graph for the rectangular equation is drawn on top of the parametric in a dashed style colored red. Clearly, both forms produce the same graph.
Example 4
Graphing Parametric Equations and Rectangular Equations on the Coordinate System
Graph the parametric equations x=t+1 x=t+1 and y= t , y= t , t≥0, t≥0, and the rectangular equivalent y= x−1 y= x−1 on the same coordinate system.
Solution
Construct a table of values for the parametric equations, as we did in the previous example, and graph y= t , y= t , t≥0 t≥0 on the same grid, as in Figure 6.
Analysis
With the domain on t t restricted, we only plot positive values of t. t. The parametric data is graphed in blue and the graph of the rectangular equation is dashed in red. Once again, we see that the two forms overlap.
Try It #3
Sketch the graph of the parametric equations x=2cosθandy=4sinθ, x=2cosθandy=4sinθ, along with the rectangular equation on the same grid.
Applications of Parametric Equations
Many of the advantages of parametric equations become obvious when applied to solving real-world problems. Although rectangular equations in x and y give an overall picture of an object's path, they do not reveal the position of an object at a specific time. Parametric equations, however, illustrate how the values of x and y change depending on t, as the location of a moving object at a particular time.
A common application of parametric equations is solving problems involving projectile motion. In this type of motion, an object is propelled forward in an upward direction forming an angle of θ θ to the horizontal, with an initial speed of v 0 , v 0 , and at a height h h above the horizontal.
ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪਥ ਜੋ ਕਿ ਖਿਤਿਜੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ θ θ ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ v 0 , v 0 ਅਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਤੋਂ h h ਉਚਾਈ 'ਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:
ਜਿੱਥੇ g g ਗੁਰੂਤਾ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਅਤੇ h h ਵਸਤੂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਉਚਾਈ ਹੈ। ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, g=32ft/ s 2 g=32ft/ s 2 ਜਾਂ g=9.8m/ s 2 . g=9.8m/ s 2 ਵਰਤੋ। x x ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ y y ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਉਰਧਵ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਕਿਸੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ x=( v 0 cosθ )t. x=( v 0 cosθ )t ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਵਸਤੂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ ਨੂੰ v 0 . v 0 ਲਈ ਬਦਲੋ।
cosθ cosθ ਸਮੀਕਰਨ ਉਸ ਕੋਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਸ ਕੋਣ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ cosθ. cosθ ਲਈ ਬਦਲੋ।
ਉਰਧਵ ਦੂਰੀ y=− 1 2 g t 2 +( v 0 sinθ )t+h. y=− 1 2 g t 2 +( v 0 sinθ )t+h ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। − 1 2 g t 2 − 1 2 g t 2 ਪਦ ਗੁਰੂਤਾ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਾਮਲ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, g=32 ft/s 2 g=32 ft/s 2 ਜਾਂ g=9.8 m/s 2 . g=9.8 m/s 2 ਵਰਤੋ। ਦੁਬਾਰਾ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ ਨੂੰ v 0 , v 0 ਅਤੇ ਉਸ ਉਚਾਈ ਜਿਸ 'ਤੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਨੂੰ h. h ਲਈ ਬਦਲੋ।
t t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਹਰੇਕ ਪਦ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਕੇ ਅੱਗੇ ਵਧੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਬੇਸਬਾਲ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਕੀ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ ਨੇ ਜੇਤੂ ਹੋਮ ਰਨ ਮਾਰਿਆ? ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਗੇਂਦ ਨੂੰ 140 ਫੁੱਟ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਗਤੀ ਨਾਲ 45° 45° ਦੇ ਕੋਣ 'ਤੇ ਖਿਤਿਜੀ ਨਾਲ ਮਾਰਿਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਜੋ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 3 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਸੰਪਰਕ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ⓐ ਬੇਸਬਾਲ ਦੇ ਪਥ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
ⓑ 2 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ ਗੇਂਦ ਕਿੱਥੇ ਹੈ?
ⓒ ਗੇਂਦ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ?
ⓓ ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਹੋਮ ਰਨ ਹੈ?
