ਸਿੱਖਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ:
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇਨਵਰਸ (ਉਲਟ) ਪਤਾ ਕਰੋਗੇ।
ਇਨਵਰਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋਗੇ।
ਸੋਰਿਆ ਨੇ ਆਪਣੇ ਜੋਖਮ ਨੂੰ ਵੰਡਣ ਲਈ $10,500 ਦੋ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਬਾਂਡਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਜਨਾ ਬਣਾਈ ਹੈ। ਪਹਿਲੇ ਬਾਂਡ ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ ਰਿਟਰਨ 10% ਹੈ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਬਾਂਡ ਦਾ ਸਾਲਾਨਾ ਰਿਟਰਨ 6% ਹੈ। ਦੋ ਬਾਂਡਾਂ ਤੋਂ 8.5% ਰਿਟਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ, ਸੋਰਿਆ ਨੂੰ ਹਰੇਕ ਬਾਂਡ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਰਕਮ ਦਾ ਨਿਵੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਤਰੀਕਾ ਕਿਹੜਾ ਹੈ?
ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਕਈ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਵਿੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਅਸਲ-ਦੁਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਉਪਯੋਗੀ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਬਾਂਡ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਸਾਧਨ ਹੋਣਗੇ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਪਤਾ ਕਰਨਾ
ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ $a$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਇਨਵਰਸ $a^{-1}$ ਹੈ, ਅਤੇ $aa^{-1} = a^{-1}a = 1$. ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $2^{-1} = \frac{1}{2}$ ਅਤੇ $(\frac{1}{2})2 = 1$. ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਇਨਵਰਸ ਸੰਕਲਪ ਵਿੱਚ ਸਮਾਨ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਇਨਵਰਸ $A^{-1}$ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ $I_n$ ਦੁਆਰਾ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ ਜਿੱਥੇ $n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਆਯਾਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰੋ।
ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਲਜਬਰਾ ਵਿੱਚ 1 ਵਾਂਗ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $AI = IA = A$.
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਇਨਵਰਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਦੇ ਗੁਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ
ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਿਸਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਇਨਵਰਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਇਨਵਰਸ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਲਟਾ, $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, ਇੱਕ ਲੋੜ ਹੈ। ਸਾਰੇ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਇਨਵਰਸ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਪਰ ਜੇ $A$ ਇਨਵਰਟੀਬਲ ਹੈ, ਤਾਂ $A^{-1}$ ਵਿਲੱਖਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ $2 \times 2$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਤੀਜੇ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸਨੂੰ $2 \times 2$ ਅਤੇ $3 \times 3$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੋਵਾਂ 'ਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਇਨਵਰਸ
ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, $I_n$, ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮੁੱਖ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਸਥਾਨਾਂ 'ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।
ਜੇ $A$ ਇੱਕ $n \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਅਤੇ $B$ ਇੱਕ $n \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $AB = BA = I_n$, ਤਾਂ $B = A^{-1}$, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਇਨਵਰਸ।
ਉਦਾਹਰਨ 1
ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਕਿ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ 1 ਵਾਂਗ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ 'ਤੇ, ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ $AI = IA = A$.
