ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਵਧਾਇਆ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
ਵਧਾਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ।
ਮੈਟਰਿਕਸ ਉੱਤੇ ਕਤਾਰ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰੋ।
ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਚਿੱਤਰ 1: ਜਰਮਨ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਕਾਰਲ ਫ੍ਰੀਡਰਿਕ ਗੌਸ (1777–1855)।
ਕਾਰਲ ਫ੍ਰੀਡਰਿਕ ਗੌਸ 18ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਅਖੀਰ ਅਤੇ 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਰਹੇ, ਪਰ ਫਿਰ ਵੀ ਉਹ ਇਤਿਹਾਸ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉਪਜਾਊ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਮੰਨੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਯੋਗਦਾਨ ਅਲਜਬਰਾ, ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤ, ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ, ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਖਗੋਲ-ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਆਪਟਿਕਸ ਵਰਗੇ ਖੇਤਰਾਂ ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। ਮੈਟਰਿਕਸ ਸਿਧਾਂਤ ਬਾਰੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਖੋਜਾਂ ਨੇ ਪਿਛਲੀਆਂ ਦੋ ਸਦੀਆਂ ਤੋਂ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ।
ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ: ਦੋ ਚੱਲ ਵਿੱਚ ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਤਕਨੀਕ ਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਦੇਖਾਂਗੇ, ਇਸ ਵਾਰ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਵਧਾਇਆ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖਣਾ
ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਅਤੇ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਕਰਨ ਵਜੋਂ ਕੰਮ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਚੱਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਅਤੇ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ ਇਹ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਅੰਕ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ ਬਰਾਬਰ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਇਆ ਮੈਟਰਿਕਸ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।
ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀ 2×2 ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:
ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵੀ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਤਿੰਨ-ਬਾਏ-ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਹੈ
ਅਤੇ ਵਧਾਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ
ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਮੈਟਰਿਕਸ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਚੱਲ ਆਪਣੇ ਕਾਲਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇਕਸਾਰ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ: x-ਪਦ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, y-ਪਦ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ z-ਪਦ ਤੀਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ax+by+cz=d ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਵੇ ਤਾਂ ਜੋ ਚੱਲ ਇਕਸਾਰ ਹੋ ਜਾਣ। ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਗੁੰਮ ਚੱਲ ਪਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਗੁਣਾਂਕ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇੱਕ ਵਧਾਇਆ ਮੈਟਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
x-ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
y-ਪਦਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਜੇ z-ਪਦ ਹਨ, ਤਾਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਤੀਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰਾਂ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਸਥਿਰਾਂਕ ਲਿਖੋ।
1. ਮਿਸਾਲ 1
2. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖਣਾ
3. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
4. ਹੱਲ
5. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਚਲਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ, ਅਤੇ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਵਾਧੂ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
6. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
7. ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
8. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖਣਾ
9. ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾਈ ਗਈਆਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਕਾਰਜਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਚਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬੋਝਲ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸੁਚਾਰੂ ਅਤੇ ਵਧੇਰੇ ਅਨੁਭਵੀ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਫਾਰਮੈਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਗੇ-ਪਿੱਛੇ ਜਾਣਾ ਸਮਝਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖਣ ਲਈ ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
10. ਮਿਸਾਲ 2
11. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੂਪ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖਣਾ
12. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲੱਭੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਜਦੋਂ ਕਾਲਮ ਚਲਾਂ x, x, y, y, ਅਤੇ z, z ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ,
15. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #2
16. ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਤੋਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ।
17. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਰੋਅ ਆਪਰੇਸ਼ਨ ਕਰਨਾ
18. ਹੁਣ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੋਅ ਆਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੋੜ, ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਨਾਲ ਗੁਣਾ, ਅਤੇ ਰੋਅ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ।
19. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਰੋਅ ਆਪਰੇਸ਼ਨ ਕਰਨਾ ਉਹ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਰੋਅ-ਏਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ-ਖੱਬੇ ਕੋਨੇ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ-ਸੱਜੇ ਕੋਨੇ ਤੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਨਾਲ 1 ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹਰ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।
20. ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਆਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰੀ ਰੋਅ ਆਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਸਰਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੋਅ-ਸਮਤੁਲ ਹੈ। ਰੋਅ-ਏਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਥੇ ਦਿਸ਼ਾ-ਨਿਰਦੇਸ਼ ਹਨ।
21. ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਰੋਅ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲੀ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਸੰਖਿਆ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ 1 ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
22. ਕੋਈ ਵੀ ਸਾਰੀ-ਜ਼ੀਰੋ ਰੋਅ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।
23. ਕੋਈ ਵੀ ਪ੍ਰਮੁੱਖ 1 ਪਿਛਲੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ 1 ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
24. ਕੋਈ ਵੀ ਕਾਲਮ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਮੁੱਖ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਉਸ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਬੈਕ-ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਰੋਜ਼ ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ। (ਨੋਟੇਸ਼ਨ: R i ↔ R j)
ਇੱਕ ਰੋ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। (ਨੋਟੇਸ਼ਨ: c R i)
ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਇੱਕ ਰੋ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਰੋ ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। (ਨੋਟੇਸ਼ਨ: R i +c R j)
ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਉਹਨਾਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲਜ਼ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਿੱਖ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਇਹਨਾਂ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਨਾਲ, ਕੁਝ ਮੁੱਖ ਚਾਲਾਂ ਹਨ ਜੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਣ ਦੇ ਟੀਚੇ ਨੂੰ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਗੀਆਂ। ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ, ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਵਜੋਂ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਰੋ 1 ਨੂੰ ਬਾਕੀ ਰੋਜ਼ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕੇ।
ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ
ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ ਵਿਧੀ ਇੱਕ ਰਣਨੀਤੀ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਟੀਚਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਨੂੰ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹੇਠਾਂ 1 ਦੇ ਅੰਕ ਨਾਲ ਲਿਖਣਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੇਠਾਂ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।
ਗੌਸੀਅਨ ਰਣਨੀਤੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਵਜੋਂ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਰੋ 1 ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਰੋਜ਼ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕੇ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਕਰੋ।
ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ 1 ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਗੁਣਕ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਰੋਜ਼ ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
1 ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਹੇਠਾਂ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਰੋ 2, ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
1 ਦੀ ਐਂਟਰੀ ਹੇਠਾਂ ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਰੋ 3, ਕਾਲਮ 3 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਰੋ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਸਾਰੀਆਂ ਰੋਜ਼ ਲਈ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਹਰ ਐਂਟਰੀ ਵਿੱਚ 1 ਨਾ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾ ਹੋਣ।
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਰੋਜ਼ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਨਾਲ ਭਰੀਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 3
ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ ਦੁਆਰਾ 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਗੌਸੀਅਨ ਵਿਲੋਪਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
ਅਸੀਂ ਰੋ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ 1 ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਰੋ 1 ਅਤੇ ਰੋ 2 ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੁਣ ਰੋ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੀ ਐਂਟਰੀ ਵਜੋਂ 1 ਹੈ। ਹੁਣ ਆਓ ਰੋ 2, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ 0 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੀਏ। ਇਹ ਰੋ 1 ਨੂੰ −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਰੋ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਦਮ ਚੁੱਕਣਾ ਹੈ, ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ 1/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਹੈ।
ਪਿਛਲੀ-ਬਦਲੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ y=1 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। y=1 ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਪਿਛਲੀ-ਬਦਲੀ ਕਰੋ।
ਹੱਲ ਬਿੰਦੂ (3/2, 1) ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ
ਦਿੱਤੇ ਗਏ 2x2 ਸਿਸਟਮ ਆਫ਼ ਇਕੁਏਸ਼ਨਜ਼ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਹੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਜੋਂ ਲਿਖੋ।
ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ। ਇਹ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ 1/2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ, ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ 0 ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਨੂੰ -4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਜੋੜੋ।
ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਸਮੀਕਰਨ 0=4 ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਿਸਟਮ ਅਸੰਗਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 5
ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਫਾਰਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵਧਾਈ ਹੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਰੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਕਰੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਆਖਰੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਖਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: 0y=0। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹੱਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਨਿਰਭਰ ਵਜੋਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਜਨਤਕ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ 'ਤੇ ਵਾਪਸ ਜਾਓ ਅਤੇ y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਹੱਲ (x, 3 - 3/4 x) ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 6
ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਫਾਰਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ 3x3 ਵਧਾਈ ਹੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਰੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਕਰਨਾ
ਰੋ-ਇਚੇਲੋਨ ਫਾਰਮ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 'ਤੇ ਰੋ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਕਰੋ।
ਹੱਲ
1. ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 1 ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਹੈ। ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਹੈ ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜਨਾ। ਫਿਰ ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ ਨਤੀਜੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿਓ।
2. ਅਗਲਾ, ਕਤਾਰ 3, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
3. ਅਗਲਾ, ਕਤਾਰ 3, ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰੋ।
4. ਆਖਰੀ ਕਦਮ ਕਤਾਰ 3, ਕਾਲਮ 3 ਵਿੱਚ ਇੱਕ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੈ।
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
6. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕਤਾਰ-ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
7. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
8. ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਵਧੀ ਹੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਲਿਖਣਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਅਤੇ ਪਿਛਲੀ-ਬਦਲ metode ਨਾਲ ਕਤਾਰ-ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ 3 ਬਾਈ 3 ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ-ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਦਮ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਲੈ ਜਾਵਾਂਗੇ। ਆਮ ਵਿਚਾਰ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰਿਆਂ ਨੂੰ ਖ਼ਤਮ ਕਰਨਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੂਜੇ ਵੇਰੀਏਬਲਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਪਿਛਲੀ-ਬਦਲ metode ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧਣਾ ਹੈ।
9. ਉਦਾਹਰਨ 7
10. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
11. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
12. ਹੱਲ
13. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਵਧੀ ਹੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।
14. ਅਗਲਾ, ਅਸੀਂ ਕਤਾਰ-ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਕਤਾਰ 2, ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ R 2 R 2 ਅਤੇ R 3 . R 3 . ਨੂੰ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣਾ ਹੈ।
16. ਫਿਰ
17. ਆਖਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਬਰਾਬਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।
18. ਪਿਛਲੀ-ਬਦਲ metode ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਹੱਲ ( 4,−3,1 ) . ( 4,−3,1 ) . ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
19. ਉਦਾਹਰਨ 8
20. ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਨਿਰਭਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
21. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
22. ਹੱਲ
23. ਵਧੀ ਹੋਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਿਖੋ।
24. ਪਹਿਲਾਂ, ਕਤਾਰ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ 1 ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ −1 −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਫਿਰ, ਕਤਾਰ-ਸਿਖਰ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
1. ਆਖਰੀ ਮੈਟਰਿਕਸ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।
2. ਅਸੀਂ 0=0 0=0 ਦੀ ਪਛਾਣ ਦੁਆਰਾ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਨਿਰਭਰ ਸਿਸਟਮ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹਨ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਆਮ ਹੱਲ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ y y ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ z z ਨੂੰ x x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
3. ਹੁਣ ਅਸੀਂ z z ਦੇ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ y y ਨੂੰ x x ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ।
4. ਆਮ ਹੱਲ ( x, 2−2x 3 , 1−x 3 ) ਹੈ। ( x, 2−2x 3 , 1−x 3 )।
5. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #5
6. ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
Q&A
7. ਕੀ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?
8. ਹਾਂ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਕਾਰ ਦੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੁਆਰਾ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
9. ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ
10. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ 'ਤੇ, ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
11. ਵਧੇ ਹੋਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [A],[B],[C],... ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੇਵ ਕਰੋ। [A],[B],[C],...
12. ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ref( ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਹਰੇਕ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਕਾਲ ਕਰੋ।
13. ਉਦਾਹਰਨ 9
14. ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
15. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
16. ਹੱਲ
17. ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਲਈ ਵਧੇ ਹੋਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਲਿਖੋ।
18. ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਦੇ ਮੈਟਰਿਕਸ ਪੰਨੇ 'ਤੇ, ਉਪਰੋਕਤ ਵਧੇ ਹੋਏ ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ A ] ਵਜੋਂ ਦਰਜ ਕਰੋ। [ A ]
19. ਕੈਲਕੁਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ref( ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਮੈਟਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ A ] ਨੂੰ ਕਾਲ ਕਰੋ। [ A ]
20. ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
21. ਬੈਕ-ਸਬਸਟੀਚਿਊਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਹੱਲ ( 61 187 ,− 92 187 ,− 24 187 ) ਹੈ। ( 61 187 ,− 92 187 ,− 24 187 )
22. ਉਦਾਹਰਨ 10
23. 2 × 2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਨੂੰ ਵਿੱਤ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
24. ਕੈਰੋਲਿਨ ਦੋ ਮਿਉਂਸਪਲ ਬਾਂਡਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ $12,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਇੱਕ 10.5% ਵਿਆਜ ਅਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ 12% ਵਿਆਜ ਅਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਦੋਵੇਂ ਨਿਵੇਸ਼ਾਂ 'ਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ $1,335 ਸੀ। ਹਰੇਕ ਦਰ 'ਤੇ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ?
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ x= x= 10.5% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ, ਅਤੇ y= y= 12% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਜੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਪੰਗਤੀ 1 ਨੂੰ −0.105 −0.105 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਪੰਗਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
ਫਿਰ,
ਇਸ ਲਈ 12,000−5,000=7,000। 12,000−5,000=7,000।
ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $5,000 12% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਅਤੇ $7,000 10.5% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 11
ਵਿੱਤ 'ਤੇ 3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ
ਅਵਾ ਨੇ ਤਿੰਨ ਖਾਤਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ $10,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਇੱਕ 5% ਵਿਆਜ ਦੇ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਦੂਜਾ 8% ਵਿਆਜ ਦੇ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਤੀਜਾ 9% ਵਿਆਜ ਦੇ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਸਾਲ ਤਿੰਨਾਂ ਨਿਵੇਸ਼ਾਂ 'ਤੇ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ $770 ਸੀ। 9% 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ 5% 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ ਤੋਂ ਦੁੱਗਣੀ ਸੀ। ਹਰ ਦਰ 'ਤੇ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ?
ਹੱਲ
ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤਿੰਨ ਵੇਰੀਏਬਲ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ x x 5% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ y y 8% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ z z 9% ਵਿਆਜ 'ਤੇ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰਕਮ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਜੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਰੋ-ਐਚੇਲੋਨ ਰੂਪ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
ਤੀਜੀ ਪੰਗਤੀ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ − 1 3 z=−2,000; − 1 3 z=−2,000; ਇਸ ਲਈ z=6,000। z=6,000।
ਦੂਜੀ ਪੰਗਤੀ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ y+ 4 3 z=9,000। y+ 4 3 z=9,000। z=6,000, z=6,000 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਪਹਿਲੀ ਪੰਗਤੀ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ x+y+z=10,000। x+y+z=10,000। y=1,000 y=1,000 ਅਤੇ z=6,000, z=6,000 ਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ
ਜਵਾਬ ਹੈ 5% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $3,000, 8% 'ਤੇ $1,000, ਅਤੇ 9% ਵਿਆਜ 'ਤੇ $6,000 ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #6
ਇੱਕ ਛੋਟੀ ਜੁੱਤੀ ਕੰਪਨੀ ਨੇ ਆਪਣੀ ਵਸਤੂ ਸੂਚੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਲਈ $1,500,000 ਦਾ ਕਰਜ਼ਾ ਲਿਆ। ਪੈਸੇ ਦਾ ਕੁਝ ਹਿੱਸਾ 7% 'ਤੇ, ਕੁਝ 8% 'ਤੇ, ਅਤੇ ਕੁਝ 10% 'ਤੇ ਉਧਾਰ ਲਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। 10% 'ਤੇ ਉਧਾਰ ਲਈ ਗਈ ਰਕਮ 7% 'ਤੇ ਉਧਾਰ ਲਈ ਗਈ ਰਕਮ ਤੋਂ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਸੀ, ਅਤੇ ਤਿੰਨਾਂ ਕਰਜ਼ਿਆਂ 'ਤੇ ਸਾਲਾਨਾ ਵਿਆਜ $130,500 ਸੀ। ਹਰ ਦਰ 'ਤੇ ਉਧਾਰ ਲਈ ਗਈ ਰਕਮ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਗੌਸੀਅਨ ਖਾਤਮੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਇੱਕ ਸੰਵਰਧਿਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਇੱਕ ਸੰਵਰਧਿਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ
Augmented Matrices on the Calculator
Verbal
Can any system of linear equations be written as an augmented matrix? Explain why or why not. Explain how to write that augmented matrix.
