ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਲਈ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।
ਇੱਕ ਚੰਦਰਮਾ ਦੇ ਮਾਰਗ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਪਰਿਕਰਮਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 1 ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਲ, ਚੰਦਰਮਾ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਥਾਨ 'ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਅਸੀਂ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਵੇਂ ਲਿਖੀਏ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰੀਏ ਜਦੋਂ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿ ਤੋਂ ਦੂਰੀ, ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਕਲਾ ਦਾ ਵੇਗ, ਅਤੇ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਵੇਗ ਸਾਰੇ ਅਣਜਾਣ ਹਨ? ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ x(t) ਅਤੇ y(t) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿੱਥੇ t ਸਮੇਂ ਦਾ ਸੁਤੰਤਰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਨਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸਥਿਤੀ ਬਲਕਿ ਅੰਦੋਲਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵੀ ਲੱਭ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ t ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਵਕਰ ਦਾ ਸਥਾਨ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੇ ਮੁੱਖ ਫਾਇਦਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ: ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਟਰੇਸ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਬੁਨਿਆਦੀ ਭਾਗਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ, ਇਸ 'ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ, ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਨਾ, ਅਤੇ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।
ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ
ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਵਸਤੂ ਕਿਸੇ ਵਕਰ—ਜਾਂ ਵਕਰ ਰੇਖਾਈ ਮਾਰਗ—ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਦਿੱਤੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਲ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ x-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਅਤੇ y-ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, x ਅਤੇ y ਦੋਵੇਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਇਸ ਕਾਰਨ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵੇਰੀਏਬਲ, ਪੈਰਾਮੀਟਰ, ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ 'ਤੇ x ਅਤੇ y ਦੋਵੇਂ ਨਿਰਭਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ। ਸੈਕਸ਼ਨ ਓਪਨਰ ਵਿੱਚ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਸਮਾਂ, t ਹੈ। ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ x ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ x(t) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਮੇਂ t 'ਤੇ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ y ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ y(t) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਕੱਠੇ, x(t) ਅਤੇ y(t) ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਰਡਰਡ ਜੋੜਾ (x(t), y(t)) ਤਿਆਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਮੁੱਖ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਤੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਅਤੇ y, ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ, x, y, ਅਤੇ t ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਜੋੜੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਿਉਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਕਾਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਧੇਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ: ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਸਮੇਂ ਦੇ ਨਾਲ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ।
ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ x ਅਤੇ y ਦੇ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਵਿਵਹਾਰਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਕਈ ਆਕਾਰ ਹਨ ਜੋ y=f(x) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ r^2 = x^2 + y^2 ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ 'ਤੇ y = ±√(r^2 - x^2) ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨ: y1 = √(r^2 - x^2) ਅਤੇ y2 = -√(r^2 - x^2)। ਜੇ ਅਸੀਂ y1 ਅਤੇ y2 ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਨਹੀਂ ਕਰੇਗਾ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਇੱਕ ਵਰਟੀਕਲ ਲਾਈਨ ਟੈਸਟ ਪਾਸ ਕਰੇਗਾ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਏਗਾ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਤੋੜਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਫੰਕਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਅੱਗੇ ਵਧਾਂਗੇ, ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।
ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ
ਮੰਨ ਲਓ t ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ, I, 'ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਆਰਡਰਡ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, (x(t), y(t)), ਜਿੱਥੇ x = f(t) ਅਤੇ y = g(t), ਪੈਰਾਮੀਟਰ t 'ਤੇ ਆਧਾਰਿਤ ਇੱਕ ਤਲ ਵਕਰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ x = f(t) ਅਤੇ y = g(t) ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰਨਾ
ਵਕਰ y = x^2 - 1 ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਈਜ਼ ਕਰੋ, ਇਹ ਮੰਨ ਕੇ ਕਿ x(t) = t। ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਜੇਕਰ x(t) = t, ਤਾਂ y(t) ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਵੇਰੀਏਬਲ x ਨੂੰ x(t) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨਾਲ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, y(t) = t^2 - 1। ਟੇਬਲ 1 ਦੇ ਸਮਾਨ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਓ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
ਸਾਰਣੀ: t | x(t) | y(t)
ਸਾਰਣੀ: -4 | -4 | y(-4) = (-4)^2 - 1 = 15
1. ਕਤਾਰ: −3 −3 | −3 −3 | y( −3 )= ( −3 ) 2 −1=8 y( −3 )= ( −3 ) 2 −1=8
ਸਤਰ: −2 −2 | −2 −2 | y( −2 )= ( −2 ) 2 −1=3 y( −2 )= ( −2 ) 2 −1=3
1. ਕਤਾਰ: −1 −1 | −1 −1 | y( −1 )= ( −1 ) 2 −1=0 y( −1 )= ( −1 ) 2 −1=0
1. ਕਤਾਰ: 0 0 | 0 0 | y( 0 )= ( 0 ) 2 −1=−1 y( 0 )= ( 0 ) 2 −1=−1
1. ਕਤਾਰ: ੧ ੧ | ੧ ੧ | y( ੧ )= ( ੧ ) ² −੧=੦ y( ੧ )= ( ੧ ) ² −੧=੦
1. ਕਤਾਰ: 2 2 | 2 2 | y(2) = (2)2 - 1 = 3 y(2) = (2)2 - 1 = 3
1. ਕਤਾਰ: 3 3 | 3 3 | y( 3 )= ( 3 ) 2 −1=8 y( 3 )= ( 3 ) 2 −1=8
1. ਕਤਾਰ: 4 4 | 4 4 | y(4) = (4)² - 1 = 15 y(4) = (4)² - 1 = 15
ਚਿੱਤਰ 3 ਵਿੱਚ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵੇਖੋ। ਇਹ ਵੇਖਣ ਲਈ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ t ਵਧਦਾ ਹੈ, ਬਿੰਦੂ ਕਿਵੇਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ TRACE ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।
1. ਚਿੱਤਰ 3: (ੳ) ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ y(t) = t^2 - 1 (ਅ) ਆਇਤਾਕਾਰ y = x^2 - 1
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
1. ਤੀਰ ਉਸ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਕਰ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਵਕਰ y= x 2 −1 ਦੇ ਵਕਰ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ। y= x 2 −1।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
1. ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਨੀ ਬਣਾਓ ਅਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ: x(t) = t-3, y(t) = 2t+4; -1 ≤ t ≤ 2।
2. Example 2
ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਲੱਭਣਾ
1. ਅਜਿਹੀਆਂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਲੱਭੋ ਜੋ y=1− x 2 ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਮਾਡਲ ਕਰੇ, ਜਿੱਥੇ ਪੈਰਾਮੀਟਰ x(t)=t ਹੈ। ਕੁਝ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਸਕੈਚ ਬਣਾਓ।
1. ਨਿਬੇੜਾ
ਜੇਕਰ x(t)=t ਅਤੇ ਅਸੀਂ y y ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x x ਲਈ t t ਨੂੰ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ y(t)=1−t^2 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਾਡਾ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜਾ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਰਣੀ 2 ਵਿੱਚ ਹੈ। ਅਸੀਂ t=0 ਦੇ ਆਸਪਾਸ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, t=-3 ਤੋਂ t=3 ਤੱਕ। x(t) ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲ t ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੋਣਗੇ ਕਿਉਂਕਿ x(t)=t। y(t) ਕਾਲਮ ਲਈ ਮੁੱਲ ਗਿਣੋ।
1. ਕਤਾਰ: ਟੀ ਟੀ | ਐਕਸ(ਟੀ)=ਟੀ ਐਕਸ(ਟੀ)=ਟੀ | ਵਾਈ(ਟੀ)=1− ਟੀ 2 ਵਾਈ(ਟੀ)=1− ਟੀ 2
1. ਕਤਾਰ: −3 −3 | −3 −3 | y( −3 )=1− ( −3 ) 2 =−8 y( −3 )=1− ( −3 ) 2 =−8
1. ਕਤਾਰ: −2 −2 | −2 −2 | y( −2 )=1− ( −2 ) 2 =−3 y( −2 )=1− ( −2 ) 2 =−3
1. ਕਤਾਰ: −1 −1 | −1 −1 | y( −1 )=1− ( −1 ) 2 =0 y( −1 )=1− ( −1 ) 2 =0
row: 0 0 | 0 0 | y(0)=1−0=1 y(0)=1−0=1
row: 1 1 | 1 1 | y(1)=1− (1) 2 =0 y(1)=1− (1) 2 =0
row: 2 2 | 2 2 | y(2)=1− (2) 2 =−3 y(2)=1− (2) 2 =−3
row: 3 3 | 3 3 | y(3)=1− (3) 2 =−8 y(3)=1− (3) 2 =−8
The graph of y=1− t 2 y=1− t 2 is a parabola facing downward, as shown in Figure 4. We have mapped the curve over the interval [−3,3], [−3,3], shown as a solid line with arrows indicating the orientation of the curve according to t. t. Orientation refers to the path traced along the curve in terms of increasing values of t. t. As this parabola is symmetric with respect to the line x=0, x=0, the values of x x are reflected across the y-axis.