ਹੱਲ
ਇਹ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ $A$ ਅਤੇ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਆਈਡੈਂਟਿਟੀ ਅਤੇ $A$ ਦੇ ਗੁਣਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ, ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਇਨਵਰਸ ਹੈ।
ਆਰਡਰ $n \times n$ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A$ ਅਤੇ ਆਰਡਰ $n \times n$ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $B$ ਦਿੱਤਾ ਹੋਇਆ ਹੈ, $AB$ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
ਜੇ $AB = I$, ਤਾਂ ਗੁਣਫਲ $BA$ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਜੇ $BA = I$, ਤਾਂ $B = A^{-1}$ ਅਤੇ $A = B^{-1}$।
ਉਦਾਹਰਨ 2
1. ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੈ।
2. ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹਨ।
3. ਹੱਲ
4. AB ਅਤੇ BA ਦਾ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਫਲ ਤਤਸਮਕ (identity) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਤਾਂ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
5. A ਅਤੇ B ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
6. ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #1
7. ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ।
8. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
9. ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟ ਹਨ, ਪਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਤਤਸਮਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
10. ਉਦਾਹਰਨ 3
11. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
12. ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ।
13. ਹੱਲ
14. ਇਸ ਵਿਧੀ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਅਣਜਾਣ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੁਆਰਾ A ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਤਤਸਮਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।
15. ਬਰਾਬਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਫਲ ਲੱਭੋ।
16. ਅੱਗੇ, ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਕਤਾਰ 1, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਤਤਸਮਕ, 1 ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਐਂਟਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ। ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਕਤਾਰ 2, ਕਾਲਮ 1 ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਤਤਸਮਕ ਦੇ ਸੰਗਤ ਐਂਟਰੀ, ਜੋ ਕਿ 0 ਹੈ, ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
17. ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ (row operations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਜੋੜ ਕਰੋ: (−2) R 1 + R 2 → R 2 . ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ, ਅਤੇ c ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
18. a ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬੈਕ-ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ।
19. ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਕਤਾਰ 1, ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਤਤਸਮਕ, 0 ਦੇ ਸੰਗਤ ਐਂਟਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਲਿਖੋ। ਕਤਾਰ 2, ਕਾਲਮ 2 ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਨੂੰ ਤਤਸਮਕ ਦੇ ਸੰਗਤ ਐਂਟਰੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਸੈੱਟ ਕਰੋ।
20. ਕਤਾਰ ਕਾਰਜਾਂ (row operations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਜੋੜ ਕਰੋ: ( −2 ) R 1 + R 2 = R 2 . ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜੋ ਅਤੇ d ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
21. ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਬੈਕ-ਸਬਸਟੀਚਿਊਟ ਕਰੋ ਅਤੇ b ਲਈ ਹੱਲ ਕਰੋ।
22. ਤਤਸਮਕ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣਾ
23. ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਲੱਭਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਤਤਸਮਕ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਨੂੰ I ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ I, A −1 ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
24. ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ
ਸੰਗਿਆ ਏ ਏ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਵਧਾਓ।
ਏ ਏ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਨਾਲ ਪੰਕਤੀ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
ਪੰਕਤੀ 1 ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 2 ਬਦਲੋ। [ 5 3 2 1 | 0 1 1 0 ] [ 5 3 2 1 | 0 1 1 0 ]
ਪੰਕਤੀ 2 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 1 2 1 | −2 1 1 0 ] [ 1 1 2 1 | −2 1 1 0 ]
ਪੰਕਤੀ 1 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 1 0 −1 | −2 1 5 −2 ] [ 1 1 0 −1 | −2 1 5 −2 ]
ਪੰਕਤੀ 2 ਨੂੰ ਪੰਕਤੀ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 0 0 −1 | 3 −1 5 −2 ] [ 1 0 0 −1 | 3 −1 5 −2 ]
ਪੰਕਤੀ 2 ਨੂੰ −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। −1. [ 1 0 0 1 | 3 −1 −5 2 ] [ 1 0 0 1 | 3 −1 −5 2 ]
ਜੋ ਮੈਟਰਿਕਸ ਅਸੀਂ ਲੱਭਿਆ ਹੈ ਉਹ ਏ −1 ਹੈ। ਏ −1.