ਹੱਲ
ⓐ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸਥਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਖਿਤਿਜੀ ਸਥਿਤੀ x ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। x. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, x=( v 0 cosθ)t x=(140cos(45°))t x=( v 0 cosθ)t x=(140cos(45°))t ਉਰਧਵ ਸਥਿਤੀ y ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। y. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, y=−16 t 2 +( v 0 sinθ)t+h y=−16 t 2 +(140sin(45°))t+3 y=−16 t 2 +( v 0 sinθ)t+h y=−16 t 2 +(140sin(45°))t+3
ⓑ ਗੇਂਦ ਦੀਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਅਤੇ ਉਰਧਵ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ 2 ਨੂੰ ਬਦਲੋ। x=(140cos(45°))(2) x=198 feet y=−16 (2) 2 +(140sin(45°))(2)+3 y=137 feet x=(140cos(45°))(2) x=198 feet y=−16 (2) 2 +(140sin(45°))(2)+3 y=137 feet 2 ਸਕਿੰਟਾਂ ਬਾਅਦ, ਗੇਂਦ ਬੱਲੇਬਾਜ਼ ਦੇ ਬਾਕਸ ਤੋਂ 198 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਅਤੇ ਜ਼ਮੀਨ ਤੋਂ 137 ਫੁੱਟ ਉੱਪਰ ਹੈ।
ⓒ ਗੇਂਦ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਦੇਰ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਪਵੇਗਾ ਕਿ ਇਹ ਕਦੋਂ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗੇਗੀ, ਜਾਂ ਜਦੋਂ y=0. y=0. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, y=−16 t 2 +( 140sin( 45 ∘ ) )t+3 y=0 y(t)=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। t=6.2173 y=−16 t 2 +( 140sin( 45 ∘ ) )t+3 y=0 y(t)=0 ਸੈੱਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। t=6.2173 ਜਦੋਂ t=6.2173 t=6.2173 ਸਕਿੰਟ, ਗੇਂਦ ਜ਼ਮੀਨ 'ਤੇ ਡਿੱਗ ਗਈ ਹੈ। (ਕੁਆਡ੍ਰੇਟਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗਣਿਤ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ।)
ⓓ ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਕਿ ਹਿੱਟ ਇੱਕ ਹੋਮ ਰਨ ਸੀ, ਬਿਨਾਂ ਆਊਟਫੀਲਡ ਦੇ ਆਕਾਰ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤੇ, ਜੋ ਕਿ ਮੈਦਾਨ ਤੋਂ ਮੈਦਾਨ ਤੱਕ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸਰਲਤਾ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਆਊਟਫੀਲਡ ਦੀ ਕੰਧ ਪਾਰਕ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਡੂੰਘੇ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਹੋਮ ਪਲੇਟ ਤੋਂ 400 ਫੁੱਟ ਦੂਰ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੰਧ 10 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ ਕੀ ਗੇਂਦ ਕੰਧ ਨੂੰ ਪਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ x = 400 ਫੁੱਟ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਗੇਂਦ ਕਿੰਨੀ ਉੱਚੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ x = 400 ਸੈੱਟ ਕਰਾਂਗੇ, t t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ, ਅਤੇ t t ਨੂੰ y y ਵਿੱਚ ਪਾਵਾਂਗੇ। x=( 140cos(45°) )t 400=( 140cos(45°) )t t=4.04 y=−16 (4.04) 2 +( 140sin(45°) )(4.04)+3 y=141.8 x=( 140cos(45°) )t 400=( 140cos(45°) )t t=4.04 y=−16 (4.04) 2 +( 140sin(45°) )(4.04)+3 y=141.8 ਗੇਂਦ 141.8 ਫੁੱਟ ਉੱਚੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਹ ਬਾਲਪਾਰਕ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਸੋਅਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸੱਚਮੁੱਚ ਇੱਕ ਹੋਮ ਰਨ ਸੀ। ਚਿੱਤਰ 7 ਦੇਖੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
TI-84 'ਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ
ਮੌਖਿਕ
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਹੜੇ ਦੋ ਢੰਗ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ?
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂ-ਪਲੌਟਿੰਗ ਵਿੱਚ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲੋਂ ਕੀ ਅੰਤਰ ਹੈ?
ਕੁਝ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਤੀਰਾਂ ਨਾਲ ਕਿਉਂ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ?
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਆਮ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਦੱਸੋ।
ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਿਉਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ?
