ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਨ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦੇ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਨ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦਾ ਇੱਕ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਇਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੈ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ Q(x)Q(x) ਦਾ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੈ।
ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ, ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ, ਅਤੇ ਗੈਰ-ਰੇਖੀ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ—ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ।
ਭਿੰਨਾਂ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ; ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਚੱਲ ਜੋੜਨ ਨਾਲ ਉਹ ਹੋਰ ਵੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤੇ ਗਏ ਤਰੀਕੇ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੰਕਲਪ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨਗੇ।
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਜਿੱਥੇ Q(x) ਦੇ ਸਿਰਫ਼ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਨ
ਤर्कਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਘਟਾਉਣ ਸੰਬੰਧੀ ਅਲਜਬਰਾ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ। ਇਹ ਕਾਰਜ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ ਲੱਭਣ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ਤਾਂ ਜੋ ਅਸੀਂ ਜੋੜ ਜਾਂ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ, ਸਰਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕੀਏ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਿੰਗਲ ਸਰਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੱਕ ਵਾਪਸੀ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ:
ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਹਰ, (x+2)(x−3) ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਲਿਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਾਵਾਂਗੇ।
ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਉਲਟ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ (ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰਾਂਗੇ)।
ਅਸੀਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ ਅਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਾਲੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਹਰ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ, ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕੰਮ ਹਰ ਨੂੰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਣਾ ਹੈ।
ਜਦੋਂ ਸਰਲ ਕੀਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਅਸਲ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂ ਘਟਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਰ ਵਜੋਂ ਸੀ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, x 2 −x−6 x 2 −x−6 ਦੇ ਗੁਣਕ ( x−3 )( x+2 ), ( x−3 )( x+2 ) ਹਨ, ਜੋ ਵਿਭਾਜਿਤ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹਰ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਰਲ ਰੂਪ ਨੂੰ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਾਂਗੇ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਚੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਲਈ ਉਪਲਬਧ ਕਈ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।
P(x) Q(x) :Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ:Q(x) ਦੇ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਨ
P(x) Q(x) P(x) Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਜਦੋਂ Q(x) Q(x) ਦੇ ਅਣ-ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਹਨ ਅਤੇ P(x) P(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ Q(x) Q(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਉਹ ਹੈ
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਹਰ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ।
ਅਸਲ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਚੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ A,B, A,B, ਜਾਂ C, C, ਗੁਣਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਆਧਾਰ 'ਤੇ, ਹਰੇਕ ਚੱਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਗੁਣਕ ਉੱਤੇ ਰੱਖੋ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ ਲਈ A n A n ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ P(x) Q(x) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) +⋯+ A n ( a n x+ b n ) P(x) Q(x) = A 1 ( a 1 x+ b 1 ) + A 2 ( a 2 x+ b 2 ) +⋯+ A n ( a n x+ b n )
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ।
1. ਮਿਸਾਲ 1
2. ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਵਿਘਟਨ
3. ਵੱਖਰੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਘਟਨ ਕਰੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਅਸੀਂ ਹਰ (denominator) ਦੇ ਕਾਰਕਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਅੰਸ਼ (numerator) ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਕ ਨਾਮ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ A, B, ਜਾਂ C, ਦੇਵਾਂਗੇ।
6. ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ:
7. ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ
8. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
9. ਸੰਬੰਧਿਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
10. ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11. ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀਆਂ ਮੂਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿੱਚ B=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
12. ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਹੈ
13. A ਜਾਂ B ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ ਅਤੇ x ਦਾ ਅਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਬਦਲਿਆ ਜਾਵੇ ਜੋ A- ਜਾਂ B-ਪਦ ਨੂੰ 0 ਬਣਾ ਦੇਵੇ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ x=1 ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ A-ਪਦ 0 ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
14. ਅੱਗੇ, ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ B=1 ਬਦਲੋ ਅਤੇ A ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ, ਜਾਂ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ x=−2 ਬਦਲ ਕੇ B-ਪਦ ਨੂੰ 0 ਬਣਾਓ।
15. ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ A ਅਤੇ B ਲਈ ਇੱਕੋ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਇਸ ਲਈ ਵਿਘਟਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
16. ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹ ਤਰੀਕਾ ਪਾਠ ਪੁਸਤਕਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਨਹੀਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਬਦਲ ਵਜੋਂ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕੁਝ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨਾਂ ਨੂੰ ਆਸਾਨ ਬਣਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਹੈਵਿਸਾਈਡ ਵਿਧੀ (Heaviside method) ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨਿਕਸ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਦੇ ਮੋਢੀ ਚਾਰਲਸ ਹੈਵਿਸਾਈਡ (Charles Heaviside) ਦੇ ਨਾਮ 'ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।
17. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #1
18. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਲੱਭੋ।
19. P(x) / Q(x) ਦਾ ਵਿਘਟਨ ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹੋਣ
20. ਕੁਝ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਅਸੀਂ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਉਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਯਾਦ ਰੱਖਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਕਾਰਕ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਕੇ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਕਾਰਕਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।
21. P(x) / Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ: ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ ਹੋਣ
22. P(x) / Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ, ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਗਿਆ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕ n ਵਾਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ P(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ Q(x) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਹ ਹੈ
23. ਹਰ ਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ ਨੂੰ ਵਧਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
24. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਤਰਕੀਬੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ A, B, ਜਾਂ C ਵਰਗੇ ਚਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦਾ ਧਿਆਨ ਰੱਖੋ।
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਫੈਲਾਓ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 2
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕਰਨਾ
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤਰਕੀਬੀ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ x ( x−2 ) 2 ਹਨ। ( x−2 ) ਦੇ ਦੁਹਰਾਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਲਈ, ਵੰਡ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਹਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ: x, ( x−2 ), ਅਤੇ ( x−2 ) 2। ਇਸ ਲਈ,
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ, ਅਸੀਂ ਫੈਲਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇਵੇਗਾ:
A ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ
ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ A=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਫਿਰ, C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ A ਅਤੇ B ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਇਸ ਲਈ,
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
ਦੁਹਰਾਈਆਂ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵੰਡ ਪਤਾ ਕਰੋ।
P( x ) Q( x ) ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ, ਜਿੱਥੇ Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਈ ਅਟੁੱਟ ਦੋਘਾਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ
ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵੰਡ ਉਹਨਾਂ ਵਿਅੰਜਨਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤੀ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਸਨ, ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਅੰਸ਼ਾਂ A, B, ਜਾਂ C ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜੋ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਉਦਾਹਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਿੱਥੇ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਵਿਅੰਜਨ ਹੈ ਜੋ ਫੈਲਦਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਅਟੁੱਟ ਦੋਘਾਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ Ax+B, Bx+C, ਆਦਿ ਵਰਗੇ ਰੇਖੀ ਅੰਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
P( x ) Q( x ) : Q(x) ਦਾ ਵੰਡ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਈ ਅਟੁੱਟ ਦੋਘਾਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ
P( x ) Q( x ) ਦੀ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵੰਡ ਜਿੱਥੇ Q(x) ਕੋਲ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਈ ਅਟੁੱਟ ਦੋਘਾਤੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਅਤੇ P( x ) ਦੀ ਡਿਗਰੀ Q( x ) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:
ਜੇਕਰ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਤਾਂ ਵੰਡ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਤਰਕੀਬੀ ਵਿਅੰਜਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਰੇਖੀ ਗੁਣਨਖੰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਸਥਿਰ ਅੰਸ਼ ਹੋਵੇਗਾ: A, B, C, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੀ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ
ਇੱਕ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਹਰ (denominator) ਦੇ ਗੁਣਕ (factors) ਵੱਖਰੇ, ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹਨ, ਇਸਨੂੰ ਵਿਭਾਜਿਤ ਕਰੋ।
ਰੇਖੀ ਗੁਣਕਾਂ ਉੱਤੇ ਸਥਿਰ ਅੰਸ਼ (constant numerators) ਲਈ A, B, ਜਾਂ C ਵਰਗੇ ਚਲਾਂ (variables) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਹਰ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਦੇ ਅੰਸ਼ (numerators) ਲਈ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ (linear expressions) ਜਿਵੇਂ ਕਿ A₁x + B₁, A₂x + B₂, ਆਦਿ, ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ (common denominator) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ (like terms) ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ (coefficients) ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ (system of equations) ਬਣਾਓ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
P(x)/Q(x) ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ (partial fraction decomposition) ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਗੁਣਕ ਅਤੇ ਇੱਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ ਸਥਿਰ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਅੰਸ਼ ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕਦਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰੋ।
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਅਸੀਂ x ਦਾ ਇੱਕ ਮੁੱਲ ਚੁਣ ਕੇ A ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ Bx+C ਪਦ ਨੂੰ 0 ਬਣਾ ਦੇਵੇਗਾ। x = -3 ਮੰਨੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ A ਦਾ ਮੁੱਲ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਪਸ ਬਦਲੋ। ਫਿਰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰੋ।
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖਣ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਦੀ ਹੈ।
ਸਮੀਕਰਨ (1) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ B ਲਈ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ C ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਹੈ
Q&A
ਕੀ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ 3 ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿਰਫ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ?
ਹਾਂ, ਅਸੀਂ A ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਇਹ ਹੋਵੇਗਾ:
ਇਸ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਇਹ ਹੋਵੇਗੀ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
P(x)/Q(x) ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਜਦੋਂ Q(x) ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲਾ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ
ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਸਰਲ ਕੀਤੇ ਤਰਕਸ਼ੀਲ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਭਾਜਨ ਨੂੰ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਵਿਭਾਜਨ ਵਿੱਚ ਵਧਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਆਂ (increasing powers) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਰੇਕ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਉੱਤੇ ਰੇਖੀ ਅੰਸ਼ਾਂ ਵਾਲੇ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣਗੇ।
P(x) Q(x) ਦਾ ਵਿਘਟਨ P(x) Q(x) ਜਦੋਂ Q(x) ਦਾ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ
P(x) Q(x) ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ, P(x) Q(x) ਦਾ, ਜਦੋਂ Q(x) Q(x) ਦਾ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ ਅਤੇ P(x) P(x) ਦੀ ਘਾਤ Q(x) Q(x) ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ, ਇਹ ਹੈ
ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
ਕਿਵੇਂ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਨੁਪਾਤਕ ਵਿਅੰਜਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਇਆ ਅਟੁੱਟ ਗੁਣਕ ਹੋਵੇ, ਉਸਨੂੰ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰੋ।
ਹਰਾਂ ਵਿੱਚ ਹਰ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਲਈ, ਜਿਹੜਾ ਵਧਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 (a x 2 +bx+c) + A 2 x+ B 2 (a x 2 +bx+c) 2 +⋯+ A n + B n (a x 2 +bx+c) n P(x) Q(x) = A ax+b + A 1 x+ B 1 (a x 2 +bx+c) + A 2 x+ B 2 (a x 2 +bx+c) 2 +⋯+ A n + B n (a x 2 +bx+c) n , ਰੇਖੀ ਰੂਪ Ax+B, Ax+B, ਜਾਂ Cx+D, Cx+D, ਆਦਿ, ਵਰਤੋ।
ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝੇ ਹਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਮਾਨ ਪਦ ਇਕੱਠੇ ਕਰੋ।
ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਰੱਖ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਓ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਅਨੁਪਾਤਕ ਫਲਨ ਦਾ ਵਿਘਟਨ
ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਟੁੱਟ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵਿਅੰਜਨ ਨੂੰ ਵਿਘਟਿਤ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਹਰ ਦੇ ਗੁਣਕ x, (x 2 +1), x, (x 2 +1), ਅਤੇ (x 2 +1) 2 ਹਨ। (x 2 +1) 2 । ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਕ ਇੱਕ ਵਰਗਾਕਾਰ ਹੋਵੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਪਦ ਸ਼ਾਮਲ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅੰਸ਼ ਰੇਖੀ ਰੂਪ Ax+B, Ax+B ਦਾ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। Ax+B। ਇਸ ਲਈ, ਆਓ ਵਿਘਟਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ।
ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਪਦ ਨੂੰ x (x 2 +1) 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਹਰਾਂ ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। x (x 2 +1) 2 । ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਕਰਾਂਗੇ।
ਬਰਾਬਰ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸੰਗਤ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦਾ ਮੇਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਬਦਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ A=1, A=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਤੀਜੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ A=1, A=1 ਅਤੇ B=0, B=0 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਚੌਥੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ C=1, C=1 ਨੂੰ ਬਦਲੋ।
ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਨਿਸ਼ਾਨ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਾਰੇ ਅਣਜਾਣਾਂ ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਲਿਆ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ A=1, A=1, B=0, B=0, C=1, C=1, D=−1, D=−1, ਅਤੇ E=−2 ਹੈ। E=−2। ਅਸੀਂ ਵਿਘਟਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਹਰ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਅਟੁੱਟ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਵਾਲੇ ਵਿਅੰਜਨ ਦਾ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਨਾਲ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ
ਦੁਹਰਾਏ ਗਏ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ
ਰੇਖੀ ਅਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕਾਂ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ
ਮੌਖਿਕ
ਕੀ ਬਹੁਪਦਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਭਾਗ ਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਘਟਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਅਜਿਹੀ ਭਿੰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਵਿਲੱਖਣ ਕਿਉਂ ਹੈ? (ਸੰਕੇਤ: ਇਸਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਜੋਂ ਸੋਚੋ।)
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਨੂੰ ਗ੍ਰਾਫਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕਿਵੇਂ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਤੁਹਾਨੂੰ ਯਕੀਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਵਿਘਟਿਤ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬ ਦੀ ਦੋਹਰੀ ਜਾਂਚ ਕਿਵੇਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।
ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਵਿਘਟਨ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ 7x+13 / (x^2+8x+15) = A / (x+1) + B / (3x+5) ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਅੰਤ ਵਿੱਚ 7x+13 = A(3x+5) + B(x+1) ਤੱਕ ਸਰਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਦੱਸੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਬੁੱਧੀਮਾਨੀ ਨਾਲ ਇੱਕ x-ਮੁੱਲ ਕਿਵੇਂ ਚੁਣ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜੋ A ਜਾਂ B ਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦੇਵੇ ਅਤੇ A ਅਤੇ B ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੇ।
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਗੈਰ-ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਦਾ ਵਿਘਟਨ ਲੱਭੋ।
5x+16 / (x^2+10x+24)
3x−79 / (x^2−5x−24)
−x−24 / (x^2−2x−24)
10x+47 / (x^2+7x+10)
x+6 / (x^2+25x+25)
32x−11 / (20x^2−13x+2)
x+1 / (x^2+7x+10)
5x / (x^2−9)
10x / (x^2−25)
6x / (x^2−4)
2x−3 / (x^2−6x+5)
4x−1 / (x^2−x−6)
4x+3 / (x^2+8x+15)
3x−1 / (x^2−5x+6)
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖੀ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਛੋੜਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
−5x−19 / (x+4)^2
x / (x−2)^2
7x+14 / (x+3)^2
−24x−27 / (4x+5)^2
−24x−27 / (6x−7)^2
5−x / (x−7)^2
5x+14 / (2x^2+12x+18)
5x^2+20x+8 / (2x(x+1)^2)
4x^2+55x+25 / (5x(3x+5)^2)
54x^3+127x^2+80x+16 / (2x^2(3x+2)^2)
x^3−5x^2+12x+144 / (x^2(x^2+12x+36))
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਟੁੱਟ, ਅਦੁਹਰਾਏ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਕਾਰਕਾਂ ਲਈ ਅੰਸ਼ਿਕ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਵਿਛੋੜਾ ਪਤਾ ਕਰੋ।
4x^2+6x+11 / ((x+2)(x^2+x+3))
4x^2+9x+23 / ((x−1)(x^2+6x+11))
−2x^2+10x+4 / ((x−1)(x^2+3x+8))
x^2+3x+1 / ((x+1)(x^2+5x−2))
4x^2+17x−1 / ((x+3)(x^2+6x+1))
4x^2 / ((x+5)(x^2+7x−5))
4x^2+5x+3 / (x^3−1)
−5x^2+18x−4 / (x^3+8)
3x^2 - 7x + 33 / x^3 + 27
x^2 + 2x + 40 / x^3 - 125
4x^2 + 4x + 12 / 8x^3 - 27
-50x^2 + 5x - 3 / 125x^3 - 1
-2x^3 - 30x^2 + 36x + 216 / x^4 + 216x
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅਟੁੱਟ ਦੁਹਰਾਉਣ ਵਾਲੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗੁਣਕ ਦੇ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਦੇ ਵਿਭਾਜਨ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
3x^3 + 2x^2 + 14x + 15 / (x^2 + 4)^2
x^3 + 6x^2 + 5x + 9 / (x^2 + 1)^2
x^3 - x^2 + x - 1 / (x^2 - 3)^2
x^2 + 5x + 5 / (x + 2)^2
x^3 + 2x^2 + 4x / (x^2 + 2x + 9)^2
x^2 + 25 / (x^2 + 3x + 25)^2
2x^3 + 11x^2 + 7x + 70 / (2x^2 + x + 14)^2
5x + 2 / x(x^2 + 4)^2
x^4 + x^3 + 8x^2 + 6x + 36 / x(x^2 + 6)^2
2x - 9 / (x^2 - x)^2
5x^3 - 2x + 1 / (x^2 + 2x)^2
ਵਿਸਥਾਰ
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।
x^2 + 4 / (x + 1)^3
x^3 - 4x^2 + 5x + 4 / (x - 2)^3
ਅਗਲੇ ਅਭਿਆਸਾਂ ਲਈ, ਕਾਰਵਾਈ ਕਰੋ ਅਤੇ ਫਿਰ ਅੰਸ਼ਕ ਭਿੰਨ ਦਾ ਵਿਭਾਜਨ ਲੱਭੋ।
7x + 8 / x - 2 + 5x - 2 / x^2 - 6x - 16
1 / x - 4 - 3 / x + 6 - 2x + 7 / x^2 + 2x - 24
2x^3 - 16x^2 - 1 - 2x^3 + 6x + 8 - x^2 - 5x^2 - 4x