2×2 ਮੈਟਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਲੱਭਣਾ
ਜਦੋਂ ਸਾਨੂੰ 2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਮੈਟਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਵਧਾਉਣ ਦੀ ਬਜਾਏ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।
ਜੇ ਏ ਏ ਇੱਕ 2×2 2×2 ਮੈਟਰਿਕਸ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ
ਏ ਏ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
ਜਿੱਥੇ ad−bc≠0। ad−bc≠0। ਜੇ ad−bc=0, ad−bc=0, ਤਾਂ ਏ ਏ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ 4
ਮੈਟਰਿਕਸ ਏ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਹੋਰਨਾਂ ਤਰੀਕਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇਹ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਡਾ ਸੂਤਰ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਏ ਏ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਵਧਾਈਏ।
ਏ ਏ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਦੇ ਉਦੇਸ਼ ਨਾਲ ਪੰਕਤੀ ਕਾਰਜ ਕਰੋ।
ਪੰਕਤੀ 1 ਨੂੰ −2 −2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 −2 0 1 | 1 0 −2 1 ] [ 1 −2 0 1 | 1 0 −2 1 ]
ਪੰਕਤੀ 2 ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੰਕਤੀ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 0 0 1 | −3 2 −2 1 ] [ 1 0 0 1 | −3 2 −2 1 ]
ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਅਸਲ ਹੱਲ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕੀਤੀ ਹੈ।
1. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ #2
2. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ। ਇਸਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (identity matrix) ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ ਕਰੋ।
3. ਉਦਾਹਰਨ 5
4. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ
5. ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਨੂੰ ਲੱਭੋ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ।
6. ਹੱਲ
7. ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (identity matrix) ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
8. ਪੰਗਤੀ 1 (row 1) ਅਤੇ ਪੰਗਤੀ 2 (row 2) ਨੂੰ ਬਦਲੋ। [ 1 3 3 2 | 0 1 1 0 ] [ 1 3 3 2 | 0 1 1 0 ]
9. ਪੰਗਤੀ 1 (row 1) ਨੂੰ −3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪੰਗਤੀ 2 (row 2) ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ। [ 1 2 0 0 | 1 0 −3 1 ] [ 1 2 0 0 | 1 0 −3 1 ]
10. ਅਸੀਂ ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ ਕੁਝ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਪੰਗਤੀ 2 (row 2) ਵਿੱਚ ਸਿਫ਼ਰ (zeros) ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਇਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਕੋਈ ਉਲਟ (inverse) ਨਹੀਂ ਹੈ।
11. 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟ (multiplicative inverse) ਨੂੰ ਲੱਭਣਾ
12. ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਰਗਾ ਕੋਈ ਫਾਰਮੂਲਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (identity matrix) ਨਾਲ ਜੋੜਾਂਗੇ ਅਤੇ ਉਲਟ (inverse) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਪੰਗਤੀ ਸੰਚਾਲਨ (row operations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।
13. ਇੱਕ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ
14. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਨੂੰ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (identity matrix) ਨਾਲ ਜੋੜੋ
15. ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ A ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਰੱਖ ਕੇ ਸੰਯੁਕਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (augmented matrix) ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਪੰਗਤੀ ਸੰਚਾਲਨ (elementary row operations) ਕਰਕੇ ਜਦੋਂ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (inverse matrix) ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਵੇਗਾ। ਅਸੀਂ ਅਗਲੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਇਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭਾਂਗੇ।
16. ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
17. ਇੱਕ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭੋ
18. ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (identity matrix) ਨਾਲ ਜੋੜ ਕੇ ਲਿਖੋ।
19. ਐਲੀਮੈਂਟਰੀ ਪੰਗਤੀ ਸੰਚਾਲਨ (elementary row operations) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਤਾਂ ਜੋ ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਵੇ।
20. ਜੋ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਮੂਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
21. ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ (matrix multiplication) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ ਕਿ A A⁻¹ = I ਅਤੇ A⁻¹ A = I।
22. ਉਦਾਹਰਨ 6
23. ਇੱਕ 3 × 3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭਣਾ
24. ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਇਸਦਾ ਉਲਟ (inverse) ਲੱਭੋ।
ਹੱਲ
A A ਨੂੰ ਤਤਸਮ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (identity matrix) ਨਾਲ ਵਧਾਓ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਕਤਾਰ ਕਾਰਜ (row operations) ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਤਤਸਮ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਨੂੰ ਬਦਲ ਨਾ ਦੇਵੇ। ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਵਾਲਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A A ਦਾ ਵਿਲੋਮ (inverse) ਹੋਵੇਗਾ।
ਇਸ ਲਈ,
ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿ B = A⁻¹, ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੀ ਗੁਣਨਫਲ ਇਕਾਈ (identity) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੇਕਰ AA⁻¹ = I ਅਤੇ A⁻¹A = I।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #3
3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਨਵੇਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: X ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਚਲਾਂ (variables) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ, ਅਤੇ B ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ (constants) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਾਲੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿੰਨੇ ਚਲ ਹਨ