Can any matrix be written as a system of linear equations? Explain why or why not. Explain how to write that system of equations.
Is there only one correct method of using row operations on a matrix? Try to explain two different row operations possible to solve the augmented matrix [ 9 3 1 −2 | 0 6 ]. [ 9 3 1 −2 | 0 6 ].
Can a matrix whose entry is 0 on the diagonal be solved? Explain why or why not. What would you do to remedy the situation?
Can a matrix that has 0 entries for an entire row have one solution? Explain why or why not.
Algebraic
For the following exercises, write the augmented matrix for the linear system.
8x−37y=8 2x+12y=3 8x−37y=8 2x+12y=3
16y=4 9x−y=2 16y=4 9x−y=2
3x+2y+10z=3 −6x+2y+5z=13 4x+z=18 3x+2y+10z=3 −6x+2y+5z=13 4x+z=18
x+5y+8z=19 12x+3y=4 3x+4y+9z=−7 x+5y+8z=19 12x+3y=4 3x+4y+9z=−7
6x+12y+16z=4 19x−5y+3z=−9 x+2y=−8 6x+12y+16z=4 19x−5y+3z=−9 x+2y=−8
For the following exercises, write the linear system from the augmented matrix.
[ −2 5 6 −18 | 5 26 ] [ −2 5 6 −18 | 5 26 ]
[ 3 4 10 17 | 10 439 ] [ 3 4 10 17 | 10 439 ]
[ 3 2 0 −1 −9 4 8 5 7 | 3 −1 8 ] [ 3 2 0 −1 −9 4 8 5 7 | 3 −1 8 ]
[ 8 29 1 −1 7 5 0 0 3 | 43 38 10 ] [ 8 29 1 −1 7 5 0 0 3 | 43 38 10 ]
[ 4 5 −2 0 1 58 8 7 −3 | 12 2 −5 ] [ 4 5 −2 0 1 58 8 7 −3 | 12 2 −5 ]
For the following exercises, solve the system by Gaussian elimination.
