੧. ਸ਼ਨੀ ਦੇ ਗ੍ਰਹਿ ਦੇ ਚੱਲਿਆਂ ਨੇ ਹੈਰਾਨੀ ਪੈਦਾ ਕੀਤੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ ਗ਼ਲਤ ਸਮਝ ਵੀ, ਜਦੋਂ ਤੋਂ ਗੈਲੀਲੀਓ ਨੇ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਖੋਜਿਆ ਸੀ (ਉਸਨੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਚੰਦਰਮਾ ਸਮਝਿਆ ਸੀ)। ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਕੈਸੀਨੀ ਪ੍ਰੋਬ ਤੋਂ 2004 ਦੇ ਇਸ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਵੀ ਇਹ ਠੋਸ ਚੱਕਰਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੜੀ ਜਾਪਦੇ ਹਨ, 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਇਹ ਅਰਬਾਂ ਛੋਟੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਹੋਣ ਨਾਲ ਬਣੇ ਹਨ। (ਸਰੋਤ: NASA/JPL-Caltech/SSI/Kevin M. Gill/flickr ਦੁਆਰਾ "ਸ਼ਨੀ" ਦਾ ਸੋਧਿਆ ਹੋਇਆ)
੨. ਅਧਿਆਇ ਦੀ ਰੂਪਰੇਖਾ
੩. ੧੨.੧ ਅੰਡਾਕਾਰ
੪. ੧੨.੨ ਅਤਿ-ਪਰਵਲੈਅ
੫. ੧੨.੩ ਪਰਵਲੈਅ
੬. ੧੨.੪ ਧੁਰਿਆਂ ਦਾ ਘੁਮਾਉ
੭. ੧੨.੫ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂ ਭਾਗ
੮. ਯੂਨਾਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਮੇਨਾਚਮਸ (ਲਗਭਗ 380–ਲਗਭਗ 320 ਈਸਾ ਪੂਰਵ) ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਿੱਧੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਕਾਟ ਦੁਆਰਾ ਬਣਨ ਵਾਲੀਆਂ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੀ ਖੋਜ ਦਾ ਸਿਹਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸਨੇ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਕੱਟਣ ਵੇਲੇ ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਝੁਕਾਇਆ, ਉਸਨੇ ਕਾਟ 'ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਬਣਾਈਆਂ – ਲਗਭਗ ਸੰਪੂਰਨ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਾਲੀਆਂ ਸੁੰਦਰ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ।
੯. ਇਹ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਸੀ ਕਿ ਅਰਸਤੂ ਨੂੰ ਇਹਨਾਂ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੀ ਅਨੁਭਵੀ ਸਮਝ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਸਨੇ ਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਕક્ષા ਨੂੰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਦੇਖਿਆ ਸੀ। ਉਸਨੇ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਬਣਾਈ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿ ਧਰਤੀ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਲਗਭਗ 2000 ਸਾਲਾਂ ਤੱਕ ਇਹ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੰਨੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਧਾਰਨਾ ਰਹੀ।
੧੦. ਇਹ ਪੁਨਰ-ਜਾਗਰਣ ਅੰਦੋਲਨ ਤੱਕ ਨਹੀਂ ਸੀ ਜਦੋਂ ਜੋਹਾਨਸ ਕੇਪਲਰ ਨੇ ਨੋਟਿਸ ਕੀਤਾ ਕਿ ਗ੍ਰਹਿਾਂ ਦੀਆਂ ਕਖਾਵਾਂ ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਹੀਂ ਸਨ। 1600 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ ਉਸਦੇ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਗ੍ਰਹਿ ਗਤੀ ਦੇ ਨਿਯਮ ਨੇ ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਬਾਰੇ ਸਾਡੀ ਸੋਚ ਨੂੰ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ। ਉਸਨੇ ਦਾਅਵਾ ਕੀਤਾ ਕਿ ਸੂਰਜ ਕਖਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਰੇ 'ਤੇ ਸੀ, ਅਤੇ ਗ੍ਰਹਿ ਸੂਰਜ ਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਅੰਡਾਕਾਰ ਆਕਾਰ ਦੇ ਮਾਰਗ ਵਿੱਚ ਘੁੰਮਦੇ ਸਨ।
੧੧. ਸੌਰ ਮੰਡਲ (ਅਤੇ ਸ਼ਾਇਦ ਹੋਰ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ) ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਵਸਤੂਆਂ ਵੀ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਅੰਡਾਕਾਰ ਮਾਰਗ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ਨੀ ਦੇ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਚੱਲੇ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਸ ਸਮਝ ਨੂੰ ਆਧਾਰ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦਿਆਂ, 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜੇਮਜ਼ ਕਲਰਕ ਮੈਕਸਵੈਲ ਅਤੇ ਸੋਫਿਆ ਕੋਵਲੈਵਸਕਾਇਆ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੀਆਂ ਦੂਰਬੀਨਾਂ (ਅਤੇ ਮੌਜੂਦਾ ਦੂਰਬੀਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ) ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਖ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਚੱਲੇ ਠੋਸ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਸਗੋਂ ਛੋਟੇ ਕਣਾਂ ਨਾਲ ਬਣੇ ਹਨ। ਵੌਏਜਰ ਅਤੇ ਕੈਸੀਨੀ ਮਿਸ਼ਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਚੱਲਿਆਂ ਦੀਆਂ ਬਣਤਰਾਂ ਬਾਰੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਅਤੇ ਵਿਸਤ੍ਰਿਤ ਡਾਟਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਵੀ, ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਉਸਾਰੀ ਦੀ ਪੂਰੀ ਸਮਝ ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ 'ਤੇ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਦਿਲਚਸਪੀ ਵਾਲੇ ਸ਼ਨੀ ਦੇ ਚੰਦਰਮਾਵਾਂ ਅਤੇ ਉਪ-ਚੰਦਰਮਾਵਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹਨ, ਅਤੇ ਉਹ ਤਰੀਕੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਉਹ ਚੱਲਿਆਂ ਦੀ ਬਣਤਰ ਨੂੰ ਵਿਗਾੜਦੇ ਅਤੇ ਬਚਾਉਂਦੇ ਹਨ।
੧੨. ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ-ਆਯਾਮੀ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਉਦੋਂ ਬਣਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਿੱਧੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੁਆਰਾ ਕੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਤਿੰਨ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਕੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਆਕ੍ਰਿਤੀ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।