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਲੋਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, A ਨੂੰ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (coefficient matrix) ਮੰਨੋ, X ਨੂੰ ਚਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (variable matrix) ਮੰਨੋ, ਅਤੇ B ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (constant matrix) ਮੰਨੋ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ AX=B ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਦੇਖੋ।
ਇਸ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਤੋਂ, ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
ਚਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ
Then AX=B AX=B looks like
ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾਂ ਹੋਈ ਚਰਚਾ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਉਸਦੇ ਵਿਲੋਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, (2⁻¹)2 = (½)2 = 1। ਇੱਕ ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ax=b ਨੂੰ x ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ a ਦੇ ਗੁਣਾਤਮਕ ਵਿਲੋਮ (reciprocal) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਲਈ,
ਰੇਖੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਵਧੇਰੇ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਟੀਚਾ ਉਹੀ ਹੈ—ਚਲ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਨਾ।
ਅਸੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਦੀ ਵਿਸਥਾਰ ਨਾਲ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ, ਪਰ 2×2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ 3×3 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵੱਲ ਵਧਣਾ ਮਦਦਗਾਰ ਹੈ।
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਚਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ X, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਲਿਖੋ। ਫਿਰ
ਹੱਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
Q&A
ਜੇ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਿਲੋਮ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੀ ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ?
ਨਹੀਂ, ਜੇ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿਲੋਮਯੋਗ (invertible) ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਅਸੰਗਤ (inconsistent) ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ (dependent) ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਨੰਤ ਹੱਲ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ।
ਉਦਾਹਰਨ 7
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 2 × 2 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਵਿਲੋਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ।
1. ਹੱਲ
2. ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਾਂਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਇੱਕ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।
3. ਫਿਰ
4. ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ A −1 ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। A −1 । 2x2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟਾ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਸੂਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:
5. ਇਸ ਲਈ,
6. ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਤਿਆਰ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। A −1 ।
7. ਹੱਲ ( −1,1 ) ਹੈ। ( −1,1 ) ।
Q&A
8. ਕੀ ਅਸੀਂ B A −1 ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਲੱਭ ਕੇ X ਲਈ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? B A −1 ?
9. ਨਹੀਂ, ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ A −1 B ≠ B A −1 । A −1 B ≠ B A −1 । ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕਦਮਾਂ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।
10. ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਹੈ, A −1 , ਪਰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ A ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ A −1 A −1 ਸੀ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ B ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਸੀ। ਕਿਉਂਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।
11. ਉਦਾਹਰਨ 8
12. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ 3 × 3 ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ
13. ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
14. ਹੱਲ
Write the equation AX=B. AX=B.
15. ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਪਛਾਣ ਨਾਲ ਵਧਾ ਕੇ A ਦਾ ਉਲਟਾ ਪਾਵਾਂਗੇ।
16. ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ 1/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। 1/5 ।
17. ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
18. ਕਤਾਰ 1 ਨੂੰ ਕਤਾਰ 3 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
19. ਕਤਾਰ 2 ਨੂੰ −3 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
20. ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।
21. ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ 1/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 1 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
22. ਕਤਾਰ 3 ਨੂੰ −19/5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਕਤਾਰ 2 ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।
23. ਇਸ ਲਈ,
24. ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ A −1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ। A −1 । ਅਸੀਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ A −1 AX= A −1 B: A −1 AX= A −1 B:
ਇਸ ਲਈ,
ਹੱਲ (1,2,0) ਹੈ। (1,2,0)।
ਇਸਨੂੰ ਅਜ਼ਮਾਓ #4
ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟ (inverse) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟਾਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰੋ।
ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ A ] [ A ] ਅਤੇ [ B ] [ B ] ਵਜੋਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰੋ।
Enter the multiplication into the calculator, calling up each matrix variable as needed.