[ 1 0 0 0 | 3 0 ] [ 1 0 0 0 | 3 0 ]
[ 1 0 1 0 | 1 2 ] [ 1 0 1 0 | 1 2 ]
[ 1 2 4 5 | 3 6 ] [ 1 2 4 5 | 3 6 ]
[ −1 2 4 −5 | −3 6 ] [ −1 2 4 −5 | −3 6 ]
[ −2 0 0 2 | 1 −1 ] [ −2 0 0 2 | 1 −1 ]
2x−3y=−9 5x+4y=58 2x−3y=−9 5x+4y=58
6x+2y=−4 3x+4y=−17 6x+2y=−4 3x+4y=−17
2x+3y=12 4x+y=14 2x+3y=12 4x+y=14
−4x−3y=−2 3x−5y=−13 −4x−3y=−2 3x−5y=−13
−5x+8y=3 10x+6y=5 −5x+8y=3 10x+6y=5
3x+4y=12 −6x−8y=−24 3x+4y=12 −6x−8y=−24
−60x+45y=12 20x−15y=−4 −60x+45y=12 20x−15y=−4
11x+10y=43 15x+20y=65 11x+10y=43 15x+20y=65
2x−y=2 3x+2y=17 2x−y=2 3x+2y=17
−1.06x−2.25y=5.51 −5.03x−1.08y=5.40 −1.06x−2.25y=5.51 −5.03x−1.08y=5.40
3 4 x− 3 5 y=4 1 4 x+ 2 3 y=1 3 4 x− 3 5 y=4 1 4 x+ 2 3 y=1
1 4 x− 2 3 y=−1 1 2 x+ 1 3 y=3 1 4 x− 2 3 y=−1 1 2 x+ 1 3 y=3
[ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 | 31 45 87 ] [ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 | 31 45 87 ]
[ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 | 50 20 −90 ] [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 | 50 20 −90 ]
[ 1 2 3 0 5 6 0 0 8 | 4 7 9 ] [ 1 2 3 0 5 6 0 0 8 | 4 7 9 ]
[ −0.1 0.3 −0.1 −0.4 0.2 0.1 0.6 0.1 0.7 | 0.2 0.8 −0.8 ] [ −0.1 0.3 −0.1 −0.4 0.2 0.1 0.6 0.1 0.7 | 0.2 0.8 −0.8 ]
−2x+3y−2z=3 4x+2y−z=9 4x−8y+2z=−6 −2x+3y−2z=3 4x+2y−z=9 4x−8y+2z=−6
x+y−4z=−4 5x−3y−2z=0 2x+6y+7z=30 x+y−4z=−4 5x−3y−2z=0 2x+6y+7z=30
2x+3y+2z=1 −4x−6y−4z=−2 10x+15y+10z=5 2x+3y+2z=1 −4x−6y−4z=−2 10x+15y+10z=5
x+2y−z=1 −x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=5 x+2y−z=1 −x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=5
x+2y−z=1 −x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=3 x+2y−z=1 −x−2y+2z=−2 3x+6y−3z=3
x+y=2 x+z=1 −y−z=−3 x+y=2 x+z=1 −y−z=−3
x+y+z=100 x+2z=125 −y+2z=25 x+y+z=100 x+2z=125 −y+2z=25
1 4 x− 2 3 z=− 1 2 1 5 x+ 1 3 y= 4 7 1 5 y− 1 3 z= 2 9 1 4 x− 2 3 z=− 1 2 1 5 x+ 1 3 y= 4 7 1 5 y− 1 3 z= 2 9
− 1 2 x+ 1 2 y+ 1 7 z=− 53 14 1 2 x− 1 2 y+ 1 4 z=3 1 4 x+ 1 5 y+ 1 3 z= 23 15 − 1 2 x+ 1 2 y+ 1 7 z=− 53 14 1 2 x− 1 2 y+ 1 4 z=3 1 4 x+ 1 5 y+ 1 3 z= 23 15
− 1 2 x− 1 3 y+ 1 4 z=− 29 6 1 5 x+ 1 6 y− 1 7 z= 431 210 − 1 8 x+ 1 9 y+ 1 10 z=− 49 45 − 1 2 x− 1 3 y+ 1 4 z=− 29 6 1 5 x+ 1 6 y− 1 7 z= 431 210 − 1 8 x+ 1 9 y+ 1 10 z=− 49 45
Extensions
For the following exercises, use Gaussian elimination to solve the system.
x−1 7 + y−2 8 + z−3 4 =0 x+y+z=6 x+2 3 +2y+ z−3 3 =5 x−1 7 + y−2 8 + z−3 4 =0 x+y+z=6 x+2 3 +2y+ z−3 3 =5
x−1 4 − y+1 4 +3z=−1 x+5 2 + y+7 4 −z=4 x+y− z−2 2 =1 x−1 4 − y+1 4 +3z=−1 x+5 2 + y+7 4 −z=4 x+y− z−2 2 =1
x−3 4 − y−1 3 +2z=−1 x+5 2 + y+5 2 + z+5 2 =8 x+y+z=1 x−3 4 − y−1 3 +2z=−1 x+5 2 + y+5 2 + z+5 2 =8 x+y+z=1
x−3 10 + y+3 2 −2z=3 x+5 4 − y−1 8 +z= 3 2 x−1 4 + y+4 2 +3z= 3 2 x−3 10 + y+3 2 −2z=3 x+5 4 − y−1 8 +z= 3 2 x−1 4 + y+4 2 +3z= 3 2
x−3 4 − y−1 3 +2z=−1 x+5 2 + y+5 2 + z+5 2 =7 x+y+z=1 x−3 4 − y−1 3 +2z=−1 x+5 2 + y+5 2 + z+5 2 =7 x+y+z=1
Real-World Applications
For the following exercises, set up the augmented matrix that describes the situation, and solve for the desired solution.