ਗ੍ਰਾਫ਼ਿਕਲ
ਅਗਲੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾ ਕੇ ਹਰੇਕ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਕਰੋ। ਗ੍ਰਾਫ਼ ਉੱਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰੋ।
{ x( t )=t y( t )= t 2 −1
ਸਾਰਣੀ: t | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: x
ਸਾਰਣੀ: y
{ x( t )=t−1 y( t )= t 2
ਸਾਰਣੀ: t | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: x
ਸਾਰਣੀ: y
{ x( t )=2+t y( t )=3−2t
ਸਾਰਣੀ: t | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3
ਸਾਰਣੀ: x
ਸਾਰਣੀ: y
{ x( t )=−2−2t y( t )=3+t
ਸਾਰਣੀ: t | −3 | −2 | −1 | 0 | 1
ਸਾਰਣੀ: x
ਸਾਰਣੀ: y
{ x( t )= t 3 y( t )=t+2
row: t t | −2 −2 | −1 −1 | 0 0 | 1 1 | 2 2
row: x x
row: y y
{ x( t )= t 2 y( t )=t+3 { x( t )= t 2 y( t )=t+3
row: t t | −2 −2 | −1 −1 | 0 0 | 1 1 | 2 2
row: x x
row: y y
For the following exercises, sketch the curve and include the orientation.
{ x(t)=t y(t)= t { x(t)=t y(t)= t
{ x(t)=− t y(t)=t { x(t)=− t y(t)=t
{ x(t)=5−| t | y(t)=t+2 { x(t)=5−| t | y(t)=t+2
{ x(t)=−t+2 y(t)=5−| t | { x(t)=−t+2 y(t)=5−| t |
{ x(t)=4sint y(t)=2cost { x(t)=4sint y(t)=2cost
{ x(t)=2sint y(t)=4cost { x(t)=2sint y(t)=4cost
{ x(t)=3 cos 2 t y(t)=−3sint { x(t)=3 cos 2 t y(t)=−3sint
{ x(t)=3 cos 2 t y(t)=−3 sin 2 t { x(t)=3 cos 2 t y(t)=−3 sin 2 t
{ x(t)=sect y(t)=tant { x(t)=sect y(t)=tant
{ x(t)=sect y(t)= tan 2 t { x(t)=sect y(t)= tan 2 t
{ x(t)= 1 e 2t y(t)= e −t { x(t)= 1 e 2t y(t)= e −t
For the following exercises, graph the equation and include the orientation. Then, write the Cartesian equation.
{ x( t )=t−1 y( t )=− t 2 { x( t )=t−1 y( t )=− t 2
{ x( t )= t 3 y( t )=t+3 { x( t )= t 3 y( t )=t+3
{ x(t)=2cost y(t)=−sint { x(t)=2cost y(t)=−sint
{ x(t)=7cost y(t)=7sint { x(t)=7cost y(t)=7sint
{ x(t)= e 2t y(t)=− e t { x(t)= e 2t y(t)=− e t
For the following exercises, graph the equation and include the orientation.
x= t 2 ,y=3t,0≤t≤5 x= t 2 ,y=3t,0≤t≤5
x=2t,y= t 2 ,−5≤t≤5 x=2t,y= t 2 ,−5≤t≤5
x=t, x=t, y= 25− t 2 ,y= 25− t 2 , 0<t≤5 0<t≤5
x(t)=−t,y(t)= t , x(t)=−t,y(t)= t , t≥0 t≥0
x=−2cost, x=−2cost, y=6sint,y=6sint, 0≤t≤π 0≤t≤π
x=−sect, x=−sect, y=tant,y=tant, − π 2 <t< π 2 − π 2 <t< π 2
For the following exercises, use the parametric equations for integers a and b:
Graph on the domain [ −π,0 ], [ −π,0 ], where a=2 a=2 and b=1, b=1, and include the orientation.
Graph on the domain [ −π,0 ], [ −π,0 ], where a=3 a=3 and b=2 b=2, and include the orientation.
Graph on the domain [ −π,0 ], [ −π,0 ], where a=4 a=4 and b=3 b=3, and include the orientation.
Graph on the domain [ −π,0 ], [ −π,0 ], where a=5 a=5 and b=4 b=4, and include the orientation.
If a a is 1 more than b, b, describe the effect the values of a a and b b have on the graph of the parametric equations.
Describe the graph if a=100 a=100 and b=99. b=99.
What happens if b b is 1 more than a? a? Describe the graph.
If the parametric equations x(t)= t 2 x(t)= t 2 and y( t )=6−3t y( t )=6−3t have the graph of a horizontal parabola opening to the right, what would change the direction of the curve?