ਜੇ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟਾਉਣ ਯੋਗ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਹੱਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪੇਸ਼ ਕਰੇਗਾ; ਜੇ ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟਾਉਣ ਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਇੱਕ ਤਰੁੱਟੀ ਸੰਦੇਸ਼ ਪੇਸ਼ ਕਰੇਗਾ।
ਉਦਾਹਰਨ 9
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟਾਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟਾਂ ਨਾਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕਰੋ
ਹੱਲ
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪੰਨੇ 'ਤੇ, ਗੁਣਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ A ] [ A ] ਵਜੋਂ ਦਾਖਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ [ B ] [ B ] ਵਜੋਂ ਦਾਖਲ ਕਰੋ।
ਕੈਲਕੂਲੇਟਰ ਦੀ ਹੋਮ ਸਕ੍ਰੀਨ 'ਤੇ, X ਲਈ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਗੁਣਾ ਟਾਈਪ ਕਰੋ, X, ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੇਰੀਏਬਲ ਨੂੰ ਲੋੜ ਅਨੁਸਾਰ ਬੁਲਾਉਂਦੇ ਹੋਏ।
ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਰੋ।
ਮੀਡੀਆ
ਉਲਟਾਂ ਨਾਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਹਦਾਇਤਾਂ ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ ਲਈ ਇਹਨਾਂ ਔਨਲਾਈਨ ਸਰੋਤਾਂ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕਰੋ।
ਤਤਮਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ
ਉਲਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨਾ
ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ
ਮੌਖਿਕ
ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਸੰਚਾਰੀ (commutative) ਨਹੀਂ ਹੈ, ਭਾਵ, ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ AB≠BA AB≠BA। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਉਲਟਾਂ ਲਈ ਸੰਚਾਰੀ ਕਿਉਂ ਹੈ, ਭਾਵ, A −1 A=A A −1 ? A −1 A=A A −1 ?
ਕੀ ਹਰ 2×2 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਸਮਝਾਓ ਕਿਉਂ ਜਾਂ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ। ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਉਲਟ ਦੇ ਮੌਜੂਦ ਹੋਣ ਲਈ ਕਿਹੜੀ ਸ਼ਰਤ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।
ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸਮਝਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਕੀ ਸਿਫਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਕਤਾਰ ਵਾਲੇ 2×2 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ?
ਕੀ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦੇ ਪੂਰੇ ਕਾਲਮ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟਾ (inverse) ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਇਸਦੇ ਕਾਰਨ ਦੱਸੋ।
ਕੀ ਵਿਕਰਨ (diagonal) ਉੱਤੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਜੇਕਰ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ। ਜੇਕਰ ਨਹੀਂ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਕਾਰਨ ਸਿੱਧ ਕਰੋ। ਸਰਲਤਾ ਲਈ, 2×2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਮੰਨੋ।
ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ (Algebraic)
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ B ਦਾ ਉਲਟਾ ਹੈ।
A=[ 1 0 −1 1 ],B=[ 1 0 1 1 ]
A=[ 1 2 3 4 ],B=[ −2 1 3 2 − 1 2 ]
A=[ 4 5 7 0 ],B=[ 0 1 7 1 5 − 4 35 ]
A=[ −2 1 2 3 −1 ],B=[ −2 −1 −6 −4 ]
A=[ 1 0 1 0 1 −1 0 1 1 ],B= 1 2 [ 2 1 −1 0 1 1 0 −1 1 ]
A=[ 1 2 3 4 0 2 1 6 9 ],B= 1 4 [ 6 0 −2 17 −3 −5 −12 2 4 ]
A=[ 3 8 2 1 1 1 5 6 12 ],B= 1 36 [ −6 84 −6 7 −26 1 −1 −22 5 ]
ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਸਰਤਾਂ ਲਈ, ਹਰੇਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਉਲਟਾ (multiplicative inverse) ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
[ 3 −2 1 9 ]
[ −2 2 3 1 ]
[ −3 7 9 2 ]
[ −4 −3 −5 8 ]
[ 1 1 2 2 ]
[ 0 1 1 0 ]
[ 0.5 1.5 1 −0.5 ]
[ 1 0 6 −2 1 7 3 0 2 ]
[ 0 1 −3 4 1 0 1 0 5 ]
[ 1 2 −1 −3 4 1 −2 −4 −5 ]
[ 1 9 −3 2 5 6 4 −2 7 ]
[ 1 −2 3 −4 8 −12 1 4 2 ]
[ 1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ] [ 1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ]
[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]
For the following exercises, solve the system using the inverse of a 2×2 2×2 matrix.
5x−6y=−61 4x+3y=−2 5x−6y=−61 4x+3y=−2
8x+4y=−100 3x−4y=1 8x+4y=−100 3x−4y=1
3x−2y=6 −x+5y=−2 3x−2y=6 −x+5y=−2
5x−4y=−5 4x+y=2.3 5x−4y=−5 4x+y=2.3
−3x−4y=9 12x+4y=−6 −3x−4y=9 12x+4y=−6
−2x+3y= 3 10 −x+5y= 1 2 −2x+3y= 3 10 −x+5y= 1 2
8 5 x− 4 5 y= 2 5 − 8 5 x+ 1 5 y= 7 10 8 5 x− 4 5 y= 2 5 − 8 5 x+ 1 5 y= 7 10
1 2 x+ 1 5 y=− 1 4 1 2 x− 3 5 y=− 9 4 1 2 x+ 1 5 y=− 1 4 1 2 x− 3 5 y=− 9 4
For the following exercises, solve a system using the inverse of a 3×3 3×3 matrix.
3x−2y+5z=21 5x+4y=37 x−2y−5z=5 3x−2y+5z=21 5x+4y=37 x−2y−5z=5
4x+4y+4z=40 2x−3y+4z=−12 −x+3y+4z=9 4x+4y+4z=40 2x−3y+4z=−12 −x+3y+4z=9
6x−5y−z=31 −x+2y+z=−6 3x+3y+2z=13 6x−5y−z=31 −x+2y+z=−6 3x+3y+2z=13
6x−5y+2z=−4 2x+5y−z=12 2x+5y+z=12 6x−5y+2z=−4 2x+5y−z=12 2x+5y+z=12
4x−2y+3z=−12 2x+2y−9z=33 6y−4z=1 4x−2y+3z=−12 2x+2y−9z=33 6y−4z=1
1 10 x− 1 5 y+4z= −41 2 1 5 x−20y+ 2 5 z=−101 3 10 x+4y− 3 10 z=23 1 10 x− 1 5 y+4z= −41 2 1 5 x−20y+ 2 5 z=−101 3 10 x+4y− 3 10 z=23
1 2 x− 1 5 y+ 1 5 z= 31 100 − 3 4 x− 1 4 y+ 1 2 z= 7 40 − 4 5 x− 1 2 y+ 3 2 z= 1 4 1 2 x− 1 5 y+ 1 5 z= 31 100 − 3 4 x− 1 4 y+ 1 2 z= 7 40 − 4 5 x− 1 2 y+ 3 2 z= 1 4
0.1x+0.2y+0.3z=−1.4 0.1x−0.2y+0.3z=0.6 0.4y+0.9z=−2 0.1x+0.2y+0.3z=−1.4 0.1x−0.2y+0.3z=0.6 0.4y+0.9z=−2
Technology
For the following exercises, use a calculator to solve the system of equations with matrix inverses.
2x−y=−3 −x+2y=2.3 2x−y=−3 −x+2y=2.3
− 1 2 x− 3 2 y=− 43 20 5 2 x+ 11 5 y= 31 4 − 1 2 x− 3 2 y=− 43 20 5 2 x+ 11 5 y= 31 4
12.3x−2y−2.5z=2 36.9x+7y−7.5z=−7 8y−5z=−10 12.3x−2y−2.5z=2 36.9x+7y−7.5z=−7 8y−5z=−10
0.5x−3y+6z=−0.8 0.7x−2y=−0.06 0.5x+4y+5z=0 0.5x−3y+6z=−0.8 0.7x−2y=−0.06 0.5x+4y+5z=0
Extensions
For the following exercises, find the inverse of the given matrix.
[ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ] [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ]
[ −1 0 2 5 0 0 0 2 0 2 −1 0 1 −3 0 1 ] [ −1 0 2 5 0 0 0 2 0 2 −1 0 1 −3 0 1 ]
[ 1 −2 3 0 0 1 0 2 1 4 −2 3 −5 0 1 1 ] [ 1 −2 3 0 0 1 0 2 1 4 −2 3 −5 0 1 1 ]
[ 1 2 0 2 3 0 2 1 0 0 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 ] [ 1 2 0 2 3 0 2 1 0 0 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 ]
[ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 ] [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 ]
Real-World Applications
For the following exercises, write a system of equations that represents the situation. Then, solve the system using the inverse of a matrix.
2,400 tickets were sold for a basketball game. If the prices for floor 1 and floor 2 were different, and the total amount of money brought in is $64,000, how much was the price of each ticket?
In the previous exercise, if you were told there were 400 more tickets sold for floor 2 than floor 1, how much was the price of each ticket?
A food drive collected two different types of canned goods, green beans and kidney beans. The total number of collected cans was 350 and the total weight of all donated food was 348 lb, 12 oz. If the green bean cans weigh 2 oz less than the kidney bean cans, how many of each can was donated?
Students were asked to bring their favorite fruit to class. 95% of the fruits consisted of banana, apple, and oranges. If oranges were twice as popular as bananas, and apples were 5% less popular than bananas, what are the percentages of each individual fruit?
The nursing club held a bake sale to raise money and sold brownies and chocolate chip cookies. They priced the brownies at $1 and the chocolate chip cookies at $0.75. They raised $700 and sold 850 items. How many brownies and how many cookies were sold?
A clothing store needs to order new inventory. It has three different types of hats for sale: straw hats, beanies, and cowboy hats. The straw hat is priced at $13.99, the beanie at $7.99, and the cowboy hat at $14.49. If 100 hats were sold this past quarter, $1,119 was taken in by sales, and the amount of beanies sold was 10 more than cowboy hats, how many of each should the clothing store order to replace those already sold?
Anna, Percy, and Morgan weigh a combined 370 lb. If Morgan weighs 20 lb more than Percy, and Anna weighs 1.5 times as much as Percy, how much does each person weigh?
Three roommates shared a package of 12 ice cream bars, but no one remembers who ate how many. If Micah ate twice as many ice cream bars as Joe, and Albert ate three less than Micah, how many ice cream bars did each roommate eat?
A farmer constructed a chicken coop out of chicken wire, wood, and plywood. The chicken wire cost $2 per square foot, the wood $10 per square foot, and the plywood $5 per square foot. The farmer spent a total of $51, and the total amount of materials used was 14 ft 2 . 14 ft 2 . He used 3 ft 2 3 ft 2 more chicken wire than plywood. How much of each material in did the farmer use?
Jay has lemon, orange, and pomegranate trees in his backyard. An orange weighs 8 oz, a lemon 5 oz, and a pomegranate 11 oz. Jay picked 142 pieces of fruit weighing a total of 70 lb, 10 oz. He picked 15.5 times more oranges than pomegranates. How many of each fruit did Jay pick?