Try It #2
Parameterize the curve given by x= y 3 −2y. x= y 3 −2y.
Example 3
Finding Parametric Equations That Model Given Criteria
An object travels at a steady rate along a straight path (−5,3) (−5,3) to (3,−1) (3,−1) in the same plane in four seconds. The coordinates are measured in meters. Find parametric equations for the position of the object.
Solution
The parametric equations are simple linear expressions, but we need to view this problem in a step-by-step fashion. The x-value of the object starts at −5 −5 meters and goes to 3 meters. This means the distance x has changed by 8 meters in 4 seconds, which is a rate of 8 m 4 s , 8 m 4 s , or 2m/s. 2m/s. We can write the x-coordinate as a linear function with respect to time as x(t)=2t−5. x(t)=2t−5. In the linear function template y=mx+b,2t=mx y=mx+b,2t=mx and −5=b. −5=b.
Similarly, the y-value of the object starts at 3 and goes to −1, −1, which is a change in the distance y of −4 meters in 4 seconds, which is a rate of −4 m 4 s , −4 m 4 s , or −1m/s. −1m/s. We can also write the y-coordinate as the linear function y(t)=−t+3. y(t)=−t+3. Together, these are the parametric equations for the position of the object, where x x and y y are expressed in meters and t t represents time:
Using these equations, we can build a table of values for t,x, t,x, and y y (see Table 3). In this example, we limited values of t t to non-negative numbers. In general, any value of t t can be used.
row: t t | x(t)=2t−5 x(t)=2t−5 | y(t)=−t+3 y(t)=−t+3
row: 0 0 | x=2(0)−5=−5 x=2(0)−5=−5 | y=−(0)+3=3 y=−(0)+3=3
row: 1 1 | x=2(1)−5=−3 x=2(1)−5=−3 | y=−(1)+3=2 y=−(1)+3=2
row: 2 2 | x=2(2)−5=−1 x=2(2)−5=−1 | y=−(2)+3=1 y=−(2)+3=1
row: 3 3 | x=2(3)−5=1 x=2(3)−5=1 | y=−(3)+3=0 y=−(3)+3=0
row: 4 4 | x=2(4)−5=3 x=2(4)−5=3 | y=−(4)+3=−1 y=−(4)+3=−1
From this table, we can create three graphs, as shown in Figure 5.
Figure 5: (a) A graph of x x vs. t, t, representing the horizontal position over time. (b) A graph of y y vs. t, t, representing the vertical position over time. (c) A graph of y y vs. x, x, representing the position of the object in the plane at time t. t.
Analysis
Again, we see that, in Figure 5(c), when the parameter represents time, we can indicate the movement of the object along the path with arrows.
ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ
ਕਈ ਵਾਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਕਰ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿੱਚਣਾ ਵਧੇਰੇ ਸਰਲ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਚਲਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ x ਅਤੇ y, ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣ। ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜੋ ਕੁਝ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿੰਗ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਮੈਪਿੰਗ ਬਾਰੇ ਚਿੰਤਿਤ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਵਕਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਵੀ ਦਰਸਾਉਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੋਵੇਗਾ। ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਕਈ ਵਿਧੀਆਂ ਹਨ; ਹਰ ਵਿਧੀ ਹਰ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ ਕੰਮ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ ਵਿਧੀਆਂ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕਰਾਂਗੇ।
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ, ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ, ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲ, ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ, ਜਾਂ ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਈ, ਜੋ ਦੋ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਉਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੇਰਾਫੇਰੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ t ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ t ਲਈ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਏ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ x ਅਤੇ y ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਪੌਲੀਨੋਮੀਅਲਾਂ ਵਿੱਚ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ x(t)= t^2 +1 ਅਤੇ y(t)=2+t, ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਹੱਲ
ਅਸੀਂ y ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿਉਂਕਿ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, x(t) ਵਿੱਚ t ਲਈ y−2 ਬਦਲੋ।
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ x= y^2 −4y+5 ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਵਾਲਾ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ, ਆਇਤਾਕਾਰ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, x, y 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। (1,2) 'ਤੇ ਵਕਰ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 6 ਦੇਖੋ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨ x(t) ਅਤੇ y(t) ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ t ਸਮੇਂ ਦਾ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ, x ਅਤੇ y ਦੋਵੇਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ; ਇਸ ਲਈ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ y, x ਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ ਅਤੇ y ਨੂੰ x ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ
ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲਿਖੋ: x(t)= e^-t ਅਤੇ y(t)=3 e^t
ਹੱਲ
e^t ਨੂੰ ਅਲੱਗ ਕਰੋ।
ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਨੂੰ y(t) ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ y= 3x ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 7(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਡੋਮੇਨ t>0 ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ, y= 3x, ਚਿੱਤਰ 7(b) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ ਅਤੇ ਡੋਮੇਨ 'ਤੇ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪਾਬੰਦੀ ਹੈ, x≠0।
6. ਉਦਾਹਰਨ 6
2. ਲਘੂਗਣਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ
3. ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: x(t)= t +2 ਅਤੇ y(t)=log(t).
4. ਹੱਲ
5. ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
6. ਫਿਰ, y ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ t ਲਈ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
7. ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਰੂਪ y=log ( x−2 ) 2 ਹੈ।
8. ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
9. ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਡੋਮੇਨ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ। ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ x= t +2 ਨੂੰ t>0 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ; ਅਸੀਂ x ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ x>2 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ y=log(t) ਲਈ ਡੋਮੇਨ t>0 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਹੈ; ਅਸੀਂ y=log ( x−2 ) 2 ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ x>2 ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
10. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
11. ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
12. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ
13. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਬਦਲੀ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਜਾਣੀਆਂ-ਪਛਾਣੀਆਂ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਅਤੇ ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:
15. cos t ਅਤੇ sin t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
16. ਫਿਰ, ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ:
17. ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
18. ਉਦਾਹਰਨ 7
19. ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਤੋਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨਾ
20. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤ੍ਰਿਕੋਣਮਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਤੋਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ ਜਿੱਥੇ 0≤t≤2π ਹੈ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਓ।
21. ਹੱਲ
22. cos t ਅਤੇ sin t ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
23. ਅੱਗੇ, ਪਾਈਥਾਗੋਰਿਅਨ ਪਛਾਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਬਦਲੀਆਂ ਕਰੋ।
24. ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਸੰਮਿਲਿਤ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗਾਂ ਲਈ ਆਮ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ $x^2/16 + y^2/9 = 1$ ਨੂੰ $(0,0)$ ਤੇ ਕੇਂਦਰਿਤ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਵਜੋਂ ਪਛਾਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਦੋਂ $t=0$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ $(4,0)$ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਜਦੋਂ $t=\pi/2$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ $(0,3)$ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ $t$ ਦੇ ਵਧਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਵਕਰ ਦੇ ਅਭਿਨਿਯਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਤੋਂ ਖਤਮ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: $x(t) = 2\cos t$ ਅਤੇ $y(t) = 3\sin t$.
ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਤੋਂ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ 'ਤੇ "ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਨੂੰ ਖਤਮ" ਕਰ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਤਰੀਕਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ $x(t) = t$. ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, $y(t)$ ਕੋਈ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇਸ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣਾ $x$ ਨੂੰ $t$ ਲਈ ਬਦਲਣ ਦਾ ਮਾਮਲਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ $y = x^2 - 3$ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 8
ਵਿਕਲਪਕ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣਾ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਢੰਗ 1. ਪਹਿਲਾਂ, ਆਓ $x$ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $t$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੀਏ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ $y$ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਹੁਣ $t$ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $y$ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਢੰਗ 2. $y$ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $t$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ $x$ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਬਦਲਾਅ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ $y$ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਾਰਟੀਸੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ: $x(t) = t^3$ ਅਤੇ $y(t) = t^6$.
ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਹੀ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਹੀ ਤਰੀਕਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜੋ ਵੀ ਰਣਨੀਤੀ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਉਹ ਵੈਧ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਸਮਾਨਤਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $x$ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਚੁਣਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਸਨੂੰ $y$ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਮਾਨ ਡੋਮੇਨ ਉੱਤੇ ਸਮਾਨ ਗ੍ਰਾਫ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਵੈਧ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਡੋਮੇਨ ਸੀਮਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਾਂਗ $x$ ਲਈ ਸਮਾਨ ਮੁੱਲ ਦੀ ਆਗਿਆ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗ੍ਰਾਫ ਵੱਖਰੇ ਹੋਣਗੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵਕਰਾਂ ਲਈ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਲੱਭਣਾ
$y = (x+3)^2 + 1$ ਲਈ ਸਮਾਨ ਪੈਰਾਮੀਟਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
ਇੱਕ ਸਪੱਸ਼ਟ ਚੋਣ $x(t) = t$ ਨੂੰ ਮੰਨਣਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਫਿਰ $y(t) = (t+3)^2 + 1$ ਹੋਵੇਗਾ। ਪਰ ਆਓ ਕੁਝ ਹੋਰ ਦਿਲਚਸਪ ਅਜ਼ਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਕੀ ਹੋਵੇ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $x = t+3$ ਮੰਨ ਲਈਏ? ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
The set of parametric equations is
See Figure 9.
Media
Access these online resources for additional instruction and practice with parametric equations.
Introduction to Parametric Equations
Converting Parametric Equations to Rectangular Form
Verbal
What is a system of parametric equations?
Some examples of a third parameter are time, length, speed, and scale. Explain when time is used as a parameter.
Explain how to eliminate a parameter given a set of parametric equations.
What is a benefit of writing a system of parametric equations as a Cartesian equation?
What is a benefit of using parametric equations?
Why are there many sets of parametric equations to represent on Cartesian function?
Algebraic
For the following exercises, eliminate the parameter t t to rewrite the parametric equation as a Cartesian equation.
{ x( t )=5−t y( t )=8−2t { x( t )=5−t y( t )=8−2t
{ x( t )=6−3t y( t )=10−t { x( t )=6−3t y( t )=10−t
{ x( t )=2t+1 y( t )=3 t { x( t )=2t+1 y( t )=3 t
{ x( t )=3t−1 y( t )=2 t 2 { x( t )=3t−1 y( t )=2 t 2
{ x( t )=2 e t y( t )=1−5t { x( t )=2 e t y( t )=1−5t
{ x( t )= e −2t y( t )=2 e −t { x( t )= e −2t y( t )=2 e −t
{ x(t)=4log(t) y(t)=3+2t { x(t)=4log(t) y(t)=3+2t
{ x(t)=log(2t) y(t)= t−1 { x(t)=log(2t) y(t)= t−1
{ x( t )= t 3 −t y( t )=2t { x( t )= t 3 −t y( t )=2t
{ x( t )=t− t 4 y( t )=t+2 { x( t )=t− t 4 y( t )=t+2
{ x( t )= e 2t y( t )= e 6t { x( t )= e 2t y( t )= e 6t
{ x( t )= t 5 y( t )= t 10 { x( t )= t 5 y( t )= t 10
{ x(t)=4cost y(t)=5sint { x(t)=4cost y(t)=5sint
{ x( t )=3sint y( t )=6cost { x( t )=3sint y( t )=6cost
{ x(t)=2 cos 2 t y(t)=−sint { x(t)=2 cos 2 t y(t)=−sint
{ x(t)=cost+4 y(t)=2 sin 2 t { x(t)=cost+4 y(t)=2 sin 2 t
{ x(t)=t−1 y(t)= t 2 { x(t)=t−1 y(t)= t 2
{ x(t)=−t y(t)= t 3 +1 { x(t)=−t y(t)= t 3 +1
{ x(t)=2t−1 y(t)= t 3 −2 { x(t)=2t−1 y(t)= t 3 −2
For the following exercises, rewrite the parametric equation as a Cartesian equation by building an x-y x-y table.