Every day, Angeni's cupcake store sells 5,000 cupcakes in chocolate and vanilla flavors. If the chocolate flavor is 3 times as popular as the vanilla flavor, how many of each cupcake does the store sell per day?
At Bakari's competing cupcake store, $4,520 worth of cupcakes are sold daily. The chocolate cupcakes cost $2.25 and the red velvet cupcakes cost $1.75. If the total number of cupcakes sold per day is 2,200, how many of each flavor are sold each day?
You invested $10,000 into two accounts: one that has simple 3% interest, the other with 2.5% interest. If your total interest payment after one year was $283.50, how much was in each account after the year passed?
You invested $2,300 into account 1, and $2,700 into account 2. If the total amount of interest after one year is $254, and account 2 has 1.5 times the interest rate of account 1, what are the interest rates? Assume simple interest rates.
Bikes’R’Us manufactures bikes, which sell for $250. It costs the manufacturer $180 per bike, plus a startup fee of $3,500. After how many bikes sold will the manufacturer break even?
A major appliance store has agreed to order vacuums from a startup founded by college engineering students. The store would be able to purchase the vacuums for $86 each, with a delivery fee of $9,200, regardless of how many vacuums are sold. If the store needs to start seeing a profit after 230 units are sold, how much should they charge for the vacuums?
The three most popular ice cream flavors are chocolate, strawberry, and vanilla, comprising 83% of the flavors sold at an ice cream shop. If vanilla sells 1% more than twice strawberry, and chocolate sells 11% more than vanilla, how much of the total ice cream consumption are the vanilla, chocolate, and strawberry flavors?
At an ice cream shop, three flavors are increasing in demand. Last year, banana, pumpkin, and rocky road ice cream made up 12% of total ice cream sales. This year, the same three ice creams made up 16.9% of ice cream sales. The rocky road sales doubled, the banana sales increased by 50%, and the pumpkin sales increased by 20%. If the rocky road ice cream had one less percent of sales than the banana ice cream, find out the percentage of ice cream sales each individual ice cream made last year.
A bag of mixed nuts contains cashews, pistachios, and almonds. There are 1,000 total nuts in the bag, and there are 100 less almonds than pistachios. The cashews weigh 3 g, pistachios weigh 4 g, and almonds weigh 5 g. If the bag weighs 3.7 kg, find out how many of each type of nut is in the bag.
ਮਿਸ਼ਰਤ ਬਦਾਮਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਥੈਲੀ ਵਿੱਚ ਕਾਜੂ, ਪਿਸਤਾ ਅਤੇ ਬਦਾਮ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਥੈਲੀ ਵਿੱਚ 900 ਗਿਰੀਆਂ ਸਨ। ਬਦਾਮਾਂ ਦਾ 30%, ਕਾਜੂਆਂ ਦਾ 20% ਅਤੇ ਪਿਸਤਿਆਂ ਦਾ 10% ਖਾਧਾ ਗਿਆ, ਅਤੇ ਹੁਣ ਥੈਲੀ ਵਿੱਚ 770 ਗਿਰੀਆਂ ਬਚੀਆਂ ਹਨ। ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਕਾਜੂ ਬਦਾਮਾਂ ਨਾਲੋਂ 100 ਵੱਧ ਸਨ। ਪਤਾ ਲਗਾਓ ਕਿ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਥੈਲੀ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਕਿਸਮ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਗਿਰੀ ਸੀ।