For the following exercises, describe the graph of the set of parametric equations.
x(t)=− t 2 x(t)=− t 2 and y( t ) y( t ) is linear
y(t)= t 2 y(t)= t 2 and x( t ) x( t ) is linear
y(t)=− t 2 y(t)=− t 2 and x( t ) x( t ) is linear
Write the parametric equations of a circle with center ( 0,0 ), ( 0,0 ), radius 5, and a counterclockwise orientation.
Write the parametric equations of an ellipse with center ( 0,0 ), ( 0,0 ), major axis of length 10, minor axis of length 6, and a counterclockwise orientation.
For the following exercises, use a graphing utility to graph on the window [ −3,3 ] [ −3,3 ] by [ −3,3 ] [ −3,3 ] on the domain [0,2π) [0,2π) for the following values of a a and b b, and include the orientation.
a=1,b=2 a=1,b=2
a=2,b=1 a=2,b=1
a=3,b=3 a=3,b=3
a=5,b=5 a=5,b=5
a=2,b=5 a=2,b=5
a=5,b=2 a=5,b=2
Technology
For the following exercises, look at the graphs that were created by parametric equations of the form { x(t)=acos(bt) y(t)=csin(dt) . { x(t)=acos(bt) y(t)=csin(dt) . Use the parametric mode on the graphing calculator to find the values of a,b,c, a,b,c, and d d to achieve each graph.
For the following exercises, use a graphing utility to graph the given parametric equations.
{ x(t)=cost−1 y(t)=sint+t { x(t)=cost−1 y(t)=sint+t
{ x(t)=cost+t y(t)=sint−1 { x(t)=cost+t y(t)=sint−1
{ x( t )=t−sint y( t )=cost−1 { x( t )=t−sint y( t )=cost−1
Graph all three sets of parametric equations on the domain [0, [0, 2π]. 2π].
Graph all three sets of parametric equations on the domain [ 0,4π ]. [ 0,4π ].
Graph all three sets of parametric equations on the domain [ −4π,6π ]. [ −4π,6π ].
The graph of each set of parametric equations appears to “creep” along one of the axes. What controls which axis the graph creeps along?
Explain the effect on the graph of the parametric equation when we switched sint sint and cost cost.
Explain the effect on the graph of the parametric equation when we changed the domain.
Extensions
An object is thrown in the air with vertical velocity of 20 ft/s and horizontal velocity of 15 ft/s. The object’s height can be described by the equation y( t )=−16 t 2 +20t y( t )=−16 t 2 +20t, while the object moves horizontally with constant velocity 15 ft/s. Write parametric equations for the object’s position, and then eliminate time to write height as a function of horizontal position.
A skateboarder riding on a level surface at a constant speed of 9 ft/s throws a ball in the air, the height of which can be described by the equation y( t )=−16 t 2 +10t+5. y( t )=−16 t 2 +10t+5. Write parametric equations for the ball’s position, and then eliminate time to write height as a function of horizontal position.
For the following exercises, use this scenario: A dart is thrown upward with an initial velocity of 64 ft/s at an angle of elevation of 52°. Consider the position of the dart at any time t. t. Neglect air resistance.
Find parametric equations that model the problem situation.
Find all possible values of x x that represent the situation.
When will the dart hit the ground?
Find the maximum height of the dart.
At what time will the dart reach maximum height?
For the following exercises, look at the graphs of each of the four parametric equations. Although they look unusual and beautiful, they are so common that they have names, as indicated in each exercise. Use a graphing utility to graph each on the indicated domain.
An epicycloid: { x(t)=14cost−cos(14t) y(t)=14sint+sin(14t) { x(t)=14cost−cos(14t) y(t)=14sint+sin(14t) on the domain [0,2π] [0,2π].
A hypocycloid: { x(t)=6sint+2sin(6t) y(t)=6cost−2cos(6t) { x(t)=6sint+2sin(6t) y(t)=6cost−2cos(6t) on the domain [0,2π] [0,2π].
A hypotrochoid: { x(t)=2sint+5cos(6t) y(t)=5cost−2sin(6t) { x(t)=2sint+5cos(6t) y(t)=5cost−2sin(6t) on the domain [0,2π] [0,2π].
A rose: { x(t)=5sin(2t)sint y(t)=5sin(2t)cost { x(t)=5sin(2t)sint y(t)=5sin(2t)cost on the domain [0,2π] [0,2π].