{ x(t)=2t−1 y(t)=t+4 { x(t)=2t−1 y(t)=t+4
{ x(t)=4−t y(t)=3t+2 { x(t)=4−t y(t)=3t+2
{ x(t)=2t−1 y(t)=5t { x(t)=2t−1 y(t)=5t
{ x(t)=4t−1 y(t)=4t+2 { x(t)=4t−1 y(t)=4t+2
For the following exercises, parameterize (write parametric equations for) each Cartesian equation by setting x( t )=t x( t )=t or by setting y(t)=t. y(t)=t.
y( x )=3 x 2 +3 y( x )=3 x 2 +3
y( x )=2sinx+1 y( x )=2sinx+1
x( y )=3log( y )+y x( y )=3log( y )+y
x( y )= y +2y x( y )= y +2y
For the following exercises, parameterize (write parametric equations for) each Cartesian equation by using x( t )=acost x( t )=acost and y(t)=bsint. y(t)=bsint. Identify the curve.
x 2 4 + y 2 9 =1 x 2 4 + y 2 9 =1
x 2 16 + y 2 36 =1 x 2 16 + y 2 36 =1
x 2 + y 2 =16 x 2 + y 2 =16
x 2 + y 2 =10 x 2 + y 2 =10
Parameterize the line from (3,0) (3,0) to (−2,−5) (−2,−5) so that the line is at (3,0) (3,0) at t=0, t=0, and at (−2,−5) (−2,−5) at t=1. t=1.
Parameterize the line from (−1,0) (−1,0) to (3,−2) (3,−2) so that the line is at (−1,0) (−1,0) at t=0, t=0, and at (3,−2) (3,−2) at t=1. t=1.
Parameterize the line from (−1,5) (−1,5) to (2,3) (2,3) so that the line is at (−1,5) (−1,5) at t=0, t=0, and at (2,3) (2,3) at t=1. t=1.
Parameterize the line from (4,1) (4,1) to (6,−2) (6,−2) so that the line is at (4,1) (4,1) at t=0, t=0, and at (6,−2) (6,−2) at t=1. t=1.
Technology
For the following exercises, use the table feature in the graphing calculator to determine whether the graphs intersect.
{ x 1 (t)=3t y 1 (t)=2t−1 and { x 2 (t)=t+3 y 2 (t)=4t−4 { x 1 (t)=3t y 1 (t)=2t−1 and { x 2 (t)=t+3 y 2 (t)=4t−4
{ x 1 (t)= t 2 y 1 (t)=2t−1 and { x 2 (t)=−t+6 y 2 (t)=t+1 { x 1 (t)= t 2 y 1 (t)=2t−1 and { x 2 (t)=−t+6 y 2 (t)=t+1
For the following exercises, use a graphing calculator to complete the table of values for each set of parametric equations.
{ x 1 ( t )=3 t 2 −3t+7 y 1 ( t )=2t+3 { x 1 ( t )=3 t 2 −3t+7 y 1 ( t )=2t+3
row: t t | x x | y y
row: –1
row: 0
row: 1
{ x 1 ( t )= t 2 −4 y 1 ( t )=2 t 2 −1 { x 1 ( t )= t 2 −4 y 1 ( t )=2 t 2 −1
row: t t | x x | y y
row: 1
row: 2
row: 3
{ x 1 ( t )= t 4 y 1 ( t )= t 3 +4 { x 1 ( t )= t 4 y 1 ( t )= t 3 +4
row: t t | x x | y y
row: -1
row: 0
1. ਕਤਾਰ: ੧
2. ਕਤਾਰ: ੨
3. ਵਿਸਥਾਰ
4. y = (x+1)^2 ਲਈ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲੱਭੋ।
5. y = 3x - 2 ਲਈ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲੱਭੋ।
6. y = x^2 - 4x + 4 ਲਈ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲੱਭੋ।